8-6 EJERCICIOS INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA Y A LA DESCRIPCIÓN DE DATOS 235

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1 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA Y A LA DESCRIPCIÓN DE DATOS 235 También hemos analizado métodos numéricos para resumir datos. La media, la mediana y la moda describen la tendencia central o localización, mientras que la varianza. la desviación estándar, el rango y el rango intercuartil describen la dispersión o propagación de los datos. Además, se presentaron medidas de sesgo y curtosis para describir, respectivamente, la asimetría y lo puntiagudo de una distribución. También hablamos del coeficiente de correlación para describir el grado de asociación lineal entre dos variables. En los siguientes capítulos se analizará el uso de los resultados de la muestra para establecer inferencias respecto del proceso o del modelo del proceso, o respecto del universo. 8-6 EJERCICIOS 8-1 La vida media de una película fotográfica tic 8-3 Los siguientes datos representan la producción alta velocidad está siendo investigada por un de 90 lotes consecutivos de sustrato de cerámifabricante. Se dispone de los siguientes datos: ca a los que se les ha aplicado un revestimien- Vida Vida Vida Vida (días) (días) (días) (días) to metálico mediante un proceso de deposición por vapor. Construya un histograma con estos datos y analice sus propiedades Construya un histograma y analice las propiedades de los datos. 8-2 El porcentaje de algodón de una tela que se usa para fabricar camisas de hombre se da a continuación. Construya un histograma para los datos. Analice sus propiedades Una compañía de aparatos electrónicos fabrica fuentes de energía para computadoras personales. Se producen varios cientos de fuentes en cada turno y cada unidad se somete a una prueba de quemado de 12 horas. El número de unidades que fallan durante esta prueba de 12 horas en cada turno se presenta a continuación. a) Elabore una distribución de frecuencias y un histograma.

2 236 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA b) Determine la media, la varianza y la desviación Considere los datos de vida media del ejercicio 8-1. Calcule la media. la varianza y la desviación 8-6 Considere los datos de porcentaje de algodón del ejercicio 8-2. Determine la media, la varianza, la desviación estándar, la mediana y la moda de la muestra. 8-7 Considere los datos de producción del ejercicio 8-3. Calcule la media. la varianza y la desviación 8-8 En un artículo de Computers and Industrial Engineering (2001, pág. 51) se describen los datos del tiempo de falla (en horas) para motores de jet. A continuación se presentan algunos de ellos. Motor Tiempo Motor Tiempo núm. de falla núm. de falla a) Construya una distribución de frecuencias y un histograma con estos datos. b) Calcule la media, la mediana, la varianza y la desviación 8-9 Tomando en cuenta los datos de tiempo de falla del ejercicio 8-8, suponga que se descarta la quinta observación (2 horas). Construya una distribución de frecuencias y un histograma con los datos restantes y calcule la media, la mediana, la varianza y la desviación estándar de la muestra. Compare los resultados con los obtenidos en el ejercicio 8-8. Qué impacto tuvo la eliminación de esta observación en el resumen estadístico? 8-10 Un artículo publicado en Technometrics (vol. 19, 1977, pág. 425 ) presenta los siguientes datos acerca de los valores de octanaje de varias mezclas de gasolina: 88.5, 87.7, 83.4, 86.7, , 88.6, 100.3, 95.6, 93.3, 94.7, 91.1, 91.0, 94.2, 87.8, 89.9, 88.3, 87.6, 84.3, 86.7, 88.2, 90.8, 88.3, 98.8, 94.2, 92.7, 93.2, 91.0, 90.3, 93.4, 88.5, 90.1, 89.2, 88.3, 85.3, 87.9, 88.6, 90.9, 89.0, 96.1, 93.3, 91.8, 92.3, 90.4, 90.1, 93.0, 88.7, 89.9, , 87.4, 88.4, 88.9, 91.2, 89.3, 94.4, 92.7, 91.8, 91.6, 90.4, 91.1, 92.6, 89.8, 90.6, 91.1, 90.4, 89.3, 89.7, 90.3, 91.6, 90.5, 93.7, 92.7, 92.2, 92.2, 91.2, 91.0, 92.2, 90.0, 90.7.

