Guía Rápida de Referencia

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1 Qué es GeoGebra? Guía Rápida de Referencia Un conjunto unificado y fácil de usar que conforma un potente programa de Matemática Dinámica Un utilitario para enseñar y aprender en todos los niveles educativos Un encuadre versátil en que se conjugan geometría interactiva, álgebra, el cálculo propio del análisis y de las estadísticas y sus registros gráficos, de organización en tablas y de formulación simbólica. Una fuente abierta del programa libre accesible en Lo Primero a Destacar GeoGebra le facilita a los estudiantes la creación de construcciones matemáticas y modelos para las exploraciones interactivas y los sucesivos cambios de parámetros. GeoGebra es también una herramienta de autoría que les permite a los docentes crear páginas-web interactivas, seleccionarlas de entre las que colegas de todo el mundo ofrecen para compartir las producciones en Al abrir GeoGebra, aparece la siguiente ventana: 1

2 Guiando con el ratón (o mouse) los útiles de la Barra de Herramientas pueden trazarse construcciones en la Vista Gráfica a partir de elementos cuyas coordenadas o ecuaciones aparecen, en simultáneo, en la Vista Algebraica:: lo geométrico y lo algebraico en GeoGebra, se complementan y se registran uno junto al otro,. En la Barra de Entrada pueden anotarse directamente coordenadas, ecuaciones, comandos y funciones que pasarán a representarse en la Vista Gráfica al ingresarse pulsando Enter (Intro en algunos teclados). Primer Ejemplo: Circunferencias en un Triángulo Tarea: Construir un triángulo y la circunferencia intermedia entre la inscripta y la que lo circunscribe. Construcción Guiada por el Ratón o Mouse Abrir el menú Disposiciones y seleccionar Geometría. Pasos de la Construcción 1 2 Seleccionar de la barra de herramientas, la de Polígono. Ahora, un clic tras otro en la Vista Gráfica, permite crear los vértices A, B, y C de un triángulo que se cierra reiterando un clic sobre A. Elegir la Bisectriz : (un clic sobre el triangulito inferior izquierdo que aparece en el borde de la cuarta caja de herramientas, despliega todas las disponibles y activar la cuarta, la Bisectriz. Para trazar las de un par de ángulos, basta con indicar los tres puntos que los delimitan, en sentido anti-horario con el vértice entre sendos laterales: B, C, A para uno y A, B, C para el otro. 2

3 Con la herramienta Intersección de Dos Objetos, indicando ambas bisectrices, queda establecido el punto del centro de la circunferencia buscada. Para llamarlo O, basta con un clic derecho sobre el punto (Mac OS: ctrl-clic) y elegir Renombra del menú contextual desplegado. Se traza la Recta Perpendicular desde O al segmento a (del lado que une a B con C.. Se vuelve a emplear la herramienta Intersección de Dos Objetos para que quede establecido el de la perpendicular con el lado a, E. Atención: Es importante distinguir que lo que se interseca sea la perpendicular con el lado, no con el triángulo que es una alternativa también posible pero errónea en este caso. Con Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos se completa la construcción con un clic en el punto centro O y otro en el de intersección recientemente creado, E Con Elige y Mueve se puede emplear el ratón o mouse para desplazar los vértices del triángulo y notar como toda la construcción se ajusta dinámicamente a los cambios, manteniendo las relaciones establecidas que dan lugar a la circunferencia correspondiente. Algunas Pistas Los botones de Deshace / y Rehace en la esquina derecha de la barra de herramientas son muy útiles para el desenvolvimiento de cualquier construcción y conviene emplearlos al menos tentativamente Para ocultar un objeto, basta con apuntarlo y con un clic derecho (en SO Mac, Ctrl-clic) y en el menú contextual desplegado, quitar el tilde a Muestra Objeto. Para cambiar la apariencia de los objetos, (color, tipo de trazo,...) se puede emplear la barra de estilo: un clic en el margen superior de la Vista Gráfica, lo expone u oculta. Para más opciones, basta con un clic (en Mac OS: Ctrlclic) sobre el ícono de Propiedades de GeoGebra y seleccionar Objetos del menú. Los Ejes y la Cuadrícula pueden mostrarse u ocultarse empleando la Barra de Estilo. Se pùeden seleccionar diferentes vistas - como la Vista Algebraica, Gráfica, Hoja de Cálculo y/o CAS de Algebra Simbólica, según se tilden o no en el menú Vista, o en la barra lateral de Apariencias (a la derecha de la Vista Gráfica).. Para desplazar la construcción en la Vista Gráfica, basta con seleccionar la herramienta que Desplaza la Vista Gráfica y arrastrarla con ayuda del mouse o ratón. 3

