Listo para seguir? Intervención de destrezas Figuras básicas de la geometría

Transcripción

1 8-1 Listo para seguir? Intervención de destrezas Figuras básicas de la geometría Un punto es una ubicación exacta. Una línea es una trayectoria recta que se extiende sin fin en direcciones opuestas. Un plano es una superficie plana que se extiende sin fin en todas direcciones. Un segmento de recta se forma con dos extremos y todos los puntos intermedios. Un rayo tiene un extremo. Desde ese punto, el rayo se extiende sin fin en una sola dirección. Identificar puntos, líneas y planos Usa el diagrama para identificar cada figura geométrica. Vocabulario punto línea plano segmento de recta rayo A. tres puntos Identifica tres ubicaciones exactas. B. dos líneas Identifica dos trayectorias rectas que se extiendan sin fin en I G H J K L direcciones opuestas. C. un punto compartido por dos líneas Identifica un punto que se encuentre en ambas líneas. punto D. un plano Identifica tres puntos que estén en el plano, pero no en una línea.,, y Usa los tres puntos para identificar un plano. plano Identificar segmentos de recta y rayos Usa el diagrama para dar una posible identificación a cada figura. A. dos segmentos de recta Usa los extremos para identificar dos segmentos de recta. R S B. seis formas de identificar rayos Q Usa primero un extremo y luego otro punto del rayo para identificar seis rayos. C. otra forma de identificar el rayo QR Cuál es el extremo? Cuál es otro punto del rayo? Cuál es otra forma de identificar el rayo QR? 156 Holt Matemáticas

2 8-2 Listo para seguir? Intervención de destrezas Cómo medir y clasificar ángulos Un ángulo se forma con dos rayos que tienen un extremo común llamado vértice. Los ángulos se miden en grados. Un ángulo recto mide exactamente 90 y un ángulo llano mide exactamente 180. Un ángulo agudo mide menos de 90 y un ángulo obtuso mide más de 90 y menos de 180. Medir un ángulo con un transportador Usa un transportador para medir el ángulo. Indica qué tipo de ángulo es. Dónde colocarás el centro del transportador? Vocabulario ángulo vértice ángulo recto ángulo llano ángulo agudo ángulo obtuso A Qué grado del transportador quieres que cruce el rayo BC? Usando la escala que comienza con 0 a lo largo del rayo BC, lee la medida donde cruza el rayo BA. m ABC Es m ABC mayor, menor que o igual a 90? Por lo tanto, el ángulo es un ángulo. B C Trazar un ángulo con un transportador Con un transportador, traza un ángulo de 120. Traza un rayo cerca de la parte inferior del espacio en blanco que ves a la derecha. Dónde colocarás el centro del transportador? En el transportador, qué grado quieres que cruce el rayo? En qué grado harás una marca sobre la escala del transportador? Dónde dibujarás el segundo rayo? 157 Holt Matemáticas

3 8-2 Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas Cómo medir y clasificar ángulos Un círculo mide 360. Puedes usar esa información para resolver algunos problemas. Cuánto mide un ángulo formado por las manecillas del reloj a la 1:30? Comprende el problema 1. Cuántos grados mide la esfera del reloj? Haz un plan 2. Divide en partes el ángulo que quieres hallar. Qué fracción de un círculo entero es BOC? Cómo puedes usar esa fracción para hallar m BOC? A 12 D 11 1 B O C 3 3. Si supieras la medida de m AOB, cómo podrías hallar m DOB? A qué fracción de un círculo entero correspondería ese ángulo? 4. Qué fracción de un círculo entero es AOB? Cómo podrías usar esa fracción para hallar m AOB? Resuelve 5. Cuánto mide m BOC? Escribe la medida en el diagrama. 6. Cuánto mide m DOB? Escribe la medida en el diagrama. 7. Cuánto mide el ángulo formado por las manecillas del reloj a la 1:30? Comprueba 8. Demuestra que tu respuesta tiene sentido. Resuelve 9. Cuánto mide un ángulo formado por las manecillas del reloj a las 10:15? Pista: la manecilla de la hora está a 1 4 de camino entre 10 y Holt Matemáticas

