IES Arquitecte Manuel Raspall. MATEMÀTIQUES 4t ESO POLINOMIS. 2n trimestre

Transcripción

1 IES Arquitecte Manuel Raspall 4t ESO POLINOMIS 2n trimestre

2 A. INTRODUCCIÓ A.1. Observeu aquesta torre: a) Quants cubs són necessaris per a construir aquesta torre? b) Quants cubs són necessaris per a construir una torre de 5 cubs? c) Quants en necessites si fa 7 cubs d'alçada? I per a 8 cubs d'alçada? d) Quants en necessites si fa 12 cubs d'alçada? e) Quants en necessites si fa cubs d'alçada? f) Expliqueu raonadament l'estratègia que heu utilitzat per arribar a trobar la solució de la pregunta e. Podeu utilitzar dibuixos. g) Utilitzant l'estratègia que acabeu de raonar intenteu trobar la fórmula general que permeti trobar la quantitat de cubs per una alçada qualsevol de n cubs. h) Compareu la fórmula amb la dels companys. i) Simplifiqueu al màxim la fórmula que us ha sortit i comproveu que funciona amb les torres petites de 5, 6, 7 cubs d'alçada. j) Calculeu l'alçada si la torre té cubs. 4t d ESO POLINOMIS. 1

3 Anomenarem monomi (mono vol dir un) qualsevol expressió algèbrica formada per la multiplicació d'un nombre real i d'una variable (o indeterminada) elevada a un exponent natural. El nombre es diu coeficient i la indeterminada elevada a l'exponent es diu part literal. Anomenarem grau del monomi l'exponent de la variable. Els nombres reals com 4, - 10, 2.5, 5, 1 3 també són monomis perquè 4 és el mateix que 4 x 0.. Això vol dir que són monomis de grau 0. A.2. Digues si són monomis i si ho són quin és el coeficient, la part literal i el grau dels monomis: a) -2 x 5 b) 3.14 t 2 c) 2 y 3 d) e) 3 x 2 3 f) - 6 x g) 3 x + 6 x Un binomi és la suma de dos monomis de diferent grau. Per exemple: 2 x Un trinomi és la suma de tres monomis de diferent grau. Per exemple t 2-5 t + 6. Un Polinomi és la suma de monomis de diferents graus. Els binomis i els trinomis són casos particulars de polinomis. El grau d'un polinomi és el grau més gran entre els graus dels monomis que componen el polinomi. El terme independent és el monomi de grau 0. Exemple: 4 x 5 + 3x 3-2x 2 + 4x - 7 és un polinomi de grau 5. El terme independent és -7. A.3. Escriviu els coeficients, la part literal i el grau de cadascun dels monomis dels polinomis següents. Escriviu també quin és el grau del polinomi: a) 3 x 2-4 x x b) -3 t t - 9 t 3 c) 2 3 y3 + 3 y 2 1.5y + 3 És convenient escriure els polinomis ordenats: Escriurem primer el monomi de grau més gran, fins arribar al monomi de grau més petit. 4t d ESO POLINOMIS. 2

4 A.4. Ordena els següents polinomis: a) 3 x 2-4 x x b) -3 t t - 9 t 3 A.5. Responeu les següents qüestions: a) Quin és el nombre màxim de coeficients que pot tenir un polinomi de grau 4? Raoneu la resposta i poseu-ne un exemple. b) Pot haver-hi monomis de grau 2? Per què? Poseu-ne un exemple. c) Pot haver-hi binomis de grau 1? Per què? Poseu-ne un exemple. d) Pot haver-hi trinomis de grau 1? Per què? Poseu-ne un exemple. e) Escriviu un polinomi de grau 3 de variable z, amb terme independent 5 i que no tingui el monomi de grau 2. 4t d ESO POLINOMIS. 3

5 B. SUMA I RESTA B.1. Tenim una galleda plena de peces, n'hi ha de quatre tipus: cubs petits de costat 1 cm, barres formades per 4 cubs petits, plaques formades per 4 barres i cubs grans formats per 4 plaques. En Joan n'agafa uns quants i els posa en un extrem de la taula; la Maria n'agafa uns altres i els posa sobre l'altre extrem. Maria Joan Per saber les peces que resultarien si les ajuntaven totes, van fer el següent raonament: Joan: va ajuntar els seus cubs grans amb els de la Maria, després va fer el mateix amb les plaques, les barres i els cubs i finalment va comptar quants cubs grans, plaques, barres i cubs hi havia a cada munt. Maria: va disposar les peces de cada un en dues files i llavors va sumar cada columna: 3 cubs 2 plaques 2 barres 6 unitats 2 cubs 3 plaques 0 barres 5 unitats 5 cubs 5 plaques 2 barres 11 unitats a) Són correctes els dos mètodes? Quin t'agrada més? Són diferents? b) Quin és el volum que resulta si ajuntem les peces d'en Joan i les de la Maria? c) Si les peces fossin cubs petits de costat 1 cm, barres formades per x cubs petits,, plaques formades per x barres i cubs grans formats per x plaques, quin seria el volum d'en Joan, quin el de la Maria i quin el de tots dos junts? 4t d ESO POLINOMIS. 4

