DIBUIX TÈCNIC, 2n BATXILLERAT. 1r CRÈDIT: GEOMETRIA PLANA

Transcripción

1 DIUIX TÈCNIC, 2n ATXILLERAT 1r CRÈDIT: GEOMETRIA LANA

2 IES uig de la Creu 1

3 INDEX 1.- TEMA 1: ROORCIONALITAT directa e invsa quarta i tca proporcional mitjana proporcional: teorema del catet i de l altura secció àuria : segment i rectangle auris 2.- TEMA 2: OTENCIA I EIX RADICAL. ALICACIONS potència d un punt respecte d una circumfència eix radical circumfències corradicals centre radical de tres circumfències problemes de tangències aplicant potència recta i dos punt dos rectes i punt circumfència i dos punts circumfència, recta i punt T en ella circumfències i punt T en una d elles circumfència. recta i punt dues circumfències i punt dues rectes i circumfència dues circumfències i recta 3.- TEMA 3: RECTES TANGENTS A LES CÒNIQUES dibuix de l el lipse pel mètode de la targeta i p afinitat rectes tangents a l el lipse p un punt que li ptany p afinitat rectes tangents a l el lipse paral leles a una direcció donada rectes tangents a l el lipse p un punt extior detminació dels eixos d una el lipse a partir dels diàmetres conjugats tangents a qualsevol cònica 4.- TEMA 4.- CORES CÍCLIQUES 4,1.- concepte cicloide epicicloide hipocicloide 5.- TEMA 5: TRANSFORMACIONS GEOMÈTRIQUES Concepte de transformació i aplicacions Classificació Transformacions isomètriques: translació, gir i simetria Transformacions isomòrfiques: homotècia i semblança Transformacions anamòrfiques: geometria projectiva Fonaments: Elements impropis, formes geomètriques, opacions projectives, aplicacions Homologia: elements dobles, detminació, caractístiques, rectes límit, opativitat Afinitat: elements dobles, detminació, caractístiques, opativitat 2

4 1.- TEMA 1: ROORCIONALITAT roporcionalitat directa e invsa Quarta i tca proporcional Quarta proporcional Donats tres segments o tres de les quatre magnituds que formen la relació de proporcionalitat, trobar-ne la quarta tal que es mantingui la raó de proporcionalitat: a/b = c/x Tca proporcional En una proporció contínua només hi ha tres tmes difents, dos són iguals. Si en coneixem dos, cal trobar-ne el tc. a/b = b/x Mitjana proporcional El tme que es repeteix en una proporció contínua rep el nom de mitjana proporcional. a/x =x/b L obtenció gràfica de la qual es basa en la propietat següent: en tota circumfència la semicorda ppendicular a un diàmetre és mitjana proporcional entre les parts en que queda dividit. També es poden aplicar els teoremes de l altura i del catet d un triangle rectangle (x 2 = a.b). 3

5 Relacions de proporcionalitat en els triangles Hi ha dos teoremes relatius al triangle rectangle que també ens pmeten trobar la mitjana proporcional entre dos segments. Teorema del catet Un catet és mitjana proporcional entre la hipotenusa (a) i la projecció ortogonal d aquest catet sobre ella (b). tant p trobar la mitjana proporcional entre dos segments farem la següent opació: 1.- situar els dos segments en posició de supposició amb un extrem comú. 2.- dibuixar l arc capaç de 90º que pmet dibuixar un triangle rectangle (és la semicircumfència, p tant abans cal trobar el punt mig del segment més gran ) 3.- aixecar una ppendicular des de l extrem no comú del segment menor. Aquesta recta ens dóna el vèrtex del triangle rectangle i el catet menor és la solució. Teorema de l altura L altura d un triangle rectangle és mitjana proporcional entre els segments que detmina sobre la hipotenusa (a+b). trobar la mitjana proporcional segons aquest teorema caldrà: 1.- situar els dos segments alineats 2.- traçar l arc capaç de 90º de la suma dels segments 3.- la ppendicular p l extrem comú dels segments, que és l altura del triangle rectangle, ens proporciona la solució 4

