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2 Problema 16. Hace 10 años las edades de Ximena, Yolanda y Zoe estaban en la relación 1 : 2 : 5. Hoy las edades de Ximena y Yolanda están en la relación 6 : 7. Cuál es la edad actual de Zoe?

3 Problema 16. Hace 10 años las edades de Ximena, Yolanda y Zoe estaban en la relación 1 : 2 : 5. Hoy las edades de Ximena y Yolanda están en la relación 6 : 7. Cuál es la edad actual de Zoe? x 1 = y 2 = z 5 x = y y = 2x x x + 10 = 6 7 7x + 70 = 12x + 60

4 5x = 10 x = 2 z = 5x z = 10 La edad actual de Zoe es = 20 años.

5 Problema 17. Demostrar que ambas raíces de la ecuación x 2 + x + 1 = 0 satisfacen donde m, n, p son enteros. x 3m + x 3n+1 + x 3p+2 = 0,

6 Problema 17. Demostrar que ambas raíces de la ecuación x 2 + x + 1 = 0 satisfacen donde m, n, p son enteros. x 3m + x 3n+1 + x 3p+2 = 0, Si x 2 + x + 1 = 0, entonces (1 x)(x 2 + x + 1) = 1 x 3 = 0 x 3 = 1, por tanto, x 3m + x 3n+1 + x 3p+2 = (x 3 ) m + (x 3 ) n x + (x 3 ) p x 2 = 1 + x + x 2 = 0.

7 Problema 18. Para qué valores enteros de x e y es x 2 y 2 divisible por 4?

8 Problema 18. Para qué valores enteros de x e y es x 2 y 2 divisible por 4? Buscamos soluciones enteras. Vemos que x 2 y 2 = (x + y)(x y). No puede suceder que uno de los factores sea múltiplo de un número par y otro no, ya que este hecho contradiría la igualdad de paridad de la suma y resta de dos números. Por tanto, 2 ha de ser un factor de x + y y x y. De este modo, x e y han de ser ambos pares o impares simultáneamente.

9 Problema 19. Hallar el resto al dividir por 7 del número

10 Problema 19. Hallar el resto al dividir por 7 del número El resto es 0; es decir, el número es divisible por 7. Por otra parte, mód 7, mód mód 7, mód 7. Esta última cuenta nos lleva a buscar los restos de 2222 y 5555 respecto a 3 y 6, respectivamente, mód 3, mód 6; escribiendo conjuntamente los pasos anteriores tenemos mód 7.

11 Problema 20. Un triángulo equilátero ABC está inscrito en una circunferencia. Sea P un punto cualquiera del arco pequeño AB. Probar que PC = PA + PB.

12 Problema 20. Un triángulo equilátero ABC está inscrito en una circunferencia. Sea P un punto cualquiera del arco pequeño AB. Probar que PC = PA + PB. Solución 1. Sea D el punto del segmento PC tal que PD = PA. Hay que probar que DC = PB. APC = 60 = el APD es equilátero. Y entonces es fácil ver (por ejemplo, por un giro de 60 en torno al punto A) que los triángulos ADC y APB son iguales, y DC y PB son lados correspondientes en la congruencia entre ambos.

13 Solución 2. Aplicando el teorema de Ptolomeo: Si AB = l, se tiene PC l = (PA + PB) l.

14 Problema 21. Dibujemos la circunferencia inscrita en un triángulo ABC. Sea MN el diámetro perpendicular al lado AC, donde N es el punto que está en AC. Sea L el punto de intersección de las rectas BM y AC. Probar que AN = LC.

15 Problema 21. Dibujemos la circunferencia inscrita en un triángulo ABC. Sea MN el diámetro perpendicular al lado AC, donde N es el punto que está en AC. Sea L el punto de intersección de las rectas BM y AC. Probar que AN = LC.

