Antenas Apuntes de clase Antenas elementales y dipolos (borrador)

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1 Escuela de Ingeniería Eléctrica Departamento de Electrónica y Comunicaciones Antenas Apuntes de clase Antenas elementales y dipolos (borrador) Enero de 3 1

2 Índice 1. Antenas elementales y dipolos Antenas elementales Dipolo infinitesimal Densidad de potencia Resistencia de radiación Ganancia directiva y Directividad Espira infinitesimal Dipolos Dipolo pequeño Parámetros del dipolo pequeño Dipolo finito Campos y Densidad de potencia Potencia radiada Resistencia de radiación Resistencia de antena Patrón de radiación de potencia Ganancia directiva y Directividad Dipolo λ/ Impedancia de entrada del dipolo de λ/ Antenas lineales elementales sobre un plano conductor perfecto e infinito Dipolo elemental vertical

3 Patrón de radiación Dipolo elemental horizontal Diagrama de radiación Monopolo Sistemas balanceados y desbalanceados Problemas Solución de los problemas 36 Bibliografía 37 Índice alfabético 38 3

4 1. Antenas elementales y dipolos En esta sección aplicaremos el procedimiento de análisis desarrollado en el tema : Características básicas de las antenas, para estudiar los denominadas antenas elementales y los dipolos. Las antenas elementales son antenas idealizadas que cumplen con la condición D λ, específicamente D λ/5. Los dipolos consisten en filamentos rectilíneos de corriente en los que la sección transversal se puede despreciar frente a las dimensiones longitudinales, a los fines de evaluar el campo electromagnético en la zona lejana. En particular, nos referiremos al dipolo elemental y espira elemental, o infinitesimales, cuya maxima dimensión D, la longitud L para el dipolo y el radio a para la espira, cumple la condición D λ/5; al dipolo pequeño, λ/5 < L < λ/1; y al dipolo de longitud finita, para el cual se cumple L > λ/1 [1]. En los cuadros 1 y se muestran las distribuciones de corriente que, bajo consideraciones de aproximación [], pueden ser asumidas para cada uno de ellos. 4

5 antena longitud distribución de la corriente dipolo elemental L < λ/5 J(z ) = I δ(x )δ(y )a z espira elemental a < λ/5 J(z ) = I δ(ρ a)δ(z )a ϕ dipolo pequeño λ/5 < L L < λ/1 { Ioδ(x J(z ) = )δ(y ) ( 1 L z ) a z, z L ; I oδ(x )δ(y ) ( 1 + L z ) a z, z L ; [ ( )] I oδ(x )δ(y ) sin κ L dipolo finito L > λ/1 J(z ) = z a z, z L [ ( )] ; I oδ(x )δ(y ) sin κ L + z a z, z L ; Cuadro 1: Distribución aproximada de la corriente en forma anaĺıtica Antenas elementales Ya que el término e jκr a r del vector de radiación N se puede expandir en una serie de potencias: e jκr a r = 1 + jκr a r + 1! (jκr a r ) + 1 3! (jκr a r ) n! (jκr a r ) n + + (1) Para los los casos de un dipolo y una espira elementales valen las siguientes aproximaciones: { e jκr a r 1, para el dipolo elemental; 1 + jκr () a r, para la espira elemental. 5

6 antenas elementales dipolo pequeño dipolo finito I( x) I( x) I( x) L x L L x L L x L Cuadro : Distribución aproximada de la corriente en forma gráfica. De aquí sigue que 1 : { N = V J(r ) dν, para el dipolo elemental; V J(r )jκr a r dν, para la espira elemental Dipolo infinitesimal El vector de radiación de un dipolo infinitesimal, dispuesto sobre el eje z y con centro en el origen, se obtiene evaluando la integral: N = L L Tomando en cuenta que: A m zl = µ 4π e jκr r (3) I δ(x )δ(y )a z dx dy dz = I La z (4) [N θ (θ, ϕ)a θ + N ϕ (θ, ϕ)a ϕ ] (5) 1 Ya que la integral V J(r ) dν para la espira elemental es nula. 6

7 hallamos N θ y N ϕ : ( Nθ N ϕ ) = ( cos(θ) cos(ϕ) cos(θ) sin(ϕ) sin(θ) sin(ϕ) cos(ϕ) ) I L (6) de modo que y A m zl = µ 4π e jκr r I L sin(θ)a θ (7) E = j κη 4π H = j κ 4π e jκr r e jκr r I L sin(θ)a θ (8) I L sin(θ)a ϕ (9) Densidad de potencia S = 1 E H S = 1 { j κη 4π r e jκr I L sin(θ)a θ j κ } e jκr 4π r I L sin(θ)a ϕ S = κ η 3π I L sin (θ) r a r (1) 7

