Estudios estadísticos. a) Crea la tabla de frecuencias absolutas y acumuladas correspondiente. Ten en cuenta

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1 1 Estadística Qué tienes que saber? 1 QUÉ tienes que saber? Actividades Finales 1 Estudios estadísticos Gráficos estadísticos Un estudio realizado sobre jóvenes con edades comprendidas entre 16 y años que tienen un puesto de trabajo ha arrojado los siguientes datos: Ten en cuenta Frecuencia absoluta,, de un dato: es la cantidad de veces que se repite. Frecuencia relativa: = N Frecuencia absoluta acumulada: = f 1 + f + + Frecuencia relativa acumulada: H i = h 1 + h + + Tablas de frecuencias y diagramas a) Agrupa los datos en intervalos, construye la tabla de frecuencias completa y representa gráficamente la variable estadística. Marcas Edad f de clase i H i [16, 18) 17,8,8 [18, ) 19 1,, 1 [, ) 1,,8 [, ) 6, Se quiere determinar el número medio de días que estuvieron de baja por enfermedad durante el año los empleados de una empresa de 6 trabajadores. Para ello, se pregunta a 7 miembros del personal elegidos al azar. a) Cuántos individuos forman la población? b) De qué tamaño es la muestra? c) Indica de qué tipo es la variable estadística que se estudia. En una población de habitantes se elige una muestra para hacer una entrevista. a) Calcula el tamaño de la muestra si se selecciona el % de la población. b) Si la muestra es de personas, qué porcentaje de la población ha sido entrevistado? Una empresa de sondeos estadísticos tiene capacidad para hacer una encuesta a personas cada semana. 1 El número de horas de entrenamiento diario realizado por nadadores es: Construye la tabla de frecuencias y el diagrama de barras. El gráfico representa el número de personas que han acudido en una semana a un gimnasio. N.º de clientes Lu Ma Mi Ju Vi Sa Días de la semana a) Crea la tabla de frecuencias absolutas y acumuladas correspondiente. Ten en cuenta Medidas de centralización y de dispersión b) Representa los datos en un diagrama de sectores. Media aritmética: x = n i =1 Moda, Mo: dato o marca de clase que tiene mayor frecuencia. Mediana, Me: valor que ocupa la posición central de los datos ordenados. Rango o recorrido, R: R = dato mayor dato menor Varianza: = N n ( x ) i =1 N Desviación típica: = Coeficiente de variación: CV = x Primer cuartil, Q 1 : valor que deja a su izquierda el % de los datos. Tercer cuartil, Q : valor que deja a su izquierda el 7 % de los datos. b) Halla la media, la moda y la mediana. Calcula también el rango, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación. Edad x ( x ) ( x ) [16, 18) 17 8, 1, 61, [18, ) ,,,7 [, ) 1 6,, 7, [, ), 6, 6, x = 1 =, Mo 1 Me = R = = 1 16 = 8 6 = 16 =,7 = 6,7 = 1, 66 1, 66 CV = =,89 8,9%, Medidas de posición c) Dibuja el diagrama de caja y bigotes de la variable estadística que estudia las edades de los jóvenes trabajadores. % de 6 = 1 Q 1 = 19 Q = Me = 1 7 % de 6 = Q = Si dispone de semanas, a qué porcentaje de una población de habitantes puede entrevistar para obtener una muestra? Indica si las siguientes variables estadísticas son cualitativas o cuantitativas y, en este último caso, señala si son discretas o continuas. a) El nombre de una persona. b) El número de preguntas de un examen. c) El partido político votado en unas elecciones. d) El número de goles marcados por un jugador en una temporada. e) El grupo sanguíneo de una persona. f) El número de bebés nacidos en un mes. g) La temperatura corporal. h) El tiempo de espera en la consulta de un médico. Se está llevando