Curso Curso
|
|
|
- Luis Carrasco Molina
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1
2 Problema 7. Sea n un número entero. Demuestra que el número n 5 5n 3 + 4n es divisible por 120. Y que, si n es par, el número n 3 4n es siempre divisible por 48.
3 Problema 7. Sea n un número entero. Demuestra que el número n 5 5n 3 + 4n es divisible por 120. Y que, si n es par, el número n 3 4n es siempre divisible por 48. Para la primera parte, descomponemos en factores: P(n) = n(n 4 5n 2 + 4) = n(n 2 1)(n 2 4) = (n 2)(n 1)n(n + 1)(n + 2); 120 = Como para todo entero n, P(n) es el producto de cinco enteros consecutivos, y uno de cada cinco enteros consecutivos es múltiplo de 5, P(n) es divisible por 5. Análogamente, uno de cada tres enteros consecutivos es múltiplo de 3; luego P(n) es también múltiplo de 3 para todo entero n.
4 De cada cuatro enteros consecutivos, uno es múltiplo de cuatro y hay otro distinto que es también par. Luego P(n) es divisible por 4 2 = 8 para todo entero n. Luego P(n) es divisible por 120 para todo entero n.
5 De cada cuatro enteros consecutivos, uno es múltiplo de cuatro y hay otro distinto que es también par. Luego P(n) es divisible por 4 2 = 8 para todo entero n. Luego P(n) es divisible por 120 para todo entero n. Para la segunda parte, descomponemos también en factores: Q(n) = n(n 2)(n + 2). Como n es par, n 2, n, n + 2 son números pares consecutivos, con lo que (al menos) uno de ellos es divisible por 4. Por tanto, Q(n) es divisible por 16. Además, como n 2, n, n + 2 son (pares) consecutivos, uno de ellos es divisible por 3. Por tanto, Q(n) es divisible por 48.
6 Problema 8. Para qué valores de n es divisible por 13 el número 3 6n + 5 6n?
7 Problema 8. Para qué valores de n es divisible por 13 el número 3 6n + 5 6n? Para los impares: 3 6n + 5 6n 1 2n + ( 1) 3n { 0, n impar 2, n par (mód 13).
8 Problema 8. Para qué valores de n es divisible por 13 el número 3 6n + 5 6n? Para los impares: 3 6n + 5 6n 1 2n + ( 1) 3n { 0, n impar 2, n par (mód 13).
9 Problema 9. (a) En una pizarra están escritos todos los números del 1 al Vamos, sucesivamente, borrando un par de números escritos a, b y escribiendo en su lugar el número a + b 2, hasta que sólo quede un número. Qué número es? (b) Ahora escribimos los números del 1 al 2011, y vamos, sucesivamente, borrando dos números a, b y escribiendo en su lugar a b, hasta que sólo quede un número. Será este número par o impar?
10 Problema 9. (a) En una pizarra están escritos todos los números del 1 al Vamos, sucesivamente, borrando un par de números escritos a, b y escribiendo en su lugar el número a + b 2, hasta que sólo quede un número. Qué número es? (b) Ahora escribimos los números del 1 al 2011, y vamos, sucesivamente, borrando dos números a, b y escribiendo en su lugar a b, hasta que sólo quede un número. Será este número par o impar? a) Al comienzo, hay 2010 números escritos y la suma de todos ellos es ( ) =
11 En cada paso queda un número menos y la suma de los números escritos se reduce en 2 unidades. Cuando queda sólo un número se han dado 2009 pasos, y la suma de los números se ha reducido en = 4018 unidades. El número que queda al final es = (b) La suma de los números al comienzo es S = ( ) = , 2 un número par. En cada paso la suma pasa de ser, digamos, S 0 + a + b a S 0 + a b, luego disminuye en a + b a b = 2 mín(a, b), un número par. Entonces el número final será par.
12 Problema 10. En una isla hay 13 camaleones blancos, 15 verdes y 17 rojos. Cuando se encuentran dos camaleones de distinto color, los dos se vuelven del tercer color. Pueden ser los 45 camaleones de color blanco en algún momento?
13 Problema 10. En una isla hay 13 camaleones blancos, 15 verdes y 17 rojos. Cuando se encuentran dos camaleones de distinto color, los dos se vuelven del tercer color. Pueden ser los 45 camaleones de color blanco en algún momento? 1 a Solución Supongamos que se encuentran primero un camaleón blanco y uno verde, y los dos pasan a ser rojos. Disminuyen en una unidad los números de blancos y verdes, y aumenta en dos unidades el número de rojos; la terna de restos módulo 3 pasa a ser (0, 2, 1). Supongamos que se encuentran primero un camaleón blanco y uno rojo, y los dos pasan a ser verdes. La terna de restos módulo 3 pasa a ser (0, 2, 1). Supongamos que se encuentran primero un camaleón verde y uno rojo, y los dos pasan a ser blancos. La terna de restos módulo 3 pasa a ser (también) (0, 2, 1).
14 Tras cualquier segundo encuentro, la terna de restos pasa a ser (2, 1, 0). Tras cualquier tercer encuentro la terna de restos vuelve a ser (1, 0, 2), lo mismo que al principio. Entonces, es imposible que en algún momento la terna de restos pase a ser (0, 0, 0), como sucedería en el caso de ser blancos los 45 camaleones.