6 1.4.-Secció àuria La proporció harmònica o Divina proporció, com ell l anomenava, va s descobta pel monjo franciscà Fra Luca acioli ( ). Durant el segle XV a Italia els estudis sobre la proporció del cos humà, la visió harmònica de l univs i la recca d un principi univsal de bellesa van s molt importants i fonamentals p a postiors aplicacions en art, arquitectura (modulor de Le Corbusi), geometria, etc i apareix en la natura i en el pròpi cos humà. Leonardo Da Vinci va anomenar aquesta proporció númo d or o secció àuria. En art la secció àuria es defineix de la següent mana: pquè un espai dividit en dues parts iguals resulti agradable i estètic ha d hav entre la part més petita i la més gran la mateixa relació que entre la part major i el tot. La secció àuria d un segment A és la seva divisió en dues parts AX, X, mitjana i extrema raó de la proporció, i compleixen la següent condició: A/AX = AX/X El punt X divideix el segment en mitjana i extrema raó quan la part major AX és la mitjana proporcional entre el segment total i el menor X. El segment AX és el segment auri del segment total A. A la vegada que el segment menor X és el segment auri de la part major AX. A X AX és el segment auri d A a les següents construccions s apliquen les propietats de la potència que veurem més endavant..- Construcció del segment auri d un segment donat (divisió del segment en extrema i mitjana raó) 1.- Donat el segment A traçar-hi la mediatriu i amb radi A/2 traçar una circumfència tangent en el punt. (p això cal prim aixecar una ppendicular al segment des de ) 2.- Unir el centre de la circumfència amb l altre extrem A i obtindrem un punt C de la circumfència. 3.- AC sà el segment àuri d A 4.- Transportar C sobre A, i obtindrem X sobre el segment total. Radi : A/2 AX és el segment auri d A.- Construcció d un segment donat el seu segment auri. La construcció és igual a l antior. Donat el segment AX es traça una circumfència de diàmetre AX, tangent en X. Al unir el centre de la circumfència amb l altre extrem A s obté el segment A, del qual AX és la seva secció àuria. Radi : A/2 AX és el segment auri d A FALTA RECTANGLE AURI 5

7 TEMA 2.- OTÈNCIA: EIX RADICAL I CENTRE RADICAL -ALICACIONS otència d un punt respecte d una circumfència La potència d un punt respecte d una circumfència és el producte de dos segments detminats p una recta secant a la circumfència i que passa pel punt. És una costant. = K. C A D F A..=C D= E. F= K E També és vàlid quan el punt és al intior de la circumfència. A..= K A Si el punt és un punt de la circumfència la potència val 0, ja que un dels segments (A) val 0. A..= 0,A La potència d una recta tangent, que es pot demostrar pel teorema del triangle rectangle de itàgores, val: T A..= T 2 A Les aplicacions directes que té la potència ajuden a resoldre problemes de proporcionalitat, ja vistos en el tema corresponent, com són la detminació gràfica de la mitjana proporcional (pel teorema del catet i de l altura), la secció àuria d un segment, la construcció d un segment auri, i la construcció d un segment donat el seu segment auri. Les demostracions matemàtiques de les quals es poden resoldre aplicant el principi de potència. ò la potència és fonamental pel tema de tangències pquè hi ha una sèrie de problemes que també cal resoldre aplicant aquesta propietat. 6

8 2.2.- Eix radical. L eix radical de dues circumfències és el lloc geomètric dels punts del pla que tenen igual potència respecte a dues circumfències. Tots els punts de l eix radical compleixen aquesta propietat. Aquest eix sempre sà ppendicular a la recta que uneix els centres d ambdues circumfències A C D dibuixar l eix radical de dues circumfències cal tenir en compte la seva posició relativa:.- Circumfències secants unir els dos punts d intsecció M i N els quals tenen la mateixa potència respecte a ambdues circumfències, ja que hi ptanyen..- Circumfències tangents extiors. l eix ha de passar pel punt T, comú a ambdues circumfències i sà ppendicular a la recta que uneix els centres T..- Circumfències tangents intiors..- l eix ha de passar pel punt T, comú a ambdues circumfències i sà ppendicular a la recta que uneix els centres. T.- Circumfències extiors de mateix radi..- l eix sà ppendicular a la recta que uneix els centres i passarà pel punt mig (mediatriu)..- Circumfències extiors de difent radi..- cal traçar una circumfència auxiliar que talli a les dues donades p buscar els eixos radicals d aquesta amb cadascuna de les dades..- el punt d intsecció dels dos eixos auxiliars svirà p f passar l eix solució que a més sà ppendicular a la recta que uneix els centres de les dades..- Circumfències intiors..- cal traçar una circumfència auxiliar que talli a les dues donades p buscar els eixos radicals d aquesta amb cadascuna de les dades..- el punt d intsecció dels dos eixos auxiliars svirà p f passar l eix solució que a més sà ppendicular a la recta que uneix els centres de les dades. 7

