Funciones holomorfas Sesión 3

Transcripción

1 Funciones holomorfas Sesión 3 E. Cuesta 1 1 Departamento de Matemática Aplicada E.T.S.I. de Telecomunicaciones Universidad de Valladolid (España) Ampliación de Matemáticas

2 Outline Derivabilidad de funciones complejas Derivabilidad de funciones complejas Propiedades básicas Integración Compleja Definiciones Propiedades Índice de una curva respecto de un punto Definiciones Fórmula de Cauchy Fórmula de Cauchy Apéndice A Apéndice A

3 Definiciones Dada una función f = X C, definida en un conjunto arbitrario X, la función conjugada f : X C se define como f (z) = f (z), z X. La parte real y parte imaginaria de f son las funciones Re f, Im f : X R definidas por (Re f )(z) = Re (f (z)), (Im f )(z) = Im (f (z)), z X.

4 Definiciones Dada una función f = X C, definida en un conjunto arbitrario X, la función conjugada f : X C se define como f (z) = f (z), z X. La parte real y parte imaginaria de f son las funciones Re f, Im f : X R definidas por (Re f )(z) = Re (f (z)), (Im f )(z) = Im (f (z)), z X.

5 Definiciones Observaciones: Se cumple que, Re f = (f + f )/2, Im f = (f f )/2, y f = Re f + i Im f. La manera habitual de escribir una función compleja será, f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), siendo u = Re f, v = Im f. Un función compleja f : X C, f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), se puede interpretar como una función de R 2 R 2, [x, y] T [u(x, y), v(x, y)] T.

6 Definiciones. Ejemplos Ejemplos f (z) = 1/z. f (z) = 1 z = z zz = 1 x + iy = En este caso, Re f (x + iy) = f (z) = z 2. En este caso, x x 2 + y 2 + i y x 2 + y 2. x y x 2, y Im f (x + iy) = + y 2 x 2 + y 2. f (z) = (x + iy) 2 = (x 2 y 2 ) + i(2xy). Re f (x + iy) = x 2 y 2, y Im f (x + iy) = 2xy.

7 Definiciones Supongamos que Ω C. Diremos que f es derivable (en el sentido complejo) en un punto z, z interior a Ω, cuando existe lim ζ 0 f (z + ζ) f (z). ζ Dicho límite se llama derivada de f en z y se denota por f f (z + ζ) f (z) (z) = lim. ζ 0 ζ

8 Definiciones. Observaciones La derivada viene dada como límite de un cociente de funciones complejas. El límite se puede interpretar como el de una función en dos variables, pues ζ = x + yi C. En consecuencia el límite que da la derivada ha de ser el mismo a lo largo de todas las direcciones. Por último, si f es derivable en z entonces f es continua en z. La demostración de la última de las propiedades sigue los pasos habituales para funciones de varias (dos) variables.

9 Definiciones Alternativamente, se dice que f es derivable si existe w C, que depende de z, tal que En tal caso w = f (z). f (z + ζ) = f (z) + w ζ + o(ζ).

10 Definiciones La función f se llama holomorfa en Ω si, Ω es abierto, y f es derivable en todo punto z Ω. En esta situación podemos definir en Ω la función derivada f : Ω C C, como la función que en cada z Ω, toma al valor f f (z + ζ) f (z) (z) = lim. ζ 0 ζ Se dice que f es una primitiva de la función g, si g(z) = f (z).

11 Definiciones Recordemos que la aplicación f = u + iv, donde u = Re f, v = Im f, vista como f = [u, v] T : Ω R 2 R 2, es diferenciable en z Ω cuando existe una aplicación lineal A : R 2 R 2 tal que f (z + ζ) = f (z) + Aζ + o(ζ). En este contexo se interpreta que z y ζ R 2 es un vector y, por definición, la matriz A M 2,2 (R) es la diferencial Df (z) de f en z. Comparando las dos expresiones, la derivabilidad compleja, y la diferenciabilidad en R 2, llegamos al siguiente resultado.