4 8-3 Listo para seguir? Intervención de destrezas Relaciones entre los ángulos Los ángulos congruentes son ángulos que tienen la misma medida. Los ángulos opuestos por el vértice se forman opuestos uno del otro cuando dos líneas se intersecan. Los ángulos adyacentes están uno junto al otro y comparten un vértice y un rayo. Los ángulos complementarios son dos ángulos cuyas medidas suman 90 y los ángulos suplementarios son dos ángulos cuyas medidas suman 180. Identificar tipos de pares de ángulos Identifica el tipo de cada par de ángulos que se muestra. A. Es 3 opuesto a 4? Vocabulario congruente ángulos opuestos por el vértice ángulos adyacentes ángulos complementarios ángulos suplementarios Ambos ángulos están formados por dos líneas secantes? Qué tipo de ángulos son 3 y 4? 3 4 B. Los ángulos 5 y 6 están uno junto al otro? Comparten un vértice y un rayo? Qué tipo de ángulos son 5 y 6? 5 6 Identificar la medida desconocida de un ángulo Halla cada medida desconocida. A. Los ángulos son complementarios. 45 A Cuánto es la suma de las medidas? Resta 45 de ambos lados. A Halla A. A 45 m A B. Los ángulos son suplementarios. 35 B Cuánto es la suma de las medidas? B 35 Resta 35 de ambos lados. B Halla B. m B 159 Holt Matemáticas

5 8-4 Listo para seguir? Intervención de destrezas Cómo clasificar líneas Las líneas paralelas son líneas que están en el mismo plano y nunca se cruzan. Las líneas perpendiculares se intersecan para formar ángulos de 90 o ángulos rectos. Las líneas oblicuas son líneas que están en planos diferentes. No son paralelas ni secantes. Clasificar pares de líneas Clasifica cada par de líneas. Vocabulario líneas paralelas líneas perpendiculares líneas oblicuas A. B. Las líneas están en el mismo plano? Las líneas están en el mismo plano? Las líneas son paralelas? Las líneas se intersecan? Las líneas se intersecan? Las líneas son. Las líneas son. C. D. Las líneas se cruzan en un punto común? Las líneas se intersecan para formar ángulos rectos? Las líneas son. Las líneas son. Aplicación a los mapas La calle Main y la calle Grand van ambas en dirección norte-sur. Qué tipo de relación de líneas representa esto? Las calles están en el mismo plano? Las calles se intersecan? Las calles representan líneas. Calle Main Calle Grand 160 Holt Matemáticas

6 SECCIÓN 8A Listo para seguir? Prueba 8-1 Figuras básicas de la geometría Usa el diagrama para identificar cada figura geométrica. 1. tres puntos 2. dos líneas 3. un punto compartido por dos líneas 4. un plano 5. dos segmentos de recta 6. dos rayos 8-2 Cómo medir y clasificar ángulos Mide cada ángulo con un transportador. Luego clasifica cada ángulo como agudo, recto, obtuso o llano G E F H El tobogán más empinado de una nueva área de juegos tiene un ángulo de 60 en la parte superior. Dibuja un ángulo de esta medida. 161 Holt Matemáticas

7 SECCIÓN 8A 8-3 Relaciones entre los ángulos Halla la medida desconocida de cada ángulo r Listo para seguir? Prueba (continuación) s t 24 u Cómo clasificar líneas Clasifica cada par de líneas Holt Matemáticas

8 SECCIÓN 8A Listo para seguir? Enriquecimiento Torre de papel Los estudiantes de la clase de la maestra Zirellis construyeron torres de papel con periódicos enrollados pegados con cinta adhesiva. Para que la torre sea sólida, los soportes se organizaron en ángulos. La siguiente gráfica es un bosquejo de una de las torres más altas. Medir y clasificar ángulos Mide cada ángulo con un transportador. Luego clasifica cada ángulo como agudo, recto u obtuso. C 1. ABC B 2. DEF F A 3. GHI D G L E K M H J I Relaciones entre ángulos Halla la medida desconocida de cada ángulo. 4. J 5. K 6. L 7. M 163 Holt Matemáticas

