PROBLEMAS DE PAU. PRIMER BLOQUE.

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1 PROBLEMAS DE PAU. PRIMER BLOQUE El peso de las 100 vacas de una ganadería se distribuye según una normal de media 600 kg y una desviación típica de 50 kg. Se pide: a) Cuántas vacas pesan más de 570 kilos? sol: aproximadamente 73 b) Cuántas pesan menos de 750 kilos? sol: aproximadamente 100 c) Cuántas pesan entre 500 y 700 kilos? sol: aproximadamente Se ha aplicado un test de fluidez verbal a 500 alumnos de primero de E.S.O. de un centro de secundaria. Se supone que las puntuaciones obtenidas se distribuyen según una normal de media 80 y desviación típica 12. Se pide: a) Qué puntuación separa el 25% de los alumnos con menos fluidez verbal? Sol: 71,9. b) A partir de qué puntuación se encuentra el 25% de los alumnos con mayor fluidez verbal? Sol: 88,1. 3. Se conoce, por estudios previos, que la proporción de reses que enfermarán después de suministrarlas una determina vacuna es del 2%. Una granja tiene 600 reses que son vacunadas. I) Determina el número esperado de reses que no enfermarán. Sol: 12 II) Halla la probabilidad de que el número de reses que enferman sea, como máximo, 20. Sol: 0,9934 III) Determina la probabilidad de que el número de reses que no enferman sea, como mínimo, 590. Sol: 0,33 4. En un IES hay 650 estudiantes. Su altura, medida en metros, sigue una variable normal de media 1.65 y de desviación típica 0.1. a) Cuántos estudiantes se espera que midan más de 1.75 metros? Sol: 103 estudiantes b) Si el 97.72% de los estudiantes no sobrepasan una determinada altura, cuál es esa altura? Sol: 1.85metros. c) Si se han de elegir los 200 estudiantes cuya altura esté más próxima a la media (por exceso o por defecto), cuál es el intervalo de alturas que se debe fijar? Sol: (1.6105, ) 5. Cinco de cada veinte aparatos electrónicos de un determinado tipo, tienen alguna avería dentro del periodo de garantía de 2 años. Un comercio vende 120 de esos aparatos: a) Cuál es el número esperado de aparatos que se averiarán en el periodo de garantía? Sol: 30 b) Hallar la probabilidad de que el número de aparatos averiados esté entre 25 y 40. Sol: c) Hallar la probabilidad de que el número de aparatos no averiados sea inferior a 80. Sol: El 62% de los estudiantes universitarios son mujeres. Si, de estos estudiantes, se toma una muestra aleatoria de tamaño igual a 150. a) Cuál es el número esperado de mujeres? b) Cuál es la probabilidad de que, como mínimo, 100 sean mujeres? c) Cuál es la probabilidad de que haya más de 85 y menos de 95 mujeres? PROBLEMAS DE MEDIA MUESTRAL 7. El número de pulsaciones por minuto de los habitantes de una región sigue una variable N(μ,10). Se toma una muestra de tamaño 121 de esos habitantes y se obtiene un número medio de pulsaciones por minuto igual a 70. a) Hallar un intervalo de confianza para μ con α = 0,02 Sol: (67,88, 72,12) b) Con la anterior muestra, cuánto valdría α para estimar μ con un error inferior a 2 pulsaciones por minuto? Sol: α = 0, El peso de las peras de una cosecha se distribuye según una normal de media 115 gramos y desviación típica igual a 25 gramos. a) Cuál es la probabilidad de que una pera elegida al azar pese más de 120 gramos? Sol: 0,4207. b) Cuál es la probabilidad de que el peso medio de una muestra de 64 peras esté entre 112 y 119 gramos? Sol: 0,7312.

