Enigmes. Si n = 2, tenim que: Així doncs, per a qualsevol terna pitagòrica es complirà aquesta equació. Per exemple: x n + y n = z n x 2 + y 2 = z 2

Transcripción

1 Enigmes Va ser un festeig en tota regla: la primera trobada va sorprendre, la segona vegada l interès va créixer fins a límits insospitats, i a partir d aquí esperàvem cada missiva amb la impaciència d un amant, perquè ens va conquistar de debò. ixí explicava en Roberval la relació d en Pierre de Fermat amb el grup d en Mersenne. Mentre passejaven pel claustre del monestir, en Roberval i el pare Mersenne parlaven animadament sobre en Pierre de Fermat. l principi, quan llegíem els problemes que proposava a la seva carta, vam pensar que era un pobre boig recordava tot rient en Roberval. mb tot, quan els vam resoldre ens vam adonar que les respostes a les seves preguntes obrien nous camins en el món de les matemàtiques. Les paràboles de Nostre Senyor ens ensenyen que unes històries corrents poden amagar l essència de la doctrina cristiana; amb les seves preguntes, en Fermat ens ha donat una lliçó semblant: la pregunta adequada obre camins alternatius als viaranys del coneixement. La campana, que cridava a oració, i una encaixada amistosa van posar terme a la visita. L últim enigma d en Fermat va trigar tres segles a resoldre s, i diu que l equació x n + y n = z n no té solucions enteres per a cap exponent més gran que. Escriu l equació i troba una solució per a n =. Si n =, tenim que: x n + y n = z n x + y = z ixí doncs, per a qualsevol terna pitagòrica es complirà aquesta equació. Per exemple: x = 4 y = 3 z = = 5

2 Semblança EXERIIS 001 Raona si els dos rectangles de la figura són semblants: En cas afirmatiu, esbrina quina és la raó de semblança. Són semblants, perquè tenen els angles iguals i els costats són proporcionals. La raó de semblança és. 00 L nna ha dibuixat dos quadrats de costats 1 cm i 3 cm, respectivament. Són semblants? alcula n la raó de semblança. Tots els quadrats són semblants i, en aquest cas, la raó de semblança és ibuixa dues figures semblants a una circumferència d 1 cm de radi, 1 amb raons de semblança 3 i. 0,5 cm 1 cm 3 cm 004 alca aquesta figura i construeix-ne dues de semblants amb raons 3 i 0,5. G E F G' ' F' ' ' ' E' 190

3 SOLUIONRI ' G' F' ' ' ' E' G F E 005 ompleta la figura semblant: ' O E ' E' ' ' 00 ibuixa un rectangle semblant a un altre, amb raó, si el punt O n és un dels vèrtexs. ' ' ' 007 alcula les distàncies desconegudes:,5 x = x = 3,375 cm 3 5, 55 =, t = 4, ) cm t,5 z = z =,79 cm 5,5,5,5 5,5,5 cm y,5 y = = y = 4,18 cm x 5,5 3, 375 cm 3 cm t F x 5,5 cm z y,5 cm 191

4 Semblança 008 Troba les distàncies que falten:,4 x = x = 4,8 cm 3 3,5 y ) = y =,3 cm 9 x,4 cm cm 3 cm y 3,5 cm 009 Fes servir el teorema de Tales per dividir un segment de 4 cm en tres parts iguals. 010 omprova si els triangles següents són semblants o no ho són: 18 m 1 m 14 m 0 m 1 m 18 m 14 m 7 m 0 m Si apliquem el segon criteri de semblança, comprovem que són semblants els triangles primer i tercer, i la raó de semblança és: r = 1 8 = 1 = 7 = 1, Raona la semblança de dos triangles si: a) Els costats fan, 4 i cm, i 3, i 9 cm, respectivament. b) Són triangles rectangles isòsceles. a) Si apliquem el segon criteri, són semblants, perquè els costats són proporcionals. b) Segons el primer criteri, són semblants, perquè tenen angles iguals. 01 Quines són les condicions necessàries perquè dos triangles isòsceles siguin semblants? I si fossin equilàters? os triangles isòsceles són semblants si tenen el mateix angle format pels costats iguals. Els triangles equilàters són sempre semblants, ja que tenen els angles iguals. 19