6 4 Per sumar dos polinomis ho podem fer de dues maneres: a) Posem un polinomi sota de l'altre i sumem els monomis amb el mateix grau (deixarem un buit on no hi hagi el monomi corresponent). Exemple: sumem el polinomi 12 x x 2-17 x + 4 amb el polinomi 2 x x 3-5 x x 4 +4 x 2-17 x 2 x 4 +3 x 3-5 x x 4 +3 x 3 - x 2-17 x 7 b) Aparellem els monomis que tinguin el mateix grau i després sumem. Exemple: (12x 4 + 4x 2-17x + 4) + (2x 4 + 3x 3-5x ) = 12x 4 + 2x 4 + 3x 3 + 4x 2-5x 2-17x = 14 x x 3 - x 2-17 x + 7 B.2. Sumeu els polinomis següents: a) (9 x 5-3 x x x - 2) + (-11 x 5-3 x x x - 3) b) (13 y 3 + 7) + (12 y y - 11) c) (6 x 3-12 x x - 7) + (3 x 2-8 x + 13) d) (2 a 5-7 a 3 + a ) + (- 3 a a 3 + a 2 + a - 13) e) (2 a 5-7 a 3 + a ) + (- 3 a a 3 + a 2 + a - 13) B.3. Observeu què ha passat amb els graus dels polinomis de l'exercici anterior i responeu: Apartat Grau del 1r polinomi Grau del 2n polinomi Grau del resultat Escriviu la relació entre els graus dels polinomis que sumem i el grau del polinomi resultant. 4t d ESO POLINOMIS. 5

7 B.4. Sumarem dos polinomis canviant l'ordre de la suma. a) (3 x 3-2 x 2 + x - 4) + ( 5 x x ) b) ( 5 x x ) + (3 x 3-2 x 2 + x - 4) c) Si hem de sumar dos polinomis, donarà el mateix si sumem el primer amb el segon que si sumem el segon amb el primer? B.5. Fem les següents sumes: a) [(2 x 3-3 x 2 + x - 3) + (3 x x )] + (4 x - 2) b) (2 x 3-3 x 2 + x - 3) + [(3 x x ) + (4 x - 2)] c) Si hem de sumar tres polinomis, importa l'ordre amb què els aparellem per sumar-los? És el mateix sumar el primer amb el segon i després sumar el resultat amb el tercer, que sumar el primer amb el resultat de la suma del segon amb el tercer? B.6. Responeu a les següents qüestions: a) Què passa si sumem un polinomi qualsevol amb el 0. b) Quin polinomi hem de sumar al polinomi 2 x 3-3 x 2 + x - 3 perquè la suma sigui 0. c) Si agafem un polinomi qualsevol, existeix un altre polinomi, el polinomi oposat, tal que si els sumem dóna 0. Com el construiries? B.7. Calculeu l'oposat dels següents polinomis: a) 12x 4 + 4x 2-17x + 4 b) 2x 4 + 3x 3-5x c) -11 x 5-3 x x x - 3 d) 12 y y - 11 e) 3 x 2-8 x + 13 f) - 3 a a 3 + a 2 + a t d ESO POLINOMIS. 6

8 Donats dos polinomis P(x) i Q(x) s'anomena resta del polinomi P(x) i el polinomi Q(x) a l'operació de sumar P(x) amb l'oposat de Q(x): P(x) - Q(x) = P(x) + [-Q(x)] P(x) és el minuend, Q(x) és el subtrahend i P(x) - Q(x) és la diferència. Exemple: (12 x x 2-17 x + 4) - (2 x x 3-5 x ) x x 2-17 x - 2 x 4-3 x x x 4-3 x x 2-17 x + 1 B.8. Calculeu les restes dels polinomis següents: a) (9 x 5-3 x x x - 2) - (-11 x 5-3 x x x - 3) b) (13 y 3 + 7) - (12 y y - 11) c) (6 x 3-12 x x - 7) - (3 x 2-8 x + 13) d) (2 a 5-7 a 3 + a ) - (- 3 a a 3 + a 2 + a - 13) B.9. Donats els polinomis següents: P(x) = 16 x 3-32 x x - 15 Q(x) = 23 x x 2-2 x + 7 R(x) = - 5 x x 3 + x - 5 Calculeu: a) P(x) + Q(x) b) R(x) - P(x) c) R(x) - (Q(x) + P(x)) d) (R(x) - Q(x)) + P(x) B.10. Troba un polinomi que restant al polinomi 5 x 3-3 x x +4 doni el polinomi 2 x 3-2 x t d ESO POLINOMIS. 7