12 Teorema. Caracterización de la derivabilidad La aplicación f = u + iv : Ω R 2 R 2 es derivable (en el sentido complejo) en un punto z C interior a Ω si, y sólo si, f = [u, v] T : Ω R 2 R 2 es diferenciable en (x, y) (vista como función de dos variables y dos componentes), y La diferencial Df (z) M 2,2 (R) satisface alguna de las condiciones equivalentes del Lema 1 del Apéndice A.

13 Teorema. Caracterización de la derivabilidad Explicación: El teorema afirma que f es derivable (en el sentido complejo) en el punto z = x + yi Ω si, y sólo si, u y v son diferenciables en (x, y) Ω (entendido como conjunto de R 2 ), y la matriz jacobiana Df (z) = ( ux (x, y) ) u y (x, y) v x (x, y) v y (x, y) corresponde a un operador lineal en R 2 del tipo al que aparece en el Lema 1 del Apéndice A.

14 Teorema. Caracterización de la derivabilidad En concreto, a partir de la propiedad 3 del Lema 1 del Apéndice, se deducen las llamadas condiciones de Cauchy-Riemann u x (x, y) = v y (x, y), u y (x, y) = v x (x, y). Es decir, Df (z) = ( ) ux (x, y) u y (x, y). u y (x, y) u x (x, y)

15 Teorema. Caracterización de la derivabilidad De este modo: Vista la derivabilidad como una operación compleja tenemos f (z) = u(x, y) + iv(x, y) f (z + ζ) = f (z) + f (z) ζ + o(ζ). Vista como una operación de funciones de R 2 tenemos f (x, y) = [u(x, y), v(x, y)] f ((x, y) + ζ) = f (x, y) + Df (x, y) ζ + o( ζ ) La identificación de las operaciones f (z) ζ y Df (x, y) ζ, que nos da la propiedad 4 del Lema 1 del Apéndice A, junto con las condiciones de Cauchy-Riemann que acabamos de probar, se tiene que f (z) = u x (x, y) + iv x (x, y)

16 Teorema. Caracterización de la derivabilidad Además, aplicando las igualdades de Cauchy-Riemann, deducimos que f (z) = u x (x, y) + iv x (x, y) = v y (x, y) iu y (x, y) = 1 i (u y(x, y) + iv y (x, y)). Finalmente, si u y v son diferenciables, las condición de Cauchy-Riemann en todo punto del dominio Ω equivalen a que f sea holomorfa en Ω.

17 Ejemplos Sea función f (z) = z 2. Tenemos los siguiente, f (z + h) f (z) (z + h) 2 z 2 lim = lim h 0 h h 0 h para todo z C, y por tanto es holomorfa en C. = lim h 0 (2z+h) = 2z, Sea f (z) = e z. Es fácil probar que es derivable en todo C, por tanto holomorfa en C, y que además su derivada es f (z) = e z.

18 Ejemplos Sea función f (z) = z 2. Tenemos los siguiente, f (z + h) f (z) (z + h) 2 z 2 lim = lim h 0 h h 0 h para todo z C, y por tanto es holomorfa en C. = lim h 0 (2z+h) = 2z, Sea f (z) = e z. Es fácil probar que es derivable en todo C, por tanto holomorfa en C, y que además su derivada es f (z) = e z.

19 Ejemplos Sea f (z) = z 2. Tenemos lo siguiente, f (z + h) f (z) z + h 2 z 2 lim = lim h 0 h h 0 h = lim h 0 (z + h)(z + h) zz h = lim h 0 (z + hh z + h ) límite que sólo existe cuando z = 0, y en ese caso vale 0. La función f (z) = f (x + iy) = x 2 + y 2 + }{{}}{{} 0 i, cumple las u(x,y) v(x,y) condiciones de condiciones de Cauchy-Riemann si, u x = v y y u y = v x, esto es, si 2x = 2y = 0, o lo que es igual si z = 0.

20 Ejemplos El dominio de derivabilidad de las siguientes funciones es: f (z) = c =cte. es derivable en todo C, por tanto f (z) es holomorfa en C y f (z) = 0. f (z) = z es derivable en todo C, por tanto f (z) es holomorfa en C y f (z) = 1. f (z) = z n, n Z, es derivable en todo C, por tanto f (z) es holomorfa en C y f (z) = nz n 1. f (z) = z, no cumple las condiciones de Cauchy Riemann en ningún punto de C.