5 SOLUIONRI 013 La hipotenusa d un triangle rectangle fa 10 cm, i un catet, 4 cm; la hipotenusa d un altre fa 0 cm, i un catet, 8 cm. Són semblants els triangles? L altre catet del primer triangle fa: L altre catet del segon triangle fa: c = = 84 cm c' = = 33 = 84 cm Per tant, els costats són proporcionals, i segons el segon criteri, els triangles són semblants. 014 ibuixa a la llibreta un triangle rectangle i construeix tres triangles que hi siguin semblants. " ' "' ' ' " " "' "' 015 alcula els valors a, b i h. cm a h b 8 cm Hipotenusa = = 10 cm 8 b = 10 8 b =,4 cm a = 10 a = 3, cm,4 h = h = 3,04 h = 4,8 cm h 3, 01 Troba què fan la hipotenusa i l altura sobre la hipotenusa d aquest triangle rectangle: 1 cm 0 cmh n a m Hipotenusa = = 9 cm 0 n = n = 13,79 cm m = m = 15,1 cm 9 1 h = 13,79 15,1 h = 14,48cm 193

6 Semblança 017 etermina la hipotenusa i l altura sobre la hipotenusa en un triangle rectangle que té els catets de 5 i 1 cm, respectivament. Hipotenusa = = 13 cm 5 n = 13 5 n = 1,9 cm 1 m = 13 1 m = 11,08 cm h = 1,9 11,08 h = 4,1 cm 018 alcula l altura, el perímetre i l àrea d un triangle rectangle isòsceles de 1 cm d hipotenusa. l 1 cm l 1 5 = l + l l = l = 18 = 11,31 cm ltura = l = 11,31 cm Perímetre = l + 1 = 38, cm b h Àrea = = = 4 cm 019 Els triangles i E són semblants. E m 13 m 50 m a) Escriu la relació de semblança que compleixen els triangles. b) Troba l altura de la torre. a) La raó de semblança és: = = 1,351 h 50 b) = h = = 8,1 m

7 SOLUIONRI 00 Un nen situat a 3 m d un estany hi veu reflectit un niu de cigonyes damunt d un campanar. quina altura es troba el niu si el nen fa 1,50 m i la distància del toll al campanar és de 50 m? Si anomenem h l altura de la torre, i apliquem les relacions de semblança de triangles, obtenim: h ,5 = h = = 5 m 1, Quina distància hi ha des de la boia fins a la platja? h 85 m 0 cm 15 cm 85 0, = h 015, 85 0, 15 h = = 3,75 m 0, 0 Les dimensions d un camp de futbol són 70 m i 100 m, respectivament. Quina superfície té un futbolí fet a escala 1:75? La raó de semblança és r = = r = real = = 1,44 m 03 Si el volum d una sitja és de m 3, quin volum té una maqueta seva feta a escala 1:40? 1 La raó de semblança és: r = = 0,05; ja que l escala és 1: V = r 3 V real = (0,05) = 0, = 0,70315 m 3 04 en Jaume li regalen una maqueta d un vaixell a escala 1:100. a) Si el vaixell real desplaça 3.71 tones d aigua, quant desplaçaria la maqueta? b) Si la superfície real és de m, quant fa la superfície de les veles de la maqueta? 1 La raó de semblança és: r = = 0, a) V = r 3 V real = (0,01) = 0, = 0,00371 tones El vaixell de la maqueta desplaça 3,71 kg d aigua. b) = r real = (0,01) = 0, = 0,3153 m 195