15 2 a Solución Es una solución algebraica. Llamemos x al número de encuentros entre camaleones blancos y verdes, y al número de encuentros entre camaleones blancos y rojos y z al número de encuentros entre camaleones verdes y rojos. Planteamos entonces el siguiente sistema: 13 x y + 2z = x + 2y z = x y z = 0 Si restamos la tercera ecuación menos la segunda, obtenemos que 2 + 3x 3y = 0, o lo que es lo mismo, que 2 = 3(y x), pero x e y son números naturales, con lo cual es imposible que el producto 3(y x) sea 2. Por tanto, no hay solución con números enteros para este sistema, de modo que en ningún caso podrán ser los 45 camaleones blancos simultáneamente.
16 Problema 11. Un triángulo rectángulo de base b = 30 cm se divide en dos partes por una recta paralela a la base, a saber, en un trapecio de área F 1 y altura y 1, y un triángulo de área F 2 y altura y 2. La longitud del segmento de división es x. Conocidos además los datos F 1 F 2 = = 420 cm 2, y 2 y 1 = δ = 20 cm, se trata de hallar x, y 1 e y 2.
17 Problema 11. Un triángulo rectángulo de base b = 30 cm se divide en dos partes por una recta paralela a la base, a saber, en un trapecio de área F 1 y altura y 1, y un triángulo de área F 2 y altura y 2. La longitud del segmento de división es x. Conocidos además los datos F 1 F 2 = = 420 cm 2, y 2 y 1 = δ = 20 cm, se trata de hallar x, y 1 e y 2. Solución 1. (Este problema, con estos datos y con su solución de este modo, procede de una tablilla cuneiforme babilonia del tiempo de Hammurabi, 1700 a.c.). Añadamos a la izquierda del triángulo un rectángulo de altura y 1 + y 2 y anchura c, donde de momento c es una incógnita auxiliar. Se prolonga también la recta de división. En el trapecio rectángulo así formado, sean A 1 y A 2 las áreas de los trapecios inferior y superior. Escojamos la anchura c de manera que sea A 1 = A 2.
18 En tal caso, 0 = A 1 A 2 = F 1 + cy 1 (F 2 + cy 2 ) = cδ, luego debe ser c = δ = 21 cm. Ahora, de acuerdo con el problema 3 de la hoja 1, sabemos que (b + c) c + x = 2 + c 2, 2 luego (b + c) x = 2 + c 2 51 c = = 18 cm. 2 2
19 Ya sólo queda resolver el sistema y 2 y 1 = 20 y 2 18 = y resultando y 1 = 40 cm, y 2 = 60 cm.
20 Solución 2. Por los datos del problema: F 2 = x y 2 2 F 1 = (30 + x)y 1 2 de donde F 1 F 2 = 15y 1 + x y 1 y 2 = Es decir, 3y 1 2x = 84. De la semejanza de triángulos, x y 2 = 30 y 1 + y 2, relación que podemos poner en términos de y 1, ya que x = 3y e y 2 = 20 + y 1.
21 Así llegamos a la ecuación 3y (20 + y 1 ) = 30 2y que, simplificada, queda y y = 0. La única solución positiva es y 1 = 40 cm, lo que nos lleva a x = 18 cm, y 2 = 60 cm.
22 Problema 12. Sea M el punto medio del lado BC de un triángulo ABC (AB > AC), y sea AL (donde L es un punto de BC) la bisectriz interior del ángulo A. La recta que pasa por M y es perpendicular a AL corta a AB en el punto D. Probar que AD = 1 2 (AB + AC).
23 Problema 12. Sea M el punto medio del lado BC de un triángulo ABC (AB > AC), y sea AL (donde L es un punto de BC) la bisectriz interior del ángulo A. La recta que pasa por M y es perpendicular a AL corta a AB en el punto D. Probar que AD = 1 2 (AB + AC). La recta que pasa por M y es perpendicular a AL corta a la prolongación de AC en el punto K.
24 El ADK es isósceles, luego AD = AK. Trazar por C la recta CE (E en DK) paralela a AB. Se tiene CE = BD, el CEK es isósceles (CE = CK), luego 2AD = AD + AK = AB BD + AC + CK = AB + AC.
25 Problema 13. Resolver la ecuación (x 2 3x + 1) 2 3(x 2 3x + 1) + 1 = x.
26 Problema 13. Resolver la ecuación (x 2 3x + 1) 2 3(x 2 3x + 1) + 1 = x. La ecuación tiene la forma f (f (x)) = x, donde f (x) = x 2 3x + 1. Si x es solución de la ecuación f (x) = x, entonces también es solución de f (f (x)) = x, porque en ese caso f (f (x)) = f (x) = x. Luego dos soluciones de la ecuación son las soluciones de x 2 4x + 1 = 0: x 1,2 = 2 ± 3. Dividiendo, conseguimos la factorización (x 2 3x + 1) 2 3(x 2 3x + 1) + 1 x = x 4 6x 3 + 8x 2 + 2x 1 = (x 2 4x + 1)(x 2 2x 1), luego x 3,4 = 1 ± 2.
27 Problema 14. Se puede transformar la función f (x) = x 2 + 4x + 3 en la función g(x) = x x + 9 por una cadena sucesiva de transformaciones de la forma T (f (x)) = x 2 f (1 + 1/x) ó S(f (x)) = (x 1) 2 f (1/(x 1))?
28 Problema 14. Se puede transformar la función f (x) = x 2 + 4x + 3 en la función g(x) = x x + 9 por una cadena sucesiva de transformaciones de la forma T (f (x)) = x 2 f (1 + 1/x) ó S(f (x)) = (x 1) 2 f (1/(x 1))? En general, T (ax 2 + bx + c) = (a + b + c)x 2 + (2a + b)x + a, y el discriminante de este polinomio imagen es (2a + b) 2 4a(a + b + c) = b 2 4ac, el mismo que el del polinomio original.