a cabo un estudio sobre el número de ocupantes de los coches que pasan por un peaje de autopista, el color del vehículo y la letra inicial de la matrícula. Indica de qué tipo son las tres variables estadísticas consideradas. Fíjate en la frase: Si quieres ir rápido, camina solo. Si quieres ir lejos, camina acompañado. a) Halla el número de vocales que contiene. b) Elabora una tabla de frecuencias para saber cuántas veces aparece cada vocal. c) Construye el diagrama de barras. d) Es posible representar el polígono de frecuencias absolutas? Razona la respuesta. Estas son las notas obtenidas por alumnos en una prueba tipo test.,,,,,6,8,8 6, 6, ,8 8 8,7 9 9 a) Construye una tabla de frecuencias con los datos agrupados en cinco clases: I = [, ), SF = [, 6), B = [6, 7), N = [7, 9) y S = [9, ). b) Elige qué tipo de gráfico es el más conveniente para representar los datos de la tabla y dibújalo. A una comida de empresa en un restaurante asistieron personas: el % pidió carne; el %, pescado, y el resto, pollo. a) Elabora la tabla de frecuencias absolutas. b) Haz un diagrama se sectores Sugerencias didácticas En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de: Elaborar tablas de frecuencias y obtener información de la tabla elaborada. Construir, con la ayuda de herramientas tecnológicas si fuese necesario, gráficos estadísticos adecuados a situaciones relacionadas con variables asociadas a problemas de la vida cotidiana. Calcular e interpretar las medidas de centralización y medidas de posición de una variable estadística para proporcionar un resumen de los datos. Calcular las medidas de dispersión e interpretar el comportamiento de una variable estadística para comparar la representatividad de la media y describir los datos. Actividades finales Soluciones de las actividades Se quiere determinar el número medio de días que estuvieron de baja por enfermedad durante el año los empleados de una empresa de 6 trabajadores. Para ello, se pregunta a 7 miembros del personal elegidos al azar. a) Cuántos individuos forman la población? b) De qué tamaño es la muestra? c) Indica de qué tipo es la variable estadística que se estudia. a) La población está formada por 6 trabajadores. b) La muestra tiene tamaño 7. c) Es una variable estadística cuantitativa discreta.

2 Estadística 1 6 En una población de habitantes se elige una muestra para hacer una entrevista. a) Calcula el tamaño de la muestra si se selecciona el % de la población. b) Si la muestra es de personas, qué porcentaje de la población ha sido entrevistado? a) El tamaño de la muestra es: = individuos x b) = x =, Ha sido entrevistado el, % de la población. 7 Una empresa de sondeos estadísticos tiene capacidad para hacer una encuesta a personas cada semana. Si dispone de semanas, a qué porcentaje de una población de habitantes puede entrevistar para obtener una muestra. En semanas puede entrevistar a personas lo que supone un: x = x = % de la población. 8 Indica si las siguientes variables estadísticas son cualitativas o cuantitativas y, en este último caso, señala si son discretas o continuas. a) El nombre de una persona. b) El número de preguntas de un examen. c) El partido político votado en unas elecciones. d) El número de goles marcados por un jugador en una temporada e) El grupo sanguíneo de una persona. f) El número de bebés nacidos en un mes. g) La temperatura corporal. h) El tiempo de espera en la consulta de un médico. a) Cualitativa e) Cualitativa b) Cuantitativa discreta f) Cuantitativa discreta c) Cualitativa g) Cuantitativa continua