9 C. MULTIPLICACIÓ Començarem fent la multiplicació d'un monomi per un monomi. La definició en llenguatge algèbric és a x n b x m = a b x n+m El producte d'un monomi per un monomi és un altre monomi que té per coeficient el producte de coeficients i per part literal la variable elevada a la suma dels exponents. El grau del monomi producte és la suma dels graus dels monomis que multipliquem. Exemples: a) 3 x 2 5 x 3 = 15 x 5 b) 2 t 3 (- 4) = - 8 t 3 C.1. Calculeu els següents productes de monomis: a) 4 x 5 3 x 4 b) (- 5 x ) 3 x 2 c) (- 3 t 2 ) (-5) d) 3 4 x $ 2x6 e) 2 x 3 4x 2 f) 8 y 2 2 Per multiplicar un polinomi per un monomi, multiplicarem cada monomi del polinomi pel monomi. Exemple: (2 x x - 6) 3 x 3 = 6 x x 4-18 x 3 C.2. Calculeu: a) (4 x 3 + x 2-2) 7 x 4 b) (-3 x 3 + x 2-2) (- x 2 ) c) (4 x 2 + 3x - 2) x d) (4 t 3 - t 2-2) ( - 6 t) 4t d ESO POLINOMIS. 8

10 Per multiplicar un polinomi per un altre polinomi, multiplicarem el primer polinomi per cadascun dels monomis del segon polinomi i sumarem els monomis dels mateix grau. Exemple: (3 x x 2 + x + 2) (3 x - 2) Per poder sumar ràpidament els monomis del mateix grau ho farem de la següent manera: 3 x x 2 + x x x 3-8 x 2-2 x x x x x 9 x x 3-5 x x - 4 Resultat: (3 x x 2 + x + 2) (3 x - 2) = 9 x x 3-5 x x - 4 Quan falti un monomi deixarem buit el seu lloc. Exemple: (3 x x 2 + 2) (3 x - 2) 3 x x x - 6 x 3-8 x x x x 9 x x 3-8 x x - 4 Resultat: (3 x x 2 + 2) (3 x - 2) = 9 x x 3-8 x x - 4 C.3. Feu les següents multiplicacions: a) (x + 1) (x + 3) b) (x + 1) (x -1) c) (3 x - 2) (2 x + 3) d) (x + 5) 2 e) (2 x x - 2) (x 3-4) f) (- x x - 1/2) (2 x 2 + 6) 4t d ESO POLINOMIS. 9

11 C.4. Digues quines de les identitats següents són certes. I en aquelles que siguin falses indica on és l'error. a) x 4 x 3 = x 12 b) (x 2 + 5) 2 = x c) 3 (x 4 x 3 ) = 9 x 7 C.5. Amb els polinomis: P(x) = 2 x 3-4 x 2 + 2x - 3 Q(x) = 2 x - 1 C(x) = x Calculeu i/o responeu raonadament: a) P(x) Q(x) b) Q(x) P(x) c) Si hem de multiplicar dos polinomis importa l'ordre en què els multipliquem? d) (P(x) Q(x)) C(x) e) P(x) (Q(x) C(x)) f) Si hem de multiplicar tres polinomis, ens donarà igual si multipliquem el primer pel resultat de la multiplicació del segon pel tercer, que si multipliquem el resultat del producte del primer pel segon amb el tercer? g) Què passa si multipliquem un polinomi qualsevol per 1? h) Que passa si multipliquem un polinomi qualsevol per 0? 4t d ESO POLINOMIS. 10

12 C.6. Trobeu l'àrea de les zones no ombrejades que apareixen a les figures següents: a) x q y b) 30 d a a x y c) 10 y s 4 c s x a b x 10 y 4t d ESO POLINOMIS. 11

13 C.7. Expressa l'àrea del quadrat de costat a + b en funció de les àrees de les quatre figures que conté: a b a b (a + b) 2 = C.8. Expressa l'àrea del quadrat de costat a - b en funció del quadrats de costats a i b i dels rectangles de costats a i b. b a - b b a - b a (a - b) 2 = 4t d ESO POLINOMIS. 12

14 C.9. Explica i escriu les dues equivalències de les dues àrees següents: a a b a = b b C.10. Troba gràficament a què és igual (a + b) 3. a b 4t d ESO POLINOMIS. 13

15 4t d ESO POLINOMIS. 14

16 C.11. De forma semblant al producte de polinomis, multiplicarem expressions algèbriques i demostrarem identitats notables. Aquestes identitats són molt útils per fer càlculs. Heu de tenir en compte que les lletres a, b i c poden ser qualsevol expressió. a) Exemple: Factor comú: a ( b + c) = a b + a c b) Quadrat d'una suma: (a + b) 2 c) Quadrat d'una diferència: (a - b) 2 d) Suma per diferència: (a + b) (a - b) e) Cub d'una suma: (a + b) 3 f) Cub d'una diferència: (a - b ) 3 C.12. El cub de la figura següent té 64 cubs petits. Pintem les sis cares del cub gran i volem saber quants cubs petits tenen pintades: a) cap cara b) una cara c) dues cares d) tres cares C.13. Repetiu el problema anterior canviant els 4 cubs petits que té cada aresta per un nombre n qualsevol. 4t d ESO POLINOMIS. 15