29 S(ax 2 + bx + c) = cx 2 + (b 2c)x + a b + c, y el discriminante de este polinomio imagen es (b 2c) 2 4c(a b + c) = b 2 4ac, el mismo que el del polinomio original. Cualquier cadena de transformaciones T y S aplicada a un polinomio de segundo grado conservará el valor inicial del discriminante. Pero el discriminante de x 2 + 4x + 3 es 4, y el de x x + 9 es 64, luego f (x) no se puede transformar así en g(x).
30 Problema 15. Se colocan 41 torres en un tablero de ajedrez Probar que siempre se podrán seleccionar cinco de ellas, de modo que ninguna de las cinco esté atacando a ninguna otra de esas cinco.
31 Problema 15. Se colocan 41 torres en un tablero de ajedrez Probar que siempre se podrán seleccionar cinco de ellas, de modo que ninguna de las cinco esté atacando a ninguna otra de esas cinco. Formamos un cilindro pegando dos lados opuestos del tablero, y pintamos de 10 colores distintos las 10 diagonales principales de ese tablero enrrollado.
32 Tenemos 41 = palomas (torres) en 10 nidos (diagonales monocromáticas). Por el principio del palomar, tiene que haber al menos un nido (diagonal) con 5 palomas (torres). Pero 2 torres en la misma diagonal monocromática no se atacan, de acuerdo con las reglas del ajedrez.
1. Determine el valor de la constante k para que la recta kx + (3 k)y + 7 = 0 sea perpendicular a la recta x + 7y + 1 = 0
Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Campus Santiago Geometría Analítica 1. Determine el valor de la constante k para que la recta kx + (3 k)y + 7 = 0 sea perpendicular a
TALLER # 4 DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA SEMEJANZAS Y RELACIONES MÉTRICAS. Universidad de Antioquia
TALLER # 4 DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA SEMEJANZAS Y RELACIONES MÉTRICAS Universidad de Antioquia Profesor: Manuel J. Salazar J. 1. El producto de las medidas de las diagonales de un cuadrilátero inscrito es
LA RECTA Y SUS ECUACIONES
UNIDAD 1 LA RECTA Y SUS ECUACIONES PROBLEMAS PROPUESTOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas correspondientes a las rectas en el plano y sus ecuaciones. Objetivos
Soluciones oficiales de los problemas de la Final de la XXI Olimpiada Nacional de Matemática 2009
Soluciones oficiales de los problemas de la Final de la XXI Olimpiada Nacional de Matemática 009 Comisión Académica 1 Nivel Menor Problema 1. Considere un triángulo cuyos lados miden 1, r y r. Determine
UNIDAD 8 Geometría analítica
Pág. 1 de 5 I. Sabes hallar puntos medios de segmentos, puntos simétricos de otros y ver si varios puntos están alineados? 1 Los puntos A( 1, 3), B(2, 6), C (7, 2) y D( 5, 3) son vértices de un cuadrilátero.
Curso Curso
Problema 84. Sea AB el diámetro de una semicircunferencia de radio R y sea O el punto medio del segmento AB. Con centro en A y radio OA se traza el arco de circunferencia OM. Calcular, en función de R,
Semejanza. Razones. Teorema de Thales. Proporciones. a = b. c d
Semejanza Razones Razones y proporciones Teorema de Thales Triángulos semejantes Teoremas de semejanza Teoremas de Euclides Perímetro y Área a) Razón. Es el cuociente entre dos números (positivos). b)
INSTITUTO RAÚL SCALABRINI ORTIZ CUADRILATERO
CUADRILATERO INTRODUCCION Son polígonos de 4 lados. La suma de los ángulos interiores es igual a 360º y la suma de los ángulos exteriores es igual a 360º. Vértices : A, B, C, D Lados : a, b, c, d Ángulos
Tema 10: Problemas métricos en el plano
Tema 10: Problemas métricos en el plano 10.1 Relaciones angulares Construye un polígono de cinco lados, divídelo en triángulos para averiguar la suma de los ángulos interiores del pentágono. Nuestro pentágono
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
EL LENGUAJE MATEMÁTICO
Actividad 1 Lee las siguientes frases con contenido matemático y averigua qué objetos matemáticos aparecen y qué símbolos matemáticos se utilizan: a) Los números dos y cuatro son números pares. b) Los
Seminario de problemas Curso Soluciones HOJA 4
Seminario de problemas Curso 04-5 Soluciones HOJA 4. Sea ABCD un trapecio cuya base mayor es AB. Las diagonales AC y BD se cortan en el punto P. Si llamamos respectivamente A, A, A y A a las áreas de los
4. GEOMETRÍA // 4.1. EL TEOREMA DE THALES
4. GEOMETRÍA // 4.1. EL TEOREMA DE THALES Y EL TEOREMA DE PITÁGORAS. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS 4.1.1. El teorema de Thales y consecuencias. Thales de Mileto vivió hacia
2. De acuerdo a lo determinado en el numeral anterior, alguno de los polígonos es simple?. Justifique su respuesta.
8.16 EJERCICIOS PROPUESTOS Temas: Poligonal. Polígonos. Cuadriláteros convexos. 1. En las figuras siguientes B está entre A y C; K, está entre S y M; D, H, V, T son colineales. O está entre P y Q y O está
SOLUCIÓN PRIMERA ELIMINATORIA NACIONAL NIVEL C
XXIV OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA MEP ITCR UCR UNA UNED - MICIT SOLUCIÓN PRIMERA ELIMINATORIA NACIONAL NIVEL C 01 1. Un factor de la factorización completa de corresponde a mx y + 9y m x y x 4
Curso Curso
Problema 71. En una corona circular se inscribe un cuadrado de modo que uno de sus lados es tangente a la circunferencia menor (de radio r) y tiene sus dos vértices en la circunferencia mayor (de radio
Vectores equipolentes. Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.