21 Outline Derivabilidad de funciones complejas Derivabilidad de funciones complejas Propiedades básicas Integración Compleja Definiciones Propiedades Índice de una curva respecto de un punto Definiciones Fórmula de Cauchy Fórmula de Cauchy Apéndice A Apéndice A

22 Propiedades algebráicas 1. Supongamos que f, g : Ω C C son derivables (en el sentido complejo) en un punto z C interior a Ω. Entonces: Toda combinación lineal αf + βg : Ω C C, con α, β C es derivable en z, y (αf + βg) (z) = αf (z) + βg (z). La función producto fg = f g : Ω C es derivable en z, y (fg) (z) = f (z)g(z) + f (z)g (z). Si g(z) 0, entonces la función cociente f /g (que está definida al menos en un entorno de z) es derivable en z, y (f /g) (z) = f (z)g(z) f (z)g (z) g(z) 2.

23 Composición de funciones 2. Supongamos que f : Ω C C y g : V C C son dos funciones que se pueden componer, esto es, tales que f (Ω) V. Si f es derivable en un punto interior z de Ω, w = f (z) es interior a V y g es derivable en w, entonces la composición h = g(f ) : Ω C es derivable en z, y (Regla de la cadena). h (z) = g (w)f (z) = g (f (z))f (z). En particular, si g es una inversa de f, esto es g(f (ζ)) = ζ, para todo ζ Ω, se cumple g (w)f (z) = g (f (z))f (z) = 1.

24 Observaciones Los enunciados anteriores se extienden de manera obvia a funciones holomorfas. Veremos más adelante que las funciones holomorfas son de clase C 1 (de hecho son indefinidamente derivables). Por ejemplo, los polinomios son funciones holomorfas en C como suma de funciones holomorfas en C.

25 Outline Derivabilidad de funciones complejas Derivabilidad de funciones complejas Propiedades básicas Integración Compleja Definiciones Propiedades Índice de una curva respecto de un punto Definiciones Fórmula de Cauchy Fórmula de Cauchy Apéndice A Apéndice A

26 Definiciones Dada una función g : I = [a, b] R C continua se define la integral de una función compleja de variable real como b a g(t) dt = b u(t) dt a }{{} Parte real b + i siendo g = u + iv, u = Re g, v = Im g. v(t) dt a }{{} Parte imaginaria C, Es un ejercicio comprobar que la integral es C-lineal en el integrando g. Se llama primitiva (ahora se refiere a la derivación como función de variable real) de g : [a, b] C a toda función G : [a, b] C tal que G (t) = U (t) + iv (t) = g(t), t I, (en los extremos se toman las derivadas laterales), donde U = Re G, V = Im G : [a, b] R.

27 Definiciones Dada una función g : I = [a, b] R C continua se define la integral de una función compleja de variable real como b a g(t) dt = b u(t) dt a }{{} Parte real b + i siendo g = u + iv, u = Re g, v = Im g. v(t) dt a }{{} Parte imaginaria C, Es un ejercicio comprobar que la integral es C-lineal en el integrando g. Se llama primitiva (ahora se refiere a la derivación como función de variable real) de g : [a, b] C a toda función G : [a, b] C tal que G (t) = U (t) + iv (t) = g(t), t I, (en los extremos se toman las derivadas laterales), donde U = Re G, V = Im G : [a, b] R.

28 Observaciones En estas condiciones, razonando separadamente con la parte real y la parte imaginaria, es válido el Teorema Fundamental del Cálculo: b a g(t) dt = G(b) G(a). donde G(t) es una primitiva de g(t).

29 Ejemplos Calcular la integral Calcular la integral π e ti dt. e ti dt = eti i π t 2 + sin(t)i dt. t 2 + sin(t)i dt = t3 3 cos(t)i = ei 1. i π 0 = π3 3 + i + i = π i.

30 Ejemplos Calcular la integral Calcular la integral π e ti dt. e ti dt = eti i π t 2 + sin(t)i dt. t 2 + sin(t)i dt = t3 3 cos(t)i = ei 1. i π 0 = π3 3 + i + i = π i.