16 Dibujamos la tangente EF a la circunferencia inscrita. EF AC. Consideramos la homotecia H con centro B que transforma M en L. H transforma EF en AC y la circunferencia inscrita al ABC en la circunferencia tangente a los lados BA, BC y AC exterior al triángulo por el lado AC. Denotamos por X, Y, Z y W, respectivamente, a los puntos de tangencia de una y otra circunferencia con los lados BA y BC (ver la figura). Los puntos de tangencia con las rectas EF y AC son, respectivamente, M y L. Como las longitudes de los segmentos de rectas tangentes trazadas desde un mismo punto a una circunferencia son iguales, tenemos: XY = BY BX = BW BZ = ZW. (1) Pero AX = AN y AY = AL = AN + NL, luego XY = 2 AN + NL. Análogamente, CZ = CN = NL + LC y CW = CL, luego ZW = 2 LC + NL. Sustituyendo en (1), resulta es decir, AN = LC. 2 AN + NL = 2 LC + NL,

17 Problema 22. Demuestra que 1 10 < < Generaliza estas estimaciones para el producto n 1 2n.

18 Problema 22. Demuestra que 1 10 < < Generaliza estas estimaciones para el producto n 1 2n. En el caso general, sea A = n 1 2n. Entonces, A 2 = n 1 2n 1. 2n 2n Pero 1 2 < 2 3, 3 4 < 4 5, 5 6 < 6 7,..., 2n 1 2n < 1, luego A 2 < n 1 1 = 1 2n 2n.

19 De aquí sale A < 1 2n. Y por otra parte, 2n > 2 3, luego A 2 > 2n 1 2n de donde sale que A > 1 2 n. 2n > 2n 2 2n 1,..., 5 6 > 4 5, 2n 2 2n = 1 4n,

20 Problema 23. A las 9 h a.m. sale un ciclista desde A hacia B. A las 11 h a.m. sale un auto desde A hacia B que alcanza al ciclista no más tarde de las 12 h. El auto llega a B y vuelve de inmediato hacia A. Por el camino, el auto encuentra al ciclista no más de 3 h después del primer encuentro y llega a A a las 5 h p.m. del mismo día. A qué hora llega el ciclista a B?

21 Problema 23. A las 9 h a.m. sale un ciclista desde A hacia B. A las 11 h a.m. sale un auto desde A hacia B que alcanza al ciclista no más tarde de las 12 h. El auto llega a B y vuelve de inmediato hacia A. Por el camino, el auto encuentra al ciclista no más de 3 h después del primer encuentro y llega a A a las 5 h p.m. del mismo día. A qué hora llega el ciclista a B? Podemos representar el trayecto que siguen el ciclista (c) y el auto (a) mediante el siguiente gráfico:

22 Queremos calcular a, el tiempo que pasa desde las 9 h a.m. hasta el momento en que el ciclista llega a B. Sea c : y = x a la recta a la cual pertenece el segmento que representa el trayecto del ciclista desde A hasta B. Sea a 1 : y = 1 3 (x 2) la recta a la cual pertenece el segmento que representa el trayecto de ida del auto, y a 2 : y = 1 3 (x 8) la del trayecto de vuelta. El tiempo que pasa hasta el primer encuentro, a 1 c, viene dado por: cuya solución es x 1 = 2a a 3. x a = x 3 2 ( 3 1 x 3 1 ) = 2 a 3,

23 El tiempo que pasa hasta el segundo encuentro, a 2 c, viene dado por: x a = x ( 3 1 x ) = 8 a 3, cuya solución es x 2 = 8a a+3. La solución al problema es la solución del sistema de inecuaciones siguiente: { x 1 3 x 2 x 1 3. De la primera inecuación, se obtiene 2a 3a 9, con lo que a 9.

24 De la segunda, tenemos ( 4 2a a ) 3 a 3 2a(3a 15) a a(a 5) a a 2 10a a 2 9 a 2 10a y obtenemos como solución que 1 a 9. De ambas soluciones, se tiene que a = 9, con lo que la hora de llegada del ciclista a B es las 18 h.