TEMA 9: GEOMETRIA ANALÍTICA VECTORES EN EL PLANO Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). Si las coordenadas de A son (x1, y1) y las de B, (X, y), las
Página 209 PARA RESOLVER. 44 Comprueba que el triángulo de vértices A( 3, 1), B(0, 5) y C(4, 2) es rectángulo
44 Comprueba que el triángulo de vértices A(, ), B(0, ) y C(4, ) es rectángulo y halla su área. Veamos si se cumple el teorema de Pitágoras: AB = (0 + ) + ( ) = AC = (4 + ) + ( ) = 0 BC = 4 + ( ) = 0 +
Curso Curso
Problema 16. Hace 10 años las edades de Ximena, Yolanda y Zoe estaban en la relación 1 : 2 : 5. Hoy las edades de Ximena y Yolanda están en la relación 6 : 7. Cuál es la edad actual de Zoe? Problema 16.
4. GEOMETRÍA // 4.1. EL TEOREMA DE THALES
4. GEOMETRÍA // 4.1. EL TEOREMA DE THALES Y EL TEOREMA DE PITÁGORAS. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2011-2012 4.1.1. El teorema de Thales y consecuencias. 4.1.1. El teorema
( 2) 1. Simplificar las siguientes expresiones usando propiedades de la potenciación: a) f) 5 0 b) 2 6 : 2 3 g) 2 4.
DO AÑO. 014 TRABAJO PRÁCTICO 0 1. Simplificar las siguientes expresiones usando propiedades de la potenciación: a) 5.. f) 5 0 b) 6 : g) 4. - + c) 5-5. 5 h) 5 d) ( 5 ) 5 i) e) Esta Guía 0 contiene los prerrequisitos
Seminario de problemas-bachillerato. Curso Hoja 8
Seminario de problemas-bachillerato. Curso 202-. Hoja 8 40. Se puede dibujar un triángulo equilátero que tenga los tres vértices sobre puntos de una malla cuadrada? Qué polígonos regulares se pueden dibujar
Soluciones Fase Local Viernes 13 y sábado 14 de enero de m 7 = n 2
LIII Olimpiada Matemática Española Soluciones Fase Local Viernes 3 y sábado 4 de enero de 07 Olimpiada Matemática Española RSME. Describir todas las soluciones enteras positivas (m, n) de la ecuación 8m
Seminario de problemas. Curso Hoja 14
Seminario de problemas. Curso 2015-16. Hoja 14 79. (a) Prueba que en cualquier conjunto de 27 números impares distintos, todos ellos menores que 100, habrá dos que sumen 102. (b) Cuántos conjuntos de 26
Problemas de fases nacionales e internacionales
Problemas de fases nacionales e internacionales 1.- (China 1993). Dado el paralelogramo ABCD, se consideran dos puntos E, F sobre la diagonal AC e interiores al paralelogramo. Demostrar que si existe una
Facultad de Ingeniería Facultad de Tecnología Informática. Matemática Números reales Elementos de geometría analítica. Profesora: Silvia Mamone
Facultad de Ingeniería Facultad de Tecnología Informática Matemática Números reales Elementos de geometría analítica 0 03936 Profesora: Silvia Mamone UB Facultad de Ingeniería Facultad de Tecnología Informática
Seminario de problemas-eso. Curso Hoja 10
Seminario de problemas-eso. Curso 011-1. Hoja 10 5. Dado un triángulo cualquiera, demuestra que es posible recubrir el plano con infinitos triángulos iguales al dado, de forma que estos triángulos no se
Seminario de problemas Curso Hoja 1
Seminario de problemas urso 2016-17. Hoja 1 1. En el trapecio rectángulo P RS trazamos las diagonales, siendo 5 y 10 las áreas de dos de los triángulos que determinan, como se muestra en la figura. uál
Seminario de problemas. Curso Hoja 5
Seminario de problemas. Curso 2014-15. Hoja 5 29. Encuentra los números naturales N que cumplen las siguientes condiciones: sus únicos divisores primos son 2 y 3, y el número de divisores de N 2 es el
14. PROPORCIONALIDAD DIRECTA
14. PROPORCIONALIDAD DIRECTA 14.1. Características generales Consideramos que una variable x puede adquirir los valores a,b,c,d, y otra variable los valores a, b, c, d, x e y son directamente proporcionales
Traslación paralela en el triángulo
Traslación paralela en el triángulo Francisco Javier García Capitán 1. Introducción La magnífica obra Métodos y Teorías para la Resolución de Problemas de Construcciones Geométricas, con más de 400 problemas,
UNIDAD 3 LA RECTA Y SU ECUACIÓN CARTESIANA. Dada la ecuación de dos rectas. Determinará si se cortan, si son paralelas o perpendiculares. Y l.
UNIDAD 3 LA RECTA SU ECUACIÓN CARTESIANA OBJETIVOS ESPECÍFICOS. Al término de la unidad, el alumno: Conocerá las distintas formas de representación de la recta e identificará cuál de ellas conviene usar.
EJERCICIOS ÁREAS DE REGIONES PLANAS
EJERCICIOS ÁREAS DE REGIONES PLANAS 1. En un triángulo equilátero se inscribe una circunferencia de radio R y otra de radio r tangente a dos de los lados y a la primera circunferencia, hallar el área que
XX OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICA PRIMERA RONDA COLEGIAL - 23 DE MAYO DE NIVEL 1. Nombre y Apellido:... Grado:... Sección:...
