Por definición, la incertidumbre asociada a una magnitud a medir (o mensurando) siempre es positiva, de manera que. a δa a δa (2)

Transcripción

1 Expresiones de incertidumbre Existen varios tipos de incertidumbre, asociadas con la repetición de las mediciones. Desde este punto de vista hay incertidumbres aleatorias (que dependen del azar por tener su relación con variables no controladas experimentalmente) e incertidumbres sistemáticas (por estar relacionadas con variables cuya magnitud no está bien establecida, pero que se presentan siempre en los experimentos que se realizan). Una equivocación o mala observación del experimentador provoca desviaciones incalculables en los experimentos. Las magnitudes experimentales siempre deben expresarse con sus unidades (valores numéricos más los símbolos del sistema de unidades en uso), así como con la incertidumbre que se tiene en la medición. De esta forma, la magnitud a debería expresarse de acuerdo a la notación a = a c ± a o bien a = a c ± δa () siendo a c un valor llamado central (porque en este caso se identificará con el valor central del intervalo en donde se sabe con certeza que se encuentra la magnitud que se desea medir, en tanto que a (o δa) se conoce como la incertidumbre absoluta de la medición o propiedad (y que se identifica con la mitad del intervalo mencionado anteriormente). Por definición, la incertidumbre asociada a una magnitud a medir (o mensurando) siempre es positiva, de manera que a δa a δa (2) También, gracias a los párrafos anteriores se puede establecer que el valor mínimo del intervalo a mín y su valor máximo a máx son tales que a c (a máx + a mín )/2 (3) en tanto que δa a máx - a mín /2 (4) También es posible definir la incertidumbre relativa de la medición [(δa)/ a c ] (5) Es conveniente señalar que la incertidumbre absoluta del mensurando debe tener las mismas dimensiones que éste, en tanto que la incertidumbre relativa es adimensional. Por otra parte, aunque la incertidumbre absoluta podría expresarse en otras unidades que el mensurando (aunque las mismas dimensiones), se acostumbra escribirla en sus mismas

2 unidades, con el objeto de no crear confusiones. También puede expresarse la incertidumbre relativa en porcentaje, como lo muestra la siguiente definición %[(δa)/ a c ] (δa/ a c )00% (6) Así, las siguientes expresiones deben tomarse como totalmente equivalentes a la expresión de la ecuación (). Cálculo de incertidumbres en operaciones algebraicas comunes Sumas y restas de mensurandos independientes Sean dos mensurandos independientes a y b, tales que a = a c ± (δa)/ a c (7) a = a c ± %[(δa)/ a c ] (8) a = a c ± δa (9) b = b c ± δb (0) Si otro mensurando (m) resulta ser la suma de los dos anteriores, entonces m = m c ± δm () tal que, por las definiciones del apartado anterior, es posible demostrar que m c = a c + b c (2) y que δm = δ(a+b) = δa + δb (3) Esto es, la incertidumbre absoluta del mensurando m siempre es mayor que la de los mensurandos a y b, porque resulta la suma de dos magnitudes positivas. Ahora bien, si el mensurando n es la resta de los mensurandos anteriores Es claro que n = n c ± δn (4) n c = a c - b c (5) 2

3 Sin embargo, no resulta tan claro a qué corresponde la incertidumbre δn en este caso. Si se considera que en tanto que entonces por lo que n mín = (a c - δa) - (b c + δb) (6) n máx = (a c + δa) - (b c - δb) (7) n máx - n mín = 2δa + 2δb (8) δn = δ(a - b) n máx - n mín /2 = δa + δb (9) Es así que se ha demostrado que mensurandos que resultan de la suma o resta de otros mensurandos, tienen incertidumbres absolutas que constituyen siempre, en ambos casos, la suma de las incertidumbres absolutas de dichos mensurandos. Por supuesto, estas expresiones son generalizables a la suma o resta de z mensurandos independientes. Sin embargo, debe tenerse cuidado, ya que las incertidumbres relativas de los casos tratados en este apartado no son aditivas, ya que en tanto que (δm)/ m c = (δm)/ a c + b c = [(δa)/ a c + b c ] + [(δb)/ a c + b c ] (20) (δn)/ n c = (δn)/ a c - b c = [(δa)/ a c - b c ] + [(δb)/ a c - b c ] (2) Productos y cocientes de mensurandos independientes Sea el mensurando p el producto de dos mensurandos independientes a y b, de manera que p = ab = p c ± δp = (a c ± δa)(b c ± δb) (22) Si se desarrolla el producto de la ecuación (22), se tiene (a c ± δa)(b c ± δb) = a c b c ± a c δb ± b c δa (±) 2 δaδb (23) 3