3 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA Y A LA DESCRIPCIÓN DE DATOS 237 a) Construya un diagrama de tallos y hojas. b) Construya una distribución de frecuencias y un histograma. e) Calcule la media, la varianza y la desviación (1) Encuentre la mediana y la moda de la muestra. e) Determine las medidas de sesgo y curtosis Considere los datos de vida media del ejercicio 8-1. Construya un diagrama de tallos y hojas con esos datos. Construya un diagrama de tallos y hojas ordenado. Utilice este diagrama para encontrar los percentiles 65 y Considere los datos de porcentaje de algodón del ejercicio Construya un diagrama de caja con los datos de porcentaje de algodón del ejercicio 8-2. Interprete los datos utilizando este diagrama Construya un diagrama de caja con los datos de producción del ejercicio 8-3. Compárelo con el histograma (ejercicio 8-3) y con el diagrama de tallos y hojas (ejercicio 8-13). Interprete los datos Un artículo publicado en Electrical Manufacturing & Coil Wlnding Conference Proceedings (1995. pág. 829) presenta los resultados del número de embarques devueltos, según los registros de cierta empresa. La compañía está interesada en saber por qué fueron regresados los embarques. A continuación se muestran los resultados. Construya un diagrama de Pareto e interprete los datos. a) Construya un diagrama de tallos y hojas. Causa Número de clientes b) Calcule la media, la varianza y la desviación c) Construya un diagrama de tallos y hojas ordenado. d) Encuentre la mediana y el primero y tercer cuartiles. e) Encuentre el rango intercuartil. P Determine las medidas de sesgo y curtosis Considere los datos de producción del ejercicio 8-3. a) Construya un diagrama de tallos y hojas ordenado. b) Encuentre la mediana, y el primer y tercer cuartiles. c) Calcule el rango intercuartil Construya un diagrama de caja con los datos de vida media del ejercicio 8-1. Interprete los datos utilizando este diagrama. Rechazados 195,000 Selección equivocada 50,000 Respuesta equivocada 68,000 Cancelación 5,000 Otra 15, La siguiente tabla lista la frecuencia de ocurrencia de las últimas letras en un artículo del Atlanta Journal. Construya un histograma a partir de estos datos. Alguno de los descriptores numéricos de este capítulo tiene significado para estos datos? a 12 n 19 b 11 o 13 c 11 p 1 d 20 q 0 e 25 r 15 f 13 s 18 g 12 t 20 h 12 u 0 8 v 0 0 w 41 k 2 x 0 11 y 15 m 12 z 0

4 trn r PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA 8-19 Demuestre lo siguiente: n a) Que Y, (xi - x) = 0. i=t ti n b) Que (xi -.r)- =.x; -,a -. i =1 i= Se está investigando el peso de unos cojinetes producidos mediante un proceso de forjado. Una muestra de seis cojinetes tiene los siguientes pesos: 1.18, 1.21, 1.19, 1.17, 1.20 y 1.21 libras. Encuentre la media, la varianza, la desviación estándar y la mediana de la muestra A continuación se muestran los diámetros de ocho pistones automotrices. Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de la muestra mm mm (x) El espesor de unas tarjetas de circuitería es una característica muy importante. Una muestra de ocho tarjetas tiene los siguientes espesores (en milésimas de pulgada): 63, 61, 65, 62, 61, 64, 60 y 66. Calcule la media, la varianza y la desviación Cuáles son las unidades de medida de cada estadística? 8-23 Codificación de datos. Considere los datos de los espesores de las tarjetas de circuitería del ejercicio a) Suponga que restamos una constante 63 a cada número. Cómo se ven afectadas la media, la varianza y la desviación estándar de la muestra? b) Suponga que multiplicamos cada número por 100. Cómo se ven afectadas la media, la varianza y la desviación estándar de la nuestra? 8-24 Codificación de datos. Sea yi = a + bxi, i = 1, 2,..., n, donde ti y b son constantes diferentes de cero. Encuentre la relación entre x y Y, y en Considere la cantidad 1,' l (xi - (1)-'. Para qué valor de a se minimiza esta cantidad? 8-26 La media recortada. Suponga que se arreglan los datos en orden creciente, se eliminan LN% de las observaciones de cada extremo y se calcula la media de los números restantes. La cantidad resultante se denomina media recortada, y generalmente se ubica entre la media x y la mediana _r de la rnuestra. ( Por qué?) a) Calcule la media recortada a 10% para los datos de producción del ejercicio 8-3. b) Calcule la media recortada a 20% para los datos de producción del ejercicio 8-3, y compárela con la cantidad resultante en el inciso a) La media recortada. Suponga que LN no es un entero. Desarrolle un procedimiento para obtener una media rcc(.)rta(ia Considere los datos de vida media del ejercicio 8-1. Construya una distribución de frecuencias y un histograma usando un intervalo de clase de ancho 2. Calcule la media y la desviación estándar aproximadas a partir de la distribución de frecuencias, y compárelas con los valores exactos encontrados en el ejercicio Considere la siguiente distribución de frecuencias. a) Calcule la media, la varianza y la desviación b) Calcule la mediana y la moda. x, Considere la siguiente distribución de frecuencias. a) Calcule la media. la varianz a y la desviación b) Calcule la moda y la mediana. X, fi