d) Cuantitativa discreta h) Cuantitativa continua 9 Se está llevando a cabo un estudio sobre el número de ocupantes de los coches que pasan por un peaje de autopista, el color del vehículo y la letra inicial de la matrícula. Indica de qué tipo son las tres variables estadísticas consideradas. Número de ocupantes de los coches es variable estadística cuantitativa discreta. Color del vehículo es variable estadística cualitativa. Letra inicial de la matrícula es variable estadística cualitativa. El número de horas de entrenamiento diario realizado por nadadores es: Construye la tabla de frecuencias y el diagrama de barras. Horas H i 1,1,1 6,1,,, 1,,7, 1 Total Horas 1

3 1 Estadística 1 El gráfico representa el número de personas que han acudido en una semana a un gimnasio. a) Crea la tabla de frecuencias absolutas y acumuladas correspondiente. b) Representa los datos en un diagrama de sectores. N.º de clientes Lu Ma Mi Ju Vi Sa Días de la semana a) Día Amplitud Lunes º Martes 8 º Miércoles º Jueves 7 7º Viernes 7 7º Sábado 6 6 6º Total 6 Fíjate en la frase: Si quieres ir rápido, camina solo. Si quieres ir lejos, camina acompañado. a) Halla el número de vocales que contiene. b) Elabora una tabla de frecuencias para saber cuántas veces aparece cada vocal. c) Construye el diagrama de barras. d) Es posible representar el polígono de frecuencias absolutas? Razona la respuesta. a) Contiene vocales. b) Vocal a 8 e i 9 o 6 u b) 1 d) No es posible ya que la variable es cualitativa. Estas son las notas obtenidas por alumnos en una prueba tipo test.,,,,,6,8 6 6, 6, ,6 7,8 8 8,7 9 9 a) Construye una tabla de frecuencias con los datos agrupados en cinco clases: I = [, ), SF = [, 6), B = [6, 7), N = [7, 9) y S = [9, ). b) Elige qué tipo de gráfico es el más conveniente para representar la tabla y dibújalo. a) Notas Amplitud c) S = I = I,, 6º = 7º SF,, 6º = 9º N = 6 B,1,1 6º = º SF = N 6,, 6º = 8º S,,1 6º = 6º B = Total c) a e i o u Vocal Insuficiente Suficiente Bien Notable Sobresaliente Horas

4 Estadística 1 A una comida de empresa en un restaurante asistieron personas: el % pidió carne; el %, pescado, y el resto, pollo. a) Elabora la tabla de frecuencias absolutas. b) Haz un diagrama se sectores. a) Comida Carne Pescado 1 1 Pollo 1 Total b) Comida Amplitud Carne,1,16º = 6º Pescado 1,,6º = 1º Pollo 1,,6º = 18º Total 1 1 Carne Pescado Pollo Total =

5 1 Estadística 1 Estadística Actividades Finales 1 Medidas de centralización Calcula la media aritmética en cada caso. a) Peso de tres personas: kg, 6 kg y 6 kg. b) Salario por hora de cuatro electricistas:,, 8 y. 6 Halla la marca de clase de los intervalos de la tabla y calcula la media aritmética de las alturas. Altura (cm) [, ) [, 1) [1, 16) 7 Se ha encuestado a personas para saber el tipo de transporte que utilizan en vacaciones. Medidas de posición 61 Fíjate en los siguientes diagramas. Calcula los cuartiles e interpreta la distribución de los datos. a) b) c) La tabla muestra el número de trabajos realizados para la asignatura de Inglés por un grupo de alumnos de.º de ESO durante el curso. 1 Medidas de dispersión 6 En la tabla aparecen las temperaturas máximas que se registraron durante el mes de abril en cierta localidad. Temperatura N. de días Calcula la varianza y la desviación típica de la variable estadística. 66 Qué varianza corresponde a una variable estadística en la que todos los valores coinciden con la media? 67 La tabla muestra los diferentes precios, en euros, de un teléfono móvil en varias tiendas. Precio ( ) N.