PRIMERA RONDA COLEGIAL - 23 DE MAYO DE 2008 - NIVEL 1 Nombre y Apellido:................................. Grado:....... Sección:...... Puntaje:.......... Los dibujos correspondientes a los problemas de
NIVEL : 1er. AÑO PROFESORAS: L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO C RAMIREZ N. AÑO : 2010 AYUDANTE : C. ESCOBEDO C.
UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO ESCUELA DE DISEÑO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA CONSTRUCCION ASIGNATURA : MATEMATICAS MATERIAL DE APOYO NIVEL : 1er. AÑO PROFESORAS: L. ALTIMIRAS
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA. 1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto ( 2, 2) tiene como vector director el vector
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto (, ) tiene como vector director el vector v i j A y x a + vt La ecuación paramétrica de una recta es
El ejercicio de la demostración en matemáticas
El ejercicio de la demostración en matemáticas Demostración directa En el tipo de demostración conocido como demostración directa(hacia adelante) se trata de demostrar que A B partiendo de A y deduciendo
GEOMETRÍA PLANA 3º E.S.O. Un polígono es una figura geométrica plana y cerrada limitada por tres o más segmentos llamados lados.
GEOMETRÍA PLANA 3º E.S.O. POLÍGONO.- Un polígono es una figura geométrica plana y cerrada limitada por tres o más segmentos llamados lados. El triángulo (tres lados), el cuadrilátero (cuatro lados), el
Guía de Rectas en el plano. Prof. Wilson Herrera. 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto a(1, 5) y tiene de pendiente 2.
Wilson Herrera 1 Guía de Rectas en el plano. Prof. Wilson Herrera. 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto a(1, 5) y tiene de pendiente 2. 2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por
Seminario de problemas ESO. Curso Hoja 10
Seminario de problemas ESO. urso 014-1. Hoja 10 64. Iván escribe los números del 1 al 0 en orden y, puesto que los números del 10 al 0 tienen cifras, se da cuenta de que en total ha escrito 31 cifras.
Bueno, los dejo para que se entretengan y perdón por la demora de los problemas. Se les quiere y éxito. Angel El Chino Márquez.
Holis mijo s. Aquí están la tarea larga (ni tanto) de geometría. Los problemas son de lo que han visto con la maestra Claudia y conmigo, aunque algunos sí le tienen que pensar algo. Los problemas que les
OLIMPÍADA JUVENIL DE MATEMÁTICA 2010 CANGURO MATEMÁTICO PRUEBA PRELIMINAR TERCER AÑO
OLIMPÍADA JUVENIL DE MATEMÁTICA 2010 CANGURO MATEMÁTICO PRUEBA PRELIMINAR TERCER AÑO RESPONDE LA PRUEBA EN LA HOJA DE RESPUESTA ANEXA 1. El perímetro de la figura es igual a: A 3a+4b; B 3a+8b; C 6a+4b;
Guía de Estudio Matemáticas SEP En una multiplicación de signos diferentes, el resultado será: a) Negativo b) Indiferente c) Positivo d) Cero
1. En una multiplicación de signos diferentes, el resultado será: a) Negativo b) Indiferente c) Positivo d) Cero 2.- Los conjuntos A = {x N es un número impar positivo menor que 10} y B = {2, 3, 5, 6,
Geometría. Elaborado por: Jeff Maynard Guillén. Eliminatoria III
Geometría Elaborado por: Jeff Maynard Guillén Eliminatoria III Mayo, 011 Geometría Definición Un paralelogramo es una figura ABCD con cuatro lados, los segmentos AB, BC, CD y DA tales que los pares de
Polígonos y Triángulos
7 o Básico 2015 Profesor Alberto Alvaradejo Ojeda 1. Polígono Un polígono es una figura plana cerrada formada por trazos o segmentos. Los polígonos se pueden clasificar en: Cóncavos: son los aquellos polígonos
GUIA DE TRABAJO Materia: Matemáticas. Tema: Geometría-8a- Soluciones de relaciones métricas en los triángulos Fecha: Profesor: Fernando Viso
GUIA DE TRAJO Materia: Matemáticas. Tema: Geometría-8a- Soluciones de relaciones métricas en los triángulos Fecha: Profesor: Fernando Viso Nombre del alumno: Sección del alumno: CONDICIONES: Trabajo individual.
Primera Fase Primera sesión Viernes mañana, 17 de enero de 2014
Primera sesión Viernes mañana, 17 de enero de 2014 1. Tenemos 50 fichas numeradas del 1 al 50, y hay que colorearlas de rojo o azul. Sabemos que la ficha 5 es de color azul. Para la coloración del resto
BÁSICOS DE GEOMETRÍA: Solución a los Ejercicios Propuestos
CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA: Solución a los Ejercicios Propuestos Tutor Carmen Aleisy Rodríguez Junio de 009 Solución a los Ejercicios propuestos 1. El grafico muestra las rectas paralelas m y n y la
Seminario de problemas-eso. Curso Hoja 14
Seminario de problemas-eso. Curso 011-1. Hoja 14 6. Determina el valor de m tal que la ecuación en x x 4 (3m + )x + m = 0 tenga cuatro raíces en progresión aritmética. Como la suma de las cuatro raíces
GEOMETRÍA ANALÍTICA PARA LA CLASE. A (x 2 ;y 2 ) y 2. d(a,b) y 2 y 1. x 1 x 2. y 1. B (x 1 ;y 1 ) x 2. Geometría Analítica DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
GEOMETRÍA ANALÍTICA La Geometría Analítica hace uso del Álgebra y la Geometría plana. Con ella expresamos y resolvemos fácilmente problemas geométricos de forma algebraica, siendo los sistemas de coordenadas
Seminario de problemas. Curso Hoja 10
Seminario de problemas. Curso 015-16. Hoja 10 55. A un fabricante de tres productos cuyos precios por unidad son de 50, 70 y 65 euros, le pide un detallista 100 unidades, remitiéndole en pago de las mismas
Fase Local OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA
OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA Fase Local Mañana del Sábado 1 Dado un número entero n escrito en el sistema de numeración decimal, formamos el número entero k restando del número formado por las tres últimas
VI Olimpiada Mexicana de Matemáticas Fase Hidrocálida
VI Olimpiada Mexicana de Matemáticas Fase Hidrocálida Primera Prueba 99 Ganadores Martha Patricia Coronado Guzmán Luis Armando Cortés López Guillermina de Lara Romo Edgar Rogelio Luévano Martínez Gabriela
Modulo de aprendizaje de matemática. Semejanza de figuras planas.