8 Semblança TIVITTS 05 Indica quins polígons són semblants entre si i calcula n la raó de semblança. Són semblants els polígons a), b) i e). La raó de semblança de a) i b) és, i la raó de semblança de a) i e) és 3. a b c d e 0 Els pentàgons E i ''''E' són semblants, amb raó de semblança r = 5. E a) Quant fa el segment ''? b) Quina és l obertura de µ E '? c) alcula la mida de. 5 a) ' ' = = cm 5,4 cm E' ' b) L obertura de E' és la mateixa que l obertura de E: 5. c) = = 1,3 cm 5 ' ' ' 3,5 cm ' ' 07 Troba la longitud dels costats d un triangle semblant a un altre de costats 5, i 8 cm, respectivament, amb raó de semblança r = 1,. Els costats faran ; 9, i 1,8 cm, respectivament. 08 FES-HO IXÍ OM LULEM ELS OSTTS UN POLÍGON SEMLNT UN LTRE, SI NOMÉS EN ONEIXEM EL PERÍMETRE? alcula els costats d un pentàgon de 180 cm de perímetre que és semblant a un altre de costats 4, 5, 7, 9 i 11 cm, respectivament. PRIMER. Trobem la raó de semblança dividint tots dos perímetres. P = 180 cm P' = = 3 cm P 180 P = r P' r = = = 5 P' 3 SEGON. Per calcular la longitud dels costats, multipliquem cada costat conegut de l altre pentàgon per la raó de semblança. a = 5 4 = 0 cm b = 5 5 = 5 cm c = 5 7 = 35 cm d = 5 9 = 45 cm e = 5 11 = 55 cm 19

9 SOLUIONRI 09 Els costats d un triangle són a = 7 cm, b = 8 cm i c = 10 cm. alcula quant mesuren els costats d un triangle semblant que té 15 cm de perímetre. Si anomenem m, n i s els costats del triangle, i r la raó de semblança, es compleix que: m = 7r n = 8r s = 10r I tenint en compte que el perímetre del nou triangle és 15 cm: m + n + s = 15 7r + 8r + 10r = 15 5r = 15 r = 5 La longitud dels costats del nou triangle és, doncs: m = 35 cm n = 40 cm s = 50 cm 030 ibuixa dos polígons que tinguin els costats proporcionals i que no siguin polígons semblants. al dibuixar un quadrat i un rombe que no tinguin angles rectes; d aquesta manera els costats són proporcionals, perquè són iguals, però els polígons no són semblants. 031 Si dos quadrilàters tenen els seus angles iguals, són semblants? Posa n un exemple. No necessàriament, ja que dos rectangles tenen els angles iguals, però els costats no tenen perquè ser proporcionals. 03 Raona si aquestes afirmacions són certes: a) Tots els quadrats són semblants. b) Tots els rombes són semblants. c) Tots els hexàgons regulars són semblants. a) ert. Tots els angles són rectes i els costats són proporcionals. b) Fals. Hi ha rombes que no tenen els angles iguals. c) ert. Tots els hexàgons regulars són semblants, perquè tenen els angles iguals i els costats proporcionals. 033 Tenim tres quadrilàters, i semblants. La raó de semblança de respecte de és, i la de respecte de és 0,8. alcula: a) La raó de semblança de respecte de. b) La raó de semblança de respecte de. a) 1 5 r = =, 13 0,8 b) r = = 4,

10 Semblança 034 Si saps que la raó de semblança del polígon respecte del polígon és r = 1,5, indica si les afirmacions següents són verdaderes o falses: a) és un polígon més gran que. b) ada costat del polígon fa 1,5 cm més que cada costat del polígon. c) Els angles del polígon són 1,5 vegades més grans que els del polígon. d) Les longituds dels costats de multiplicades per 1,5 són iguals que els costats de. a) Falsa b) Falsa c) Falsa d) Verdadera 035 onstrueix un triangle semblant a, per mitjà del punt O, i amb raó r =. ' ' O ' 03 ibuixa a la llibreta un quadrilàter i escull un punt exterior O. ibuixa les figures semblants amb raó de semblança: a) r = b) r = 0,5 a) " b) " ' ' O " " ' ' 037 ibuixa a la llibreta un pentàgon i escull-ne un dels vèrtexs per construir un pentàgon semblant amb raó de semblança: a) r = 3,5 b) r = 0,5 a) ' b) ' ' ' E E' ' E' ' E 198