4 donde el símbolo (±) 2 denota el signo correcto de las cuatro posibilidades que resultan al multiplicar signos iguales o diferentes. Si se considera que δa <<< a c y que δb <<< b c, el producto δaδb es tan pequeño, que es válida la siguiente aproximación de manera que en tanto que (a c ± δa)(b c ± δb) a c b c ± (a c δb + b c δa) (24) p c = a c b c (25) δp a c δb + b c δa (26) Como puede verse, en este caso la incertidumbre absoluta del producto de dos mensurandos independientes no es el producto de las incertidumbres absolutas de los mensurandos; sin embargo, cómo se relacionan ahora las incertidumbres relativas? Si se divide la ecuación 26 por el valor central del producto, se obtiene (δp)/ p c [a c δb + b c δa]/ p c = (δb)/ b c + (δa)/ a c (27) Esto implica que la incertidumbre relativa del producto de mensurandos independientes es la suma de las incertidumbres relativas de dichos mensurandos! Esta conclusión también es generalizable al producto de z factores que provienen de mensurandos independientes (siempre a condición de que cada una de las incertidumbres absolutas sea pequeña con respecto a la magnitud de su mensurando respectivo). Si ahora se considera que el mensurando c es el cociente de los mensurandos anteriores, se tiene que c = a/b = c c ± δc = (a c ± δa)/(b c ± δb) (28) Reescribiendo la ecuación (28) se tiene c = a/b = (a c ± δa)(b c ± δb) - = b c - (a c ± δa)[ ± (δb)/(b c )] - (29) desarrollando el último término de la ecuación (29) por medio del binomio de Newton, se tiene ( ± x) n = ( ± nx ± [n(n-)/2]x 2 ±...) (30) 4

5 si x < la serie converge, de manera que, si (δb)/(b c ) <<<, los términos de orden superior (cuadrático, cúbico, etc.) se pueden despreciar; entonces por lo que c c ± δc b c - (a c ± δa)[ [ ± (δb)/(b c )] - m (δb)/bc (3) m (δb)/(bc)] = a c /b c ± (δa)/b c m a c (δb)/(b c ) 2 m (δaδb)/(bc) 2 (32) Por la misma razón que en el caso anterior (producto), es posible considerar que δaδb <<, por lo que c c ± δc b c - (a c ± δa)[ -/+ (δb)/(b c )] = a c /b c ± (δa)/b c -/+ a c (δb)/(b c ) 2 (33) Tampoco en este caso, la incertidumbre absoluta del cociente de dos mensurandos independientes es la suma de sus incertidumbres absolutas; pero, qué pasa con las incertidumbres relativas? Dividiendo la incertidumbre absoluta de la ecuación (33) por el valor central del cociente, se tiene (δc)/ c c [(δa)/b c ] a c /b c + [a c (δb)/(b c ) 2 ]/ a c /b c = (δa)/ a c + (δb)/ b c (34) Esto también implica que la incertidumbre relativa del cociente de mensurandos independientes es la suma de las incertidumbres relativas de dichos mensurandos! Y, por supuesto, esta conclusión también es generalizable al producto de z factores que provienen de mensurandos independientes (siempre a condición de que cada una de las incertidumbres absolutas sea pequeña con respecto a la magnitud de su mensurando respectivo). De estas expresiones también se puede deducir que y otras expresiones similares. (δa - )/ a c - = (δa)/ a c (35) Por ejemplo, en el caso que un mensurando x sea la potencia enésima de otro mensurando a, se tiene que así, también es posible escribir x = x c ± δx = (a c ± δa) n = a n (36) 5