31 Definición Extendemos la definición anterior a la de integral de línea de una función compleja de variable compleja. Sea una curva paramétrica = [ 1, 2 ] T : [a, b] R R 2, continua, de clase C 1 a trozos, y orientada. Interpretamos, tanto como de su derivada, en el campo complejo, : [a, b] C, como (t) = 1 (t) + i 2 (t), y (t) = 1(t) + i 2(t).

32 Definición Extendemos la definición anterior a la de integral de línea de una función compleja de variable compleja. Sea una curva paramétrica = [ 1, 2 ] T : [a, b] R R 2, continua, de clase C 1 a trozos, y orientada. Interpretamos, tanto como de su derivada, en el campo complejo, : [a, b] C, como (t) = 1 (t) + i 2 (t), y (t) = 1(t) + i 2(t).

33 Definición Dada una función f = u + iv : sop() C C, continua, definimos la integral de línea de una función compleja de variable compleja como f (z) dz := b a f ((t)) (t) dt. Observación: Podemos escribir b f (z) dz = (u( 1 (t), 2 (t)) + iv( 1 (t), 2 (t))) ( a }{{} 1(t) + i 2(t)) dt. }{{} f ((t)) (t)

34 Ejemplos Calcular la integral z dz = Calcular la integral z dz = 1 π 0 0 z dz, donde (t) = a + bti, t [0, 1]. (a + bti)bi dt = b2 2 + abi. z dz, donde (t) = e ti, t [0, π]. e ti ie ti dt π = i e 2ti dt = i 0 = 2. π 0 (cos(2t) + i sin(2t))

35 Ejemplos Calcular la integral z dz = Calcular la integral z dz = 1 π 0 0 z dz, donde (t) = a + bti, t [0, 1]. (a + bti)bi dt = b2 2 + abi. z dz, donde (t) = e ti, t [0, π]. e ti ie ti dt π = i e 2ti dt = i 0 = 2. π 0 (cos(2t) + i sin(2t))

36 Outline Derivabilidad de funciones complejas Derivabilidad de funciones complejas Propiedades básicas Integración Compleja Definiciones Propiedades Índice de una curva respecto de un punto Definiciones Fórmula de Cauchy Fórmula de Cauchy Apéndice A Apéndice A

37 Propiedades La integral de línea es C-lineal en el integrando. Desarrollando [u( 1 (t), 2 (t)) + iv( 1 (t), 2 (t))] [ 1(t) + i 2(t)] = [u( 1 (t), 2 (t)) 1(t) v( 1 (t), 2 (t)) 2(t)] + i[v( 1 (t), 2 (t)) 1(t) + u( 1 (t), 2 (t)) 2(t)]. En consecuencia tenemos que la integral compleja se puede escribir como f (z) dz = u dx v dy +i v dx + u dy, }{{} }{{} [u, v] T [v,u] T es decir, las partes real e imaginaria de la integral de línea compleja son las integrales de línea de los campos [u, v] T y [v, u] T, respectivamente.

38 Propiedades La integral de línea es C-lineal en el integrando. Desarrollando [u( 1 (t), 2 (t)) + iv( 1 (t), 2 (t))] [ 1(t) + i 2(t)] = [u( 1 (t), 2 (t)) 1(t) v( 1 (t), 2 (t)) 2(t)] + i[v( 1 (t), 2 (t)) 1(t) + u( 1 (t), 2 (t)) 2(t)]. En consecuencia tenemos que la integral compleja se puede escribir como f (z) dz = u dx v dy +i v dx + u dy, }{{} }{{} [u, v] T [v,u] T es decir, las partes real e imaginaria de la integral de línea compleja son las integrales de línea de los campos [u, v] T y [v, u] T, respectivamente.

39 Propiedades La integral de línea compleja es independiente de la parametrización de la curva, siempre que se conserve la orientación. Un cambio de orientación conlleva un cambio de signo. Si f (z) M, para todo punto z sop(), se puede demostrar que f (z) dz M dz = M long().

40 Propiedades La integral de línea compleja es independiente de la parametrización de la curva, siempre que se conserve la orientación. Un cambio de orientación conlleva un cambio de signo. Si f (z) M, para todo punto z sop(), se puede demostrar que f (z) dz M dz = M long().