17 El triangle de Tartaglia. Observa el següent triangle de nombres: C.14. Sabríeu trobar la següent filera del triangle de Tartaglia? C.15. Calculeu: a) (x + 1) 2 b) (x + 1) 3 c) (x + 1) 4 Observeu els coeficients. Hi ha alguna relació amb els nombres del triangle de Tartaglia? C.16. Sense fer els càlculs, què donaria: a) (x + 1) 5 b) (x + 1) 6 Quan tenim un binomi (a + b) on a i b poden ser qualsevol cosa, com per exemple: a = 2 x 2 i b = 3, i el que volem calcular és una potència d'aquest binomi, per exemple (2 x 2 + 3) 4, hem de procedir de la següent manera: a) Escriurem els coeficients de la quarta fila del triangle de Tartaglia: 1, 4, 6, 4, 1. b) Multiplicarem cada coeficient per la primera part, el 2x 2, elevada a un exponent que començarà per 4 i anirà disminuint; l'últim coeficient no el multiplicarem: 1 (2x 2 ) (2x 2 ) (2x 2 ) (2x 2 ) + 1 c) Farem el mateix amb la segona part, el 3, però començant per l'últim coeficient: 1 (2x 2 ) (2x 2 ) 3 (3) + 6 (2x 2 ) 2 (3) (2x 2 ) (3) (3) 4 d) Per acabar ho arreglarem una mica i haurem trobat el resultat sense fer els càlculs 16 x x x x Aquesta forma de calcular la potència d'un binomi es diu binomi de Newton. C.17. Utilitzant el binomi de Newton calculeu les potències del binomis següents: 4t d ESO POLINOMIS. 16

18 a) (x x) 5 b) (3 x + 5) 3 c) (2 x 2-5 ) 4. Recordeu que -5 és el mateix que + (-5). C.18. Desenvolupeu (2a + b) 6 C.19. Desenvolupeu 1 3 x 2 4 C.20. Quin nombre cal afegir a cadascun dels polinomis següents per formar un quadrat perfecte: a) x x +... b) x 2-2 x +... c) x 2-6 x +... d) x x +... e) x x t d ESO POLINOMIS. 17

19 D. DIVISIÓ DE POLINOMIS Per poder dividir polinomis hem de tenir molt clar què vol dir dividir nombres enters. Recordem-ho. Dividir el nombre enter a (dividend) pel nombre enter b (divisor), és trobar dos nombres enters q (quocient) i r (residu) tals que a = b q + r amb 0 r < b. També el procediment per dividir dos polinomis és molt semblant al procediment de dividir dos nombres enters. Recordem com dividim dos nombres enters: El resultat de dividir 815 per 3 dóna de quocient 271 i de residu 2. És a dir 815 = Observeu que 0 2 < 3. Divisió de monomis. Si el grau del dividend és més petit que el grau del divisor el quocient és 0 i el residu és el dividend. Si el grau del dividend és igual o més gran que el grau del divisor sempre podem trobar un monomi que multiplicat pel divisor ens doni el dividend. Aquest monomi és el quocient i el residu és 0. Exemple (6 x 3 ) : (3 x) = 2 x 2 Utilitzant llenguatge algèbric a x n : b x m = a/b x n-m, sempre que n m. D.1. Calculeu a) (4 x 6 ) : ( x 2 ) b) (6 x 7 ) : ( x 5 ) c) (5 x 3 ) : ( 2 x 2 ) d) (9 x 5 ) : ( x 3 ) e) (5 x 4 ) : (5 x 4 ) f) (a x m ) : (b x 2 ) Com han de ser b i m per poder trobar el quocient 4t d ESO POLINOMIS. 18

20 Per dividir un polinomi qualsevol per un monomi dividirem cadascun dels monomis del polinomi pel monomi. Podem fer-ho utilitzant el procediment que fem per dividir dos nombres enters. Per exemple: (4 x 3-2 x x + 2) : (2 x 2 ) 4 x 3-2 x x x 2-4 x 3 2 x x x x 2 3 x El quocient és 2 x -1 i el residu 3 x + 2. Observeu que el grau del residu és més petit que el grau del divisor i no podem seguir la divisió. + 2 Resposta: 4 x 3-2 x x + 2 = (2 x 2 ) (2x - 1) + (3 x + 2) D.2. Calculeu les divisions següents. Després de fer els càlculs cal escriure la resposta: dividend = divisor quocient + residu a) (4 x x 5-3 x 3 + x - 9) : ( x 3 ) b) (- 6 x x ) : ( - 2 x) c) (10 x x 4 - x 3 + x 2 + 3) : (5 x 2 ) D.3. Observeu de l'exercici anterior els graus dels polinomis dividend, divisor, quocient i residu, i completeu la taula següent. a) Apartat Grau dividend Grau divisor Grau quocient Grau residu b) A partir de la taula anterior, que ens dona el grau del divisor multiplicat pel grau del quocient més el grau del residu. 4t d ESO POLINOMIS. 19