5 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA Y A LA DESCRIPCIÓN DE DATOS A partir de los datos de los ejercicios 8-29 y 8-3(1. calcule los coeficientes de variación de la nuestra Calcule la media, la varianza, la mediana y la moda aproximadas de la muestra con los datos que se muestran en la siguiente distribución de frecuencias: Intervalo de clase Frecuencia 10<_x< :5 x < <_ x< <_ x < :5 x < <_ x< <_x< <_x< x< Intervalo de clase Frecuencia 600 <_ x < <_x< :5 x < <_x< :5 x < <_x< <_ x < :5 x < :5 x < Un artículo del International.lournal of Industrial EP,,onomics (1999. pág. 483) describe un estudio para determinar la relación entre el tiempo de agotamiento y la distancia cubierta hasta el agotamiento para diferentes ejercicios en sillas de ruedas realizados en una pista de 400 m al aire libre. El tiempo y las distancias de 10 participantes son los siguientes: 8-33 Calcule la media, la varianza, la mediana y la moda aproximadas a partir de los datos que se muestran en la siguiente distribución de frecuencias: Intervalo de clase Frecuencia -10x<0 3 0x< <_x< <_x< <_x< <_x< <_x<60 2 Tiempo de agotamiento (en segundos ) Distancia cubierta hasta el agotamiento (en metros) Calcule la media, la desviación estándar, la varianza, la mediana y la moda aproximadas a partir de los datos que se muestran en la siguiente distribución de frecuencias: Determine la correlación simple (de Pearson) entre el tiempo y la distancia. Interprete sus resultadus.

6 240 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA 8-36 Una compañía de generación de energía que prestó servicio a clientes residenciales el 1 de mayo de seleccionó una muestra aleatoria de 120 clientes e instaló un medidor del tiempo de uso o un "medidor investigador de carga- en cada una de las residencias seleccionadas. Cuando realizó la instalación. el técnico re2istró también el tamaño de la residencia (en pies'). Durante el pico de demanda del periodo de verano, la compañía experimentó el punto más alto a las 5:31 p.nt. del 30 de julio de 2(X)2. Se enviaron las facturas por el uso de julio (en kwh) a todos los clientes, incluidos los delgrupo muestra. Debido a la facturación cíclica, las facturas de julio no reflejan el mismo periodo de uso para todos los clientes: sin ennhargo. a cada cliente se le asigna un uso para la facturación de ese pies. Los medidores de tiempo de uso tienen memoria y registran la demanda en un momento específico (kw) por intervalo de tiempo: así, para los clientes de la muestra, la demanda promedio de 15 minutos está disponible para el intervalo de tiempo de las 5:00-5:45 p.m. del 30 de julio de El archivo de datos contiene los datos en kwh. kw y pies'- para cada una de las 120 residencias de la muestra. Este archivo está disponible en Usando Minitab" u otro software. realice lo siguiente: a) Construya las graficas de dispersión de 1. kw en función de pies' y analice las presentaciones observadas, considerando específicamente la naturaleza de las asociaciones de los puntos 1 v 2 y. para cada punto. el patrón de variación observado en kw a lo largo del rango de pies' y del rango de kwh. M Construya la gráfica en tres dimensiones de kw' en función de kwh v de pies'. rl Construya histogramas para los datos de ci) kw'h, kw v pies'. y analice los patrones observados. Construya un diagrama de tallos y hojas para los datos en kw h. v compárelo con el histourama de los datos en kwh. e) Determine la inedia. la mediana y la moda de la muestra para kwh, kww v pies'-../) Determine la desviación estándar de la muestra para kwh, kw y pies'-. g) Determine el primer y el tercer cuartiles para kwh. kkv y pies'. h) Determine las medidas de sesgo y curtosis para kwh, kw v pies'. y compárelas con las medidas de una distribución normal. i) Determine la correlación simple (de Pearson) entre kw y pies,. y entre kw y kwh. Interprete sus resultados. 2. kxv en función de kwh.