6 (a c ± δa) n = a c n {± [(δa)/a c ]} n (37) Como en el caso del cociente, si [(δa)/a c ] <<<, entonces la ecuación (37) se puede aproximar por (a c ± δa) n a c n {± n[(δa)/a c ]} (38) Por lo tanto, combinando las ecuaciones (36) y (38) se tiene que x c = a c n (39) y también que en tanto que la incertidumbre relativa queda δx na c (n-) δa (40) (δx)/ x c n(δa)/ a c (4) Nótese que este sería un caso particular de las ecuaciones de incertidumbre relativa para el producto de z mensurandos independientes. En el caso de que un mensurando y sea el producto de una constante k por un mensurando a, se tiene que y = y c ± δy = (k c ± δk)(a c ± δa) = ka (42) En este caso también son aplicables las ecuaciones de incertidumbre de un mensurando que es un producto de mensurandos independientes, de manera que y δy k c δa + a c δk (43) (δy)/ y c [k c δa + a c δk]/(k c a c ) = (δa)/(a c ) + (δk)/(k c ) (44) Sin embargo, si la incertidumbre relativa en la constante k es pequeña, k k c y la ecuación (44) se puede aproximar por (δy)/ y c (δa)/ a c (45) Cálculo de incertidumbres de acuerdo a una expresión general Expresión general para el cálculo de propagación de incertidumbres 6

7 En algunos de los últimos casos, se observa que se está aproximando las expresiones de incertidumbre, haciendo la consideración que las incertidumbres para los mensurandos son pequeñas. Esta aproximación se conoce como aproximación lineal dentro de la teoría del error, o simplemente como teoría lineal de los errores. En casos más complicados que los que se han tratado en el apartado anterior, es más conveniente considerar una expresión general para poder estimar la propagación de las incertidumbres. Esta expresión se presenta a continuación sin demostración. Sea una función y de varias variables (x, x 2,..., x n ). Se sabe que la diferencial total para esta función es igual a y y y y dy = dx + dx 2 dx i x + + x + + x x x x x x i j 2 j 2 xj xi n xj xn dx n (46) Supóngase ahora que las magnitudes y, x, x 2,..., x n son mensurandos, tales que los n últimos son mensurandos independientes. En una teoría lineal del error se acepta que la incertidumbre absoluta del mensurando y (δy) es igual a la diferencial total de la función y, evaluando las derivadas parciales en los valores centrales de los mensurandos x, x 2,..., x n y tomando el valor absoluto de estas derivadas; a su vez, las diferenciales de cada uno de los mensurandos independientes se igualan con las incertidumbres absolutas de cada uno de ellos. De esta forma δy = y y y y δx + δx 2 δx i x + + x + + x x x x x x i j 2 c j 2 xj xc x kc xkc x kc n xj xn xkc (47) δx n No debe olvidarse que las incertidumbres absolutas de los mensurandos independientes también son todas positivas. Ejemplos de aplicación en funciones trigonométricas comunes Sea el mensurando θ y el mensurando y tal que y = senθ. Entonces y = y c ± δy = sen(θ ± δθ).= senθ (48) Ya que la derivada de la función senθ es el -cosθ, si se toma el valor absoluto de esta derivada, evaluada en su valor central, se tiene que δy = -cos(θ c ) δθ (49) 7

8 La incertidumbre relativa del mensurando y es entonces (δy)/ y c = [ -cos(θ c ) δθ]/(senθ c ) = -cot(θ c ) δθ (50) Las incertidumbres de mensurandos que involucran expresiones trigonómetricas normalmente también conllevan otras expresiones trigonométricas. También debe recordarse que las unidades del ángulo θ deben darse en radianes para aplicar las expresiones (48) y (49) y (50). Función exponencial Sea un mensurando y que depende del mensurando x en forma exponencial, tal que Entonces, el valor central de y es La incertidumbre absoluta del mensurando y es entonces en tanto que la incertidumbre relativa es y = y c ± δy = e (x c ± δx) = exp[x c ± δx] = e x (5) y c = e x c = exp[x c ] (52) δy = e (x c) δx = exp[x c ]δx (53) (δy)/ y c = (δy)/[e (x c) ] = [e (x c) δx]/[e (x c) ] = δx (54) Aunque la ecuación (54) establece que la incertidumbre relativa del mensurando y (que depende exponencialmente del mensurando x) es igual a la incertidumbre absoluta del mensurando x, debe considerarse que es adimensional; esto es, la función exponencial se toma después de haber cancelado las unidades del mensurando x (aunque, por supuesto, el valor del mensurando y sí depende de la escala de unidades utilizada para medir el mensurando x). En el caso que el mensurando y siga una función del tipo y = y c ± δy = e (kx c ± δkx) = exp[kx c ± δkx] = e kx (55) entonces, considerando que la constante k no tiene incertidumbre, se tiene que δy = δ(e (kx) ) = ke (kx c) δx = k{exp[kx c ]} δx (56) por lo que la incertidumbre relativa del mensurando y queda entonces 8