21 Per dividir dos polinomis qualsevols ho farem de manera semblant al cas anterior. Per exemple, per dividir (5 x x x 2-4 x + 2 ) : (x 3-2 x + 3) farem: 5 x x x 2-4 x + 2 x 3-2 x x x 2-15 x 5 x x x 2-19 x x 3 12 x x 2-7 x - 16 El quocient és 5 x + 6 i el residu és 12 x 2-7 x - 16 Resposta: 5 x x x 2-4 x + 2 = (x 3-2 x + 3) ( 5 x + 6) + (2 x 2-7 x - 16) D.4. Calculeu les divisions següents: a) (x x 4-6 x 2-4) : (x x 2-1) b) (- x x 4-8 x 3 + x 2 ) : (x 4-2 x 2 + x ) D.5. Trobeu un polinomi tal que, en ser dividit per x doni de quocient 2 x 2 + x -4 i de residu 3 x - 4. D.6. Donats els polinomis següents: P(x) = x 4-3 x x 2-8 Q(x) = x 2-2 R(x) = - x + 1 S(x) = 2 x 3 + x 2-5 Calculeu: a) (P(x) - Q(x)) / R(x) b) S(x) / Q(x) c) ((S(x) + Q(x)) / R(x) d) P(x) / S(x) 4t d ESO POLINOMIS. 20

22 D.7. Feu la següent divisió: (x 5-2 x 4-5 x 2-17 x + 8) : (x -3) Ara calcularem el quocient i el residu de la divisió anterior amb un altre procediment: coeficients del dividend important * nombres que van sortint residu coeficients del quocient *: aquí posem el terme independent del divisor canviat de signe. Si observeu el procediment general de la divisió veureu com van sortint els nombres d'aquest nou procediment. Aquest procediment per trobar el quocient i el residu es diu Regla de Ruffini i és una forma molt més curta de fer la divisió. Només la podem fer servir quan el divisor és de la forma x - a. D.8. Utilitzant els dos mètodes feu la divisió següent: (x 6 - x x x 2 + 6) : (x - 2). Comproveu que dóna el mateix. D.9. Calculeu amb la Regla de Ruffini les següents divisions: a) (x 6-3 x x 3 - x 2 + 1) : (x - 1) b) (2 x 4-3 x 3 + x 2-8 x + 1) : (x - 3) c) (3 x 4 - x 2 + x - 5) : x. Observeu que el terme independent del divisor és 0. d) (2 x 4-3 x x + 2) : (x + 3). Observeu que el terme independent del divisor canviat de signe és -3. Podem aplicar la Regla de Ruffini perquè el divisor és de la forma x-(-3). 4t d ESO POLINOMIS. 21

23 E. VALOR NUMÈRIC D'UN POLINOMI E.1. Completeu les següents cadenes numèriques per diferents valors de n i expliqueu que passa a cadascuna d'elles. n n n n n x20-10 :2 +5 x8-8 :8 -n x :3 :5 -n x5 +6 x2-12 :10-1 x(n+1) n elevat a 2-2n +1 Demostreu, utilitzant l'àlgebra, que la regla que heu trobat a cadascuna d'elles és certa, qualsevol que sigui el número pel que comenceu. E.2. Completeu, posant les operacions que hi falten, les següents cadenes numèriques per a que qualsevol que sigui el número pel que comencem el resultat sigui el que apareix a l'últim quadrat. n x n n x x n 3n 4t d ESO POLINOMIS. 22

24 Si substituïm en un polinomi la variable per un nombre i calculem el resultat obtindrem un altre nombre. Exemple. P(x) = x 3-4 x Si substituïm la x per 2, ho indiquem per P(2), obtenim: P(2) = = = -1 Aleshores diem que -1 és el valor numèric del polinomi P(x) per x = 2. Si en un polinomi P(x) substituïm la x per un nombre a, el resultat obtingut és el valor numèric del polinomi quan x pren aquest valor i ho representem per P(a). E.3. Calculeu el valor numèric dels polinomis següents per x = 2. a) P(x) = 2 x 4 - x b) Q(x) = - 3 x 3 c) S(x) = 5 d) R(x) = x 2-4 E.4. Escriu dos polinomis, un de grau 1 i un altre de grau dos, tals que el seu valor numèric per x = -3 sigui 1. E.5. Troba un polinomi de grau 1 tal que P(4) = 1 i P(-2) = 4. E.6. Sigui P(x) = 2 x x + 4 i Q(x) = 3 x 4-3 x x a) Trobeu el terme independent i la suma dels coeficients dels dos polinomis. b) El valor numèric de qualsevol polinomi per x = 0 què ens dóna? c) Per quin valor de la x, el valor numèric d'un polinomi ens dóna la suma dels coeficients del polinomi? Quan el valor numèric d'un polinomi P(x) per x = a és igual a 0, P(a) = 0, diem que 'a' és una arrel (o un zero) del polinomi P(x). Exemple: 3 és una arrel del polinomi P(x) = x 2-5 x + 6 perquè P(3) = 0. 1 no és una arrel del polinomi P(x) = x 2-5 x + 6 perquè P(1) = 2 E.7. La Marta diu que x= -1 és una arrel del polinomi P(x) = x x 2-6 x L'Eva diu que x = -1 no és una arrel d'aquest polinomi. L'Eva dóna com a arrel x = 1. Qui té raó? 4t d ESO POLINOMIS. 23