Modulo de aprendizaje de matemática. Semejanza de figuras planas. Concepto de semejanza. EJEMPLO. Dos polígonos convexos son semejantes si tienen la misma forma con diferentes dimensiones. Diremos que
PREEVALUACIÓN CURSO 0 SOLUCIONES
PREEVALUACIÓN CURSO 0 SOLUCIONES Problema. Dado el número decimal 9, encuentra su representación binaria. Solución. Para encontrar la representación binaria del número, lo pondremos en una columna, en
Curso Curso
Problema 77. Se considera un triángulo equilátero de lado 1 y centro O, y vértices A, B y C. Un rayo luminoso parte de O, se refleja una vez en cada uno de los tres lados, AB, AC y BC (en el orden dado)
Necesitamos tener los vectores de dirección de ambas rectas. Para calcular el ángulo que forman, aplicamos la siguiente fórmula:
PROBLEMAS MÉTRICOS ÁNGULOS ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS Necesitamos tener los vectores de dirección de ambas rectas. Para calcular el ángulo que forman, aplicamos la siguiente fórmula: cos α = ÁNGULO QUE
Ejercicios 16/17 Lección 5. Geometría. 1. como combinación lineal de u = (2,5), expresa uno de ellos como combinación lineal de los otros dos.
Ejercicios 16/17 Lección 5. Geometría. 1 1. Expresa el vector u = ( 3, 1) como combinación lineal de los vectores v = ( 3, ) w = ( 4, 1). y. Expresa w = (4, 6) como combinación lineal de u = (,5) y v =
11. ALGUNOS PROBLEMAS CON TRIÁNGULOS
11. ALGUNOS PROBLEMAS CON TRIÁNGULOS Estos problemas son ejemplos de aplicación de las propiedades estudiadas. 11.1. Determinar la posición de un topógrafo que tiene tres vértices geodésicos A,B,C, si
= λ + 1 y el punto A(0, 7, 5)
94 GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO en las PAU de Asturias Dados los puntos A(1, 0, 1), B(l, 1, 1) y C(l, 6, a), se pide: a) hallar para qué valores del parámetro a están alineados b) hallar si existen
Unidad 8. Geometría analítica. BACHILLERATO Matemáticas I
Unidad 8. Geometría analítica BACHILLERATO Matemáticas I Determina si los puntos A(, ), B (, ) y C (, ) están alineados. AB (, ) (, ) (, ) BC (, ) (, ) ( 8, ) Las coordenadas de AB y BC son proporcionales,
PÁGINA 84 AB = ( 2, 7) (1, 1) = ( 3, 6) 8 AB = ( 3) = = 45 = CD = (3, 6) (6, 0) = ( 3, 6) 8 = 45 = 3 5
Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 4 1 Representa los vectores AB y CD, siendo A(1, 1), B(, 7), C(6, 0), D(3, 6) y observa que son iguales. Comprueba que AB = CD hallando sus coordenadas.
2 4 0 x 1 ± o ( 11) p
Problema 1 Se tienen dos progresiones de números reales, una aritmética (a n n N yotrageométrica (g n n N no constante Se cumple que a 1 = g 1 0, a = g y a 10 = g 3 Decidir, razonadamente, si para cada
LA RECTA Y SUS ECUACIONES
UNIDAD LA RECTA Y SUS ECUACIONES EJERCICIOS RESUELTOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas correspondientes a las rectas en el plano y sus ecuaciones. Objetivo. Recordarás
( ) = ( 2 1) + ( 6 2 ) ( ) RESOLUCIÓN RERESOLUCIÓN RESOLUCIÓN SEMANA 5 GEOMETRÍA ANALÍTICA. d AC d = 5 2L = 25 L = RPTA.:C RPTA.
SEMANA 5 GEOMETRÍA ANALÍTICA. Sean: A (-;5; B (;- y C (0;b; puntos del plano. Si d (A, B d (B,C, Halle el valor de b, si es negativo. A - B -5 C -7 D -8 E -9 RE ( ( 5 ( 0 ( + + + b + b ± 5 donde: b b 7
Curso Curso
Problema 125 Demostrar que 1 2 7 + 1 7 12 + 1 12 17 + + 1 47 52 < 1 10. Problema 125 Demostrar que 1 2 7 + 1 7 12 + 1 12 17 + + 1 47 52 < 1 10. Observamos primero que 1 x(x + 5) = 1 5 ( 1 x 1 ). x + 5
Seminario de problemas-eso. Curso Hoja 18
Seminario de problemas-eso. Curso 2012-13. Hoja 18 106. Encuentra todas las formas esencialmente diferentes de colocar cuatro puntos en el plano de modo que los seis segmentos rectilíneos que determinan
Ejercicios 17/18 Lección 5. Geometría. 1. como combinación lineal de u = (2,5), expresa uno de ellos como combinación lineal de los otros dos.
