MUESTREO LICENCIATURA EN ESTADISTICA ESTIMADORES DE RAZÓN Y REGRESIÓN EN MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO

Transcripción

1 MUESTREO ICENCIATURA EN ESTADISTICA ESTIMADORES DE RAZÓN Y REGRESIÓN EN MUESTREO AEATORIO ESTRATIFICADO 016 DOCENTES: Dr. José Alberto Pagura ic. ucía N. Hernández 1

2 Estimadores de Razón y Regresión en Muestreo Aleatorio Estratificado Al estudiar el muestreo aleatorio estratificado se presentaron estimadores de la media y total con base en las estimaciones por simple expansión en cada estrato. Puede ocurrir que se disponga de información auxiliar útil para reducir el error de la estimación. En tal caso se pueden plantear estimadores de los tipos de razón y regresión. Se consideran dos clases de estimadores: separado y combinado. El primero se construye a partir de las estimaciones por razón o regresión en cada estrato y sus fórmulas se deducen rápidamente a partir de lo tratado anteriormente; el segundo presenta aspectos particulares a considerar.

3 Estimador de la razón Y R est c est Estimador de razón combinado Es un estimador sesgado. El sesgo puede estudiarse considerando Cov R, Y E R c est c Cov R, c est De donde: Por lo que BR c Y E R CovR, c est c 3

4 Variancia aproximada Si el tamaño de la muestra es grande, la variancia del estimador de razón combinado viene dada por: 1 1 V R W f S R S RS n c 1 y x xy 1 A este resultado se llega por un razonamiento similar al empleado en m.a.s. Se define la variable d i =Y i -R i, 1 Sd V Rc Expresando W 1 f n 1 4

5 Estimador de la variancia del estimador 1 1 V R W f S R S R S n c 1 y c x c xy 1 5

6 Estimador de la media y del total y sus variancias Media Y Rc R con variancia: V YRc V Rc c además: V Y Rc V Rc Total Y Rc NY Rc con variancia V YRc N V Y Rc El estimador de la variancia del estimador: V Y Rc N V YRc 6

7 7

8 Estimador de razón separado Estimador del Total a estimación de razón del total en el estrato es Y R Y El estimador separado del total, se obtiene sumando los totales estimados por estrato, a través de los estratos. Y Rs Y R ; 1 su variancia resulta: 1 f Rs y x xy y x 1 n V Y N S R S R S S 8

9 y se estimará con: 1 f V Y N S, n 1 n 1 Rs d 1 n S d di d donde i1 Teniendo en cuenta que el estimador de la media se obtiene dividiendo el estimador del total por el tamaño N de la población, las expresiones para su variancia y su estimador se deducen inmediatamente. 9

10 Comparación entre los estimadores de razón separado y combinado 1 V Y V Y W f R R S R R S S R S n 1 Rc Rs x y x x 1 Si en cada estrato, la relación entre e Y es una recta que pasa por el origen, entonces: 10

11 Cómo elegir? El estimador separado es más preciso que el combinado. Si las pendientes de las rectas en cada estrato son muy diferentes, la variancia del estimador combinado resultará importante Para poder utilizarlo ay que conocer en cada uno de los estratos El estimador separado suma estimadores sesgados, si ay mucos estratos... Y esto se acentúa si los tamaños de muestra en cada estrato son pequeños Recordar también, que los estimadores de razón se utilizan cuando las rectas de regresión de Y en pasan por el origen 11

12 Estimadores de Regresión El estimador de regresión combinado de la media es: Y Rlc Yest c est donde c W 1 f S xy n 1 W 1 f S x n El estimador propuesto es sesgado 1

13 Para muestras grandes dentro de cada estrato, la variancia del estimador viene dada por: 1 V Y W f S S S n 1 Rlc y c x c xy 1 donde c W 1 f S xy n 1 W 1 f S x n 13

14 Estimador de Regresión Separado Y donde Y Rl y b x W Y Rls Rl 1 y b puede estar fijado de antemano proporciona un estimador insesgado o es el coeficiente de regresión en el estrato calculado con los datos de la muestra. En ese caso, la expresión del sesgo se obtiene como la suma ponderada por los tamaños relativos de cada estrato, de los sesgos en cada estrato. 14

15 a variancia del estimador: 1 f V Y W S Rls y 1 1 n a cual se estimará sustituyendo S 1 e Sy estudiado en muestreo aleatorio simple. por su estimador n n 1 Se yi y b xi x n i1 i1 15