11 SOLUIONRI 038 ibuixa un trapezoide. Pren un punt interior i construeix dos trapezoides semblants amb raó de semblança: a) r = 0,4 b) r = 1, a) b) ' ' ' ' ' ' ' ' 039 Posa un exemple de dues figures semblants amb raó de semblança: a) 0 < r < 1 b) r > 1 a) Per exemple, un quadrat de 4 cm de costat, i un altre quadrat de cm de costat. b) Per exemple, un triangle equilàter de 3 cm de costat, i un altre triangle equilàter de 5 cm de costat. 040 alcula les longituds desconegudes: a) b) 3 y 1,4 3, y x x 3 1 a) 3 x = 3 x = 4,5 cm 3 y = 1 y = 1,5 cm x b) = x = 4,57 cm 1,4 3, 1,4 y = y = 4, cm 041 Quant fa? Podem calcular E? E 10 cm 4 cm 1 cm 1 = = 4,8 cm 10 4 La mida de E no es pot calcular, perquè falten dades, com ara el valor de. 199

12 Semblança 04 FES-HO IXÍ OM IVIIM UN SEGMENT EN PRTS IGULS? ivideix un segment de 4 cm de longitud en tres parts iguals. PRIMER. Tracem una recta secant al segment en un dels extrems. SEGON. Marquem a la recta tres segments consecutius de la mateixa longitud i unim, per mitjà d una recta, l última marca amb l extrem del segment. TERER. Tracem paral leles a aquesta recta que passin per les altres marques. El segment queda dividit en tres parts iguals pel teorema de Tales ivideix gràficament un segment en cinc parts iguals i explica com ho fas. Es traça una recta secant en. Marquem cinc segments consecutius i iguals. Unim l última marca amb l extrem del segment i tracem les paral leles. epresenta, de manera exacta a la recta real, els nombres racionals següents: a) 3 4 b) 5 c) 7 8 a) b) c) Mitjançant el teorema de Tales, divideix un segment en dues parts, l una el doble que l altra. ixò equival a dividir el segment en dues parts proporcionals a i 1. Tracem una recta secant que passi per un dels extrems, i hi marquem una mesura corresponent a 1 i una altra que sigui el doble de l anterior, corresponent a. S uneix l última marca amb l altre extrem del segment i, després, es traça una paral lela que passi per l altra marca. Les rectes que hem traçat divideixen el segment en dues parts, i una és el doble de l altra. 1 00

13 3 cm SOLUIONRI 04 ivideix un segment en parts proporcionals a 3, 4, i 1 per mitjà del teorema de Tales Indica si aquests triangles són semblants: a) cm cm 7 cm 8,4 cm b) 35 cm 4cm 9cm cm 5cm 7,5 cm a) Són semblants, perquè tenen un angle igual de 40, i els dos costats 48 que el formen, en cada cas, són proporcionals: 15 = 8,4 7 9 b) Són semblants, perquè tenen els costats proporcionals: = = 7, En el triangle tracem un segment PQ paral lel a. alcula. Podem trobar? 4 cm P 7 cm Q Si apliquem el teorema de Tales obtenim: P = = = = 100,8 cm Q No es pot calcular el segment perquè falten dades. 01