4 El Protocolo de Construcción es un ítem del menú Vista en cuya ventana emergente se lista la secuencia de construcción (para revisarla paso a paso y cambiar el orden o modificarla). Usando los botones correspondientes se puede volver a realizar la construcción paso a paso. En su propio menú se fija la lista exhaustiva de datos a ostentar por cada paso de construcción. Además, se pueden desplazar las filas de cada paso hacia arriba o abajo para modificar el orden de los pasos. Construcción utilizando la Barra de Entrada Vamos ahora a llevar adelante la misma construcción pero usando la barra de entradas, por lo que recomenzamos todo pidiendo Nuevo del menú Archivo. Abrimos el menú Disposiciones para seleccionar Algebra y Gráficos.. Pasos de Construcción Veamos cómo construir el mismo triángulo desde la Barra de Entrada. Comenzamos por abrir una nueva hoja de trabajo (Archivo Nuevo) e introducir los siguientes comandos en la Barra de Entrada (al pie de la pantalla), pulsando Enter (Intro en algunos teclados) al final de cada línea. A = (2, 1) B = (12, 5) C = (9, 11) Polígono[A, B, C] CircunferenciaInscrita[A, B, C] b_a = Bisectriz[A, B, C] b_b = Bisectriz[B, C, A] M = Interseca[b_a, b_b] Algunos trucos Auto completado de comandos: después de ingresar las dos primeras letras de un comando, se completa una palabra sugerida. Si se trata del comando deseado, basta pulsar Enter (Intro en algunos teclados) pero si no es así, se continúa tecleando el nombre del comando. No es necesario teclear el nombre de cada comando: es posible seleccionarlos de la lista situada a la derecha del campo de entradas. Un clic sobre el botón Ingresa (a la izquierda) activa el modo Campo de entradas que permite introducir directamente un objeto, simplemente eligiéndolo con un clic en la Ventana de Álgebra o en la Zona Gráfica. Una ventana expone explicaciones más detalladas al respecto al pulsar el botón de Ayuda con un clic sobre el correspondiente botón de la izquierda. Combinando las ventajas de las dos formas de trabajo posibles, mediante el mouse o ratón y con la introducción de comandos, se obtendrán los mejores resultados con GeoGebra. 4

5 Ejemplo 2: Derivada y Tangente de una Función Desafío: Representar gráficamente la función seno, su derivada y su tangente en un punto, así como el triángulo ilustrativo de la pendiente de la misma. Primera Versión: Punto sobre la gráfica de la función Abrir una Nueva Ventana con tal opción del menú Archivo. Pasos de Construcción 1 f(x) = sin(x) B = (x(a), m) 8 Teclear en el campo de entradas la función f(x) = sin(x) y pulsar Enter (Intro en algunos teclados). Seleccionar la herramienta Nuevo Punto y dar clic sobre la representación gráfica de la función f para crear un punto A sobre la gráfica de f. Activar la herramienta Tangente y dar clic sobre el punto A y sobre la gráfica de f. Renombrar t a la tangente (clic derecho sobre ella y Renombra). Seleccionar la herramienta Elige y Mueve y arrastrar el punto A observando el movimiento de la tangente. Activar la herramienta Pendiente y dar clic sobre la tangente trazada en el punto A. Seleccionar la herramienta Elige y Mueve y arrastrar el punto A observando el movimiento de la tangente y de la pendiente m correspondiente. Teclear B = (x(a), m) y activar la traza de este punto (clic derecho sobre B y Activa Rastro. Seleccionar la herramienta Elige y Mueve y arrastrar el punto A observando el movimiento de la tangente y de la pendiente m correspondiente y el rastro que deja B. 9 Derivada[f(x)]. Teclear el comando Derivada[f] en la Barra de Entrada 5