41 Propiedades Si F es una primitiva de f (en el sentido de la derivación compleja), tendremos df ((t)) dt = DF ((t)) (t) = f ((t)) (t), a t b, para toda curva paramétrica : [a, b] C cuyo soporte está contenido en el dominio de definición de F. El término f ((t)) (t) es el producto de dos números complejos. Por lo tanto f (z) dz = b a f ((t)) (t) dt = F ((b)) F ((a)), es decir, la integral de línea se reduce a la variación de la primitiva entre los puntos extremos de la curva.

42 Ejemplos Calcular = Calcular cos(7z) dz, donde (t) = e ti, con t [0, π]. cos(7z) dz = sin(7z) 7 cos(7z) dz = sin(7z) 7 e z2 dz : = tenemos una primitiva (π) (0) = sin(7(π)) 7 e z2 dz, donde (t) = e ti, con t [0, 2π]. sin(7(0)). 7 no tenemos una primitiva explícitamente! pero existe, denotémosla F (z), y al ser el camino cerrado e z2 dz = F (z) (2π) (0) = F ((2π)) F ((0)) = 0.

43 Ejemplos Calcular = Calcular cos(7z) dz, donde (t) = e ti, con t [0, π]. cos(7z) dz = sin(7z) 7 cos(7z) dz = sin(7z) 7 e z2 dz : = tenemos una primitiva (π) (0) = sin(7(π)) 7 e z2 dz, donde (t) = e ti, con t [0, 2π]. sin(7(0)). 7 no tenemos una primitiva explícitamente! pero existe, denotémosla F (z), y al ser el camino cerrado e z2 dz = F (z) (2π) (0) = F ((2π)) F ((0)) = 0.

44 Ejemplos Calcular z dz, donde (t) = e ti, con t [0, π]. π π z dz = (t) (t) dt = ie ti dt = e ti π =

45 Propiedades Supongamos que f = [u, v] T = u + iv : Ω C C es una función continua definida en un abierto Ω, u = Re f, v = Im f y supongamos que f es holomorfa en Ω \ K, siendo K Ω un conjunto finito (con más generalidad, se podría hacer la hipótesis de que K no tiene puntos de acumulación en Ω). Las condiciones de Cauchy-Riemann u x = v y, u y = v x, en Ω \ K, implican que los campos [u, v] T, [v, u] T : Ω R 2 (recordemos, los campos que nos aparecieron como parte real e imaginaria de la integral compleja) cumplen la (CNPG). Escribiendo la integral de línea de f en términos de estos campos se deducen los siguientes hechos básicos:

46 Propiedades 1. f (z) dz = 0, para toda curva cerrada simple, continua, de clase C 1 a trozos, con sop() Ω, que sea homótopa a un punto en Ω. o equivalentemente, f (z) dz = f (z) dz para todo par de curvas 1 2 paramétricas k, continuas, de clase C 1 a trozos, con sop( k ) Ω, k = 1, 2, que compartan los extremos, y que sean homótopas en Ω.

47 Propiedades 2. Los campos [u, v] T, [v, u] T : Ω R 2 admiten sendos potenciales U, V en cada subdominio simplemente conexo Ω 0 Ω. Observemos que la función F = U + iv Es diferenciable, de hecho es de clase C 1. Cumple las condiciones de Cauchy-Riemann, pues U x = u = V y, U y = v = V x, = La función F es pues holomorfa.

48 Propiedades 3. Finalmente, tal y como hemos probado atrás, F = U x + iv x = u + iv = f, tendremos que F es una primitiva de f. Conclusión: Toda función holomorfa f admite una primitiva holomorfa F en cada subdominio simplemente conexo Ω 0 Ω, primitiva que se obtiene mediante los potenciales de los campos auxiliares [u, v] T y [v, u] T.

49 Propiedades 4. Para que la primitiva F exista globalmente será necesario y suficiente que los campos [u, v] T, [v, u] T admitan potenciales en Ω. Esto es, f admite una primitiva global en Ω si, y sólo si, f (z) dz = 0, cualquiera que sea el camino cerrado, continuo, de clase C 1 a trozos, con soporte contenido en Ω.