14 Semblança 049 Indica si un triangle de costats a, b i c és semblant als triangles amb aquests costats: a) 3a, 3b i 3c b) a + 3, b + 3 i c + 3 c) a, b i c a 3b 3c a) = = Són semblants. a b c a + 3 b + 3 c + 3 b) No són semblants. a b c a b c c) = = Són semblants. a b c 050 La base i l altura d un triangle són el triple que les d un altre triangle. Explica per què tots dos triangles podrien no ser semblants i dibuixa n un exemple. partir d una base i d una altura, podem construir infinits triangles diferents, amb aquestes mateixes dades però amb angles diferents. 051 Una diagonal divideix un paral lelogram en dos triangles. Són semblants? Si apliquem el segon criteri de semblança, comprovem que són semblants. 05 Si dos triangles rectangles tenen un dels catets iguals, són semblants? No ho són. En cas que tinguin un catet igual no es conserva la proporcionalitat dels costats, perquè la raó entre els catets iguals és 1, i la raó entre els catets que no són iguals pot ser diferent de etermina tots els triangles de perímetre 1 cm que siguin semblants a un altre triangle de costats, 7 i cm, respectivament. cm Si anomenem x, y i z els costats d un triangle de perímetre 1 cm, 7 cm i r la raó de semblança; aplicant el segon criteri de semblança, tenim que: x = r x y z = = = r y = 7r r + 7r + r = 1 15r = 1 7 z = r 1 r = r = 0,8 cm 15 Per tant, les mides són: x = 1, cm; y = 5, cm i z = 4,8 cm. cm 0

15 SOLUIONRI 054 ibuixa un triangle equilàter, marca els punts mitjans de cadascun dels costats i uneix-los per mitjà de rectes. La figura que en resulta té quatre triangles. a) quests quatre triangles són semblants al triangle original? b) I aquests quatre triangles són semblants entre si? c) alcula, en cada cas, la raó de semblança dels triangles. a) Són semblants, ja que els quatre triangles són equilàters. b) Són semblants, ja que els quatre triangles són equilàters. c) La raó entre el triangle original i els nous triangles és 0,5; i la raó entre els nous triangles és alcula els valors que falten als triangles rectangles següents: a) c) 45 cm n 8 cm m h a c m 0 cm b) d) c h b a 4 cm 10 cm h n 1 cm cm a n cm c a) a = = 53 cm m = 8 53 = 14,79 cm n = = 38,1 cm h = 14,79 38,1 = 3,77 cm b) h = 4 = 4,9 cm c = + 4,9 = 7,75 cm b = 4 + 4,9 =,3 cm a = + 4 = 10 cm c) c = 0 1 = 1 cm m = 1 0 = 1,8 cm n = 1 0 = 7, cm h = 1,8 7, = 9, cm d) h 10,45 cm = ( ) =,45 n = = 3cm a = 3+ = 5cm c = 5 ( 10 ) = 3,87 cm 03

16 Semblança 05 alcula x en cada cas. a) b) 10 cm x 4 cm 5 cm x 1 cm a) h = 10 5 = 8, cm 8, x = = 15 cm 5 b) h = 1 4 = cm x = + 1 =,4 cm 057 En un triangle rectangle isòsceles, l altura traçada sobre la hipotenusa és la meitat de la hipotenusa. Per què? a Si anomenem a la hipotenusa, les dues projeccions fan. a a a a h = = = Quant fa el radi d aquesta circumferència? n = 0 = 17,08 cm m = =,11 cm 17,08 r = m + n = 17,08 +,11 = 19,19 cm 19,19 r = = 9, cm 0 cm r 0 cm n cm h m Quant fa l ombra que projecta un arbre de 15 m d altura si saps que en el mateix moment un altre arbre de 8 m d altura projecta una ombra de 10 m? 15 x = x = 18,75 m 8 10 L ombra de l arbre fa 18,75 m. Una antena està subjectada amb dos cables que formen entre si un angle de 90 i són de 8 i 5 m, respectivament. quina altura s enganxen a l antena? a = = 9,43 m 8 m = =,78 m 9,43 h = 8,78 = 4,5m Els dos cables s enganxen a l antena a una altura de 4,5 m. 04