2 9. Un laboratorio farmacéutico afirma que el número de horas que un medicamento de fabricación propia tarda en curar una determinada enfermedad sigue una variable normal con desviación típica igual a 8. Se toma una muestra de 100 enfermos a los que se les administra el medicamento y se observa que la media de horas que tardan en curarse es igual a 32. a) Encontrar un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 99 %, para la media del número de horas que tarda en curar el medicamento. Sol: (29,94, 34,06) b) Si el nivel de significación es igual a 0,05, cuál es el tamaño de la muestra que habría que considerar para estimar el valor de la media con un error menor de 3 horas? Sol: n > 27, Se quiere estimar el sueldo medio de un trabajador de transporte público. Se toma para ello una muestra de 625 de estos trabajadores y se obtiene un sueldo medio muestral de 1480 euros. Si la desviación típica es igual a 250 euros: a) Con un nivel de confianza del 90 %, determina el intervalo de confianza para el sueldo medio de un trabajador del transporte público. Sol:(1463,55, 1496,45) b) Si se quiere que el error máximo de la estimación sea de 10 euros, hallar el tamaño de la muestra que se debe tomar considerando un nivel de confianza del 99%. Sol: El tamaño mínimo de n = Para hacer un estudio sobre el precio/día de una habitación doble en hoteles de cuatro estrellas en Canarias, se elige una muestra de 64 de estos hoteles y se obtiene un precio/día medio de 56 con una desviación típica de 6. Se pide: a) Determinar el intervalo de confianza para el precio/día medio de una habitación doble en un hotel de cuatro estrellas en Canarias con un nivel de confianza del 97 %. Sol: (54,3725,57,6275) b) Hallar el tamaño de la muestra que se debe tomar para que el error máximo sea de 2, con un nivel de significación del 1 %. Sol: n = 60 o más. 12. Una encuesta realizada sobre 40 aviones comerciales revela que la antigüedad media de estos es de 13,41 años con una desviación típica muestral de 8,28 años. Se pide: a) Entre qué valores, con un 90% de confianza, se encuentra la auténtica media de la flota comercial? Sol: (11,26, 15,56) b) Si se quiere obtener un nivel de confianza del 95% cometiendo el mismo error de estimación que en el apartado anterior y suponiendo también que s=8,28 años, cuántos elementos deberían componer la muestra? Sol: n = Una fábrica de coches lanza al mercada el modelo Mathe del que se sabe que sus pesos siguen una distribución normal de media 3100 kilos y una desviación típica de 130 kilos. a) Cuál es la probabilidad de que, al comprar un coche Mathe, pese más de kilos? Sol: 0,4090. b) Qué distribución seguirán las muestras de tamaño 100 de coches Mathe? Sol: N(3100, 13) c) Cuál será la probabilidad de que al comprar un coche pese más de 2900 kilos y menos de 3500? Sol: 0, Un fabricante de bombillas garantiza que el tiempo de duración de las bombillas sigue una normal con media igual a 500 horas y con desviación típica igual a 40 horas. a) Hallar la probabilidad de que una bombilla elegida al azar dure más de 450 horas. Sol: 0,8944 b) Para verificar la garantía del fabricante, se hizo una prueba con 49 bombillas obteniéndose una media muestral de 492 horas. Podemos aceptar que la media de duración es de 500 horas, con un nivel de confianza del 90 %? Sol: se acepta que la media de duración es 500 horas 15. Una encuesta, realizada sobre una muestra de los jóvenes de una ciudad, para determinar el gasto mensual medio (expresado en euros) en teléfono móvil, concluyó con el intervalo de confianza al 95%:(10.794, ). a) Cuál es el gasto mensual medio muestral? Sol: 12 euros b) Cuál es el correspondiente intervalo de confianza al 99%? Sol: ( , ) c) Si, aproximando con cuatro cifras decimales, la desviación típica del gasto mensual es de euros, cuál es el tamaño de la muestra encuestada? Sol: Para estimar el gasto medio por comensal en un restaurante, se toma una muestra de 81 personas resultando que el gasto medio muestral es de euros. Si la desviación típica es de 5.30 euros. Con una confianza del 98%: a) Construir un intervalo de confianza para la media poblacional de dicho gasto. Sol: (26.12,28.87). 2

