CAPÍTULO 2. Instrucciones para Uso de Indice de Capítulo Nº 2:

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2 Tópicos de Ingeniería de Minas a Rajo Abierto, Capítulo 2 P. N. Calder 2 CAPITULO 2 TÉCNICAS DE DISEÑO Y PLANIFICACIÓN DE MINAS 2.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE LA SECUENCIA DE EXTRACCIÓN El diseño de las minas a rajo abierto, tanto desde el punto de vista económico como el de la Ingeniería, resulta ser una actividad sumamente compleja e interesante, la cual requiere del análisis de gran cantidad de información. Siempre existirá una significativa e inevitable incertidumbre respecto de la mayor parte de los parámetros más importantes de considerar. La vida de una mina a rajo abierto, se extiende generalmente durante varias décadas. Las condiciones de mercado existentes del producto, como es el caso de la oferta y la demanda, no se pueden pronosticar con precisión durante este tipo de extensiones de tiempo. En el último tiempo, se han dado numerosos ejemplos de grandes proyectos mineros nuevos, los cuales se han mantenido almacenados y protegidos antes de introducirlos en el campo de la producción. De la misma forma, podemos observar el caso contrario como el de aquellas minas, las cuales han experimentado grandes expansiones no planificadas debido a que se han dado condiciones económicas mejores que las pronosticadas. Probablemente, pueda resultar costoso y engorroso cuando se trata de trasladar botaderos de estéril, torres televisivas, plantas procesadoras y, algunas veces, pueblos enteros. Además de la incertidumbre económica, muchos parámetros importantes en el área de la ingeniería, también están sujetos a un alto grado de incertidumbre. Estos involucran nuestro conocimiento relativo a las condiciones geotécnicas y geológicas. Dichos parámetros se encuentran inicialmente ocultos y sólo se pueden mostrar a pequeña escala. El diseño óptimo de una mina a rajo abierto ha sido, durante mucho tiempo, tema de discusión entre los Ingenieros y aquéllos involucrados en el tema de la evaluación de las propiedades mineras (Ref.1). Los avances tecnológicos y en softwares existentes hoy en día, han creado el hardware requerido para hacer del trabajo algo accesible a los ingenieros en planificación. Los elementos claves para lograr un buen diseño, serán alcanzar objetivos económicos razonables en el corto plazo, incorporando gran flexibilidad a fin de adaptarse a cualquier variación económica o física no pronosticada, las cuales sin duda irán surgiendo en el transcurso de la vida operativa. Antes de intentar realizar un diseño de pit, es necesario primero establecer muy claramente cuáles son los parámetros económicos y los parámetros ingenieriles a considerar. Los parámetros básicos de diseño de ingeniería se discutieron en el Capítulo 1. Los parámetros económicos básicos a ser incluidos, son el ingreso que se generará durante el proceso de explotación del yacimiento, el valor actual neto de las diversas alternativas de la secuencia de extracción, y la tasa retorno en el flujo de caja de todo el proyecto y la recuperación porcentual de la reserva mineral Análisis del Límite Final del Pit La Figura 2.1, muestra la relación entre la profundidad final del pit y el beneficio neto, tomando a modo de ejemplo una simple sección geológica. Si se realizara una excavación relativamente

3 Tópicos de Ingeniería de Minas a Rajo Abierto, Capítulo 2 P. N. Calder 3 profunda de 60 metros, el beneficio neto generado sería lejos inferior al beneficio máximo posible. El valor actual del pit, si tuviera que ser excavado sólo hasta alcanzar esa profundidad (60 mts.), de igual forma sería mucho más bajo que el valor óptimo. Sin embargo, la tasa de retorno resultará ser bastante alta por el hecho que sólo involucra una escasa cantidad extracción de estéril 1, y los gastos de capital en Planta y equipamiento se podrían minimizar. La recuperación del recurso natural, en caso que se haya concluido el pit hasta este punto, será obviamente baja. Si el pit tuviera una profundidad de 120 metros, el beneficio generado a partir del yacimiento tendrá un valor máximo y el valor actual también se acercará a la condición óptima. La recuperación del recurso natural no termina con este pit, sin embargo, todo el mineral que puede pagar su propia extracción, ha sido explotado. Desde el punto de vista de la tasa de retorno, el resultado será probablemente no tan bueno como el del pit, el cual tenía sólo 60 metros de profundidad. Si el pit tuviera una profundidad de 180 metros, el beneficio neto generado y el valor actual neto del yacimiento disminuiría considerablemente, como también la tasa de retorno de todo el proyecto. El único beneficio es que se recuperará una proporción mayor de la reserva total. Algunos podrían afirmar que, si la tasa de retorno para este diseño, la cual recupera completamente el recurso natural, es razonable, entonces todo el yacimiento se deberá extraer hasta alcanzar esta profundidad y así aprovechar de la mejor forma posible un recurso natural limitado. Entre las estrategias económicas que se han discutido, dos de ellas resultan ser extremistas. Estas son: aquella estrategia referida a la tasa de retorno máxima, la cual ampara la extracción de mineral de alta ley, y aquella estrategia económica de recuperación máxima de la reserva, la cual fomenta la extracción de materiales no económicos utilizando beneficios provenientes de la porción económica del yacimiento. La otra estrategia discutida, que tiene relación con el diseño del límite final del pit para maximizar el beneficio, ha sido ampliamente usada por la industria, a menudo con algunas modificaciones, tales como el requerimiento de beneficio mínimo para cada volumen de mineral extraído. Los métodos utilizados para el diseño de pits con el objeto de maximizar el beneficio, serán discutidos en este capítulo posteriormente. Habiendo decidido sobre el límite final del pit, se procede a definir una secuencia de extracción. La Figura 2.1, muestra un ejemplo simple referido al beneficio que podría generarse en caso que el pit fuera excavado hasta alcanzar una profundidad determinada de manera instantánea. Obviamente, esto nunca será posible, y la extracción usualmente se extenderá por varias décadas más. Los cargos en interés, se deben considerar en conjunto con la inversión y el programa de extracción para completar una evaluación económica de cualquier propiedad minera. La secuencia de inversión en la Planta y equipos, junto con la secuencia en la generación de ingresos a medida que el producto se comercializa, definirá el flujo de caja en el tiempo a partir del cual se determinará el valor actual del proyecto. La Figura 2.2, muestra la relación entre el valor actual y las diversas capacidades del proyecto, involucrando todas éstas el mismo límite final del pit. El aumento en la capacidad del proyecto, 1 Stripping: extracción de estéril