17 SOLUIONRI 01 En quin punt la bola blanca ha de colpejar la banda perquè reboti contra la bola vermella? 0 cm m n 40 cm Tenim que m + n = 90. Quan colpegem sense efecte, $ = $ i, per tant, els triangles són semblants = n m 90 cm 40m = 0n n = m Si substituïm el valor en la primera equació, tenim: És a dir, m = 30 cm i n = 0 cm. m + n = 90 m + m = 90 3m = 90 m = 30 0 alcula on ha de colpejar la bola vermella a la banda perquè el rebot toqui la bola blanca. 5 cm m n 0 cm Si juguéssim amb la bola blanca per tocar la vermella, en quin punt de la banda hauríem de colpejar? om que m + n = 70, tenim que: = 0m = 5n m = n n m 1 m + n = 70 5 m = n 1 70 cm m + n = 70 n + n = 70 n = 70 n = = 49,4 cm És a dir, tenim que m = 0, cm i n = 49,4 cm. 05

18 Semblança 03 FES-HO IXÍ OM LULEM ISTÀNIES PER MITJÀ EL MÈTOE EL PINTOR? alcula l altura de l arbre. F 5 cm 30 cm 18 m PRIMER. Formem dos triangles en posició de Tales i escrivim la proporció. 5 cm 30 cm 18 m 0,5 0,3 = h 18 SEGON. Resolem l equació que en resulta. 0,5 0,3 0,5 18 = h = h 18 0,3 = 15 m 04 alcula l altura de l edifici si el pinzell fa cm i està a 40 cm de l ull. 40 cm cm F F 18 cm h 170 cm 50 m 0,4 50 h = 0, = h 0, 50 0,4 = 7,5 m 0

19 SOLUIONRI 05 onats els dos poliedres de la figura, contesta: a) Són semblants? Quina és la raó de les arestes? b) I la raó de les arestes de les cares? c) Quina és la raó dels volums? a) Les dues figures són semblants, perquè tenen els angles iguals i els costats proporcionals. La raó de les arestes és r =. b) La raó de semblança de les àrees de les cares és = 4. c) La raó dels volums és 3 = Una estàtua fa 10 m d altura i pesa 00 kg. Quant pesarà una reproducció feta amb el mateix material que faci cm d altura? 0, La raó entre les longituds és: r = = 0,0. 10 Igual que el volum, el pes tindrà una raó: r' = (0,0) 3, de manera que el pes de la reproducció és: 00 (0,0) 3 = 0,00 kg = g. Una esfera de vidre té un radi de 4 cm, i una bala de vidre té un diàmetre d 1 cm. alcula la raó entre tots dos volums. El volum de l esfera de radi 4 cm és: El volum de la bala de diàmetre 1 cm (r = 0,5 cm) és: om que la raó dels volums de dos cossos geomètrics semblants és igual al cub de la raó de semblança: 5 π 3 3 V1 V1 = r V r = = 3 = 51 V 1 π 3 La raó és: r = 51 = 8. V V = πr = π 4 = π cm = πr = π 05, = π cm Es pot comprovar que la raó és 8 calculant el quocient entre els radis de les dues circumferències: 4 0,5 = 8 07

20 Semblança 08 Una pilota d handbol té el doble de diàmetre que una pilota de tennis. Quina és la relació entre tots dos volums? Si r és el radi de la pilota de tennis, r és el radi de la pilota d handbol. 4 3 V1 = πr V = π ( r) = πr 3 3 om que la raó dels volums de dos cossos geomètrics semblants és igual al cub de la raó de semblança, r': 4 3 πr 3 V1 V r V r = ' ' = = = = V 3 3 πr 3 3 És a dir, la raó entre els volums és r' = 0, La superfície de vidre d un hivernacle és de 70 m. Quina quantitat de vidre ens cal per construir una maqueta de l hivernacle a escala 1:0? 1 La raó de semblança és: r = = 0,05. 0 Per tant, la superfície de vidre de la maqueta és: = r real = (0,05) 70 = 0,75 m 070 Volem fer un armari en miniatura semblant a un altre armari que fa cm. Si l altura és de 13,5 cm, calcula: a) mplada i profunditat de l armari en miniatura. b) Raó de semblança entre els volums. c) Raó de semblança entre les àrees laterals. a) La raó de semblança de les arestes és: 13,5 r = = 0, mplada = 110 0,075 = 8,5 cm Profunditat = 48 0,075 = 3, cm b) La raó de semblança dels volums és: r' = r 3 = (0,075) 3 = 0, c) La raó de semblança entre les àrees laterals és: r" = r = (0,075) = 0,