8 Resistencia de radiación P rad = S ds; P rad = 1 I R rad s(r r zl ) P rad = κ η 1π I L ; R rad = I P rad (11) de modo que R rad = κ ηl (1) 6π y tomando en cuenta que κ = π/λ y que para el espacio libre η 1π: ( ) L R rad = 8π (13) λ Ganancia directiva y Directividad D i (θ, ϕ) = 4πF (θ, ϕ) F (θ, 4π ϕ) dω = π 4π sin (θ) sin 3 (θ) dϕdθ = 4π sin (θ) 8 π 3 π D = máx{d i (θ, ϕ)} = 3 = 3 sin (θ) (14) (15) 8

9 1.1.. Espira infinitesimal El vector de radiación de una espira infinitesimal de radio a, dispuesta sobre el plano z = y con centro en el origen, se obtiene evaluando la integral: N(θ, ϕ) = π Tomando en cuenta que: [I δ(ρ a)δ(z )a ϕ ](jκρ a r ) adρ dz dϕ (16) jκρ a r = jκa sin(θ) cos(ϕ ϕ ) (17) a ϕ a θ = cos(θ) cos(ϕ ϕ π/) (18) a ϕ a ϕ = cos(ϕ ϕ ) (19) la ecuación 16 se resuelve como sigue: [ π N(θ, ϕ) = ji κa cos(θ) sin(θ) De modo que: + ji κa sin(θ) [ π cos(ϕ ϕ π/) cos(ϕ ϕ ) dϕ ] a θ cos (ϕ ϕ ) dϕ ] a ϕ = ji κa π sin(θ)a ϕ () A m zl = µ e jκr 4π r ji κa π sin(θ)a ϕ (1) 9

10 y E = κ η 4 H = κ 4 e jκr r I a sin(θ)a ϕ () e jκr r I a sin(θ)a θ (3) 1.. Dipolos Dipolo pequeño Tomando en cuenta que el valor máximo de la diferencia de fase entre las ondas esféricas de la antena dipolo pequeño viene dada por κl/ = π/1 < π/8, el factor e jκz cos(α) 1, y el vector de radiación de un dipolo pequeño, dispuesto sobre el eje z y con centro en el origen, se obtiene evaluando la integral: N = I o δ(x )δ(y ) (1 + L ) z a z dx dy dz + L L I o δ(x )δ(y ) (1 L ) z a z dx dy dz = 1 I La z (4) Parámetros del dipolo pequeño Los parámetros más importantes de esta antena se muestran en la tabla 3. 1

11 vector potencial A m zl = µ e jκr 4π r sin(θ)i L a θ campo eléctrico E = j κη e jκr 8π r sin(θ)i La θ campo magnético H = j κ e jκr 8π r sin(θ)i La ϕ densidad de potencia S = κ η 18π I L sin (θ) a r r potencia radiada P rad = κ η 48π I L resistencia de radiación Ganancia directiva D D = 3 R rad = π ( L λ D(θ) = 3 sen (θ) ) Cuadro 3: Parámetros de un dipolo pequeño. 11

12 1... Dipolo finito El vector de radiación de la antena dipolo finito se obtiene evaluando la integral: N(θ, ϕ) = L L [ ( )] L I δ(x )δ(y ) sin κ + z a z e jκz cos(θ) dx dy dz + ( )] L [ I δ(x )δ(y ) sin = I κ cos κ [ κl cos(θ) = I κ z ] cos sin (θ) cos a z e jκz cos(θ) dx dy dz ) ( κl [ ] κl cos(θ) sin(θ) a z cos ( ) κl a θ (5) Campos y Densidad de potencia Los campos del dipolo corto se muestran en la tabla 4. 1

13 A m zl = µ I o π κ E = j ηi o e jκr π r H = j I o e jκr π r S = ηi o 8r π [ ( ) κl cos cos(θ) cos [ cos [ ( κl cos cos(θ) [ ( κl cos cos(θ) ( κl cos(θ) sin(θ) ) cos sin(θ) ) cos ) sin(θ) cos sin (θ) ( )] κl ( κl ( κl ( )] κl a θ )] )] a r a θ a ϕ Cuadro 4: Campos y densidad de potencia del dipolo corto Potencia radiada P rad = Re{S} ds = S ds S = ηi o 8r π π π S [ ( cos κl cos(θ)) cos ( κl sin (θ) = ηi o 4π π )] a r r sin(θ)dϕdθa r [ ( cos κl cos(θ)) cos ( κl sin(θ) )] dθ (6) 13