3 b) Hallar el tamaño de la muestra para que la estimación de dicho gasto se haga con un error menor de 1 euro. Sol: n Para una muestra de 25 personas, el consumo medio diario de agua es de 115 litros con una desviación típica de 18 litros. a) Obtener un intervalo de confianza al 98% de confianza para el consumo medio diario de agua por persona. Sol: ( , ) b) Con un nivel de confianza del 99%, cuál es el tamaño muestral necesario para estimar el consumo medio diario de agua por persona con un error menor de 5 litros? Sol: n Con una desviación típica de 5, el precio medio de un menú en 64 restaurantes de una determinada región es de 20. a) Hallar un intervalo de confianza, de nivel igual a 0.95, para la media del precio de un menú en los restaurantes de la región citada. Sol: (18.775, ) b) Cuántos restaurantes se deben considerar para estimar la media del precio de un menú con una confianza del 99% y un error menor de 1? Sol: n Tras un estudio realizado para 25 estudiantes universitarios, se concluyó, con un nivel de confianza del 95%, que la media de horas a la semana dedicadas al estudio era un valor del intervalo (32, 40). a) Cuál es la media muestral de horas a la semana dedicadas al estudio? Sol: X = 36. b) Cuál sería el correspondiente intervalo de confianza al 99%? Sol: (30.76, 41.24) c) Si se reduce a la mitad la amplitud del intervalo (es decir, [34,38] ), qué nivel de confianza tendremos en este intervalo? Sol: 67.3% 20. Se tomó una muestra de 64 turismos de gasolina y se observo que el consumo medio fue de 9.36 litros cada 100 kilómetros con una desviación típica de 1.4 litros. Se pide: a) Obtener un intervalo de confianza del consumo medio en los turismos de gasolina al 96% de confianza. Sol: (9.002, 9.718) b) De qué tamaño debería ser la muestra si, con la misma confianza, queremos que el error máximo cometido en la estimación sea de un cuarto de litro? Sol: n En un periódico se lee la siguiente información: Se ha tomado una muestra aleatoria de 36 unidades de consumo mensual en teléfono móvil y el intervalo de confianza al 95%, para el consumo medio, ha sido [18, 22] a) Cuánto fue el consumo medio muestral en teléfono móvil? Sol: 20 b) Cuánto fue la desviación típica? Sol: 6.12 c) Cuál sería el intervalo de confianza al 90% de confianza para el consumo medio? Sol: ( , ) 22. Se quiere estimar la media del consumo, en litros, de leche por persona al mes. Sabiendo que dicho consumo sigue una normal con desviación típica de 6 litros. a) Qué tamaño muestral se necesita para estimar el consumo medio con un error menor de 1 litro y con un nivel de confianza del 96%? Sol: n 152 b) Si la media del consumo mensual de leche por persona fuese igual a 21 litros, hallar la probabilidad de que la media de una muestra de 16 personas sea mayor que 22 l. Sol: PROBLEMAS DE PROPORCIONES En una muestra aleatoria de 80 vehículos, 56 son de gasolina. a) Calcular un intervalo de confianza para la proporción de vehículos de gasolina, con un nivel de confianza del 98%. b) Usando la información inicial, cuál sería el tamaño muestral para estimar la proporción devehículos de gasolina, con un error menor del 4% y con una confianza del 94%?

