La raó d or. Biotecnologia. 13 maig La raó d or p.1

Transcripción

1 La raó d or AGUSTÍ REVENTÓS 13 maig 2005 Biotecnologia La raó d or p.1

2 Raó d or Divina Proporció Φ = 1, Φ 1 = 0, Φ = Φ 2 = Φ + 1 La raó d or p.2

3 Partenó La raó d or p.3

4 Partenó La raó d or p.4

5 Home de Vitrubi La raó d or p.5

6 Home de Vitrubi La raó d or p.6

7 Marc Vitrubi Pol.lió La raó d or p.7

8 Targes de crèdit La raó d or p.8

9 Targes de crèdit P,Q,R alineats b a = a + b b Equivalentment amb Φ = b/a. Per tant Φ és la raó àuria. Φ = Φ La raó d or p.9

10 Altres maneres d escriure Φ Φ = Φ = 2 cos π 5 = 2 cos 36 Φ = n=0 Φ = ( 1) n+1 F n F n+1 La raó d or p.10

11 Un joc La raó d or p.11

12 No fem trampes La raó d or p.12

13 No fem trampes (1 + Φ) 2 = (1 + 2Φ)Φ La raó d or p.12

14 No fem trampes (1 + Φ) 2 = (1 + 2Φ)Φ Φ = La raó d or p.12

15 Successió de Fibonacci La raó d or p.13

16 Fibonacci Leonardo Pisano (Fibonacci) 1202 Una parella de conills adults (mascle i femella) produeixen 2 cries cada mes (mascle i femella). Els recent nascuts es fan adults en dos mesos i passen doncs a produir 2 cries cada mes. Quantes parelles de conills tindrem cada mes? La raó d or p.14

17 Conills mesos adultes joves total parelles La raó d or p.15

18 Conills La raó d or p.16

19 Conills F n = parelles de conills adults el mes n. F n = F n 1 + parelles de conills d un mes el mes n 1 F n = F n 1 + F n 2 La raó d or p.17

20 Fibonacci i raó àuria 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... La raó d or p.18

21 Fibonacci i raó àuria 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... a 0 = 1,a 1 = 1,a 2 = 2,a 3 = 5,... La raó d or p.18

22 Fibonacci i raó àuria 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... a 0 = 1,a 1 = 1,a 2 = 2,a 3 = 5,... En el terme general apareix la raó àuria Φ. La raó d or p.18

23 Fibonacci i raó àuria 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... a 0 = 1,a 1 = 1,a 2 = 2,a 3 = 5,... En el terme general apareix la raó àuria Φ. ( a n = ) n ( 5 1+ ) n La raó d or p.18

24 Fibonacci i raó àuria 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... a 0 = 1,a 1 = 1,a 2 = 2,a 3 = 5,... En el terme general apareix la raó àuria Φ. ( a n = ) n ( 5 1+ ) n a n = (Φ) n (Φ) n La raó d or p.18

25 Fibonacci i raó àuria Observem 3/2 = 1.5, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 = 1, 66.. Es compleix que lim n F n F n 1 = Φ La raó d or p.19

26 Fibonacci De fet, per a cada parella de nombres a 0,a 1, tenim una successió de Fibonacci. Si a 0 = 1 i a 1 = Φ la successió de Fibonacci és una progressió geomètrica de raó Φ: 1, Φ, Φ 2, Φ 3,... La raó d or p.20

27 Filotaxia La raó d or p.21

28 Filotaxia La raó d or p.22

29 Filotaxia Suposem una planta que treu fulles en model helicoidal formant un mateix angle amb l anterior. Quan tenim dues fulles una sobre l altre diem que tenim un període. m = nombre de voltes d un període. n = nombre de fulles d un període. Si l angle es 144, per arribar a un nombre sencer de voltes ha de ser = 720, que son m = 2 voltes i apareixen n = 5 fulles. La raó d or p.23

30 Filotaxia La raó d or p.24

31 Filotaxia La raó d or p.25

32 Filotaxia m = 1 n = 2 oms i plantes bulboses m = 1 n = 3 alisos, abedul, juncies m = 2 n = 5 salce, rosers, fruits amb os m = 8 n = 21 abets i pins m = 13 n = 34 Escames de les pinyes. Pinus Laricio No es pot explicar per l atzar. Màxima exposició a la llum de cada fulla sense tapar les altres. La raó d or p.26

33 Filotaxia La raó d or p.27

34 Espiral La raó d or p.28

35 Espiral Prenem dos quadrats de costat 1 amb costat comú. Prenem un quadrat de costat 2 = Prenem un quadrat de costat 3 = Prenem un quadrat de costat 5 = La raó d or p.29

36 Espiral La raó d or p.30

37 Espiral La raó d or p.31

38 Espiral La raó d or p.32

39 Espiral Longitud dels costats dels quadrats. La raó d or p.33

40 Espiral El procés iteratiu ens acosta a un rectangle d or. Llargada Amplada = F n + F n 1 F n 1 + F n 2 Φ Φ 1 = Φ La raó d or p.34