25 E.8. Troba una arrel, provant amb nombres senzills, de cadascun dels polinomis següents: a) x + 3 b) x 2-4 c) 5 x 2-5 d) 4 x 2-10 x - 6 e) x x 3-6 x 2 + 7x E.9. Hi ha alguna relació entre les arrels d'un polinomi i resoldre equacions? Quina? E.10. Escriu un polinomi que tingui com a arrel el 7. E.11. La Sara ha tingut la idea següent: "Si vull trobar un polinomi que tingui com a arrel el 3 m'invento un polinomi sense terme independent, i després trio el terme independent de forma que el valor numèric del polinomi per x = 3 sigui 0. Utilitzant aquesta idea responeu: a) Escriviu un polinomi de tercer grau que tingui l'1 com a arrel. b) Escriviu un polinomi de segon grau que tingui com a arrel el 2. E.12. Trobeu els valors de a i b perquè el polinomi x 2 + a x + b tingui el 3 i el -2 com a arrels. E.13. P(x) = (x + 1) (x - 3) quines arrels té? E.14. El polinomi (2x + 5) ( x - 3) (x + 1) quines arrels té? E.15. El polinomi 4 x 3 ( x + 4) quines arrels té? E.16. El polinomi 4 x 3 ( x 2-4) quines arrels té? Recordeu els productes notables. És molt fàcil trobar les arrels dels polinomis factoritzats. E.17. Trobeu un polinomi que tingui el 3 i el -4 com a arrels. La solució és única? E.18. Trobeu un polinomi de grau 2 que tingui el 3 i el -4 com a arrels. La solució és única? E.19. Trobeu un polinomi de grau 3 que tingui 2, el -1 i 3 com a arrels i el coeficient de grau 3 sigui 4. La solució és única? E.20. Trobeu un polinomi de grau 2 que només tingui 3 com a arrel. 4t d ESO POLINOMIS. 24

26 E.21. Raoneu les següents proposicions, podeu utilitzar exemples: a) El nombre d'arrels d'un polinomi pot ser més petit que el grau del polinomi. b) El nombre d'arrels d'un polinomi pot ser igual al grau del polinomi. c) El nombre d'arrels d'un polinomi pot ser més gran que el grau del polinomi. E.22. Teniu alguna idea per trobar polinomis que per x = a el seu valor numèric sigui b? a) Escriviu un polinomi de tercer grau que tal que P(1) = 5. b) Escriviu un polinomi de segon grau que P(2) = -7. E.23. Hi ha polinomis que no tenen arrels? Per què? E.24. Trobar les arrels dels polinomis de primer grau P(x) = a x + b és el mateix que resoldre equacions de primer grau: a x + b = 0. a) Quina és l'arrel d'un polinomi de primer grau qualsevol? b) Quantes arrels té un polinomi de grau 1. Trobar les arrels dels polinomis de segon grau P(x) = a x 2 + b x + c és el mateix que resoldre equacions de segon grau: a x 2 + b x + c = 0. Tenim una fórmula per trobar les solucions (o les arrels) d'aquestes equacions: x = b! b2 4ac. 2a E.25. Utilitzant la fórmula anterior troba les arrels dels polinomis de segon grau següents: a) P(x) = x 2 + 6x + 5 b) Q(x) = 2 x 2-2x - 4 c) R(t) = t 2-3t + 2 d) S(x) = x 2 + x +1 e) T(x) = - 3 x x -3 Per trobar les arrels de polinomis de grau més gran que 2 no tenim cap "recepta", però podem provar nombres senzills com hem fet abans i factoritzar polinomis com veurem més endavant. 4t d ESO POLINOMIS. 25