9 8-5 Listo para seguir? Intervención de destrezas Triángulos Los triángulos pueden clasificarse de acuerdo con la medida de sus ángulos. Un triángulo acutángulo sólo tiene ángulos agudos. Un triángulo obtusángulo tiene un ángulo obtuso. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto. La suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo es 180. Vocabulario triángulo acutángulo triángulo obtusángulo triángulo rectángulo Triángulo acutángulo Triángulo obtusángulo Triángulo rectángulo Aplicación a los deportes Los caminos para excursionismo que conectan los lagos J, K y L forman un triángulo. La medida de J es 38, y la medida de K es 44. Clasifica el triángulo. Para clasificar el triángulo, halla la medida de L. L 180 ( ) Qué restarás de 180? L 180 L La medida de L es. JKL tiene un ángulo obtuso? Por lo tanto, los caminos para excursionismo forman un triángulo. Usar las propiedades de los ángulos para rotular triángulos Usa el diagrama para hallar la medida de GIJ. Qué tipos de ángulos son GIJ y FIH? Por lo tanto, m GIJ m FIH. G m FIH 180 ( ) 180 I J m FIH, por lo tanto, m GIJ. F H 164 Holt Matemáticas

10 8-6 Listo para seguir? Intervención de destrezas Cuadriláteros Un cuadrilátero es una figura plana con cuatro lados y cuatro ángulos. Hay cinco tipos de cuadriláteros. paralelogramo: los lados opuestos son paralelos y congruentes, y los ángulos opuestos son congruentes rectángulo: paralelogramo con cuatro ángulos rectos rombo: paralelogramo con cuatro lados congruentes cuadrado: rectángulo con cuatro lados congruentes trapecio: dos lados exactamente paralelos, puede tener dos ángulos rectos Vocabulario cuadrilátero paralelogramo rectángulo rombo cuadrado trapecio Identificar cuadriláteros Da el nombre que mejor describe cada figura. A. La figura tiene cuatro lados y cuatro ángulos? Dos de los lados son exactamente paralelos? es el nombre más exacto. B. La figura es plana? La figura tiene sólo cuatro lados y cuatro ángulos? Esta figura es un cuadrilátero. C. La figura tiene cuatro lados y cuatro ángulos? La figura tiene cuatro ángulos rectos? es el nombre más exacto. Clasificar cuadriláteros Completa el enunciado. A. Un rombo también puede llamarse? y?. Un rombo tiene lados opuestos paralelos y congruentes? Por lo tanto, un rombo puede llamarse. Un rombo es una figura plana con cuatro lados y cuatro ángulos? Por lo tanto, un rombo puede llamarse. B. Un rombo con cuatro ángulos rectos también puede llamarse?. Un cuadrado tiene cuatro lados congruentes y cuatro ángulos rectos? Por lo tanto, un rombo con cuatro ángulos rectos también puede llamarse 165 Holt Matemáticas

11 8-6 Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas Cuadriláteros A veces puedes resolver un problema aunque al principio te parezca que no tienes suficiente información. Un rombo y un triángulo equilátero son adyacentes y forman un trapecio. Qué fracción del perímetro del trapecio es el perímetro del rombo? Comprende el problema 1. Dibuja un rombo y un triángulo como se describen en el problema. 2. Qué dos cantidades se supone que compares? Haz un plan 3. Qué sabes sobre la longitud de los lados de un rombo? Y de un triángulo equilátero? 4. Por qué los lados del triángulo deben tener la misma longitud que los lados del rombo? 5. Haz una marca en tu diagrama para mostrar qué longitudes son iguales. Resuelve 6. Si la longitud de cada lado del rombo es 1, cuál es el perímetro del rombo? Y el perímetro del trapecio? 7. Qué fracción del perímetro del trapecio es el perímetro del rombo? Comprueba 8. Tu diagrama coincide con la afirmación del problema? Es correcto tu razonamiento? 166 Holt Matemáticas

12 8-7 Listo para seguir? Intervención de destrezas Polígonos Un polígono es una figura plana cerrada formada por tres o más segmentos de recta. Un polígono regular es un polígono en el que todos los lados y todos los ángulos son congruentes. Identificar polígonos Identifica cada polígono e indica si parece ser regular o irregular. Vocabulario polígono polígono regular A. Cuántos lados hay? Cuántos ángulos hay? El polígono es un. Los lados y los ángulos parecen ser congruentes? El polígono parece ser. B. Cuántos lados hay? Cuántos ángulos hay? El polígono es un. Los lados y los ángulos parecen ser congruentes? El polígono parece ser. C. Cuántos lados hay? Cuántos ángulos hay? El polígono es un. Los lados y los ángulos parecen ser congruentes? El polígono parece ser. Aplicación a la economía doméstica Jessica preparó un pastel con forma de hexágono regular para su hermano que cumple seis años. Cuál es la medida de cada ángulo del hexágono? Cuántos lados tiene un hexágono? Cuántos triángulos hay dentro de un hexágono? Cuál es la suma de los ángulos internos de un hexágono? 180 Por lo tanto, la medida de cada ángulo es ó. 167 Holt Matemáticas