41 Espiral La raó d or p.35

42 Espiral La raó d or p.36

43 Espiral La raó d or p.37

44 Espiral La raó d or p.38

45 El joc dels gomets La raó d or p.39

46 El joc del Gomets Tenim gomets quadrats de color groc i gomets rectangulars blancs (equivalents a dos grocs). Quantes tires de longitud n podem fer diferents? Resposta: F n (F 0 = F 1 = 1) La raó d or p.40

47 El joc del Gomets La raó d or p.41

48 El joc del Gomets La raó d or p.42

49 El joc del Gomets La raó d or p.43

50 Construccions amb regle i compàs. La raó d or p.44

51 Rectangle auri La raó d or p.45

52 Rectangle auri La raó d or p.46

53 Rectangle auri La raó d or p.47

54 Rectangle auri La raó d or p.48

55 Rectangle auri BF/BC = Φ La raó d or p.49

56 Construcció de Φ 1 La raó d or p.50

57 Construcció de Φ 1 Sigui AB = 1 Construïm la circumferència tangent a AB per B Unim el centre amb A. Talla en C AC = Φ 1 La raó d or p.51

58 Pentàgon La raó d or p.52

59 Mitjana i extrema raó El total és a la part gran com la gran és la petita. AC AB = AB CB = Φ La raó d or p.53

60 Triangle auri AC AB = Φ. Construïm la mediatriu de BC. La raó d or p.54

61 Triangle auri AC AB = Φ. Tallem amb la circumferència de centre A i radi AC. La raó d or p.55

62 Triangle auri El ACD és auri, ja que CD = BD = BA. La raó d or p.56

63 Pentàgon i raó àuria ACD = 72, 72, 36. La raó d or p.57

64 Pentàgon i raó àuria ACD = 72, 72, 36. AC CD = Φ La raó d or p.57

65 Pentàgon. Segona Construcció La raó d or p.58

66 Explicació Prenem el punt mitjà E entre O i B. Amb centre E i radi EC tracem la circumferència fins F. Amb centre C i radi CF tracem la circumferència fins G. CG és el costat del pentàgon. La raó d or p.59

67 Pentàgon i raó àuria La raó d or p.60

68 Pentagrama La raó d or p.61

69 Pentagrama Símbol dels Pitagòrics a b = Φ a + b b 2a + b b = Φ 2 = Φ 3 La raó d or p.62

70 Leda Atòmica. Dalí 1949 La raó d or p.63

71 Leda Atòmica. Dalí 1949 La raó d or p.64

72 Leda Atòmica. Dalí 1949 La raó d or p.65

73 Polígons regulars Quins polígons regulars es poden dibuixar amb regle i compàs? El primer que no es pot dibuixar és l eptàgon Gauss, als disset anys, va construir el de 17 costats Es poden construir els de 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 17,... costats La raó d or p.66

74 Polígons regulars TEOREMA(Gauss 1801) El polígon regular de n costats es pot construir amb regle i compàs si i només si n té una descomposició en factors primers de la forma n = 2 α (2 2α 1 + 1) (2 2α 2 + 1) (2 2α k + 1) on α 1,α 2,...,α k són enters diferents entre ells. La raó d or p.67

75 Polígons regulars TEOREMA(Gauss 1801) El polígon regular de n costats es pot construir amb regle i compàs si i només si n té una descomposició en factors primers de la forma n = 2 α (2 2α 1 + 1) (2 2α 2 + 1) (2 2α k + 1) on α 1,α 2,...,α k són enters diferents entre ells. Primers de Fermat (2 2a + 1): 3, 5, 17, 257, 65537,.. La raó d or p.67

76 Quadratura del cercle La raó d or p.68

77 Quadratura del cercle La raó d or p.69

78 Quadratura del cercle Anaxagoras ac. Aristofanes en fa burla a Els ocells, 414 ac. La raó d or p.70

79 Quadratura del cercle TEOREMA[P. L. Wantzel, 1837] Els nombres reals construïbles amb regle i compàs són arrels de polinomis que tenen per coeficients nombres racionals. La raó d or p.71

80 Quadratura del cercle TEOREMA[P. L. Wantzel, 1837] Els nombres reals construïbles amb regle i compàs són arrels de polinomis que tenen per coeficients nombres racionals. Exemple: a = 2, a 2 2 = 0. La raó d or p.71

81 Quadratura del cercle TEOREMA[F. Lindemann, 1882] El nombre π no és arrel de cap polinomi a coeficients racionals. L. F. von Lindemann, La raó d or p.72

82 Quadratura del cercle Si poguéssim construir π (quadrar el cercle), podríem construir π. La raó d or p.73

83 Quadratura del cercle Si poguéssim construir π (quadrar el cercle), podríem construir π. La raó d or p.73

84 Quadratura del cercle Si poguéssim construir π (quadrar el cercle), podríem construir π. Contradicció La raó d or p.73

85 Decàgon B 1/5 1/5 l O 1/5 2/5 D 2/5 A La raó d or p.74

86 Decàgon La raó d or p.75

87 Triangle d or Triangles centrals dels decàgon. La raó d or p.76

88 Fibonacci. Problema Obert Hi ha infinits nombres primers a la successió de Fibonacci? 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... La raó d or p.77