14 ya que en el espacio libre η 1π: P rad = 3Io {C + ln(κl) + Ci(κL) + 1 sin(κl)[si(κl) Si(κL)]+ 1 cos(κl)[c + ln(κl) + Ci(κL) Ci(κL)]} (7) donde C,577 es la constante de Euler, Ci(x) = x cos(y)/y dy es la función integral coseno, y Si(x) = x sin(y)/y dy es la función integral seno Resistencia de radiación Tomando como referencia el valor pico de la corriente I o en la antena, la resistencia de radiación vale: R rad = P rad I o = 6{C +ln(κl)+ci(κl)+ 1 sin(κl)[si(κl) Si(κL)]+ 1 cos(κl)[c + ln(κl) + Ci(κL) Ci(κL)]} (8) Resistencia de antena Tomando en cuenta que la corriente de entrada a la antena se relaciona con el valor máximo de la corriente de la antena mediante la relación: ( ) κl I A = I sin (9) 14

15 sigue que la resistencia de antena o resistencia de entrada de la antena (sin pérdidas) se relaciona a su vez con la resistencia de radiación mediante la ecuación: R rad R A = ( ) (3) κl sin Patrón de radiación de potencia El patrón de radiación viene dado por la ecuación : F (θ, ϕ) = N(θ, ϕ) N(θ, ϕ ) MAX = { [ ] ( )} κl κl cos cos(θ) cos sin (θ) (31) En la figura 1 se muestran los diagramas de radiación 3D de los dipolos de longitud L =,5λ, λ, 1,5λ, λ. Correr la rutina pdrad(l) de MATLAB 15

16 L=.5 λ L=λ L=1.5 λ L= λ Figura 1: Diagrams de radiacio n 3D de los dipolos de longitud L =,5λ, λ, 1,5λ, λ. < q

17 Ganancia directiva y Directividad La Ganancia directiva del dipolo de longitud finita L viene dada por la expresión: F (θ, ϕ) D i (θ, ϕ) = 4π 4Ω F (θ, ϕ) dω = donde { [ ] ( )} κl κl cos cos(θ) cos sin (θ) J (3) J = C + ln(κl) + Ci(κL) + 1 sin(κl)[si(κl) Si(κL)]+ 1 cos(κl)[c + ln(κl) + Ci(κL) Ci(κL)] La Directividad del dipolo de longitud finita L viene dada por la expresión: D = K(L) (33) J { {cos[ donde K(L) = máx κl cos(θ)] cos( κl )} sin (θ) }. 17

18 1..3. Dipolo λ/ Si sustituimos L = λ/ en las ecuaciones del dipolo de longitud finita obtenemos los campos y parámetros del dipolo de λ/ ampliamente usado (ver tabla 5) en la práctica. ( π ) cos cos(θ) E = j ηi e jκr π r H = j I e jκr π r S = η I 8π r sin(θ) ( π ) cos cos(θ) a θ sin(θ) ( π ) cos cos(θ) sin (θ) a ϕ P rad = η I 8π J in(π) D 1,643 R rad = R A 73Ω Cuadro 5: Campos y parámetros del dipolo de λ/, donde J in = C + ln(π) + C i (π), Impedancia de entrada del dipolo de λ/ Consideraciones prácticas: 18

19 La impedancia de entrada de una antena de λ/ es muy sensible a: La relación λ/l, Ya que la antena no es estrictamente lineal sino más bien cilíndrica, Z A depende enormemente del diámetro d de la antena., Fuerte dependencia de la frecuencia de resonancia del diámetro d de la antena. Capacitancia de la unión línea de transmisión-antena, La estructura que soporta la antena. Su estimación se realiza utilizando métodos numéricos (MoM). En todo caso se requiere de su medición experimental (figura ). Su adaptación para máxima transferencia de potencia: usualmente acortándola. 19

20 (a) R A (b) X A Figura : Impedancia de entrada de un dipolo de longitud normalizada L/λ determinada experimentalmente [5].