13 8-8 Listo para seguir? Intervención de destrezas Patrones geométricos Continuar patrones geométricos Identifica un posible patrón. Usa el patrón para dibujar la siguiente figura. Cuál puede ser el patrón? Por lo tanto, la siguiente figura puede ser un. Completar patrones geométricos Identifica un posible patrón. Usa el patrón para dibujar la figura que falta. Cuál puede ser el patrón? Por lo tanto, la figura que falta puede ser un. Aplicación al arte Shannon está haciendo un dibujo. Identifica el patrón que usa y dibuja cuál será la siguiente figura. Cuál puede ser el patrón? Por lo tanto, la siguiente figura puede ser un. 168 Holt Matemáticas

14 SECCIÓN 8B Listo para seguir? Prueba 8-5 Triángulos Usa el diagrama para los problemas 1 y m H 1. Halla m HFD. 2. Clasifica el triángulo HGE según sus ángulos y sus lados. D 5 m F 3.5 m E 6 m G Si los ángulos pueden formar un triángulo, clasifícalo como acutángulo, obtusángulo o rectángulo , 48, , 38, , 57, , 65, Cuadriláteros Da el nombre que mejor describe cada figura Un ángulo de un rombo mide 73. Cuánto mide el ángulo opuesto? 12. El perímetro de un cuadrado mide 168 centímetros. Cuál es la longitud de un lado del cuadrado? 169 Holt Matemáticas

15 SECCIÓN 8B Listo para seguir? Prueba (continuación) 8-7 Polígonos Identifica cada polígono e indica si parece ser regular o irregular Patrones geométricos Identifica un posible patrón. Usa el patrón para dibujar la figura que falta ?? ?? 170 Holt Matemáticas

16 SECCIÓN 8B Listo para seguir? Enriquecimiento Cometas a medida Éstos son los diagramas de algunas cometas para un festival local de cometas. Cuadriláteros Identifica cada polígono Polígonos Identifica cada polígono e indica si parece ser regular o irregular Holt Matemáticas

17 8-9 Listo para seguir? Intervención de destrezas Congruencia Identificar figuras congruentes Decide si las figuras de cada par son congruentes. A. Tienen estas figuras la misma forma y el mismo tamaño? Estas figuras son. B. Son ambas figuras cuadrados? Tienen estas figuras la misma forma y el mismo tamaño? Estas figuras son. C. Son ambas figuras triángulos? 8 pulg Tienen estas figuras la misma forma y el mismo tamaño? Estas figuras son. Aplicación para el consumidor Shauna necesita un mantel que sea congruente con la parte superior de la mesa. Qué mantel debería comprar? Mesa Mantel A Mantel B 8 pies 6 pulg 10 pulg 4 pies 6 pulg 8 pulg 10 pulg 4 pies 2 pies 4 pies 8 pies Tienen ambos manteles la misma forma que la mesa? Tienen ambos manteles el mismo tamaño que la mesa? Qué mantel tiene el mismo tamaño y la misma forma que la mesa? El es congruente con la mesa. 172 Holt Matemáticas

18 8-9 Si sabes que dos triángulos son congruentes, puedes usar esa información para probar otros datos. En el diagrama, BCE ACD. Demuestra que B D A E. Comprende el problema 1. Con un marcador de color, traza el contorno de los dos triángulos congruentes BCE y ACD. Haz un plan Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas Congruencia B D C 2. Marca los lados de los triángulos congruentes. 3. Qué dos segmentos de recta forman el lado A C? Y el lado B C? E A Resuelve 4. Completa cada espacio en blanco con la distancia correcta. A C A E B C A C E C A C E C B C D C 5. Con los datos del Ejercicio 4, explica cómo sabes que A E B D. Comprueba 6. Traza BCE y ACD para asegurarte de que identificaste los lados correspondientes correctamente. Resuelve 7. Qué triángulo tiene el perímetro más largo: BCE o ACD? Explica. 8. Si B C 6 cm y A E 4 cm, cuál es la longitud de D C? 173 Holt Matemáticas