4 24. En una piscifactoría, se inició un cultivo con 90 ejemplares, de los cuales 64 llegaron a la edad adulta. De los que llegaron a la edad adulta, el peso medio fue de 3,1 kilos con una desviación típica de medio kilo. 4 a) Obtener un intervalo de confianza para la proporción de ejemplares que llegan a la edad adulta, con un nivel de confianza del 90 %. Sol: (0,6325, 0,7897) b) Obtener un intervalo de confianza para el peso medio que alcanzan los ejemplares que llegan a la edad adulta, con un nivel de confianza del 95 %. Sol: (2,9775, 3,2225) 25. Se hizo una encuesta a 325 personas mayores de 16 años y se encontró que 120 iban al teatro regularmente: a) Hallar, con un nivel de confianza del 94 %, un intervalo para estudiar la proporción de los ciudadanos que van al teatro regularmente. Sol: (0,312, 0,428) b) En las mismas condiciones del apartado anterior, se realiza la experiencia para conseguir una cota de error del 0,01. Cuál sería el tamaño de la muestra? Sol: n > Con un nivel de confianza igual a 0.95, a partir de un estudio muestral, el intervalo de confianza de la proporción de habitantes de una comunidad que tienen ordenador portátil es [0.1804, ]. a) Cuál es la proporción muestral de habitantes de esa comunidad que tienen ordenador portátil? Cuál es el tamaño de la muestra? Sol: n =1600 b) Cuál debería ser el tamaño muestral para estimar la citada proporción, con una confianza del 95%, con un error máximo de 0.01? Sol: n Una nueva compañía telefónica desea estimar el número de viviendas de la ciudad que contrarían su servicio. Una vez realizada una encuesta en 400 viviendas, la empresa se encontró con que en 140 viviendas si contratarían su servicio. a) En qué intervalo se encuentra la proporción de viviendas de la ciudad que contratarían su servicio con una confianza del 97%? Sol: (0.298, 0.401) b) Qué tamaño muestral sería necesario para estimar la proporción de viviendas que contratarían su servicio,con un error menor del 2% y con una confianza del 95%? Sol: n 2185 PROBLEMAS DE TEST DE HIPÓTESIS 28. En las últimas elecciones, celebradas hace un año, el 52 por ciento de los votantes de na ciudad estaban a favor del alcalde. Una encuesta, realizada recientemente, indica que, de 350 ciudadanos elegidos al azar, 198 están a favor del alcalde: a) Se puede afirmar con un nivel de confianza del 90 %, que el alcalde gana popularidad? Sol: Como pˆ p = 0,5657 0,52 = 0,0457 > 0,0342, se rechaza la hipótesis nula; y se admite que el alcalde ha ganado en popularidad. b) Se obtiene la misma respuesta en el apartado anterior si el nivel de confianza es igual a 0,99? Sol: Como pˆ p = 0,5657 0,52 = 0,0457 < 0,0622, no puede admitirse que el alcalde ha ganado en popularidad. 29. Un profesor afirma que el porcentaje de alumnos de bachillerato que fuma no sobrepasa el 15%. Si en una muestra de 60 de esos alumnos se observó que 12 fuman: a) Es aceptable la información del profesor con un nivel de significación de 0,01? Sol: Como pˆ p = 0,20 0,15 = 0,05 < 0,107, no se rechaza la hipótesis nula; esto es, se acepta la información del profesor. b) La afirmación del apartado anterior es la misma si el nivel de confianza es del 90%? Sol: La diferencia pˆ p = 0,20 0,15 = 0,05 < 0,059 tampoco se rechaza la hipótesis nula; esto es, se sigue aceptando la información del profesor. 30. Los servicios de deportes de una ciudad afirman que el 25 % de los jóvenes, con edades entre los 14 y los 20 años, practica algún tipo de deporte. Sin embargo, el concejal responsable afirma que la proporción de practicantes es menor. Para tratar de comprobarlo, encargó una encuesta