4 Tópicos de Ingeniería de Minas a Rajo Abierto, Capítulo 2 P. N. Calder 4 permite la comercialización más temprana de la riqueza mineral, pero requiere de una mayor inversión de capital. Existirá una capacidad óptima del proyecto, y para determinarla, será necesario realizar numerosos estudios económicos y de ingeniería de las posibles alternativas. Aquellas alternativas que dilatan los gastos y generan rápidamente el ingreso máximo, optimizarán el valor actual. Dichas alternativas, cuando son extremas, resultan ser casi siempre poco prácticas, debido a la necesidad de mantener un desarrollo uniforme del pit, y evitar fluctuaciones en cuanto a los requerimientos laborales y de equipamiento Programa de Extracción A continuación, se dan cuatro ejemplos de programas de extracción y stripping. Los dos primeros están referidos a casos extremos, que se han empleado sólo a modo ilustrativo. a) Método de Razón Estéril Mineral Declinante (Figura 2.3) Este método requiere de que a medida que cada banco de mineral es extraído, todo el material estéril en dicho banco es extraído hasta el límite del pit. Las ventajas de este método es la disponibilidad de espacio de trabajo operativo, la accesibilidad del mineral al banco subsiguiente, los equipos operan a un solo nivel, y no existe ningún tipo de contaminación proveniente de tronaduras de estéril que pueda afectar el mineral. La gran desventaja es que los costos operativos son máximos durante los primeros años de operación debido a la alta tasa de volúmenes de estéril sobre mineral (razón estéril-mineral) 2, la cual tiene como resultado un bajo flujo de caja. Incluso peor, en caso que las condiciones se vayan deteriorando en el tiempo, y ya esté definido el límite del pit, parte del material estéril se habría extraído de manera innecesaria. Ejemplos de esta situación, se han visto en varias operaciones de minas a rajo abierto. En un pequeño yacimiento, este método podría resultar de utilidad por las restricciones de espacio operativo. b) Método de Razón Estéril Mineral Ascendente (Figura 2.4) Este método requiere que la extracción de estéril, se realice de tal forma hasta alcanzar el mineral. Las pendientes de las superficies de material estéril son totalmente paralelas al ángulo de la pendiente del pit. Este método, permite un beneficio máximo en los primeros años de operación, y reduce considerablemente el riesgo de inversión en la extracción de estéril para el mineral a ser extraído en el futuro. La desventaja de este método es lo poco práctica que resulta operar en forma simultánea con una gran cantidad de bancos estrechos y apilados. Esta situación resulta en operaciones muy ineficientes entre palas y camiones, dilución de mineral y problemas de seguridad. c) Método de Pendientes de Trabajo (Figura 2.5) Las pendientes de trabajo de las superficies de estéril son inicialmente muy bajas, pero aumenta a medida que se incrementa la profundidad de la excavación hasta alcanzar un valor equivalente a la pendiente total y el pit llega a su término. Este método, representa una especie de concesión, el cual descarta las condiciones extremas de los dos métodos de extracción de estéril anteriormente señalados. Este es un sistema de extracción para minas a rajo abierto en el cual se dispone de acceso 2 Stripping ratio: razón estéril mineral

5 Tópicos de Ingeniería de Minas a Rajo Abierto, Capítulo 2 P. N. Calder 5 para todos los bancos existentes en la mina. Se compara con el sistema cerrado (Extracción en Fases), que se discutirá posteriormente. El factor de control para desarrollar la secuencia de extracción, tiene por objeto ser capaz de lograr los objetivos de producción por parte de las plantas procesadoras. La capacidad de producción de la mina, depende del número y tamaño de las excavadoras disponibles en todo momento. No es una variable continua. Si tenemos dos palas y, luego, compramos una tercera de la misma capacidad, la capacidad productiva aumenta en un 50%. Una vez que se compra una pala, es necesario planificar su operación. No tiene ningún sentido, desde el punto de vista económico, invertir millones de dólares en equipos que no se utilizarán en su totalidad. Se ilustrarán ejemplos detallados del programa de producción posteriormente en este texto. d) Secuencia de Extracción en Fases (Figura 2.6) En la práctica real, la mejor secuencia de extracción de estéril de un gran yacimiento, es aquélla en la cual el volumen de extracción de estéril es inicialmente bajo, y se mantiene de esta forma hasta el término de vida de la mina. En Figura 2.6, se muestra una sección transversal a lo largo de una gran mina a rajo abierto, en la que se utiliza este método. Figura 2.6B, es una vista tridimensional de un (Ref. 2) pit, empleando las cinco fases. Las ventajas de la secuencia en fases son las siguientes: 1) Las razones estéril mineral, son más bajas en los primeros años, lo que resulta en un considerable ventaja en flujo de caja 2) No existe ninguna restricción respecto del límite final del pit, se conserva la flexibilidad del diseño. Si las condiciones económicas cambian, el diseño deberá ajustarse. 3) Las flotas de equipos y laboral pueden alcanzar una capacidad máxima durante un período de tiempo. 4) Los requerimientos en equipamiento y laborales disminuyen de forma gradual hacia el término de vida de la mina, permitiendo así retiros ya programados. 5) Es posible operar en diferentes áreas para la extracción de estéril y de mineral, permitiendo una flexibilidad en la planificación. 6) El número requerido de áreas para la extracción de estéril y de mineral, no es excesivamente grande. 7) Para los grandes yacimientos, las fases de extracción de estéril y de mineral, resultan ser lo suficientemente amplias como para proporcionar operaciones de extracción eficientes. El ejemplo mostrado en Figura 2.6, es un yacimiento sinclinal volteado con una pared colgante y otra pared de pie. Observe la berma principal situada a la izquierda abajo en Fase 1, extracción de mineral. Esta berma, debería ser de aproximadamente 30 mts. de ancho para así permitir limpiar el derramamiento ocurrido durante la Fase 2, en el área de extracción de estéril causado por tronadura.