9 Funciones logarítmicas (δy)/ y c = (δ{exp[kx]})/ exp[kx c ] = k{exp[kx c ]}δx / exp[kx c ] = k δx (57) Sea ahora el mensurando y el logaritmo natural (ln) del mensurando x, tal que Entonces, el valor central de y es La incertidumbre absoluta del mensurando y es entonces en tanto que la incertidumbre relativa es y = y c ± δy = ln[x c ± δx] = ln(x) (58) y c = ln[x c ] (59) δy = δ[ln(x)] = x c - δx = (δx)/ x c (60) (δy)/ y c = (δ{ln[x]})/ ln[x c ] = [x c - ]δx / ln[x c ] = δx/ x c ln[x c ] (6) Ahora la ecuación (60) establece que la incertidumbre absoluta del mensurando y (que depende logarítmicamente del mensurando x) es igual a la incertidumbre relativa del mensurando x, y también debe considerarse que es adimensional, al igual que la ecuación (6). Cabe aclarar que las ecuaciones (59) a (6) también pueden aplicarse para logaritmos de otras bases, con el factor correspondiente, dado por la ecuación siendo b la base del logaritmo que se desea utilizar. ln(x) = [ln(b)][log b (x)] (62) Así, si el mensurando y es ahora una función logarítmica base b del mensurando x, se tiene que La incertidumbre absoluta del mensurando y es entonces en tanto que la incertidumbre relativa es y c = log b [x c ] (63) δy = δ[log b (x)] = [{ln[b]}x c ] - δx = (δx)/ {ln(b)}x c (64) (δy)/ y c = (δ{log b [x]})/ log b [x c ] = ([{ln(b)}x c ] - )δx / log b [x c ] = δx/ x c (ln[b])log b [x c ] = 9

10 = δx/ x c ln[x c ] (65) Las ecuaciones (6) y (65) son idénticas, lo que implica que la incertidumbre relativa de un mensurando y, que es función logarítmica del mensurando x, es la incertidumbre relativa del mensurando x, dividida (siempre) entre el logaritmo natural del valor central de dicho mensurando ( sin importar la base del logaritmo que se esté aplicando!). Incertidumbres asociadas a un mensurando después de una o a varias observaciones Cuando se desea establecer la magnitud de un mensurando x en alguna o algunas observaciones se tienen limitaciones para establecer su valor verdadero, con toda certeza, que pueden surgir por la resolución de los instrumentos de medida (normalmente comprendida como la mitad del valor, o el valor según el caso, de la mínima división de la escala del instrumento) y variables no totalmente controladas en el experimento que afectan a la medición. Esto es lo que llevó a establecer como convenio el reportar el valor central y la incertidumbre asociados al intervalo en donde se sabe que cae el valor verdadero del mensurando. (Ver figura.) Incertidumbre asociada al mensurando después de una observación Así, si solamente se hace una observación del mensurando x, normalmente se considera (aunque no siempre es cierto) que el intervalo en donde se encuentra su valor al menos tiene la incertidumbre asociada a la mitad del valor de la mínima división en la escala de medida del instrumento que se está utilizando. Muchas veces se habla entonces de asociar al mensurando la incertidumbre por resolución, o simplemente resolución. (Ver figura a.) El valor del mensurando x se expresa entonces como: x = x c ± δx (66) Para confirmar o no este valor, es posible hacer varias observaciones del mismo mensurando, en diferentes condiciones de repetición. Incertidumbre asociada al mensurando por repetitividad Así, si se hacen varias observaciones del mismo mensurando para el mismo sistema, manteniendo todas las características iguales para las observaciones, y habiendo dejado pasar sólo un corto intervalo de tiempo entre cada observación, se habla entonces de asociar al mensurando la incertidumbre por repetitividad (o repetibilidad), o simplemente repetitividad. (Ver figura b.) El valor del mensurando x, considerando varias mediciones independientes pero en las mismas condiciones, podría expresarse como: 0