º de tiendas [1, 16) [16, 18) [18, ) [, ) 1 EJERCICIO RESUELTO Elena y Manuel han calculado la media aritmética y la desviación típica de sus calificaciones de Inglés. x Elena = 6,9 Elena =, x Manuel = 6,7 Manuel =, Quién ha tenido mayor variabilidad en sus notas? Solución Comparamos sus coeficientes de variación. CV Elena = x =, =,696 6,96% 6,9 CV Manuel = x =, =,81,81% 6,7 Las notas de Manuel tienen menor coeficiente de variación; por tanto, sus notas están más concentradas. Las notas de Elena, por el contrario, presentan mayor dispersión Indica la moda de esta variable estadística y calcula el porcentaje de personas que emplea cada medio de transporte. Los alumnos de.º de ESO de un centro escolar, en la primera evaluación, han obtenido los sobresalientes indicados en la tabla. Sobresalientes 1 N. de alumnos 1 Halla las medidas de centralización. Calcula la media aritmética y la mediana de los números impares desde el 1 hasta el 99. En una familia trabajan el padre, la madre y la hija mayor. Tienen unos ingresos de 18, 19 y, respectivamente. Pablo, el hijo pequeño, ha empezado a trabajar y quiere que su sueldo ascienda, al menos, a una cantidad tal que haga que la media aritmética de los sueldos de su familia sea de 16. Calcula el sueldo mínimo deseado por Pablo Halla las medidas de posición e interprétalas. Calcula la mediana y los cuartiles de la distribución dada por la tabla. Clases [, ) 11 [, ) 17 [, ) 18 [, ) Al preguntar a jóvenes por el tiempo, en minutos, que tardan en ducharse, se obtiene la información que se recoge en la tabla. Tiempo (min) a) Calcula el tanto por ciento de jóvenes que tarda en ducharse un tiempo por encima de la media. b) Dibuja el diagrama de caja y bigotes Calcula: a) El precio medio de venta del teléfono. b) El intervalo mediano y el intervalo modal. c) La varianza y la desviación típica. d) El coeficiente de variación. Un estadio de fútbol acogió un total de entre y 16 espectadores en partidos, entre 16 y en 6 partidos, entre y en partidos y entre y 8 en 1 partidos. a) Construye una tabla, calculando las marcas de clase y las frecuencias. b) Cuál es el rango? c) Halla la varianza y la desviación típica. d) Calcula el coeficiente de variación. Observa los estudios estadísticos representados a) Halla la media aritmética de cada uno y piensa en cuál de los gráficos es más representativa. b) Calcula la desviación típica de ambos estudios. c) Compara los coeficientes de variación de los dos estudios El peso medio de los perros de la raza golden retriever es de kg, y la desviación típica de, kg. Por otro lado, los ponis tienen un peso medio de 1 kg y una desviación típica de kg. Calcula el coeficiente de variación y explica en cuál de las dos especies presenta el peso una mayor dispersión. Los datos muestran la estatura, en cm, de las componentes de dos equipos de baloncesto femenino. Equipo 1: Equipo : a) Halla la media y la desviación típica de cada equipo. b) Indica cuál manifiesta una mayor variabilidad. Se ha realizado un estudio sobre la velocidad a la que se circula en una autovía y en una carretera secundaria. Autovía Velocidad (km/h) N.º de coches Carretera secundaria Velocidad (km/h) N.º de coches a) Calcula el rango de las velocidades. b) Halla la desviación típica de ambas. c) Estudia dónde se observa menor dispersión. 7 7 Calcula la media aritmética en cada caso. a) Peso de tres personas: kg, 6 kg y 6 kg. b) Salario por hora de cuatro electricistas:,, 8 y a) x = = = 8 kg b) x = = 9 = 7, 6 Halla la marca de clase de los intervalos de la tabla y calcula la media aritmética de las alturas. Altura (cm) [, ) 1 [, 1) 1 [1, 16) 1 Añadimos en la tabla la columna con las marcas de clase x = = 9 = 1 cm 7 Se ha encuestado a personas para saber el tipo de transporte que utilizan en vacaciones. Indica la moda de esta variable estadística y calcula el porcentaje de personas que emplea cada medio de transporte. Mo = Coche Tipo Porcentaje Avión Tren Coche Moto % 17,% 6% 1,%