6 Tópicos de Ingeniería de Minas a Rajo Abierto, Capítulo 2 P. N. Calder 6 Una de las cosas más difíciles de predecir al desarrollar un diseño, es el valor futuro del mineral en el mercado. Como todos saben, los precios han fluctuado considerablemente en los últimos años, y cada cambio importante resulta en una modificación respecto de la ubicación de los límites económicos óptimos del pit. A menudo, resulta difícil y algunas veces imposible cambiar los límites finales del pit en un corto plazo. Al planificar una mina a rajo abierto, es necesario considerar siempre este aspecto, y nada se podrá hacer para prevenir una mayor expansión de la mina si es que las condiciones económicas mejoran, o permitir una reducción del pit si es que las condiciones económicas empeoran sin correr el riesgo de perder parte importante del capital que se ha preinvertido para la extracción de estéril. En términos de la recuperación económica máxima del recurso, resulta justo señalar que, a pesar de que las condiciones económicas existentes hoy en día no justifican la extracción total de un yacimiento, la práctica ingenieril responsable exige el abandono de la propiedad minera en tales condiciones que se haga accesible a las futuras generaciones. 2.2 MÉTODOS PARA EL DISEÑO DEL LÍMITE DEL PIT A modo ilustrativo, se describirán dos métodos de dos dimensiones. Estos son la Técnica de Lerchs Grossman y el Cono Flotante. Estos métodos, son la base de los métodos computacionales de tres dimensiones, que se utilizan ampliamente en la industria de hoy en día La Técnica de Lerchs Grossman Un algoritmo preciso para determinar la ubicación del límite final óptimo del pit, utilizando un procedimiento de programación dinámica de dos dimensiones, fue desarrollado por Lerchs y Grossman (Ref. 1) en el año Esta es una técnica precisa para definir el límite del pit en una sección transversal de dos dimensiones, por medio de la cual es posible lograr el mayor beneficio posible. Se puede aplicar fácilmente en una planilla de cálculo, según se explicará a continuación. El primer paso es dividir la sección transversal del pit en bloques. Se selecciona el tamaño del bloque para obtener una altura equivalente a la del banco, y se selecciona un grosor del bloque de tal forma como para que la línea diagonal resultante a través de los bloques, genere el ángulo de la pendiente total deseada, como se indica en la Figura 2.7. El siguiente paso es asignar valores a los bloques, basándose en la ley del mineral y las condiciones económicas de la propiedad minera. Los bloques de estéril, son asignados por números negativos, los cuales equivalen al costo en extraer estos bloques de material. Los bloques de mineral, son asignados por números positivos, los cuales equivalen al beneficio generado al extraer estos bloques sin incluir el costo de extracción de material estéril. El beneficio se determina restando todos los costos de producción al precio de venta de los minerales producidos. Esto incluye extracción, tratamiento en Planta, transporte, comercialización y costos administrativos en general. La Figura 2.8, es un modelo de bloque similar a Figura 2.7, pero en este caso, los bloques son celdas de una planilla de cálculo con valores de bloques asignados. La técnica de Lerchs Grossman, se basa en la siguiente relación:

7 Tópicos de Ingeniería de Minas a Rajo Abierto, Capítulo 2 P. N. Calder 7 P ij = M ij + máx. (P i + k,j-1 )... (1) en donde, K = -1, 0, 1 en donde, M ij, representa el beneficio obtenido para extraer una sola columna de bloques con el bloque ij en su base. P ij, es el beneficio máximo que pueden generar columnas 1 hasta j dentro de un pit que contiene el bloque ij en su límite. Este método se puede ilustrar mejor por medio de un ejemplo. En la Figura 2.8, los valores económicos del bloque (V ij ), han sido asignados a una sección transversal. El próximo paso, es calcular los valores acumulativos de la columna, M ij, tal como se muestra en Figura 2.9. Estos valores corresponden simplemente al valor acumulativo de los valores económicos de todos los bloques situados exactamente arriba de la misma columna, tal como se muestra en Figura Por lo tanto, M ij para el bloque en donde i = 4 y j = 12 (M 4,12 ), es la suma de los valores de bloque para los bloques j = 12 y i = 1,2,3,4. En la Figura 2.8, M 4,12 = = 13. El último paso, como se muestra en la Figura 2.11, es calcular los valores de la matriz de beneficio de P ij. Estos valores, corresponden al beneficio neto o pérdida generados al caer uno de los bloques del modelo sobre el límite del pit con todos los bloques de la izquierda que se han extraídos para crear una pendiente con el ángulo total deseado. Para determinar el valor de la matriz de beneficio de cualquier bloque en particular, el valor acumulativo de la columna para ese bloque (M ij ), es sumado al valor de beneficio (P ij ) para un bloque en la columna más próxima a la izquierda. Para cualquier bloque en particular, se darán tres alternativas: el bloque ubicado diagonalmente arriba a la izquierda, el bloque ubicado transversalmente a la izquierda, y el bloque ubicado diagonalmente abajo a la izquierda. De estas tres alternativas, se selecciona el bloque con valor máximo positivo. Se agregan las mejores alternativas para todos aquellos bloques que son extraídos, para obtener el valor de beneficio para el bloque que se está evaluando. La Figura 2.12 incluye valores de P ij para las columnas desde 1 hasta 10, y se utilizarán a modo de ejemplo en la generación de valores para la columna 11. Por conveniencia, los valores de la columna acumulativa M ij para la columna 11, que se requieren para calcular los valores de P ij utilizando la Ecuación 1, también se incluyen en Figura Ejemplo 1: Determinación de P ij para el bloque 1,11. Los valores de Pij se determinan según lo definido en Ecuación 1. El proceso comienza en Columna 1, y continúa hasta arriba en Columna 2, después de haber evaluado todos los bloques en Columna 1. El valor acumulativo de la columna es 1. Las tres opciones de diseño, si este bloque cae sobre el límite final, son sólo extraer el bloque (1,11), extraer el bloque (1,10) o incluir los bloques (1,10) ó (2,10) en el límite final. El costo de estas tres opciones son: 0, -2, y -3. Estas tres opciones generan valores de beneficio de: P 1,11