9 2.3.- Circumfències corradicals Les circumfències corradicals són les que tenen un eix radical comú. Els seus centres han d estar sobre una mateixa recta ppendicular a aquest eix radical, com és la mediatriu de dos punts que tinguin en comú les circumfències corradicals (recta dels centres). tant, es complirà el següent: si des d un punt qualsevol de l eix radical,, es traça una recta tangent a qualsevol circumfència, la distància de al punt de tangència T - sà la mateixa p a totes les circumfències. Aplicació en tangències: Segons aquesta propietat de les circumfències corradicals, es podrà dibuixar una circumfència corradical amb les circumfències solució, que encara no es coneixen, p tal de conèix la distància T, d un punt de tangència a un punt de l eix radical. A mediatriu d' A- T Centre radical de tres circumfències El centre radical de tres circumfències és un punt que te la mateixa potència respecte a tres circumfències. A. = C.D = E.F = centre radical A E C F D El centre radical es el punt on es tallen els eixos radicals dels parells de circumfències. detminar-lo, pò, només cal dibuixar dos eixos de dos parells de circumfències, tenint en compte la seva posició relativa. cr 1 Aquest punt també ajuda a resoldre casos de tangències, ja que desde el centre radical es poden traçar tangents de igual dimensió p a tres circumfències. Només cal conèix alguna de les circumfències, el centre radical (que es pot trobar mitjançant circumfències corradicals a les que es busquen) i la distància del centre radical al punt de tangència. 2 8

10 2.5.- Casos resolts aplicant potència. Hi ha casos de tangències que només es poden resoldre aplicant les propietats desenvolupades en aquest apartat. pod-los resoldre caldrà f el següent: Aplicar i recordar els principis bàsics sobre tangències, p traçar-los en algun pas del problema:.- distància entre els centres de circumfències tangents.- recta tangent a circumfència p un punt d aquesta.- circumfència tangent a recta p un punt d aquesta.- circumfències que passen p dos punts: els seus centres es troben sobre la seva mediatriu.- rectes tangents a circumfència p un punt extior Aplicar i recordar les propietats de eix i centre radical, p dibuixar-los en algun pas del problema:.- procediments p trobar l eix i el centre radical.- recta tangent a dues circumfències des d un punt del seu eix radical.- circumfències corradicals: recta on situar els centres (mediatriu de dos punts comuns a totes elles) Analitzar a fons el problema i f un croquis a ma alçada de com han de s les solucions, tenint en compte les dades donades. Detminar quins elements es poden dibuixar ja d entrada imprescindibles p pod traçar les solucions: línea on situar els centres (mediatriu de dos punts, ppendicular a una recta, alineant centre i punt de tangència, etc), eix radical de la dada amb una circumfència corradical amb la solució, etc MÈTODE GENERAL: ASSOS A SEGUIR 1.- Detminar la recta sobre la qual situar els centres de les solucions:.- mediatriu de dos punts.- bisectriu d un angle.- ppendicular a recta r en T (punt de tangència donat).- pllongar la unió de centre O amb punt T. 2.- uscar un punt M que tingui la mateixa potència respecte a la dada i les solucions, p trobar la distància de M a un punt de tangència T, mitjançant un o dos passos (base del problema):.- un pas: ens donen T, cal buscar M.- dos passos: caldrà buscar M i després T p això caldrà f algun o alguns d aquests traçats:.- dibuixar circumfència auxiliar que tingui les mateixes caractístiques que les solucions: que passi p A i, que sigui tangent en el punt donat T, etc..- dibuixar l eix radical de les solucions.- dibuixar l eix radical de la dada amb una auxiliar.- dibuixar una circumfència auxiliar i una recta tangent.- dibuixar el centre radical de la dada i auxiliar 3.- Tralladar la distància MT a una o més de les dades 4.- Detminar els centres i els punt de tangència fent ppendiculars a una recta des de T o bé unint centres amb punt T 5.- Dibuixar les solucions Consultar dossi de classe p a cada cas particular. 9