UNIDAD 5. ECUACIONES.

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1 UNIDAD 5. ECUACIONES. 0. INTRODUCCIÓN DEFINICIÓN DE ECUACIÓN ECUACIONES EQUIVALENTES ECUACIONES DE PRIMER GRADO SIN PARÉNTESIS NI DENOMINADORES ECUACIONES CON PARÉNTESIS ECUACIONES CON DENOMINADORES ECUACIONES CON PARÉNTESIS Y DENOMINADORES NÚMERO DE SOLUCIONES DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Ecuación de segundo grado completa Ecuación de segundo grado incompleta NÚMERO DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO LECTURA FINAL INTRODUCCIÓN. Gran cantidad de problemas prácticos en la vida real conducen a la resolución de una ecuación o de un sistema de ecuaciones. Traducir al lenguaje del álgebra resulta imprescindible en estas ocasiones, el lenguaje algebraico nos sirve para expresar con precisión relaciones difíciles de transmitir con el lenguaje habitual. Prueba a hacer a algún amigo el juego de que propone el mago, para adivinar el número pensado basta restar 1000 al resultado que te de y dividir por 100, como puedes comprobar si planteas una ecuación: Piensa un número x Duplícalo x Añade 5 unidades x+5 Multiplica por (x+5) Suma 75 unidades (x+5)+75 Multiplica todo por [5 (x+5)+75] =resultado 10 (10x+5+75)= resultado 10 (10x+100)= resultado 100x+1000=resultado x=(resultado-1000)/100 Página 1 de 9

2 Desde el siglo XVII a.c los matemáticos de Mesopotamia y de Babilonia ya sabían resolver ecuaciones. En el siglo XVI a.c. los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales. Ya para entonces tenían un método para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el "método de la falsa posición". No tenían notación simbólica pero utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar la incógnita. Hacia el siglo I d.c. los matemáticos chinos escribieron el libro Jiuzhangsuanshu( que significa El Arte del cálculo), en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones. Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuando a Diophante (50 d. C.), no se dedicaron mucho al álgebra, pues su preocupación era como hemos visto, mayor por la geometría. En el siglo III el matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en la cual, por primera vez en la historia de las matemáticas griegas, se trataron de una forma rigurosa las ecuaciones de primer grado. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incógnita con un signo que es la primera sílaba de la palabra griega arithmos, que significa número. Los problemas de álgebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos más tarde sería "la teoría de ecuaciones". A pesar de lo rudimentario de su notación simbólica y de lo poco elegantes que eran los métodos que usaba, se le puede considerar como uno de los precursores del álgebra moderna. En 1858, el egiptólogo escocés A. Henry Rhind compró un papiro que había sido encontrado en las ruinas de un antiguo edificio de Tebas. En él aparece el siguiente problema: un montón y un séptimo del mismo es igual a 4. En notación moderna, la ecuación lineal correspondiente sería x + 1 x = 4. 7 El autor del papiro fue el escriba Ahmes, quien lo escribió hacia el año 1650 a.c., a partir de otros escritos anteriores. Así pues, para llegar al actual método de resolución de ecuaciones lineales han tenido que transcurrir cerca de años. 1. DEFINICIÓN DE ECUACIÓN. Una igualdad algebraica está formada por dos expresiones algebraicas separadas por el signo igual. Si la igualdad es cierta para cualquier valor de las letras, se llama identidad. Cuando la igualdad es cierta para un algún determinado valor de las letras, se llama ecuación. Página de 9