8 Tópicos de Ingeniería de Minas a Rajo Abierto, Capítulo 2 P. N. Calder 8 M 1,11 + P 1,10 = = 1 M 1,11 + P 1,10 = 1 + (-2) = -1 M j,11 + P 2,10 = 1 + (-3) = -2 La alternativa más rentable es extraer sólo el bloque (1,11), en donde P ij tiene el valor 1. Ejemplo 2: Determinación de Pij para el bloque 5,11. El valor acumulativo de la columna es 13. Si este bloque cae sobre el límite final del pit, existen tres opciones en la columna 10 para la ubicación del límite final, bloques (4,10); (5,10) y (6,10). Las tres alternativas generan valores de beneficio de: P 5,11 M 5,11 + P 4,10 = 13 + (-4) = 9 M 5,11 + P 5,10 = 13 + (-3) = 10 M 5,11 + P 6,10 = 13 + (-5) = 6 La mejor alternativa es (5,10), dejando al valor de P (5,11) de 10. La Figura 2.13, representa la matriz de beneficio total (P ij ) para el ejemplo. Los valores de P ij en cada bloque, representan el beneficio a generar si ese bloque se encuentra sobre el límite final del pit a la derecha, y todos los bloques situados arriba y a la izquierda son extraídos de manera óptima. Dado que ningún bloque sobre el límite puede tener otro precisamente por sobre él mismo por razones de diseño de pendientes, observamos a lo largo del límite superior para el bloque indicando el mayor beneficio. En este ejemplo, podemos ver que el bloque 1,18 indica el mayor ingreso, con 93 unidades. Desde esta posición, operamos en la matriz de beneficio ubicada a la izquierda. Desde la posición actual, existen tres alternativas para expandir el pit a la izquierda. Estas son: 1) arriba, 2) transversalmente y 3) abajo. En este caso, el subir no es una alternativa disponible, ya que nos encontramos en la superficie superior. La posición transversal, indica un beneficio de 88 unidades, y el bajar, indica un ingreso de 92 unidades. Por lo tanto, el pit se expande hacia abajo, y se repite el proceso de evaluación hasta concluir el diseño del pit al lado izquierdo del modelo. Los valores de la matriz de beneficio, actúan como indicadores de la alternativa correcta de expansión del pit en todos los puntos. Si se encuentra una situación en que las dos opciones de expansión indican el mismo beneficio, entonces ambas rutas alcanzan el mismo valor. Bajo esta situación, al seleccionar la alternativa que extrae el material adicional, aumentará la recuperación total del recurso natural sin tener ningún efecto en el flujo de caja, y la política de la compañía determinará la alternativa en este caso. La Figura 2.14, es similar a Figura 2.13, con el área del pit achurada en su interior. La Figura 2.15 ilustra los valores de Vij para todos los bloques incluidos dentro del pit final. Se muestra el valor total de cada columna, como también la suma de todos los bloques en el pit, que es 93. Este valor, representa el beneficio total según lo determinado en Figura Además, será imposible encontrar otro diseño de pit que pueda generar un mayor beneficio.

9 Tópicos de Ingeniería de Minas a Rajo Abierto, Capítulo 2 P. N. Calder 9 Para una mayor demostración sobre el uso de la matriz de beneficio, refiérase a Figura Observe que en el sexto banco, el pit tiene el ancho de un solo bloque. Suponga que éste es demasiado bajo como para ser extraído, por lo tanto, surge la necesidad de averiguar si dejar Bloque 6,11 o extraer Bloque 6,12. El análisis de la matriz, indica que si el pit se expande de manera transversal y no hacia abajo desde el Bloque 5,12, se reducirá el beneficio en 5 unidades (10 vs. 15). Observe en la Figura 2.8 que el Bloque 6,11 tiene un valor neto de 5, por lo tanto, resulta obvia la pérdida de 5 unidades. Por otra parte, si el pit se expande hacia abajo y no de manera transversal desde el Bloque 5.13, habrá una reducción de 2 unidades de ingreso (31 vs. 33). Esta opción de expandir el área inferior del pit es mejor, ya que implica una pérdida de 2 unidades versus una pérdida de 5. La técnica de Lerchs Grossman es un procedimiento matemáticamente correcto y posee ventajas evidentes respecto de los primeros métodos de aproximación utilizados por la industria antes del advenimiento computacional en la planificación y diseño de minas. En particular, se observa el valor de todos los bloques dentro del modelo, no sólo a lo largo del límite. Sin duda, el método descrito anteriormente, tiene las desventajas como de cualquier sistema de dos dimensiones, sin embargo, y por lo general, es posible implementar el sistema de Lerchs Grossman de manera tridimensional, según lo que se discutirá a continuación Método del Cono Flotante Un incremento de extracción consiste en todos los bloques de material que se deben extraer del modelo de bloques para excavar un determinado bloque hasta la base. Los bloques se deberán extraer con el objeto de amoldar el diseño del. El ángulo de la pendiente total del diseño se aproxima por la forma del incremento de extracción, como se ilustra en Figura Figura 2.17, es un modelo de bloques de dos dimensiones con valores de bloques asignados y también con valores acumulativos de columnas. Figura 2.18 ilustra un cono flotante en proceso de búsqueda en la primera fila de este modelo. El cono se encuentra analizando Columna 7. Todos los bloques de mineral contenidos hasta Columna 7, ya han sido extraídos. Dado que el valor en Columna 7 es positivo, será ahora extraído y reemplazado por el valor de cero. El cono registra todos los valores positivos extraídos. Por las limitaciones del ángulo máximo de la pared, y debido al hecho que todo el material sobre un bloque en particular debe ser extraído antes que ese bloque pueda ser excavado, el incremento de extracción toma la forma de un cono tridimensional. Es posible aproximar el incremento de extracción utilizando bloques a partir de una matriz de bloques tridimensional, como se puede ver en Figuras 2.23 y Se utiliza un bloque como base del cono. La determinación del límite del pit utilizando la técnica del cono flotante, constituye una optimización de la matriz de beneficio. Los bloques se deben extraer con el objeto de adaptarse al diseño del pit. El ángulo de la pendiente total del diseño se aproxima por medio de la forma del incremento de extracción, según se ilustra en Figura El cono flotante utiliza un patrón de búsqueda definido en la evaluación de los incrementos de extracción. Existen tres métodos posibles en dos dimensiones:

10 Tópicos de Ingeniería de Minas a Rajo Abierto, Capítulo 2 P. N. Calder Método 1. Este método comienza en la primera fila, y busca fila por fila desde arriba hacia abajo. Después de buscar en la fila de abajo, el ciclo de búsqueda comienza nuevamente en la fila más arriba, y este proceso continúa de la misma forma hasta no existir ningún cambio para una búsqueda completa del modelo. Este método, por lo general, no se utiliza, ya que pueden surgir serios errores, como se describirá más adelante. 2. Método 2. Al igual que Método 1, con excepción de que la búsqueda vuelve a la primera fila cada vez que se extrae un bloque. La demanda computacional, puede ser en modelos grandes de tres dimensiones. 3. Método 3. Al igual que Método 1, con excepción de que cada vez que se extrae un bloque, se define un cono de influencia, y la búsqueda vuelve a la primera fila y continúa desde arriba hacia abajo dentro del cono de influencia. Dado que se extraen otros bloques, se define un nuevo cono de influencia. Figura 2.19, ilustra el cono analizando Columna 8 en Fila 7. Existen numerosos bloques cuyos valores no equivalen a cero dentro del cono, indicando que éstos no se deberían extraer desde el punto de vista económico. El incremento de extracción, como por ejemplo, la suma de todos los bloques dentro del cono, es ahora positivo, teniendo un valor de 5. El incremento de extracción será ahora extraído y se asignará con valor cero a todos los bloques contenidos dentro del cono. Si Método 1 se utiliza para continuar la búsqueda, el resultado final será de acuerdo a lo indicado en Figura Los incrementos individuales de extracción se muestran ahora con colores distintos. Si se utiliza Método 2, el resultado será como el que aparece en Figura Este resultado es correcto y concuerda con los valores correspondientes de Pij, que también aparecen en Figura MÉTODOS TRIDIMENSIONALES La teoría fundamental resguardada tras las técnicas tanto de Lerchs Grossman como del Cono Flotante, se refiere a que cada tonelada de mineral extraído, deberá pagar su propia extracción. El método de Lerchs Grossman, es un procedimiento de cálculo formal, en tanto que el sistema del Cono Flotante, confía más en la fuerza bruta. Ambos métodos utilizan una aproximación del modelo de bloques de la forma del pit, y esto induce a cierta imprecisión en ambas técnicas. El cono flotante tiene ventajas para la creación de un sistema de planificación minera como también el análisis del límite final del pit. Por esta razón, he optado por el uso del método del Cono Flotante como herramienta básica en el desarrollo de un sistema de planificación minera para enseñanza e investigación en la Universidad de Queen's a principios de los años '80. Cuando los sistemas de cono flotante en tres dimensiones se aplican correctamente, generan fundamentalmente los mismos resultados que en método de Lerchs Grossman La Técnica de Lerchs Grossman Este concepto puede expresarse matemáticamente bajo un formato tridimensional, utilizando la teoría gráfica (Ref.1).

11 Tópicos de Ingeniería de Minas a Rajo Abierto, Capítulo 2 P. N. Calder 11 Al optimizar un diseño de pit en tres dimensiones, trabajamos con un modelo de bloque del yacimiento, tal como el que se ilustra en la Figura Se asignan valores a los bloques de mineral y de estéril, como se ha discutido anteriormente. Para implementar el método en tres dimensiones, comenzamos a partir de la superficie superior y extraemos todos los bloques ubicados en el primer nivel, que sean rentables. Esto, simplemente incluirá la extracción de todos los bloques de mineral, dejando intactos todos los bloques de estéril. Esto es posible, ya que no es necesaria la extracción de estéril para alcanzar el ángulo de la pendiente total durante la extracción del primer banco. Sin embargo, cuando se debe extraer el segundo banco, será necesario extraer algunos bloques de estéril. Entonces, se deberá evaluar si es que un bloque de mineral en particular en el segundo nivel puede pagar la extracción de todos los bloques de estéril en el primer nivel que sean necesarios de extraer. Una vez que lleguemos al cuarto o quinto nivel, se vuelve bastante difícil evaluar la posibilidad de que la extracción de cada bloque será rentable. Tal como se ha señalado, esto se puede expresar matemáticamente, utilizando la teoría gráfica. Sin embargo, se ha desarrollado otro método aproximado para esta aplicación Sin embargo, se ha desarrollado otro método aproximado para esta aplicación, denominado como la técnica del cono flotante. Esta técnica, tiene ventajas al desarrollar un sistema para la planificación minera como también para el análisis del límite final del pit. El método de Lerchs Grossman es matemáticamente preciso, y cuando se aplica correctamente, los sistemas de cono flotante en tres dimensiones, generan principalmente los mismos resultados Método del Cono Flotante El procedimiento de búsqueda es de acuerdo a lo descrito anteriormente para el caso de dos dimensiones, con excepción en que el modelo de bloques y el cono son tridimensionales. El incremento de extracción consiste en todos los bloques de material que se deben extraer para excavar un bloque en particular hasta la base. Por las limitaciones del ángulo máximo de la pared y debido al hecho de que todo el material sobre un bloque en particular, debe ser excavado antes que ese bloque pueda ser excavado, el incremento de extracción toma la forma de un cono de tres dimensiones. El incremento de extracción se puede aproximar utilizando bloques a partir de una matriz de bloques en tres dimensiones, como se puede observar en Figuras 2.23 y Se emplea un bloque como base del cono. La determinación del límite del pit, utilizando la técnica del cono flotante, constituye una optimización de la matriz de beneficio. Los criterios de diseño que se deben considerar al determinar los límites finales de pits, incluyen: (1) Ángulos Finales de las Paredes: Están determinados por los parámetros básicos de diseño de pits, como los descritos en Capítulo 1, y por las propiedades geotécnicas de la roca de la pared. Estos ángulos pueden variar por ubicación y profundidad. (2) Anchos Mínimos de Extracción: Esto es controlado por el método de extracción y el tamaño del equipo en uso. Los límites definitivos del pit, deben considerar los anchos de extracción mínimos aceptables, generalmente entre 80 y 100 mts., para que el diseño final del pit represente un verdadero pronóstico de los límites del desarrollo.