50 Propiedades 5. Si F : Ω C C es una primitiva de f : Ω C C, ya sabemos que entonces f (z) dz = F ((b)) F ((a)), para toda curva paramétrica : [a, b] C continua, de clase C 1 a trozos con sop() Ω. Recíprocamente, cuando la integral de f no dependa del camino, una primitiva holomorfa de f se obtiene mediante F (z) = C + f (w) dw, z Ω, z0,z donde z 0 Ω es fijo, C C y z0,z es cualquier curva paramétrica continua, de clase C 1 a trozos, con sop( z0,z) Ω, que comienza en z 0 y termina en z.

51 Outline Derivabilidad de funciones complejas Derivabilidad de funciones complejas Propiedades básicas Integración Compleja Definiciones Propiedades Índice de una curva respecto de un punto Definiciones Fórmula de Cauchy Fórmula de Cauchy Apéndice A Apéndice A

52 Planteamiento Sea : [a, b] C una curva paramétrica, continua, de clase C 1 a trozos, y sea z 0 C \ sop(). Vamos a determinar el valor que toma una integral muy particular: dz z z 0. El integrando es la función f z0 : C \ {z 0 } C, dada por f z0 (z) = 1 z z 0, z z 0. En cada dominio simplemente conexo Ω C \ {z 0 } existe una primitiva F z0,ω de f z0. Dicha primitiva ha de ser de la forma F z0,ω(z) = ln z z 0 + i arg(z z 0 ), siendo arg = arg Ω : Ω C R una determinación continua de arg(z z 0 ) en Ω.

53 Planteamiento Sea : [a, b] C una curva paramétrica, continua, de clase C 1 a trozos, y sea z 0 C \ sop(). Vamos a determinar el valor que toma una integral muy particular: dz z z 0. El integrando es la función f z0 : C \ {z 0 } C, dada por f z0 (z) = 1 z z 0, z z 0. En cada dominio simplemente conexo Ω C \ {z 0 } existe una primitiva F z0,ω de f z0. Dicha primitiva ha de ser de la forma F z0,ω(z) = ln z z 0 + i arg(z z 0 ), siendo arg = arg Ω : Ω C R una determinación continua de arg(z z 0 ) en Ω.

54 Planteamiento En consecuencia, dada una curva paramétrica orientada : [a, b] C de clase C 1 a trozos, cuyo soporte esté contenido en un dominio simplemente conexo de Ω C \ {z 0 }, tenemos lo siguiente, dz z z 0 = ln (b) z 0 (a) z 0 + i (arg((b) z 0) arg((a) z 0 )).

55 Planteamiento Si la curva : [a, b] C no está contenida en un dominio simplemente conexo de C \ {z 0 }, es posible descomponerla como unión de curvas = 1 2 J, j : [a j, b j ] C, 1 j J, de suerte que cada bcurva j, 1 j J, esté contenida en una parte simplemente conexa Ω j C \ {z j }, 1 j J. (Observar las cancelaciones que se producen sobre los segmentos que unen 1, 2,...)

56 Planteamiento Tenemos entonces dz z z 0 = J j=1 j dz z z 0 = J j=1 ln j(b j ) z 0 J ( ) j (a j ) z 0 + i arg j ( j (b j ) z 0 ) arg j ( j (a j ) z 0 ) j=1 donde arg j : Ω j C R una determinación continua de arg(z z 0 ) sobre Ω j, 1 j J.

57 Planteamiento Por un lado, al coincidir el extremo final de j, con el extremo inicial de j+1 se producen cancelaciones en el primer sumando quedando la integral ln (b) z 0 J ( ) (a) z 0 + i arg j ( j (b j ) z 0 ) arg j ( j (a j ) z 0 ), j=1 Supongamos además que la curva es cerrada. Entonces, (a) z 0 = (b) z 0 y por tanto dz = i z z 0 J j=1 ( ) arg j ( j (b j ) z 0 ) arg j ( j (a j ) z 0 ) En ese caso, los términos, arg j ( j (b j ) z 0 ) arg j ( j (a j ) z 0 )), 1 j J, representan la variación del argumento sobre cada j.