5 realizada a 450 jóvenes con edades entre los 14 y 20 años, resultando que 345 no practicaban ningún deporte. a) Se puede aceptar la afirmación del concejal si se toma un nivel de significación del 6 %? Sol: Como pˆ p = 0,25 0,2333 = 0,0167 < 0,0204, no puede rechazarse la hipótesis nula; esto es, se acepta que el 25% de los jóvenes son deportistas. b) Se daría la misma respuesta si el estudio se hace con un nivel de confianza del 99 %? Sol:La diferencia pˆ p = 0,0167 < 0,059 tampoco se rechaza la hipótesis nula; esto es, se sigue aceptando que el 25% de los jóvenes son deportistas. 31. Hace 10 años, se hizo un amplio estudio y se concluyó que, como máximo, el 40 % de los estudiantes universitarios eran fumadores. Para ver si actualmente se mantienen las mismas conclusiones, se tomó una muestra de 78 estudiantes entre los que 38 eran fumadores. a) Con un nivel de significación del 10 %, se acepta que el porcentaje de fumadores entre los universitarios es menor o igual que el 40 %? Sol: Como pˆ p = 0,487 0,40 = 0,087 > 0,071, se rechaza la hipótesis nula. b) Se amplió la encuesta hasta 120 personas, y se obtuvo que 54 eran fumadores. Con un nivel de significación del 5 %, se tomaría la misma decisión que en el apartado anterior? Sol: La diferencia pˆ p = 0,05 < 0,074, por tanto, en este caso, no puede rechazarse la hipótesis nula; esto es, no se acepta que el porcentaje de fumadores ha aumentado. 32. Una marca de nueces afirma que, como máximo, el 6 % de las nueces están vacías. Se eligieron 300 nueces al azar y se detectaron 21 vacías. a) Con un nivel de significación del 1 %, se puede aceptar la afirmación de la marca? Sol: Como pˆ p = 0,07 0,06 = 0,01 < 0,035, no puede rechazarse la hipótesis nula. Por tanto, debe aceptarse la afirmación de la marca. b) Si se mantiene el porcentaje muestral de nueces que están vacías y 1 α = 0.95, qué tamaño muestral se necesitaría para estimar la proporción de nueces vacías con un error menor del 1 %? Sol: n = Una encuesta realizada a 64 empleados de una fábrica, concluyó que el tiempo medio de duración de un empleo en la misma era de 6,5 años, con una desviación típica de 4. Sirve esta información para aceptar, con un nivel de significación del 5%, que el tiempo medio de empleo en esa fábrica es menor o igual que 6? Justifica adecuadamente la respuesta. Sol:Como la diferencia es 6,5 6 = 0,5 < 0,8825 no podemos rechazar que la media sea Los servicios de deportes de una ciudad afirman que el 25 % de los jóvenes, con edades entre los 14 y los 20 años, practica algún tipo de deporte. Sin embargo, el concejal responsable afirma que la proporción de practicantes es menor. Para tratar de comprobarlo, encargó una encuesta realizada a 450 jóvenes con edades entre los 14 y 20 años, resultando que 345 no practicaban ningún deporte. a) Se puede aceptar la afirmación del concejal si se toma un nivel de significación del 6 %? Sol: Como pˆ - p = 0,25-0,2333 = 0,0167 < 0,0204, no puede rechazarse la hipótesis nula; esto es, se acepta que el 25% de los jóvenes son deportistas. b) Se daría la misma respuesta si el estudio se hace con un nivel de confianza del 99%? Sol: La diferencia pˆ - p = 0,0167 < 0,059 tampoco se rechaza la hipótesis nula; esto es, se sigue aceptando que el 25% de los jóvenes son deportistas. 35. Hace 10 años, el consumo medio mensual de electricidad por vivienda en Canarias era de 320 Kw. En el año 2005 se ha tomado una muestra aleatoria de 25 viviendas y se ha obtenido un consumo medio mensual de 350 Kw con una desviación típica de 80 Kw. a) Con un nivel de significación del 10 % se acepta que el consumo medio sigue siendo 320 Kw frente a que ha aumentado? Sol: Como μ 0 = 320 < 329,52, hay que rechazar la hipótesis nula. Por tanto, debe aceptarse que el consumo medio ha aumentado. b) Para estimar el consumo medio con un error menor de 6 Kw y con un nivel de confianza del 90 % que número de viviendas es necesario considerar? Sol: n > Se afirma que la proporción de personas que contratan un determinado servicio telefónico es, como mínimo, del 23%. Sin embargo, la compañía telefónica sospecha que actualmente dicha 5

6 proporción ha variado. Para comprobarlo hace una encuesta a 500 clientes potenciales entre los que sólo 98 piensan contratar dicho servicio. a) Con un nivel de significación del 5%, determinar si es aceptable la afirmación inicial. Sol: Como pˆ < 0.199, no se acepta H 0 b) Con los datos muestrales y con un nivel del 95%, determinar el intervalo de confianza para la proporción poblacional de personas que piensan contratar el servicio en cuestión. Sol: (0.1612, ) 37. El departamento de extranjería detecta, en un control realizado a 169 inmigrantes, que 60 no tienen permiso de residencia. a) Con un nivel de confianza del 99%, construir un intervalo de confianza para la proporción de inmigrantes que tienen permiso de residencia. Sol: ( , ) b) Con