12 Tópicos de Ingeniería de Minas a Rajo Abierto, Capítulo 2 P. N. Calder 12 (3) Límites de la Propiedad: Están determinados por la posesión de los derechos de extracción de terreno de los bloques, y pueden ser importantes en la determinación de la ubicación de las paredes finales del pit. (4) Análisis Económico del Valor del Mineral: A fin de entregar un método para determinar los aspectos económicos de la ubicación del límite definitivo del pit, se calcula el valor del beneficio para cada bloque de mineral y de material estéril. Este, representa el beneficio que se podría obtener en caso que el material sea extraído. Para el mineral, equivale al ingreso recibido de la venta del producto final menos el costo total de producir el producto (sin incluir el costo de extracción de estéril). Para el material estéril, es equivalente al costo de extraer el material, y sacarlo del pit (valor negativo). El método del cono flotante, utiliza estos cuatro criterios de diseño para determinar el límite final del pit. El valor de todo el mineral dentro del límite final del pit, debe respaldar la extracción de estéril que se encuentra dentro del límite. En otras palabras, el valor positivo total o el beneficio de los bloques de mineral que son extraídos, deben equivaler al valor negativo o al costo de extracción de los bloques de estéril dentro del límite final del pit. Un bloque de mineral sólo puede respaldar la extracción de bloques de estéril que se deben remover a fin de liberarlo, y no se puede utilizar para compensar el costo de extracción de estéril que se encuentra al lado o por debajo de él. Por ejemplo, el beneficio total del pit, es el valor total del mineral menos el costo de extracción de estéril. Al utilizar este método, los límites del pit se expanden en todas las direcciones hasta que todo el mineral, que pueda respaldar al material estéril ubicado arriba, sea incluido en el pit. Esto genera el beneficio máximo del yacimiento, a pesar que se hayan cumplido los otros criterios de diseño de pits. El ángulo máximo de la pared se utiliza para determinar el bloque de material (estéril o mineral), sobre un bloque de mineral que debe ser removido antes de extraerse. Los pasos del proceso para la extracción de bloques son los siguientes: Paso 1. Todos los bloques de mineral en el nivel superior de la matriz de ingreso (modelo del bloque), son extraídos de la matriz. Esto se hace testeando cada bloque del nivel para ver si su valor es mayor que el valor equivalente al del bloque (indicando el mineral). Cuando se ubica un bloque de mineral, éste es extraído de la matriz de ingreso. Es importante la definición de modelo de búsqueda para cualquier procedimiento de cono flotante. Muchas variaciones son posibles, dependiendo de los recursos computacionales y restricciones de tiempo. La búsqueda de bloques de mineral, puede comenzar en el bloque central del nivel y expandirse hacia afuera, como un modelo espiral, tal como se muestra en la Figura La extracción de un bloque de la matriz de ingreso, significa la extracción de ese bloque, y se lleva un registro del número de bloques explotados (tanto de mineral como de estéril) y sus valores. Paso 2. Una búsqueda de un bloque de mineral en el segundo nivel, se hace usando un modelo de búsqueda espiral. Cuando se encuentra un bloque de mineral, se aplica el incremento de extracción a ese bloque en la base. Los valores de todos los bloques en el incremento de extracción son totalizados, y si el resultado es positivo, todos estos bloques son extraídos de la matriz de ingreso.

