Comprensión de las matemáticas a través de la solución de problemas: Un momento de reflexión

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1 Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 1 Comprensión de las matemáticas a través de la solución de problemas: Un momento de reflexión Por: Bernardette Feliciano Quiñones Departamento de Ciencias y Tecnología Universidad Interamericana de Puerto Rico en el Recinto de Ponce Resumen. El objetivo principal de este trabajo es fomentar una reflexión sobre la comprensión de las matemáticas a través de la solución de problemas. Este método de enseñanza de las matemáticas puede ser un reto para todo educador y al mismo tiempo una gran oportunidad para todos los estudiantes. Palabras claves: solución de problemas, enseñanza de matemáticas Abstract. The main objective of this work is to promote a reflection on the understanding of mathematics through problem-solving. This method of teaching of mathematics can be a challenge for any educator and at the same time a great opportunity for all students. Keywords: problem solving, mathematics education Revista 360 / N o. 9/ 014

2 Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce Introducción El Concilio Nacional de Maestros de Matemáticas desde el inicio del desarrollo de los estándares hizo un llamado para que la solución de problemas sea el centro focal del currículo de matemáticas (NCTM, 000). Uno de los aspectos más importantes en el estudio de este tema es el desarrollo de la comprensión y el sentido matemático a través de la solución de problemas. Además, se debe atender los modos de pensamiento que facilitan este proceso. Todos los maestros de matemática tienen una meta en común: la compresión profunda de las matemáticas. Sin embargo, para que esto suceda, no es suficiente: Resolver una ecuación cuadrática, hallar el área de la superficie de un cilindro o la media de un conjunto de datos. El saber cómo hacer todos estos procesos no garantiza que los estudiantes comprendan lo que están haciendo. Para comprender, los estudiantes tienen que profundizar en los temas, ser más curiosos sobre cómo funcionan las matemáticas y visualizar cómo un tema es igual o diferente a otro estudiado. Además, deben estar confiados en que pueden resolver problemas sobre un tema, aun problemas que nunca hayan visto. Importancia Hiebert & Wearne (003) señalan que, hoy en día, la comprensión requiere más de los estudiantes de lo que se esperaba en el pasado. Por qué es importante? Según Hiebert and Carpenter (199) comprender un tema debe garantizar que todo lo que uno conoce sobre ese tema será útil. Uno recordará las cosas cuando las necesite y las usará flexiblemente para atender situaciones nuevas. A menos que la sociedad decida negar estas oportunidades a los estudiantes, la comprensión de las matemáticas debe ser la meta para todos ellos. Piense en algo que usted considere entiende bien. Qué tal la suma de fracciones? Qué conceptos tenemos que tener claro? Revista 360 / N o. 9/ 014

3 Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 3 Veamos varios, 1. Puede ser que el combinar fracciones es más fácil cuando tienen un mismo denominador.. El concepto de fracciones equivalentes (1/5 y 3/15), el cual permite reescribir las fracciones con un denominador común. 3. Cómo se obtiene ese denominador común? 4. Qué conceptos debo comprender para hallar el denominador común? Si el estudiante realmente tiene comprensión sobre el proceso, o sea hallar la suma de dos fracciones heterogéneas, entonces entenderá cuando tenga otro ejemplo de suma y resta de fracciones como el que se presenta en el siguiente ejercicio. 3 ab a b 1 3ab Es este ejemplo totalmente distinto al presentado al anterior? No. Es una suma y resta de fracciones. Puede el estudiante aplicar lo aprendido en el ejemplo anterior? Y este otro ejemplo? Cada uno es de mayor dificultad; no obstante, siguen siendo operaciones con fracciones. Además, muchos de los conceptos que se necesitan para resolver el primer problema, se necesitarán para el resolver cada uno de los ejemplos presentados. x y x 3x xy y Observemos otro ejemplo. Desde los grados elementales vemos este tipo de ejercicio. + = 5 Luego en grados mayores, cuando empezamos a estudiar el álgebra, el mismo ejercicio se transforma al utilizar variables. Sin embargo, esto crea gran dificultad en los estudiantes. Probablemente porque no había comprensión de los procesos en la solución de ecuaciones en el nivel elemental. x + = 5 No hay duda, que lo que distinguirá a los ciudadanos y profesionales en el siglo XXI será el poder utilizar lo que ellos saben. Hiebert y Wearne (003) indican que los problemas numéricos y algebraicos aparentan ser diferentes. Sin embargo, un estudiante que comprenda un Revista 360 / N o. 9/ 014