6 Algunos trucos Ingresar una función diferente, por ejemplo f(x) = x³ - 2x² en el campo de entradas; inmediatamente aparecerán su derivada y su tangente. Probar también el comando Integral[f(x)]. Seleccionar la herramienta que Elige y Mueve y arrastrar la gráfica de f con el ratón o mouse. Observar los cambios en las expresiones de la función y de su derivada Completado Automático de Comandos: tras ingresar las primeras dos letras de un comando, aparecerá completo automáticamente el que comience con estas para que se acepte la sugerencia con un Enter o Intro o se continúe escribiendo. La ayuda de cada entrada se encuentra a la derecha, próxima a la barra de entradas y ofrece una lista de todos los comandos disponibles en GeoGebra. Segunda Versión: Punto en x = a Vamos a realizar la misma construcción anterior pero de otro modo. Para empezar, seleccionar Archivo Nuevo para abrir una nueva hoja de trabajo. Pasos de Construcción Para este procedimiento, basta introducir en el campo de entradas los comandos siguientes, tecleando Enter (Intro en algunos teclados) al final de cada línea: f(x) = sin(x) a = 2 T = (a, f(a)) t = Tangente[a, f] m = Pendiente[t] B = (x(t), m) Derivada[f] Tangente sin recurrir al comando GeoGebra también trabaja con vectores y ecuaciones paramétricas. Así será posible construir una tangente t sin necesidad de recurrir al comando Tangente[]. Para comprobarlo, suprimir la tangente de la figura, con clic derecho sobre la recta y seleccionando Borra. Luego introducir los comandos siguientes: v = (1, f'(a)) t: X = A + r v v es un vector direccional de la tangente t. Se pude utilizar, en lugar de r, cualquier otra letra como parámetro. 6

7 Algunos Trucos Seleccionar la herramienta que Elige y Mueve y dar clic sobre el número a. Se pueden pulsar las teclas de las flechas para modificar su valor de a. Inmediatamente el punto T y la tangente se desplazarán a lo largo de la gráfica de función f. Deslizadores También puede controlarse el valor del número a creando un deslizador: con un clic sobre el símbolo a la izquierda de a en la Vista Algebraica. Se expone el deslizador ilustrativo de a y se su cambia valor, arrastrando con el ratón o mouse el punto que aparece sobre la línea que lo representa. Truco Los deslizadores y las teclas-flecha son especialmente útiles para trabajar con parámetros, por ejemplo p y q en la función cuadrática y = x² + p x + q. Ejemplo 3: Resolución de un Sistema de Ecuaciones Desafío: Resolver un sistema de ecuaciones lineales por método de sustitución. Pulsando la flecha en el borde lateral derecho de la Vista Gráfica, en el menú desplegado de Apariencias, seleccionar CAS y Gráficos. La sigla CAS refiere a álgebra simbólica computacional. Es importante tener en cuenta que la Vista CAS de Cálculo Simbólico sólo está disponible a partir de GeoGebra 4.2 en adelante. Pasos de Construcción Se deben anotar los siguientes comandos en las filas de la vista CAS, pulsando Enter (Intro en algunos teclados), después de cada línea. 7

8 1 g: 2x + y = 5 para crear la recta g 2 h: x 3y = 4 para crear la recta h 3 g 2h 4 Se restan las ecuaciones para eliminar la variable x ) Ingresar) para obtener el resultado de la línea previa. Ahora, basta con teclear /7 para obtener (7y = -3)/7 5 Sustituye[g, y=-3/7 ] Sustituye y por -3/7 en la primera ecuación g. 6 Clic sobre la salida y de la fila previa para copiarla en la activa actual. Ahora, un clic en la herramienta Resuelve para obtener la solución de x también. Algunos Trucos La vista CAS permite trabajar con fracciones, ecuaciones y formulas que incluyan variables indefinidas, de modo que los estudiantes puedan incursionar en este tipo de tareas con GeoGebra. Para manipular solo una parte de una expresión, basta con seleccionarla con el mouse o ratón y a continuación un clic sobre la herramienta, por ejemplo Factoriza, que afectará a la expresión escogida. La solución también se puede determinar inmediatamente, definiendo f(x) y g(x) en el ejemplo previo, seleccionando ambas filas y aplicando la herramienta que Resuelve. Ejemplo 4: Intersección de Funciones Polinómicas Desafío: Intersecar una parábola con una función lineal para determinar las raíces de su diferencia Pulsando la flecha en el borde lateral derecho de la Vista Gráfica, en el menú desplegado de Apariencias, seleccionar refiere a álgebra simbólica computacional. CAS y Gráficos. La sigla CAS Es importante tener en cuenta que la Vista CAS de Cálculo Simbólico sólo está disponible a partir de GeoGebra 4.2 en adelante. 8