13 Tópicos de Ingeniería de Minas a Rajo Abierto, Capítulo 2 P. N. Calder 13 En este punto, la definición del modelo de búsqueda, jugará un rol importante en la determinación de la precisión del procedimiento. Si la búsqueda es simplemente nivel a nivel, desde arriba hacia abajo, el tiempo de cálculo, se verá reducido por medio de errores que pueden ocurrir en ciertas situaciones. Consideren el ejemplo mostrado en la Figura Se ha completado una expansión cónica para incluir un bloque en el séptimo nivel. Si la búsqueda continúa en el séptimo nivel, extrayéndose incrementos rentables y, luego, ocurre lo mismo en el octavo nivel, el resultado será como el que se muestra en la matriz más baja (C), con un incremento cuyo valor neto es +3. Sin embargo, si el modelo de búsqueda requiere que ésta comience nuevamente en el nivel superior cada vez que un incremento positivo sea extraído en el nivel inferior, se produce una expansión, tal como se muestra en la matriz media (B). Este tipo de modelo de búsqueda es, por supuesto, mucho más intensivo desde el punto de vista computacional. Es posible encontrar una solución definiendo un cono de influencia para cualquier bloque extraído en un nivel inferior y buscando sólo dentro de ese cono, desde arriba hacia abajo. Son muchas las alternativas posibles, y se pueden elaborar reglas que controlen el modelo de búsqueda dentro de un sistema de cono flotante a gran escala. Entonces, la búsqueda continúa hasta que todos los bloques de mineral del mismo nivel hayan sido analizados. Este proceso se repite para cada nivel hasta alcanzar el área inferior de la matriz de ingreso. Paso 3. Después de haber buscado en todos los niveles, se determina el total de los valores de los bloques extraídos (tanto para mineral como para estéril). Este es el ingreso del diseño y, por lo tanto, los intentos están para perfeccionarlo. Se repite el paso dos a fin de chequear si uno de los incrementos de extracción han resultado ser rentables por medio de la extracción de material que ellos comparten con incrementos de extracción adyacentes que fueron rentables. Al no ocurrir ningún aumento en el ingreso total para todo el ciclo, se detiene la optimización. La desventaja de este sistema aproximación es que, en algunos casos, no se alcanza el nivel óptimo real (ingreso máximo). Esto es porque no se analiza el efecto que los incrementos de extracción adyacentes, puedan tener en un incremento de extracción determinado. El material estéril que se incluye en más de un incremento de extracción, no puede ser sostenido por cualquiera de ellos, pero la combinación de dos o más incrementos puede hacer posible su extracción. En la Figura 2.27 se ilustra tal condición. Suponiendo que tanto el incremento de extracción A como el B no son rentables por sí solos, es posible que la combinación de ellos dos, sea rentable y, por lo tanto, explotable. Este tipo de problema, generalmente, se puede solucionar mediante la adición de capas de bloques en el área inferior del yacimiento y que tengan un valor cero. De una profundidad más baja, se incluyen las áreas adyacentes en un solo cono y, si es que resulta ser rentable, se procede a la extracción Modelo de Bloques en base a Límites de Pits Ambos sistemas, tanto el de Lerchs Grossman como el del Cono Flotante, generan diseños de límites finales de pits en base a un modelo de bloques. Los contornos de medio-banco resultantes son dispuestos gráfica y automáticamente por una regla flexible para dibujar líneas curvas, pero el resultado aún así es sumamente irregular. Figura 2.28, es un ejemplo de un modelo de bloques basado en el límite final del pit realizado por el cono flotante de Q'Pit. Observe que varios bloques se encuentran a la izquierda y no en la superficie baja del pit. El diseño se debe corregir para generar una forma de extracción práctica (2).

14 Tópicos de Ingeniería de Minas a Rajo Abierto, Capítulo 2 P. N. Calder Suavisamiento del Modelo de Bloques en base a los Límites del Pit Figura 2.29, ilustra la versión posterior al suavisamiento del modelo de bloques basado en el pit que se presenta en Figura Tabla 2.1 es una comparación de las reservas e ingresos para los dos pits. TABLA COMPARACIÓN DE UN PIT DE CONO FLOTANTE Y SU VERSIÓN POSTERIOR AL SUAVISAMIENTO Cono Flotante Figura 2.29 Diferencia Figura 2.28 Posterior al Suavisamiento % Tons. Mineral M ,24 Tons. Estéril M ,26 Ingreso $M , Sensibilidad del Límite Final del Pit al Precio de los Productos Suponiendo un rango de precios del mineral, podemos producir una serie de pits con distintos tamaños, utilizando ambos sistemas para el diseño de pits que se han discutido. Entonces, es posible estudiar la sensibilidad del tamaño del pit al precio de los productos. Figura 2.30 es un gráfico del ingreso total vs. el tamaño del pit de Eagle Canyon. Se diseñó una serie de formas de pits, suponiendo un rango de precios de oro entre $300, $350 y $400/onza. Se puede observar en Figura 2.30 que el ingreso no es muy sensible al tamaño del pit. Suponga que el límite del pit fue diseñado de acuerdo a un precio de oro de $350 y este precio cambió después que de encontrarse el pit en operación, subiendo o bajando $50 por onza. El ingreso total cambiaría de forma dramática, pero probablemente no será necesario volver a diseñar el límite del pit para alcanzar el ingreso máximo disponible bajo estas circunstancias. El diseño del límite del pit tiene más relación con la determinación de una forma correcta del pit para cualquier volumen dado que con la determinación de cuál debería ser el volumen en realidad. 2.4 CONSIDERACIONES DE DISEÑO Y PLANIFICACION Existen tres pasos principales en la creación de un plan para una mina a rajo abierto: 1) Diseño del límite final del pit 2) Diseño de las fases de extracción dentro del límite final

15 Tópicos de Ingeniería de Minas a Rajo Abierto, Capítulo 2 P. N. Calder 15 3) Selección de equipos y determinación de las tasas y secuencias de extracción, banco por banco y fase por fase (planes de extracción detallados en el largo y corto plazo) La creación de un plan de extracción es un proceso iterativo. Si diseñamos un límite final de pit sin conocer el programa de extracción, no podemos justificar adecuadamente el valor del dinero en el tiempo. Sin embargo, un programa de extracción no se puede determinar a menos que se conozca el límite final del pit. Es posible crear un límite final del pit ignorando los aspectos del flujo de caja. Entonces, podemos crear un programa de extracción dentro del límite y utilizar éste para volver a estimar el valor de los bloques incluyendo el interés. El límite del pit puede entonces determinarse utilizando estos nuevos valores. Debido a que ha cambiado el límite del pit, tiene que cambiar el programa de extracción, etc. De acuerdo a lo demostrado en Figura 2.30, el ingreso máximo disponible para un precio de producto determinado, no es muy sensible al volumen del pit. Por esta razón, no vale la pena forzar este tipo de estimación iterativa y debido, además, a la incertidumbre que existe. El diseño de minas a rajo abierto y la práctica de su planificación, es para definir un pit final basado en los precios actuales de los productos, sin incluir el valor del dinero en el tiempo. La mayor parte de las minas a rajo abierto tienen una vida de varias décadas. No podemos pronosticar los cambios en las tasas de interés y los precios de los productos que se darán durante este período de tiempo. No tiene mucho sentido el intentar incluir estos factores en la determinación de un límite final del pit durante la etapa del estudio de la factibilidad. La flexibilidad es el elemento estratégico clave en el desarrollo de un plan minero. Este, se puede lograr desarrollando la mina de acuerdo a una serie de pits expansivos (fases) en el tiempo, de acuerdo a lo anteriormente descrito. En caso que las condiciones económicas cambien, es posible modificar el diseño de las futuras fases. No existe restricción alguna respecto del diseño del límite final del pit. Cada fase debe ser lo suficientemente extensa como para permitir que las operaciones extractivas sean eficientes. La primera fase se encuentra en el área disponible más rentable, idealmente una zona de alta ley y con baja razón estéril-mineral. El flujo de caja, siempre es una consideración importante. El diseño de la fase final será determinado por las condiciones económicas prevalecientes en el tiempo. Si los costos operacionales y los precios de los metales son similares a aquéllos durante el diseño original, el límite final del pit no combiará. En caso contrario, el diseño original deberá ser modificado. A fin de controlar el flujo de mineral proveniente de la mina para lograr los objetivos de producción y mantener un nivel de producción regular, se desarrollarán numerosas fases de extracción en forma simultánea. La planificación de las secuencias de extracción y tasas para las diversas áreas extractivas, resulta ser una actividad exigente y desafiante. A menudo es necesario considerar muchas estrategias alternativas Introducción a Leyes de Corte, Ejemplo del Cobre Al determinar la ley de corte para una planta de flotación de cobre, es necesario considerar los costos del proceso aguas abajo, despacho, fundición, refinación, etc. No se incluye el costo de extracción. Este es un costo hundido, y no debería afectar en cuanto a la disposición del material que sale de la mina. El diseño económico de los límites de pits se realiza en forma separada, según