11 rx = r x c ± r δx (67) Incertidumbre asociada al mensurando x para una sola observación Mínima división de la escala Escala del instrumento para el mensurando x x mín x máx x c Valor central: x c = (x máx + x mín )/2 δx = (x máx - x mín )/2 δx Incertidumbre absoluta: (a) Magnitud del mensurando a una sola observación x = x c + δx Incertidumbre asociada al mensurando x por repetitividad. (Todo se mantiene igual para las observaciones) Escala del instrumento para el mensurando x Primera observación: x c Segunda observación: Tercera observación: δx 3 x 3c δx δx 2 x 2c Valor central considerando repetitividad: rx c = ( r x máx + r x mín )/2 Incertidumbre absoluta considerando repetitividad: rδx = ( r x máx - r x mín )/2 rx mín rδx rx c (b) rx máx Magnitud del mensurando considerando repetitividad x = r x c + r δx Incertidumbre asociada al mensurando x por reproducibilidad. (Al menos algo es diferente para las observaciones) Escala del instrumento para el mensurando x Primera serie de observaciones: Segunda serie de observaciones: Tercera serie de observaciones: r δx 3 r x 3c r x c r δx r x 2c r δx 2 Valor central considerando reproducibilidad: R x c = ( R x máx + R x mín )/2 R x mín R x c R x máx R δx Incertidumbre absoluta considerando reproducibilidad: R δx = ( R x máx - R x mín )/2 (c) Magnitud del mensurando considerando reproducibilidad x = R x c + R δx Figura. Determinación de los intervalos, valores centrales e incertidumbres para el mensurando x. a) Una sola observación para x. b) Varias observaciones en las mismas

12 condiciones (repetitividad). c) Varias series de observaciones cambiando algunas cosas en cada serie (instrumento, observador, lugar, etc.) Nótese que el mensurando expresado de acuerdo a la ecuación (67) (después de considerar varias observaciones, o la repetitividad) debería de ser más cierto que el de la ecuación (66) (que es a una sola observación). Incertidumbre asociada al mensurando por reproducibilidad Ahora bien, si se hacen varias observaciones del mismo mensurando para el mismo sistema, cambiando al menos una de las características de las observaciones, o habiendo dejado pasar un largo intervalo de tiempo entre cada observación, se habla entonces de asociar al mensurando la incertidumbre por reproducibilidad (o reproductibilidad), o simplemente reproducibilidad. (Ver figura c.) El valor del mensurando x, considerando varias mediciones independientes pero en diferentes condiciones, podría expresarse como: Rx = R x c ± R δx (68) Nótese que el mensurando expresado de acuerdo a la ecuación (68) (después de considerar varias series de observaciones, o la reproducibilidad) debería de ser más cierto que el de la ecuación (67) (después de considerar varias observaciones en iguales condiciones, o la repetitividad). Comparación y compatibilidad entre diferentes observaciones Las definiciones de repetitividad y reproducibilidad se han establecido para poder realizar comparaciones entre observaciones de un mensurando. Para un mismo mensurando en un mismo sistema se esperaría que las ecuaciones (66), (67) (68) se refirieran prácticamente al mismo intervalo. Cuando eso ocurre se dice que las mediciones son comparables o compatibles. Sin embargo, diversas causas (tales como diferentes variables no controladas, descalibación de los instrumentos de medida, equivocaciones del observador, etc.) pueden hacer que alguno(s) de estos intervalos sean incompatibles o diferentes. Por ejemplo, si en la figura se está estableciendo una comparación para un mensurando de un mismo sistema, es claro que todas las mediciones son compatibles para la repetitividad, de acuerdo a las condiciones de la figura b. Sin embargo, la tercera serie de observaciones en la figura c, realizada para establecer el valor del mensurando x, no es muy compatible o comparable con las dos series de observaciones anteriores. 2

13 En general, para establecer el valor de un mensurando en un mismo sistema, deben hacerse comparaciones cambiando una o más condiciones de observación, como lo establece la tabla. Tabla. Condiciones de observación al comparar los valores obtenidos para el mensurando x, por medio de diferentes observaciones o tipos de observaciones. Observaciones Observadores Instrumento y condiciones Nombre de la incertidumbre Intervalos iguales? Resolución Único, por ser una sola medición. El intervalo aparece por el error aleatorio y por la resolución. Varias Repetitividad Sí. Deberían ser compatibles siempre, o hay alguna fuente de error importante. Varios Varios Varios Varios Varios Varios Reproducibilida d No siempre. Puede haber errores sistemáticos entre lo que se ha cambiado para las diferentes observaciones. 3