6 Estadística 1 8 Los alumnos de.º de ESO de un centro escolar, en la primera evaluación, han obtenido los sobresalientes indicados en la tabla. Sobresalientes 1 N.º de alumnos 1 Halla las medidas de centralización x = = = 1,16 Mo: es bimodal de modas y 1 sobresaliente. Me = 9 Calcula la media aritmética y la mediana de los números impares desde el 1 hasta el 99. Los números impares son una progresión aritmética de diferencia d = 1. (1+ 99) La suma desde el 1 hasta el 99 es: S = = La mediana es la media aritmética de los dos datos centrales: Me = = 6 En una familia trabajan el padre, la madre y la hija mayor. Tienen unos ingresos de 18, 19 y, respectivamente. Pablo, el hijo pequeño, ha empezado a trabajar y quiere que su sueldo ascienda, al menos, a una cantidad tal que haga que la media aritmética de los sueldos de su familia sea de 16. Calcula el sueldo mínimo deseado por Pablo p Si p es el sueldo mínimo deseado por Pablo x = = 16 Por tanto: 9 = 16 ( ) = 6 9 = 1 61 Fíjate en los siguientes diagramas. Calcula los cuartiles e interpreta la distribución de los datos. a) c) b) a) Q 1 =, Q = 8, Q = 11. Los datos se concentran en la parte inferior, los comprendidos entre el % y el % están igual de concentrados que los comprendidos entre el % y el 7 %. El bigote derecho es igual que el izquierdo por tanto la distribución de datos es simétrica. b) Q 1 =, Q =, Q = 7. Los datos comprendidos entre el % y el % están mucho más concentrados que los comprendidos entre el % y el 7 %. El bigote izquierdo es igual que el derecho, por tanto el % de los datos más pequeños están igual de dispersos que el % de los datos mayores. Es asimétrica. c) Q 1 =, Q = 6, Q = 11. Los datos comprendidos entre el % y el % están más concentrados que los comprendidos entre el % y el 7 %. El bigote izquierdo es mayor que el derecho, por tanto el % de los datos más pequeños están más dispersos que el % de los datos mayores. Es asimétrica. 6 La tabla muestra el número de trabajos realizados para la asignatura de Inglés por un grupo de alumnos de.º de ESO durante el curso. Halla las medidas de posición e interprétalas. H Completamos la tabla con las frecuencias relativas. i 1,1,1 Q 1 = 6,1, Q = Me = + =,,, 6 16,,8 Q =, 1 La distribución es simétrica. El % de los alumnos ha realizado 1 o trabajos y el 7 %, hasta trabajos.

7 1 Estadística 6 Calcula la mediana y los cuartiles de la distribución dada por la tabla. Clases H i Completamos la tabla con las frecuencias relativas. [, ) 11 11,19,19 Q 1 = 1 [, ) ,,9 Q = Me = [, ) 18 6,,81 Q = [, ) 6, Al preguntar a jóvenes por el tiempo, en minutos, que tardan en ducharse, se obtiene la información que se recoge en la tabla. Tiempo (min) a) Calcula el tanto por ciento de jóvenes que tarda en ducharse un tiempo por encima de la media. b) Dibuja el diagrama de caja y bigotes a) x = = = 6, min Hay 1 jóvenes que tardan en ducharse más tiempo de la media, esto es el %. b) Tiempo (min) H i Q 1 = 6,, Q = Me = 6 1,, Q = 7 6,6,7 7 9, , Q ¹ = Q ² Q ³ En la tabla aparecen las temperaturas máximas que se registraron durante el mes de abril en cierta localidad. Calcula la varianza y la desviación típica de la variable estadística. Completamos la tabla con los productos necesarios. x i x = 96 = 16, = 8 (16,) = 7,8 7, = 1, = 1, 6 = 1, Total Qué varianza corresponde a una variable estadística en la que todos los valores coinciden con la media? Si todos los valores de una variable coinciden con la media es que todos los valores son iguales, por tanto, la varianza será. 6