16 Tópicos de Ingeniería de Minas a Rajo Abierto, Capítulo 2 P. N. Calder 16 lo descrito en Capítulo 2. Posterior a esto, todo el material existente al interior del límite del pit, se debe extraer. La única pregunta es qué hacer con él. Cuando el material sale de la mina, se debe decidir su destino en base a los factores económicos de las alternativas disponibles, incluyendo los ingresos en procesamiento y costos de transporte hasta la instalación procesadora. Figura 2.31 presenta un gráfico de distribuciones para tonelajes y leyes de corte de una mina de cobre típica. Tabla 2.2 incluye ejemplos de cálculos de costos básicos de una mina de cobre a rajo abierto y una planta de flotación que transporta mineral hasta una fundición o refinería distante. Los costos operacionales y costos para el proceso aguas abajo típicos para este tipo de operación se utilizan para estimar los diversos parámetros económicos fundamentales. En este ejemplo, la capacidad de la planta es de tpd, con un costo de planta de $3.50/ton, un costo de extracción de $0.70/ton y un precio de cobre de $0.75/lb. Contrariamente a una mina de oro, por ejemplo, en donde las barras de oro son producidas por la compañía local, una propiedad de cobre debe pagar usualmente importantes costos en proceso de aguas abajo. En la industria del cobre, es común estimar el valor del cobre despachado desde la planta. El ingreso de ventas generado por el cobre despachado desde la planta, es determinado por el precio prevaleciente del cobre menos los costos del proceso aguas abajo. El beneficio operativo neto de la operación de extracción equivale al ingreso de ventas menos los costos en procesamiento y costos de extracción. El transporte del concentrado de cobre es despachado desde Chile a Japón. En otros casos, la fundición puede ubicarse cerca de la mina, como es el caso de Chuquicamata. En este ejemplo, existe una deducción de la fundición de 1% del grado de concentración. Este valor reducido, se utiliza en los cálculos de ingreso que se muestran a continuación. Finalmente, se calcula el valor de una tonelada métrica seca del concentrado despachado y el valor respectivo por libra. La ley de corte a nivel de la planta (g c ) en porcentaje de Cu, se calcula de la siguiente manera: gc = (PC * 100) / ( * V * R) En donde, PC = Costo de Procesamiento de la Planta $/t V = Valor por libra de cobre despachado R = Recuperación de la Planta El valor del mineral que contiene 1% de cobre ($ / % Cu) es un número útil en el cálculo de valores de reservas. Multiplicamos este valor por la ley promedio de cualquier tonelaje de mineral, por ejemplo, la producción anual total, para la cual queremos determinar un valor. Este es el valor insitu, con costos aguas abajo deducidos a partir del valor mineral. No se incluyen los costos en procesamiento y de extracción locales. Se calcula de la siguiente forma: $ % Cu = *.01 *V *R

17 Tópicos de Ingeniería de Minas a Rajo Abierto, Capítulo 2 P. N. Calder Costos Caja Durante la etapa del estudio de factibilidad, se evaluará, por lo general, un proyecto de extracción basado en los cálculos del valor actual, incluyendo los costos capitales, costos operacionales y precios anticipados. Una vez entregados los fondos, la capacidad de una operación para sobrevivir, dependerá de su costos operacionales de caja y el valor de su producción. Los costos de caja incluyen todos los costos inevitables de producción, como por ejemplo: extracción, procesamiento, transporte, marketing, etc. Los costos capitales son costos hundidos. En períodos de crisis económica, por ejemplo, cuando los precios caen más allá de los niveles supuestos en el estudio de factibilidad, la mina podría continuar su operación si es que el ingreso disponible puede cubrir los costos de caja. Los cargos de procesamiento fijos de metales son parte importante de los costos de caja. En el ejemplo de Tabla 2.2, el precio de decisión es de $.75/lb. de Cu, en tanto que el valor por libra de cobre despachado es de $ La diferencia corresponde al costo fijo de metales, en este caso, $.3731/lb. El costo de caja total resultante, para las condiciones del ejemplo, es de $.6195/lb. El costo de caja total consiste en costos de metales aguas abajo por $.373/lb., costos en procesamiento o de planta por $.16/lb. y costos de extracción por $.90/lb. Si el precio de mercado (precio de decisión) alcanza un valor inferior al costo de caja total, el beneficio operativo neto de la operación minera, será negativo.