3 Ej.: Subraya las igualdades que sean ecuaciones. a) + 3 = 8 3 b) a + 5 = 9 c) 3 = 8 d) x 5 = 1 Se llama solución de una ecuación al valor de la letra que hace que la igualdad se verifique. Ej. En la ecuación 4 + x = 13 La solución es x= 9 Ej.: Encuentra mentalmente un número que al sustituir la letra se verifique la igualdad: a) x + = 6 b) a = 8 c) 5 + x = 7 d) 4 + x = 10 Resolver una ecuación es encontrar la solución o soluciones. Grado de una ecuación: se llama grado de una ecuación al mayor exponente al que está elevada la incógnita. Ej. x + 1 = x + 4 es de º grado porque x está elevada al cuadrado + x = 4x + 5 es de primer grado porque x está elevada a uno Elementos de una ecuación: Miembros.- Son las expresiones separadas por el signo ( =) Términos.- Son los sumandos que forman los miembros. Incógnitas.- Son las letras que aparecen en los términos. Primer miembro Segundo miembro 5x 4 = 3x + 6 Términos 1.1.ECUACIONES EQUIVALENTES. El emperador QinShiHuangdi ordenó la destrucción de todos los libros de matemáticas en el año 13 a.c. Por este motivo no podemos saber con exactitud en qué momento los chinos comenzaron a trabajar con ecuaciones matemáticas. Son las que tienen las mismas soluciones. Ej: Son equivalentes las siguientes ecuaciones: 3x + 4 = 10 ; solución: x = x + 15 = 17 ; solución: x = Ej: Comprueba cuáles de las siguientes ecuaciones son equivalentes: a) x + 4 = 8 b) x + 4 = 5 c) x = 8 + d) 3a + 6 = 1 e) a + = 4 f) 1 a = a Página 3 de 9

4 Obtención de ecuaciones equivalentes Para obtener ecuaciones equivalente hay dos formas: 1ª Sumar o restar a los dos miembros de una ecuación un mismo nº. ª Multiplicar o dividir los dos miembros de una ecuación un mismo nº. Ej. A) 4 + x = 13, le sumamos dos a los dos miembros: 4 + x + = x = x = 13 y 6 + x = 15 son equivalentes por que en las dos x = 9 B) 4 + x = 13, multiplicamos por, los dos miembros: ( 4 + x). = (13). y nos sale 8 + x = 6 ; 4+ x = 13 y 8 + x = 6 son equivalentes por que en las dos x = 9. ECUACIONES DE PRIMER GRADO.1. SIN PARÉNTESIS NI DENOMINADORES. Para resolver estas ecuaciones, se han de realizar los siguientes pasos: 1º: Se transponen los términos, es decir, se pasan al primer miembro todos los términos en x, que hay en la ecuación y se pasan al º miembro todos los términos independientes que haya (es obtiene una ecuación equivalente, sumando o restando términos en ambos miembros). Para pasar de un miembro a otro, se hace cambiando el signo que tiene delante cada término. (Si es + pasa con y si es pasa con +. Ojo: cambia de signo quien cambia de miembro. Quien no cambia de miembro tampoco cambia de signo). Ej. x 1 = 3x 6 ; x + 3x = º:Se reducen términos semejantes, es decir se suman los términos en cada miembro. Ej. x + 3x = ; 5x = 15 3º: Se despeja la x: es decir se deja sola en el primer miembro y el nº que le acompaña (coeficiente) pasa dividiendo al º miembro. (Se obtiene una ecuación equivalente, dividiendo ambos miembros por el mismo número) 15 Ej. 5x = 15 ; x = 5 4º: Se efectúa la división que nos ha salido en el paso 3º y es el valor de x Ej. 15 : 5 = 3 ; x = 3 (Si no sale división exacta, se suele dejar el valor de x en forma de fracción ) 5º: Se debe comprobar que la solución sea correcta, sustituyendo la x por su valor en la ecuación original Ej. x 1 = 3x 6 ;. 3 1 = ; 6 1 = 9 6 ; 15 = 15 Página 4 de 9