4 Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 4 problema numérico, puede utilizar lo que sabe para resolver problemas de mayor dificultad. Además señalan, que tener comprensión sobre un tema o concepto, puede ser una experiencia satisfactoria y divertida. El entender algo tan bien que puedas describir cómo funciona, le proporciona al estudiante un sentido de control y estima que no tiene comparación. El aprendizaje de las matemáticas le debe dar la oportunidad al estudiante de comprender lo que están aprendiendo. Comprensión Nos podemos preguntar, hay relación entre la solución de problemas y la comprensión de las matemáticas? Cuál es esta relación? Es a través de la solución de problemas que entendemos las matemáticas: problemas que reten a los estudiantes, diferentes métodos y una guía adecuada en los procesos de solución de problemas. En estos procesos nos encontramos con un paradigma: Qué hacemos? Decirle al estudiante cómo resolver el problema. Dejar que el estudiante trabaje más sobre el proceso de solución. El maestro debe hacer las matemáticas más difíciles. El maestro debe hacer las matemáticas un verdadero reto. Cada una de estas premisas en el nuevo paradigma requiere de nuestra atención al momento de planificar la enseñanza de las matemáticas. Estas premisas implican presentar problemas que estén al alcance de los estudiantes, proveerles el espacio necesario para que ellos encuentren las soluciones y examinar los métodos que ellos utilizan. Esto último nos ayuda a comprender cómo aprenden los estudiantes; en otras palabras, cómo logran la comprensión. Dialoguemos sobre los hallazgos de una investigación, el proyecto Third International Mathematics Science Study (Mullis, Martin, González, y Chrostowski, 004). Este proyecto se llevó a cabo con estudiantes de octavo grado. Una parte de los problemas incluidos exploraron Revista 360 / N o. 9/ 014

5 Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 5 los procesos de comprensión. En el proyecto participaron estudiantes y maestros de Alemania, Japón y Estados Unidos. Los resultados indicaron que los maestros en Estados Unidos se movían rápidamente a decirle al estudiante cómo resolver el problema. Mientras que en los otros países, le daban más oportunidad para trabajar con los problemas. Esa oportunidad de tener más tiempo para resolver por sí mismos los problemas facilitaba en gran medida la comprensión de los temas bajo estudio. Por lo tanto, el reto en lograr la comprensión a través de la solución de problemas debe estar en planificar para que toda destreza que se enseñe sea atendida como un problema. Por ejemplo, luego de trabajado el concepto de solución de una desigualdad: x 3 Podemos trabajar con x 3 3 Generalmente, le enseñamos cómo resolverlo, paso a paso. Por qué no darles tiempo para que partiendo del ejemplo más simple, resuelvan otro problema? Partimos de un problema y luego tenemos otro problema. Mediante la guía del maestro y las preguntas correctas, podemos hacer que el estudiante busque esta conexión. Es un nuevo problema? Necesitaremos un nuevo procedimiento? Reflexionemos: generalmente, qué hacemos ante esta situación? Le enseñamos qué hacer con esta variación del problema? Estimulamos la comprensión? Partimos de lo conocido a lo desconocido? Realmente, estamos permitiendo que esta simple extensión del problema, se convierta en un problema real para el estudiante? El trabajar un ejercicio como un problema, permite al estudiante una compresión profunda de los procesos que probablemente llevaría a cabo sin pensar. Además, con este tipo de problemas, estamos verificando si hay comprensión en un concepto estudiado. Según varios investigadores (Ball, 1993; Lampert, 001; Schifter y Fosnot, 1993; Grouws, 003; Copes y Shager, 003), confirman que este enfoque lleva a la comprensión Revista 360 / N o. 9/ 014