27 E.26. Hem dividit diferents polinomis per x - 3 i hem obtingut els resultats següents, comprova amb la Regla de Ruffini que estan bé: a) x 3-3 x x - 2 = (x 2 + 2) (x - 3) + 4 b) x 5-7 x 3 - x 2-18 x + 4 = (x x x x -3) -5 c) x 2-1 = (x + 3) (x - 3) + 8 E.27. Troba el valor numèric per x = 3 dels polinomis de l'exercici anterior. Per trobar el valor numèric del polinomi, quina expressió és més fàcil la de l'esquerra o la de la dreta? El resultat coincideix sempre amb el residu? E.28. Hem dividit diferents polinomis per x + 2 i hem obtingut els resultats següents, comprova amb la Regla de Ruffini que estan bé: a) x x x = (x x - 1) (x + 2) + 2 b) 4 x x + 1 = (4 x -2) (x + 2) + 5 c) 3 x x 3-2 x 2-4 x - 1 = (3 x 3-2 x) ( x + 2) - 1 E.29. Troba el valor numèric per x = -2 dels polinomis de l'exercici anterior. Per trobar el valor numèric del polinomi, quina expressió és més fàcil la de l'esquerra o la de la dreta? El resultat coincideix sempre amb el residu? E.30. Troba el residu de les següents divisions i comprova que dóna el mateix que el valor numèric del polinomi per x igual al terme independent canviat de signe del divisor. a) (x x + 2) : (x - 1) b) (- 2 x x 3-3 x + 2) : (x - 1) c) (x 4-1) : (x - 1) E.31. Comproveu si el resultat anterior funciona en els casos següents: a) (6 x 3-3 x x - 2) : (2 x - 1) b) (x x x + 7) : ( x 2 + 3) c) (x 6 + x 4-2 x - 3) : (x 3-2) d) Per què no funciona? En els exercicis anteriors hem vist el: Teorema del residu: el residu de la divisió del polinomi P(x) per (x- a) és P(a). 4t d ESO POLINOMIS. 26

28 E.32. El demostreu? Una mica d'ajuda a) Si dividim P(x) per (x - a ) trobem un polinomi quocient Q(x) i un polinomi residu r. El polinomi residu ha de ser un nombre perquè el grau del residu ha de ser 0, per què? b) De la divisió anterior tenim el resultat. P(x) = Q(x) (x - a) + r. Sabeu continuar? Només cal que trobeu P(a). Endavant amb la demostració. E.33. Calculeu el residu de les divisions: a) (x 200-2x + 5) : (x - 1) b) (x 23 + x - 4) : (x + 1) E.34. Calculeu m per tal que en dividir el polinomi x 3 - x 2 + mx - 4 per x - 3 el residu sigui -1. E.35. Calculeu 'a' per tal que en dividir el polinomi (x 4 - a x 2 ) 2 per x + 1 el residu sigui 0. 4t d ESO POLINOMIS. 27

29 F. FACTORITZACIÓ DE POLINOMIS Un polinomi P(x) és múltiple d'un altre polinomi C(x) si el residu de la divisió de P(x) per C(x) és 0. És equivalent a: Un polinomi P(x) és múltiple d'un altre polinomi C(x) si existeix un altre polinomi M(x) tal que P(x) = C(x) M(x) F.1. Escriviu dos múltiples de cadascun dels polinomis següents: a) 4 x b) 2 x - 5 c) 5 d) 4 x e) x 2-3x + 2 F.2. Digueu si són certes o falses les afirmacions següents (per justificar les respostes són útils les identitats notables i treure factor comú). a) x 2-1 és múltiple de x - 1. b) x és múltiple de x + 1. c) 4 x 3-8 x 2 és múltiple de 4x. d) x 3-1 és múltiple de x + 1. Un polinomi P(x) és divisor d'un altre polinomi Q(x) si existeix un altre polinomi R(x) tal que Q(x) = P(x) R(x). És equivalent a: Un polinomi P(x) és divisor d'un altre Q(x) si al dividir Q(x) per P(x) el residu és 0. 4t d ESO POLINOMIS. 28

30 F.3. Fent servir el Teorema del Residu trobeu dos divisors de cadascun dels polinomis següents: a) x 2-4 x -12 b) x 4-81 c) x 2-16 d) - 4 x 2-4x + 8 F.4. Si P(x) és un múltiple de A(x), A(x) què és respecte P(x)? F.5. Si A(x) és un divisor de B(x), B(x) què és respecte A(x)? Els polinomis associats a un polinomi P(x) és el conjunt format pels polinomis que s'obtenen multiplicant el polinomi P(x) per qualsevol nombre. F.6. Escriviu 3 polinomis associats al polinomi 2 x 2-8x Un polinomi és irreductible si els seus únics divisors són els polinomis de grau 0 i els seus polinomis associats. Exemple: Els polinomis x + 4, 2x - 5, x 2 + 1, -2 x 2-8 són irreductibles. F.7. Factoritzeu els polinomis següents utilitzant identitats notables i treure factor comú: a) x 2-9 b) x x + 16 c) x 4-16 d) x 7 + x 5 F.8. Factoritzeu els polinomis següents resolen l'equació associada: a) P(x) = x 2 + 6x + 5 b) Q(x) = 2 x 2-2x - 4 c) R(t) = t 2-3t + 2 d) S(x) = x 2 + x +1 e) T(x) = - 3 x x -3 4t d ESO POLINOMIS. 29