8 Estadística 1 67 La tabla muestra los diferentes precios, en euros, de un teléfono móvil en varias tiendas. Precio ( ) N.º de tiendas [1, 16) [16, 18) [18, ) [, ) 1 Calcula: a) El precio medio de venta del teléfono. c) La varianza y la desviación típica. b) El intervalo mediano y el intervalo modal. d) El coeficiente de variación. Realizamos la siguiente tabla. Precio ( ) [1, 16) 1 [16, 18) [18, ) [, ) 1 Total a) x = = 179,9 b) Intervalo mediano = [18, ) Intervalo modal = [18, ) 6 c) = (179,9) = 9,9 7, = 17,68 = 17,68 = 17,8 11 CV = 17,8 =,9 9% 179,9 68 Un estadio de fútbol acogió un total de entre y 16 espectadores en partidos, entre 16 y en 6 partidos, entre y en partidos y entre y 8 en 1 partidos. a) Construye una tabla, calculando las marcas de clase y las frecuencias. b) Cuál es el rango? c) Halla la varianza y la desviación típica. d) Calcula el coeficiente de variación. a) Espectadores x i [, 16) [16, ) [, ) 1 8 [, 8) Total b) R = 8 1 = 16 espectadores 66 c) x = = 1, 1 88 = (1,) = ,9 = ,1 = ,1 =,8 d) CV =,8 1, =, % 7

9 1 Estadística 69 Observa los estudios estadísticos representados. a) Halla la media aritmética de cada uno y piensa en cuál de los gráficos es más representativa. b) Calcula la desviación típica de ambos estudios. c) Compara los coeficientes de variación de los dos estudios. 6 1 Creamos una tabla para cada estudio. 1 A: B: Total 1 11 Total 6 8 a) Estudio A: x A = 1 = Estudio B: x B = 6 = b) A = , =,6 9 = 1, 6 A = 1, 6 = 1, CV A = =, % B = 8 1 = 1, 9 = 6, B = 6, =,8 CV B =,8 =,8 8 % En el Estudio B hay mayor variabilidad entre los datos. 7 El peso medio de los perros de la raza golden retriever es de kg, y la desviación típica es de, kg. Por otro lado, los ponis tienen un peso medio de 1 kg y una desviación típica de kg. Calcula el coeficiente de variación y explica en cuál de las dos especies presenta el peso una mayor variabilidad. CV golden =, =,1 % CV ponis = =,81 8,1% 1 Los perros de la raza golden retriever presentan mayor variabilidad entre sus pesos. 71 Los siguientes datos muestran las alturas, en centímetros, de las componentes de dos equipos de baloncesto femenino. Equipo 1: Equipo : a) Halla la media y la desviación típica de cada equipo. b) Indica cuál manifiesta una mayor variabilidad. a) Equipo 1 Equipo Total Total

10 Estadística 1 x 1 = 169 = 169 cm = 169 =,6 1 1 =,6 =, x = 17 = 17 cm = = 17,6 = 17,6 =,19 b) CV 1 =, =,9,9 % 169 CV =,19 =,, % 17 El equipo 1 presenta mayor variabilidad. 7 Se ha realizado un estudio sobre la velocidad a la que circulan los coches en una autovía y en una carretera secundaria. Autovía Carretera secundaria Velocidad (km/h) Velocidad (km/h) N.º de coches N.º de coches a) Calcula el rango de las velocidades. c) Estudia dónde se observa menor dispersión. b) Halla la desviación típica de ambas. a) R Autovía = 1 9 = km/h R Carretera secundaria = 8 = km/h a) Total 8 8 Total 11 1 x Autovía = 11 = 11 km/h = 1 11 Autovía = 1 Autovía = 1 = 11,1 x Carretera secundaria = 8 = 8 km/h 8 = 8 Carretera secundaria = 116 Carretera secundaria = 116 =,77 c) CV Autovía = 11,1 11 =,97 9,7 % CV =,77 =,18 18 % Carretera secundaria 8 En autovía hay menor dispersión. 9