6 Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 6 profunda de las matemáticas. Muchos expertos señalan que el verdadero reto para el maestro es ayudar a los estudiantes a lograr esta meta, desarrollar la comprensión o el sentido matemático a través de la solución de problemas. En resumen, como muestra la Figura 1 adjunto, en la enseñanza de las matemáticas se debe: Identificar el contenido. Seleccionar un problema que lo conecte al contenido. Luego, se presenta el problema observando que el estudiante tenga comprensión de la tarea a realizar, pero sin decirles cómo resolverlo. El estudiante explora el problema, buscando su solución. Con la guía del maestro, las preguntas adecuadas, el estudiante reflexiona sobre el problema, su trabajo y las ideas matemáticas descubiertas en el proceso. Figura 1 Solución de problemas Contenido Problema Comprensión Exploración Reflexión Hay muchos beneficios de enseñar matemáticas a través de la solución de problemas. Este método desarrolla jóvenes matemáticos, su sentido hacia las matemáticas y la comprensión de las mismas. Además, captura el interés del estudiante. La enseñanza de las matemáticas a través de la solución de problemas es un reto para el maestro. El enfoque del desarrollo de la comprensión y sentido matemático aplica a todo estudiante. Al resolver problemas, con la guía de un maestro, los estudiantes tienen un encuentro real con las matemáticas de gran utilidad e importancia. Referencias Ball, D. L. (1993, March). With an eye on the mathematical horizon: Dilemmas of teaching elementary school mathematics. Elementary School Journal, 93, Revista 360 / N o. 9/ 014

7 Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 7 Copes, L. and Shager, N. K. (003). Phasing problem-based teaching into a traditional educational environment. In H. L. Schoen (Ed.), Teaching mathematics through problem solving: Grades 6 1. Reston, VA: NCTM. Grouws, D. A. (003). The teacher s role in teaching mathematics through problem solving. In H. L. Schoen (Ed.), Teaching mathematics through problem solving: Grades 6 1. Reston, VA: NCTM. Hiebert, J. and Carpenter, T.P. (199). Learning and teaching with understanding. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp ). New York: Macmillan. Hiebert, J. and Wearne, D. (003). Developing understanding through problem solving. In H. L. Schoen (Ed.), Teaching mathematics through problem solving: Grades 6 1 (pp. 3-13). Reston, VA: NCTM. Lampert, M. (001). Teaching problems and the problems of teaching, New Haven, Conn.: Yale University Press. Mullis, I.V.S., Martin, M.O., González, E.J. and Chrostowski, S.J. (004). TIMSS 003 International Mathematics Report: Findings From IEA s Trends in International Mathematics and Science Study at the Fourth and Eighth Grades. International Association for the Evaluation of Educational Achievement: Boston. National Council of Teachers of Mathematics. (000). Standards for school mathematics. Principles and standards for school mathematics: E-Standards. Reston, VA: NCTM. Schifter, D. and Fosnot, C. T. (1993). Reconstructing mathematics education: Stories of teaches meeting the challenge of reform. New York: Teachers College Press. Bernardette Feliciano Quiñones, bfelicia@ponce.inter.edu. Catedrática del Departamento de Ciencias y Tecnología, Universidad Interamericana de Puerto Rico, Recinto de Ponce en Puerto Rico, M.S. Mathematics, Salem State College, Salem, Massachusetts, Ed.D. Mathematics Education, Teachers College, Columbia University, New York, New York. Se ha especializado en el tema de Solución de Problemas. Revista 360 / N o. 9/ 014