21 1.3. Antenas lineales elementales sobre un plano conductor perfecto e infinito Con el propósito de enfrentar el estudio del efecto que tiene la superficie de la tierra sobre los campos radiados por una antena lineal, analizaremos los casos idealizados de un dipolo elemental colocado a una altura h del suelo, asumiendo la superficie de la tierra plana y con las mismas propiedades de un conductor perfecto. De la teoría de imágenes sabemos que el problema de calcular los campos en un medio homogéneo infinito generados por un elemento de corriente colocado a una distancia h de un plano conductor igualmente infinito, resulta equivalente al problema de calcular los campos del mismo elemento de corriente más un elemento de corriente ficticio, llamado Figura 3: Elementos de corriente y su imagen. imagen, el cual se coloca a una distancia h, diametralmente opuesta respecto al plano conductor el cual queda eliminado en el nuevo problema. La solución hallada solo vale en la región homogénea sobre el plano conductor. Para determinar cual elemento de corriente imagen se debe introducir en el problema equivalente se debe tener presente que la componente tangencial del campo resultante ha de ser nula en la superficie del conductor eliminado, y que las ondas, al incidir sobre el plano conductor han de ser 1

22 reflejadas totalmente: Γ v = 1 y Γ h = Dipolo elemental vertical Figura 4: Dipolo elemental vertical sobre un plano conductor Los campos en la zona lejana vienen dados por las expresiones: Eθ d = j κη e jκr 1 I L sin(θ 1 ) 4π r 1 Eθ r κη e jκr = jγ v I L sin(θ ) 4π r Aplicando las aproximaciones de zona lejana (figura 5) para la amplitud: 1 r 1 1 r 1 r

23 Figura 5: Aproximación para la zona lejana. y para la fase: r 1 r h cos(θ) r r + h cos(θ) se obtiene el campo resultante: E = j κη e jκr I L sin(θ){ cos[κh cos(θ)]}a θ, z ; 4π r, z <. (34) 3

24 Patrón de radiación El diagrama de radiación viene dado por la expresión: F (θ) = sin (θ){cos[κh cos(θ)]} (35) Figura 6: Patron de radiación versus h El número de lóbulos presentes en el patrón de radiación se puede estimar mediante la fórmula (figura 7): 4

25 nl h λ + 1 Figura 7: Número de lóbulos versus h Los demás parámetros de dipolo elemental vertical sobre un plano conductor infinito se muestran en el cuadro 6. Observaciones: κh la resistencia de radiación tiende al doble de la resistencia de 5

26 [ P rad = πη I L 1 λ 3 cos(κh) (κh) D(h) = [ 1 3 cos(κh) ( (κh) L R rad = πη λ + sin(κh) ] (κh) 3 + sin(κh) ] (κh) 3 ) [ 1 3 cos(κh) + sin(κh) (κh) (κh) 3 Cuadro 6: Parámetros de un dipolo elemental vertical colocado sobre una superficie plana conductora infinita. ] radiación del mismo dipolo en el espacio libre. κh la resistencia de radiación tiende a la resistencia de radiación del mismo dipolo en el espacio libre. 6

27 1.3.. Dipolo elemental horizontal Los campos en la zona lejana, asumiendo que los dipolos sean paralelos al eje y, vienen dados por las expresiones: Eψ d = j κη 4π Eψ r κη = jγ h 4π e jκr 1 r 1 e jκr r I L sin(ψ) I L sin(ψ) donde ψ es el ángulo polar medido desde el eje y. Figura 8: Aproximación para la zona lejana. 7

28 Aplicando las aproximaciones de zona lejana (figura 8) para la amplitud: y para la fase: y ya que: 1 r 1 1 r 1 r r 1 r h cos(θ) r r + h cos(θ) cos(ψ) = a y a r = sin(θ) sin(ϕ) sin(ψ) = 1 cos (ψ) = 1 sin (θ) sin (ϕ) (36) el campo resultante se puede escribir: E ψ = j κη e jκr I L 1 sin (θ) sin (ϕ){j sin[κh cos(θ)]}, z ; 4π r, z <. (37) Diagrama de radiación El diagrama de radiación viene dado por la expresión (figura 9): F (θ, ϕ) = [1 sin (θ) sin (ϕ)] sin [κh cos(θ)] (38) 8

29 Figura 9: Patron de radiación versus h El número de lóbulos presentes en el patrón de radiación se puede estimar mediante la fórmula (figura1): nl h λ Los demás parámetros de dipolo elemental horizontal sobre un plano 9

30 Figura 1: Número de lóbulos versus h conductor infinito se muestran en la tabla 7. 3

31 P rad = πη R rad = πη [ 3 sin(κh) cos(κh) + sin(κh) ] (κh) [ (κh) ] (κh) 3 sin(κh) D(h) κhpequeño = 7,5 ) κh [ 3 sin(κh) cos(κh) + sin(κh) ] (κh) (κh) (κh) 3 I L λ ( L λ Cuadro 7: Parámetros de un dipolo elemental vertical colocado sobre una superficie plana conductora infinita Monopolo Consiste en una antena lineal de longitud L/ colocada a una altura h = de un plano de tierra (figura 11). Particular interés reviste el monopolo de λ/4, que de acuerdo a lo dicho anteriormente irradia los mismos campos que un dipolo λ/ en el espacio libre, pero mitad de la potencia, con una impedancia de entrada la mitad y un Directividad el doble. 31