Ejercicios 17/18 Lección 5. Geometría. 1 1. Expresa el vector u = ( 3, 1) como combinación lineal de los vectores v = ( 3, ) w = ( 4, 1). y. Expresa w = (4, 6) como combinación lineal de u = (,5) y v =
Ejercicios de Álgebra Lineal Parcial 1
Ejercicios de Álgebra Lineal Parcial 1 1. Ejercicios de respuesta corta ( ) 3 1 a) Si A = encuentre la entrada c 6 2 12 de la matriz A 2 { x 3y = 1 b) Si para k R el sistema tiene solución única, verique
CAPÍTULO 3. COORDENADAS CARTESIANAS EN EL PLANO. RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS.
CAPÍTULO 3. COORDENADAS CARTESIANAS EN EL PLANO. RECTAS CIRCUNFERENCIAS. Ejercicios E1. Sean r la recta que pasa por los puntos. A(1, 2), B(3, 1), s la recta que pasa por el punto C(2, 2) y tiene pendiente
MATHEMATICA. Geometría - Recta. Ricardo Villafaña Figueroa. Material realizado con Mathematica. Ricardo Villafaña Figueroa
MATHEMATICA Geometría - Recta Material realizado con Mathematica 2 Contenido Sistema de Coordenadas... 3 Distancia entre dos puntos... 3 Punto Medio... 5 La Recta... 8 Definición de recta... 8 Pendiente
Universidad de Talca Taller de Matemática 2002 Estudiantes de Enseñanza Media
Taller 5 Construcciones con Regla y Compás Profesores: Claudio del Pino, Cristian Mardones 1. Copiar un triángulo Dado un triángulo ABC. Copiar este triángulo. A C B Construir un punto (P) cualquiera y
Geometría Analítica Enero 2015
Laboratorio #1 Distancia entre dos puntos I.- Hallar el perímetro del triángulo, cuyos vértices son los puntos dados. A( 2,, B( 8,, C( 5, 10) R( 6, 5) S( 2, - T(3,- U( -1, - V( 2, - W( 9, 4) II.- Demuestre
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR CATÁLOGO 2008 SOLUCIONARIO del MODELO DE EXAMEN DE ADMISIÓN
993 77 993 30 UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR CATÁLOGO 008 SOLUCIONARIO del MODELO DE EXAMEN DE ADMISIÓN Resuelto por los profesores del Instituto ALBERT EINSTEIN Conocimientos de Matemática.- Se tiene: Desarrollando:
EVALUACION: 1ª CURSO: 1º B.C.T. FECHA: 8/11/13 EXAMEN: 1º. 1) Simplifica todo lo posible racionalizando los denominadores:
EVALUACION: 1ª CURSO: 1º B.C.T. FECHA: 8/11/13 EXAMEN: 1º 1) Simplifica todo lo posible racionalizando los denominadores: + 2) Simplifica todo lo posible la siguiente operación con fracciones algebraicas:
Artículo Extra sobre el número 800 de la Revista. Sobre Proporciones.
Artículo Extra sobre el número 800 de la Revista. Sobre Proporciones. F. Damián Aranda Ballesteros. Problema 1.- Sea ABC un triángulo isósceles con un punto X sobre AB tal que se verifique que AX = CX
Trabajo de Matemáticas AMPLIACIÓN 3º ESO
Trabajo de Matemáticas AMPLIACIÓN º ESO ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN TEMA : NÚMEROS FRACCIONARIOS O RACIONALES Problema nº Un grifo tarda en llenar un depósito horas y otro tarda en llenar el mismo depósito
Matemáticas II. d) Perpendicular al plano π: 2x y + 3z 1 = 0, paralelo a la recta r : x 1 2 = y 3 = z 8
I.E.S. Juan Carlos I Ciempozuelos (Madrid) Matemáticas II * Geometría analítica en R 3 * 1. Determina cuáles de las siguientes ternas de puntos son puntos alineados. Encuentra la ecuación de la recta que
Olimpiada Paceña de Matemática
Olimpiada Paceña de Matemática Carrera de Matemática Instituto de Investigación Matemática, Facultad de Ciencias Puras y Naturales, Universidad Mayor de San Andrés, La Paz, Bolivia. Cuaderno N 3 Banco
REAL SOCIEDAD MATEMÁTICA ESPAÑOLA. XLIII OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA Comunidad de Madrid. Primera sesión, viernes 24 de noviembre de 2006
REAL SOCIEDAD MATEMÁTICA ESPAÑOLA XLIII OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA Comunidad de Madrid Primera sesión, viernes 4 de noviembre de 006 En la hoja de respuestas, rodea con un círculo la opción que creas
Problemas 1 (Soluciones)
Problemas 1 (Soluciones) 10 de Enero del 2012 1. Cuánto mide el ángulo interior de un octágono regular? Sol. Tengo mi octágono regular y quiero calcular el ángulo señalado: Si tengo n = 8 vértices, divido
Unidad nº 6 Figuras planas 13
Unidad nº 6 Figuras planas 13 Cuestiones 3 1 Puede ser que la suma de los ángulos de un polígono sea 40º Justifica tu respuesta. Debería cumplirse 180º (n ) = 40º, que no se cumple para ningún valor entero
Geometría. Problemas de Semejanza. Olimpiada de Matemáticas en Tamaulipas
Geometría Problemas de Semejanza Olimpiada de Matemáticas en Tamaulipas 1. Problemas Antes de comenzar con los problemas, es conveniente recordar o asegurarse que los olímpicos tienen presentes el tema
TEMA 6. ANALÍTICA DE LA RECTA
TEMA 6. ANALÍTICA DE LA RECTA = 2 + 5t 1. Dadas las rectas r: = 4 3t cada una de ellas. = 1 + 9t y s: = 8 6t, indicar tres vectores directores y tres puntos de 2. Dada la recta 2x 3y + 8 = 0, encontrar
Olimpiada internacional de matemáticas Fórmula de la Unidad / Tercer milenio 2013/2014
La primera ronda, grado R5 1. Un año vamos a denominarlo malo, si en la escritura de su número hay dígitos iguales. Por ejemplo, todos los años desde 1988 hasta 2012 fueron malos. ¾Cuál es la cantidad
INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO
INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (051) - TEMA 1 Pág.: 1 de 3 1. Resuelva las siguientes ecuaciones: a. 4 3x = 5 b. x + 1x + = 3 c. x + 1x + 4 = 10 d. x 1 + = 4 e. x + 3 = 4 f.