21 SOLUIONRI emostra que la distància de separació de les columnes i no influeix per calcular l altura h. Quant fa l altura? n = m m + n m n = = + h m h m m n m = 1 + h h + = h h = + El valor de h només depèn de la longitud de i. alcula la longitud del segment MN, en què M i N són els punts mitjans de les diagonals. 8 cm M O N 30 cm O O 8 O O O 30 = + 1= = = = O 30 O 30 O O 30 O O O 30 O = + 1= + 1 O O 8 + = = = O 8 O 8 O O 8 O 8 38 O OM OM + O = OM = O = = = O 30 O O = = = = = MN = 11 cm OM OM OM MN 11 MN Troba el teorema de Pitàgores mitjançant només el teorema del catet. Es podria demostrar tan sols per mitjà del teorema de l altura? Mitjançant el teorema del catet: c = m a c + b = m a + n a b = n a c a= m+ n + b = ( m + n) a c + b = a Per mitjà del teorema de l altura, només, no es pot demostrar, perquè no hi intervenen els catets, i necessitaríem aplicar també el teorema del catet. 09

22 Semblança L VI QUOTIIN 074 Han instal lat una antena a prop d un edifici d habitatges. La comunitat de veïns pensa que la zona d accés restringit és insuficient per garantir-ne la seguretat. lguns veïns asseguren que, si l antena caigués, afectaria l edifici. L informe municipal afirma que no hi ha cap risc. És correcta aquesta informació? La distància de l edifici a la tanca que delimita la zona de seguretat és de 38 metres, i és aproximadament el doble de la distància que hi ha de la tanca de seguretat a l antena. L ombra de la torre que sobrepassa la zona de seguretat fa 40 metres, en el moment mateix que l ombra dels pals d 1 metre que delimiten la zona fa 80 centímetres. h = 11 m 80 cm h 1 11 = h = 145 m 0,8 L altura de l antena és de 145 m. I la distància entre l antena i l edifici és de: = 114 m. Per tant, si l antena caigués podria afectar l edifici, ja que la distància és menor que l altura de l antena. La conclusió de l informe municipal, doncs, no és correcta. 075 La Gemma i en Manel són germans bessons, i el dia del seu aniversari els han regalat uns walkie-talkies. bast 10 km 10

23 SOLUIONRI Els germans no se separen del regal ni un sol moment. He d anar a la biblioteca per tornar uns llibres. Jo he quedat per jugar un partit de bàsquet. ecideixen anar a les seves destinacions per carrers que formen un angle de 10º i s emporten els walkie-talkies. Si tots dos caminen a 5 km/h, durant quant de temps continuen rebent el senyal? 5x 10 E Si x és el temps que caminen, la distància que recorre cada germà és 5x. x Els triangles i E són semblants, i d aquí E = 5. 5x E = = pliquem el teorema de Pitàgores: 5x 5x 75 + = + = 5x = 5x = = x = x = 433, x = 5 3 x = 8, x ,x = 10 x = = 1,1547 = 1 h 9 min 17 s 8, Els germans deixaran de comunicar-se quan hagi transcorregut 1 h 9 min 17 s, és a dir, després de recórrer la distància de: 5 1,1547 = 5,773 km. d x 11

24 7 Trigonometria RONS TRIGONOMÈTRIQUES UN NGLE GUT SINUS OSINUS TNGENT RELIONS ENTRE LES RONS TRIGONOMÈTRIQUES UN NGLE sin α + cos α = 1 sin α cos α = tg α RONS TRIGONOMÈTRIQUES E 30, 45 I 0 RONS TRIGONOMÈTRIQUES UN NGLE QULSEVOL RESOLUIÓ E TRINGLES RETNGLES PLIIONS ÀLUL E LONGITUS I ÀREES ÀLUL E ISTÀNIES 1