5 .. ECUACIONES CON PARÉNTESIS. Para resolver estas ecuaciones, se han de realizar los siguientes pasos: 1º: Quitar los paréntesis, efectuando las operaciones indicadas Ej. (3 + x) + 1 = 5 (x + 8) 3 ; 6 + x + 1 = 5x º: Una vez que han desaparecido los paréntesis, se siguen los pasos del apartado.1. Ej. 6 + x + 1 = 5x ; trasponer: x 5x = ; reducir: 3x = 30 Despejar: x = 30 3 ; efectuar: x = 30 : 3 = 10 ; x = 10 Comprobar: (6 + ( 10) ) + 1 = 5 ( ) 3 ; = ; 13 = ECUACIONES CON DENOMINADORES. Para resolver estas ecuaciones, se han de realizar los siguientes pasos: 1º: Quitar los denominadores, para ello, se reduce a común denominador ambos miembros y luego se tachan los denominadores Ej. x 4 x 7 x 4 3 3x 1 8x 8 6x x x + 8 = 6x m.c.m(4, 3 y ) = 1 º: Una vez que han desaparecido los denominadores, se siguen los pasos del apartado.1 Ej. 3x x + 8 = 6x ; trasponer: 3x + 1 6x = 1 8 ; reducir: 5x = 40 ; Podemos decir que el álgebra comenzó en En ese año el matemático francés FrancoisViète fue el primero en utilizar símbolos y letras, por lo que es considerado como uno de los padres del Álgebra Moderna. Así que todos los símbolos que aparecen en esta unidad fueron inventados en el siglo XV. Despejar: x = 40 5 ; Efectuar: 40 : 5 = 8 ; x = 8 (comprobar que es correcta) Página 5 de 9

6 .4. ECUACIONES CON PARÉNTESIS Y DENOMINADORES. Para resolver estas ecuaciones, se han de realizar los siguientes pasos: 1º: Quitar los paréntesis. º: Quitar los denominadores. 3º: Resolver. 4º: Comprobar si la solución es correcta. RESUMIENDO: Transposición de términos. Ecuaciones del tipo: x + a = b x + a a = b a x = b a Ecuaciones del tipo: x - a = b x - a + a = b + a x = b + a Ecuaciones del tipo: ax = b ax a b a b x = a Ecuaciones del tipo: x x b a b a x = b a a Los trabajos realizados por Emmy Noether permitieron la creación del álgebra moderna. Aunque la comunidad matemática de la época reconoció su genialidad, nunca consiguió ocupar puestos académicos a la altura de su valía. A principios del siglo XX a las mujeres les estaba legalmente permitido estudiar en universidades alemanas. Sin embargo, y con muy pocas excepciones, lo habitual era que un profesor no diera comienzo a sus clases si en el aula detectaba la presencia de una mujer. ENCUENTRA información sobre la vida de esta excelente mujer matemática. Página 6 de 9

7 3. NÚMERO DE SOLUCIONES DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO. Se nos pueden presentar tres casos: a) Que tenga una única solución y cuando se resuelve siempre se llega a la expresión: ax = b ; x = a b 6 a 0 ; 3x = 6 ; x = 3 Cuando se da este caso se dice que es una ecuación compatible. b) Que tenga infinitas soluciones y cuando se resuelve siempre se llega a la expresión: a.x = b donde a y b = 0, luego sale 0x = 0 Ej. x x 5 = x 5 ; x x x = ; 0x = 0 (comprueba que con cualquier valor que le des a x, siempre se cumple) Cuando se da este caso se dice que es una identidad. c) Que no tenga solución y cuando se resuelve siempre se llega a la expresión: ax = b donde a = 0 y b 0 ; 0x = b Ej. x x 4 = x ; x x x = + 4 ; 0x = (no tiene solución porque ningún nº multiplicado por 0, puede dar ) Cuando se da este caso se dice que es una ecuación incompatible o imposible Algunas consideraciones: 3x = 15 x = 15 = 5 Despejar directamente pero ojo, no se le cambia el signo al coeficiente de x!! 3 3x = 15 x = 15 3 = 5 Cambiar primero el signo a ambos miembros y despejar. x = 8 x = 8 Cambiar el singo a ambos miembros. 0 x = 0 Tiene infinitas soluciones. 0 x = a, a 0 No tiene solución. a x = 0 x = 0 Página 7 de 9