31 F.9. Investiga, utilitzant el Teorema del Residu, quins dels polinomis següents tenen el factor x - 2, quines el x + 1 i quines el x. a) P(x) = x 3-7 x + 6 b) Q(x) = x 3-4 x 2-5 x c) R(x) = x 3-3 x - 2 d) S(x) = 2 x 3-7 x x - 2 e) T(x) = x x 2-3 x f) Q(x) = 4 x 3-6 x x + 3 F.10. Trobeu l'altre factor de segon grau dels polinomis de l'exercici anterior i descompon els polinomis com a producte d'un factor de primer grau per un de segon grau. F.11. Descompon els factors de segon grau de l'exercici anterior en producte de dos factors de primer grau i expressa cadascun dels polinomis de l'exercici G.9 com a producte de polinomis de primer grau. F.12. Factoritzeu els polinomis següents utilitzant els recursos més adients: a) x 3-5 x x b) 3 x x x c) x 3 - x 2-4 x + 4 d) 2 x x x + 2 e) 6x x 2-4 f) x 3-3 x x - 1 g) x x 2-4 h) x 3-8 x x - 10 i) 2 x 3-7 x 2-10 x + 24 j) 2 x x 3 + x x k) x x 4 + x + 6 l) 4 x 5-4 x 4 + x 3 m) x x 3-13 x 2-11 x + 12 n) 27 x x x + 8 4t d ESO POLINOMIS. 30

32 o) x 6-3 x x 2-1 p) x 3-3 x x - 1 q) x x x r) 2 x 4-2 x 2 s) 4 x x t) x 4 - x 2 + x 3 - x u) - 16 x x v) 2 x 3-2 x x - 2 w) x 3 - x 2-4 x + 4 F.13. Utilitzant les factoritzacions o descomposicions de l'exercici anterior resoleu les equacions: a) x 3-5 x x = 0 b) x 3 - x 2-4 x + 4 = 0 c) 6x x 2-4 = 0 d) 2 x 3-7 x 2-10 x + 24 = 0 e) 2 x x 3 + x x = 0 f) x x 4 + x + 6 = 0 g) 4 x 5-4 x 4 + x 3 = 0 h) x x 3-13 x 2-11 x + 12 = 0 F.14. Recordeu com se simplifica una fracció aritmètica? Poseu-ne un exemple. F.15. Seguiu un procés semblant per simplificar les fraccions següents. Tingueu cura de descompondre prèviament el numerador i el denominador. a) 4x 7x b) c) d) x 3 1 x 1 x 2 3x + 2 x 2 4 x 3 x 4x 2x 3 4t d ESO POLINOMIS. 31

33 e) f) g) h) i) x 2 + 2x + 1 6x + 6 x 4 x 2 2(x 1) 2 2x 2 2 x 2 + 3x + 2 2x + 14 x x(x a) 5ax 5a 2 F.16. Quines de les identitats següents són certes? En aquelles que siguin falses digueu on és l'error: a) x 2 x x 2 = x b) c) d) e) f) 2x x = x = x x(x + 1)+2(x + 1) (x + 1)(x 1) x 2 + 2x 3 2x 3 = x 2 x 2 9 x 2 4 = x x 3 2 = x + 2 x 1 F.17. Enuncieu la regla per sumar fraccions aritmètiques i poseu-ne un exemple. F.18. En el cas de fraccions algèbriques el procés és el mateix, però si has de buscar el m.c.m. dels denominadors hauràs de descompondre en factors els polinomis corresponents. a) 1 x x 2 + x + 1 x 2 x b) x 2 x 2 x 2 + x 4 x 2 5x + 4 c) 1 x 1 + x x d) 3 1 x + 4 (1 x) 2 e) f) 4 x 2 + 2x x 3x x x 2 2x + 3 2x 2 3x 2 3x x 2 6 4t d ESO POLINOMIS. 32

34 F.19. Enuncieu les regles per multiplicar i dividir fraccions aritmètiques, poseu-ne un exemple. F.20. Calculeu els productes i divisions següents i simplifiqueu-ne el resultat (és més còmode descompondre prèviament en factors): a) b) c) d) e) f) x 1 x + 1 x + 1 x 2 x 2 2x + x 2 : 3 3x + x 2 x 2 49 x 2 9 : x + 7 x 3 1 x 2 x $ x x + x 2 x 3 x x 2 9 : x 2 x x 3 x 2 x 2 + 2x + 1 $ x + 1 x 2 4 F.21. Calculeu i simplifiqueu: a) x x2 x : 1 x 1 + x x + 1 x 2 x b) 2 x x 2 3 : x c) x + 1 x 2 1 x x 2 :x 2 d) a x x a : 1 b a 4t d ESO POLINOMIS. 33