9 Pasos de Construcción Se deben anotar los siguientes comandos en las filas de la vista CAS, pulsando Enter (Intro en algunos teclados), después de cada línea y siempre evaluando cada entrada. 1 Anotar f(x):=x^2-3/2*x+2 en la primera fila de para definir f(x). Evaluar pulsando la tecla Enter (Intro en algunos teclados). Pista: := se emplea para las asignaciones.. 2 En la segunda fila, anotar g(x):=x/ Definir h(x) como h(x):=f(x)-g(x) en la tercera fila. 4 5 Anotar h(x) en la cuarta línea y seleccionar la herramienta que Factoriza. Las raíces quedarán expresadas de inmediato. Emplear el comando Resuelve[h(x)=0,x] para confirmar las soluciones previamente halladas. 6 Crear los puntos de intersección anotando S:=Interseca[f(x),g(x)]. 9

10 Ejemplo 5: Análisis de Datos Desafío: Crear un histograma y evaluar media, mediana y moda, mínimo y máximo de una serie de valores. Abrir el menú Vista y seleccionar Hoja de Cálculo o pulsar en la flecha sobre el lateral derecho de la Vista Gráfica y en el menú Apariencias desplegado seleccionar Hoja de Cálculo y Gráficos Pasos de Construcción Ingresar algunos datos en las celdas de la columna A de la hpja de cálculo. Por ejemplo, completar desde A1 a A14 con valores como 5, 3, 3, 2, 2, 4, 2, 1, 3, 3, 4, 5, 5, 3 Resaltar las celdas y seleccionar la herramienta apropiada como, para este ejemplo, Análisis una Variable. Pista: En este ejemplo: resaltar las celdas A1 a A14 y con un clic en la herramienta Análisis Una Variable.. Tras el clic en Análisis de los Datos en la caja de Diálogo de la Fuente de Datos, aparecerá Analiza- la de Análisis de Datos-. Elegir las Clases apropiadas en la zona superior de la ventana. Pista: Para los números de este ejemplo, se emplearon 5 Clases porque hay cinco valores diferentes. Seleccionar el ícono Muestra Estadísticas de la Barra de Estilo para abrir el panel de Estadísticas. Hallar la media, mediana, el máximo y el mínimo de los datos en la sección Estadísticas del sector izquierdo de la ventana emergente. Clic el botón en la zona superior derecha permite seleccionar Selección Manual de Clases en el menú derecho de Histograma. Pista: Pulsar Enter (Intro en algunos teclados) después de especificar el valor de Inicio 0.5 y el Ancho 1 (valores de este ejemplo). 10

11 Algunos Trucos Cambiar algunos valores en la columna A permite notar la influencia sobre el histograma y los valores estadísticos como media, mediana, máximo y mínimo. Modificar el tipo de diagrama de Histograma a Diagrama de Cajas en la caja de listas arriba del histograma. Más Información GeoGebra también permite crear fácilmente páginas web dinámicas porque no sólo exhiben sino que permiten la interacción desde cualquier navegador (como Firefox, Netscape, Safari o Internet Explorer). La página web de GeoGebra ofrece ejemplos de este tipo además de otras informaciones y recursos Quedan invitados a visitar Software Manual y Tutoriales GeoGebra en Tube Ejemplos y Materiales (Banco de Recursos Educativos) Foro de Usuarios La página web de GeoGebra en que encontrarán tanto información complementaria y diversificada como... la última versión del programa! 11

12 Por sugerencias o avisos, dirigirse en inglés a o en español a la traductora y moderadora, Traducción, actualización, edición y revisión de Liliana Saidon Directora del Centro Babbage Institutto GeoGebra para la República Argentina. Traducción previa de Manuel Sada 12

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