Geometría Analítica Agosto 2015
Laboratorio #1 Distancia entre dos puntos I.- Hallar el perímetro del triángulo, cuyos vértices son los puntos dados. 1) A(3, 3), B( 3, 1), C(0, 3) 2) O( 2, 3), P(2, 3), Q(0, 2) 3) R(4, 4), S(7, 4), T(6,
Tema 2. GEOMETRÍA ELEMENTAL Y ANALÍTICA.
Fundamentos Matemáticos para la Ingeniería. Curso 2015-2016. Tema 2. Hoja 1 Tema 2. GEOMETRÍA ELEMENTAL Y ANALÍTICA. 1. Un solar de forma triangular tiene dos lados de longitudes 140,5 m y 170,6 m, y el
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
Pág. Página 75 PRACTICA Operaciones con polinomios Efectúa las operaciones y simplifica las siguientes epresiones: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6( ) 4( 4) ( ) ( 5) ( ) ( ) ( ) 9 ( 4 ) 9 4 4 4 5 8 ( ) ( ) 6( ) 6
Tema 2 2 Geometría métrica en el pla no
Tema Geometría métrica en el pla no CONCEPTOS BÁSICOS Figuras básicas en el plano: puntos, rectas, semirrectas, segmentos y ángulos Los polígonos y su clasificación según los ángulos internos y según el
IES FONTEXERÍA MUROS. 18-X-2013 Nombre y apellidos:...
IES FONTEXERÍA MUROS MATEMÁTICAS 2º E.S.O-A (Desdoble 1) 1º Examen (1ª Evaluación) 18-X-201 Nombre y apellidos:... 1. Contesta estas cuestiones: a) Qué es un monomio?. Un monomio es una expresión algebraica
Sistema Bidimensional
Capítulo 7 Sistema Bidimensional 7.1. Sistema Cartesiano La correspondencia entre pares ordenados de números reales y puntos en el plano, idea inicial que se debe a Renato Descartes (1596-1650), es lo
TEMA 6: LAS FORMAS POLIGONALES
EDUCACIÓN PLÁSTICA Y VISUAL 1º DE LA E.S.O. TEMA 6: LAS FORMAS POLIGONALES Los polígonos son formas muy atractivas para realizar composiciones plásticas. Son la base del llamado arte geométrico, desarrollado
3.1. Distancia entre dos puntos. Definición 3.1. Sean a, b e, se llama distancia entre los números a y b que se denota por d (a, b), a la cantidad:
III. UNIDAD: GEOMETRIA ANALITICA LANA. La Geometría Analítica permite usar los métodos algebraicos en la solución de problemas geométricos, recíprocamente, los métodos de la geometría analítica pueden
Nivel: A partir de 4ESO. Solución: La relación entre la apotema y el lado del hexágono es la misma que entre la altura y
Página 1 de 9 SOLUCIONES MAYO 2017 Soluciones extraídas de los libros: XVI CONCURSO DE PRIMAVERA 2012 XVII CONCURSO DE PRIMAVERA 2013 Obtenibles en http://www.concursoprimavera.es#libros AUTORES: Colectivo
BLOQUE II. GEOMETRÍA.
BLOQUE II. GEOMETRÍA. PROBLEMAS SELECTIVIDAD (PAU) CANTABRIA 2000-204 I.E.S. LA MARINA. CURSO 204/205. MATEMÁTICAS II. Condidera el plano y la recta r dados por : ax + 2y 4z 23 = 0, r: 3 a) ( PUNTO) Halla
4, halla sen x y tg x. 5
TRIGONOMETRÍA 1º.- Sabiendo que 90 º < x < 70 º y que 4, halla sen x y tg x. 5 a) sen x? ; de la fórmula fundamental sen x + cos x 1 se obtiene sen x 1 - cos x. 9 5 de donde sen x 5 3, solución positiva
Soluciones de los problemas propuestos en la sesión expositiva
Soluciones de los problemas propuestos en la sesión expositiva Problema. Sean M y N los puntos medios de los lados AD y BC de un rectángulo ABCD. Tomamos un punto P en la prolongación de DC por encima
Geometría Conceptos básicos Elementos de Geometría. 1. Por un punto fuera de una recta pasa una única paralela a esa recta.
Geometría Conceptos básicos Elementos de Geometría Debido a que los conceptos de Geometría están siempre presente en Matemáticas, Física e Ingeniería, se hará un repaso de estas materias y se presentará