19 8-10 Listo para seguir? Intervención de destrezas Transformaciones Una transformación rígida mueve una figura sin cambiar su tamaño ni su forma. Una traslación es el movimiento de una figura sobre una línea recta. Una rotación es el movimiento de una figura alrededor de un punto. Cuando una figura se invierte sobre una línea y crea una imagen de espejo, se produce una reflexión. La línea sobre la que se invierte la figura se llama línea de reflexión. Vocabulario transformación traslación rotación reflexión línea de reflexión Identificar transformaciones Indica si en cada caso hay traslación, rotación o reflexión. A. Cómo se movió la figura? La figura es una. B. Cómo se movió la figura? La figura es una. C. Cómo se movió la figura? La figura es una. Dibujar transformaciones Dibuja cada transformación. A. Dibuja una reflexión vertical. Sobre qué vas a invertir la figura? Dibuja la figura en su nueva ubicación. B. Dibuja una rotación de 90 en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto. Dónde ubicarás el lápiz? Qué distancia rotarás la figura? Dibuja la figura en su nueva ubicación. 174 Holt Matemáticas

20 8-11 Listo para seguir? Intervención de destrezas Simetría axial Una figura tiene simetría axial si puede doblarse o reflejarse de modo que sus dos partes coincidan, o sean congruentes. La línea de reflexión se llama eje de simetría. Identificar ejes de simetría Determina si la línea discontinua parece ser un eje de simetría. Las dos partes de la figura son congruentes? Parecen coincidir exactamente cuando se doblan o se reflejan sobre la línea? La línea ser un eje de simetría. Hallar varios ejes de simetría A. Halla todos los ejes de simetría del polígono regular. Traza la figura y recórtala. Dobla la figura por la mitad de diferentes formas. De cuántas formas diferentes puedes doblar la figura por la mitad? Por lo tanto, hay ejes de simetría. B. Halla todos los ejes de simetría del objeto. Traza la figura y recórtala. Dobla la figura por la mitad de diferentes formas. De cuántas formas diferentes puedes doblar la figura por la mitad? Por lo tanto, hay ejes de simetría. Vocabulario eje de simetría simetría axial Visualizar figuras simétricas Dibuja la figura recortable Luego refleja esa figura como se vería desplegada. Dibuja una figura congruente. sobre la línea de plegado. 175 Holt Matemáticas

21 SECCIÓN 8C Listo para seguir? Prueba 8-9 Congruencia Decide si las figuras de cada par son congruentes. Si no lo son, explica Jon necesita una cubierta para su piscina. Cuál es la adecuada? 5 m piscina 3 m A 6 m 5 m B 5 m C 6 m 5 m 6 m 8-10 Transformaciones Indica si en cada caso hay traslación, rotación o reflexión Holt Matemáticas

22 SECCIÓN 8C Listo para seguir? Prueba (continuación) Dibuja e identifica cada transformación Simetría axial Determina si cada línea discontinua parece ser un eje de simetría Holt Matemáticas

23 SECCIÓN 8C Listo para seguir? Enriquecimiento Transformar joyas Jill tomó un curso de joyería en el campamento de verano. Quiere hacer una hebilla de cinturón similar a las que vio en un libro de diseño. El libro indicaba que había que observar la ubicación de los objetos y la manera en que los objetos idénticos se colocan en su lugar. Jill comienza hacer la hebilla del cinturón. 1. El primer paso para armar la hebilla consiste en transformar la estrella de la esquina superior izquierda a las otras tres esquinas como se muestra en la gráfica. Es una traslación, rotación o reflexión? 2. El siguiente paso consiste en transformar el diseño central de la parte superior a la posición inferior, como se muestra en la imagen. Es una traslación, rotación o reflexión? 3. Por último, se pega una tira de piedras desde el círculo central, y se dan varias vueltas de piedras alrededor del círculo. Son traslaciones, rotaciones o reflexiones? 4. Completa el resto del brazalete usando rotación. 5. Dibuja tu propia pieza de joyería usando transformaciones. Indica el tipo de transformación en cada caso. 178 Holt Matemáticas