32 (a) Ideal (b) Práctica Figura 11: Monopolo 3

33 1.4. Sistemas balanceados y desbalanceados Cuando se conecta un sistema balanceado con uno desbalanceado (figura 1), se añade un Transmisor+linea de Antena transmisión camino imprevisto de retorno para la corriente entre ambos sistemas que en general resulta difícil de modelar (figura 13). Si en parti- I 1 Z g V cular, nos referimos al caso linea de transmisión-antena, este desbalance de la corriente g produce [6]: I Pérdidas extras por conducción en la línea de transmisión. Pérdidas extras por radiación en la linea de transmisión. Figura 1: Transmisor más Modificación del patrón de radiación de la ĺınea de transmisión desbalanceados conectados a una antena. Indefinición de la impedancia de entrada antena balanceada. de la antena. Tomando como referencia la figura 13 y poniendo por simplicidad Z g = se tiene: I 1 = V g Z A Z d Z A 33

34 I = V g Z A I d = V g Z d Transmisor+linea de transmisión V g Z g I 1 I Antena Z A Z d Z d acoplamiento Figura 13: Transmisor más ĺınea de transmisión desbalanceados conectados a una antena balanceada y acoplamiento entre ambos. Ya que I 1 I, la impedancia de entrada medible de la antena depende del borne donde se mida la corriente, razón por la cual se habla de indefinición de la impedancia de entrada de la antena. Luego, ya que en general Z d = R d + jx d, en R d se disipará cierta potencia, mientras que la propia corriente I d puede constituir una fuente de radiación. La potencia radiada por esta fuente indeseada habrá de substraerse de la potencia entregada a la antena, disminuyendo la eficiencia de la antena. Por último, la forma física de Z d da lugar a una antena con su propio diagrama de radiación que se superpondrá al diagrama de radiación original de la antena modificándolo. I d 34

35 . Problemas 1. Analice la antena compuesta por dos dipolos elementales de longitud λ/5 dispuestos paralelamente al eje z y cuyos centros yacen sobre el eje x a una distancia d y d [m] del origen, respectivamente. a) Calcule E, H y S. b) Dibuje el diagrama de radiación F (π/, ϕ) para d = λ/4, I 1 = I. c) Modifique el menor número de parámetros posibles (d, I 1, I ) para obtener un nulo en θ = ϕ = π/. d) Idem que el punto anterior para obtener un nulo en θ = π/ y ϕ =.. Analice la antena compuesta por dos espiras elementales dispuestas paralelamente al plano z = y cuyos centros yacen sobre el eje z a d y d [m] del origen, respectivamente. a) Calcule E, H y S. b) Compruebe que si I 1 = I la antena resultante presenta un máximo en θ = π/ para cualquier valor de d. c) Comprobar que si I 1 = I la antena resultante presenta un nulo en θ = π/ para todo valor de d. 35

36 3. Analice un dipolo elemental inclinado un ángulo α respecto a la vertical 3 a) Calcule E, H y S. b) Dibuje el diagrama de radiación polar F (π/, ϕ) para α = π/8. c) Dibuje el diagrama de radiación Cartesiano F (θ, π/) para α = π/8. 3. Solución de los problemas 3 Asumir que el dipolo es solidario a un sistema de referencia x, y, z que ha sido girado α grados respecto a un sistema de referencia x, y, z, manteniendo x x o y y. 36

37 Referencias [1] Constantine Balanis. Antenna Theory, Analysis and Design. John Wiley & Sons, Inc., 198. []. Estudio de la distribución de corrientes en antenas lineales, usando metodos computacionales., [3] Universidad Politécnica de Valencia. Curso de antenas, notas de clase. [4] Universidad Politécnica de Madrid. Curso de antenas, notas de clase. [5] G. H. Brown and O. M. Woodward. Experimentally determined impedance characteristics of cilyndrical antennas. Proc IRE, 33:57 6, [6] Rafael Albornoz. Introducción a las antenas.,

38 Índice alfabético antenas elementales, 3 dipolo elemental, 3 dipolo finito, 11 dipolo infinitesimal, 5 dipolo pequeño, 9 espira elemental, 3 espira infinitesimal, 8 38