un nivel de significación del 5%, se puede aceptar la hipótesis de que la proporción de inmigrantes que carecen de permiso de residencia es, a lo sumo, del 25%? Sol: Como pˆ > , no se acepta H En un barrio de una gran ciudad se inspeccionan 121 viviendas detectando que 22 están deshabitadas. a) Obtener un intervalo de confianza para la proporción de viviendas habitadas en dicho barrio con un nivel de confianza del 90%. Sol: (0.7604,0.8757) b) Con un nivel de significación del 5%, se puede aceptar la hipótesis de que la proporción de viviendas deshabitadas en el barrio es, a lo sumo, del 15%? Sol: Como pˆ < , se acepta H En el año 1990 el 25% de los partos fueron de madres de más de 30 años. Este año se ha tomado una muestra de 120 partos de los cuales 34 fueron de madres de más de 30 años. a) Con una significación del 10%, se puede aceptar que la proporción de partos de madres de más de 30 años sigue siendo como mucho del 25%, frente a que ha aumentado?sol:(0.216,0.35) b) Obtener un intervalo de confianza de la proporción de partos de madres de más de 30 años al 90% de confianza. Sol: Como pˆ=0.283<0.3 se acepta H La empresa de transportes urgentes El Rápido afirma en su publicidad que, al menos el 70% de sus envíos, llegan al día siguiente a su destino. Para contrastar la calidad de este servicio, la asociación de consumidores selecciona aleatoriamente 100 envíos observando que 39 no llegaron al día siguiente a su destino. a) Con una significación del 1%, se puede aceptar la afirmación de la empresa? Sol: Como pˆ = 0.61 se acepta H 0, con un nivel de significación del 1%. b) Se concluiría lo mismo con un nivel de significación del 8%? Sol: Como pˆ = 0.61 se rechaza H 0, con un nivel de significación del 8%. 41. Dos estudiantes quieren contrastar si el consumo medio en teléfono móvil entre los estudiantes es como máximo de 10 euros frente a si es mayor. El primero, en una muestra de 36 estudiantes, obtuvo una media de 10.4 euros con una desviación típica de 2 euros. El segundo obtuvo, en una muestra de 49 estudiantes, una media de con una desviación típica de 2 euros. a) Qué decisión toma el primero con un nivel de significación del 10%? Sol: Se acepta H 0. b) Qué decisión toma el segundo con un nivel de significación del 10%? Sol: Se rechaza H Se afirma que por lo menos el 60% de los estudiantes almuerzan en el comedor de la Facultad. Para contrastarlo se toma una muestra de 441 estudiantes resultando que 220 almuerzan en dicho comedor. a) Con un nivel de significación del 1%, se puede aceptar la afirmación inicial? Sol: Como pˆ < , no se acepta H 0. b) Construir un intervalo de confianza, de nivel 0.95, para la proporción poblacional de estudiantes que almuerzan en el comedor de la Facultad. Sol: (0.4521, ) 43. Se afirma que el precio medio de la compra en un hipermercado, durante los comienzos de mes, es, a lo sumo, de 155 con una desviación típica de 20. Para contrastar lo anterior, se elige 6

7 una muestra de 81 compras y se obtiene que el precio medio es igual a 165. Suponiendo que el precio de la compra sigue una distribución normal: a) Con un nivel de significación del 1%, se puede aceptar la hipótesis inicial?sol: Se rechaza b) A partir de los datos muestrales y con una confianza del 90%, cuál es el error máximo al estimar el precio medio de la compra? Sol: Hace 10 años, el 52 de los ciudadanos estaban en contra de una ley. Recientemente, se ha elaborado una encuesta a 400 personas y 184 se mostraron contrarios a la ley. Con estos datos y con un nivel de significación del 0,01, podemos afirmar que la proporción de contrarios a la ley ha disminuido? Sol: la proporción de contrarios a la ley ha disminuido (con una confianza del 99%). 45. En los años 60, la estatura media de los españoles que hacían el servicio militar era de 170 cm, con una desviación típica de 9 cm. En la actualidad, se ha realizado un muestreo a 36 adultos varones dando una media de 172 cm. Se pide: a) Podemos afirmar, con una confianza del 95%, que esa diferencia es debida al azar? Sol: Como 172 pertenece al intervalo de confianza, estimamos que la diferencia puede ser debida al azar. b) Qué se puede decir si esa media se ha calculado utilizando una muestra de 900 jóvenes? Sol: (169,4, 173,6) 46. 7