8 EJEMPLOS DE ECUACIONES 1. Sin paréntesis ni denominadores. Con paréntesis solamente 3x 8 + x = x + 4 3x + x + x = x = 1 (x 3) + 5x = 3( + 5x) 9 x x = x 9 x + 5x 15x = x = 1 1x = 9 6 x = x = Comprobación: x = = + 4? SI 3. Con denominadores solamente 4. Con paréntesis y denominadores 4x x + x = 1 x + 1 x = 1 (x 3) 3(x ) + 1 = x (3x ) x = ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. Una ecuación de segundo grado es aquella en la que el exponente máximo de la incógnita es. Su expresión general es de la forma ax + bx + c = 0, { a es el coeficiente de x, a 0 b es el coeficiente de x c es el término independiente 4.1. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Ecuación de segundo grado completa: si a, b, c 0. Se resuelve mediante la siguiente fórmula: Ejemplos: x = b ± b 4ac a a = 1 1º) x 8x + 1 = 0 { b = 8 c = 1 x = ( 8) ± ( 8) = 8 ± = 8 ± 16 = 8 ± 4 = x 1 = = 6 x = 8 4 = a = 1 º) x + 3x + 10 = 0 { b = +3 c = 10 x = 3 ± 3 4 ( 1) 10. ( 1) = 3 ± = 3 ± 7 = x 1 = = x = 3 7 = 5 Página 8 de 9

9 4.1.. Ecuación de segundo grado incompleta. ax + c = 0 Se resuelve despejando x y después haciendo raíz cuadrada para quitar el exponente. Ejemplos: x 9 = 0 x = 9 x = ± 9 = ±3 x 1 = 3, x = 3 x 50 = 0 x = 50 = 5 x = ± 5 = ±5 x 1 = 5, x = 5 x + 4 = 0 x = 4 x = ± 4 No tiene solución 4.. NÚMERO DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO. ax + c = 0 Tendrá dos soluciones opuestas o ninguna. ax + bx + c = 0 Se llama discriminante y su símbolo es a la expresión b 4ac, es decir, = b 4ac El número de soluciones de una ecuación de segundo grado completa está en función del signo del discriminante: Si = b 4ac > 0, hay dos soluciones distintas. Si = b 4a = 0, las dos soluciones son iguales, hay una solución doble. Ejemplo: x -6x+9=0 Si = b 4ac < 0, no hay solución real. En cursos posteriores estudiarás que sí que tiene solución, pero éstas son complejas. Ejemplo: x -4x+7=0 5. LECTURA FINAL. En aritmética y álgebra existe la colección Palatina, también llamada antología griega, con 46 problemas en forma epigramática, reunidos hacia el año 500 por el gramático romano Metrodoro. Uno de los más famosos fue el siguiente: se refiere a Diofanto de Alejandría, un importante matemático griego y uno de los precursores del álgebra. Lo único que se sabe de su vida es por la siguiente inscripción que figuraba en su tumba (Epitafio de Diofanto de Alejandría): Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Un sexto de su vida transcurrió en la niñez y un doceavo en la adolescencia; después de transcurrir otro séptimo de su existencia se casó; a los 5 años de casado nació su hijo; pero el hijo vivió la mitad de la vida de su padre y éste, afligido, buscó consuelo en la ciencia de los números; pero 4 años después de la muerte de su hijo, el padre falleció. Ésta es la traducción al idioma matemático: X = x/6 + x/1 + x/ x/ + 4 (x=84 años) Comprueba que la solución es la correcta. Busca en el diccionario el significado del término epigramática Página 9 de 9