58 Planteamiento Por un lado, al coincidir el extremo final de j, con el extremo inicial de j+1 se producen cancelaciones en el primer sumando quedando la integral ln (b) z 0 J ( ) (a) z 0 + i arg j ( j (b j ) z 0 ) arg j ( j (a j ) z 0 ), j=1 Supongamos además que la curva es cerrada. Entonces, (a) z 0 = (b) z 0 y por tanto dz = i z z 0 J j=1 ( ) arg j ( j (b j ) z 0 ) arg j ( j (a j ) z 0 ) En ese caso, los términos, arg j ( j (b j ) z 0 ) arg j ( j (a j ) z 0 )), 1 j J, representan la variación del argumento sobre cada j.

59 Planteamiento Por un lado, al coincidir el extremo final de j, con el extremo inicial de j+1 se producen cancelaciones en el primer sumando quedando la integral ln (b) z 0 J ( ) (a) z 0 + i arg j ( j (b j ) z 0 ) arg j ( j (a j ) z 0 ), j=1 Supongamos además que la curva es cerrada. Entonces, (a) z 0 = (b) z 0 y por tanto dz = i z z 0 J j=1 ( ) arg j ( j (b j ) z 0 ) arg j ( j (a j ) z 0 ) En ese caso, los términos, arg j ( j (b j ) z 0 ) arg j ( j (a j ) z 0 )), 1 j J, representan la variación del argumento sobre cada j.

60 Definición Como la curva es cerrada, cada una de las componentes j son cerradas también. Se pueden dar dos casos: Si una curva j deja fuera al punto z 0 la variación del argumento sobre j es cero. Si la curva j encierra al punto z 0, estaremos contando las vueltas completas que la curva da alrededor de z 0. Como el punto z 0 únicamente puede estar encerrado por una de las curvas j, en el resto se producen cancelaciones que anulan los correspondientes sumandos Esto nos permite definir el índice de respecto de z 0, como la integral I(, z 0 ) = ind(, z 0 ) = 1 2πi dz z z 0, que resulta ser, para cada curva cerrada, un número entero que representa las vueltas que da entorno a z 0.

61 Ejemplo

62 Ejemplo La integral valores, 0 si dist(0, a) > 1. 2π si dist(0, a) < 1. 1 z dz, donde (t) = a + eti, toma los siguientes Y no está determinada si dist(0, a) = 1 (el punto z = 0 cae sobre la curva ).

63 Outline Derivabilidad de funciones complejas Derivabilidad de funciones complejas Propiedades básicas Integración Compleja Definiciones Propiedades Índice de una curva respecto de un punto Definiciones Fórmula de Cauchy Fórmula de Cauchy Apéndice A Apéndice A

64 Planteamiento Sigamos los siguientes pasos: Seaf : Ω C C una función holomorfa definida en un abierto Ω. Sea una curva orientada, cerrada simple, de clase C 1 a trozos, contenida en Ω y tal que es homótopa a un punto en Ω. Sea z 0 Ω \ sop(), y la función c z0 : Ω C definida por f (z) f (z 0, si z z 0, c z0 (z) = z z 0 f (z 0 ), si z = z 0.

65 Planteamiento Sigamos los siguientes pasos: Seaf : Ω C C una función holomorfa definida en un abierto Ω. Sea una curva orientada, cerrada simple, de clase C 1 a trozos, contenida en Ω y tal que es homótopa a un punto en Ω. Sea z 0 Ω \ sop(), y la función c z0 : Ω C definida por f (z) f (z 0, si z z 0, c z0 (z) = z z 0 f (z 0 ), si z = z 0.

66 Planteamiento Sigamos los siguientes pasos: Seaf : Ω C C una función holomorfa definida en un abierto Ω. Sea una curva orientada, cerrada simple, de clase C 1 a trozos, contenida en Ω y tal que es homótopa a un punto en Ω. Sea z 0 Ω \ sop(), y la función c z0 : Ω C definida por f (z) f (z 0, si z z 0, c z0 (z) = z z 0 f (z 0 ), si z = z 0.

67 Planteamiento La función c z0 es continua en Ω y holomorfa en Ω \ {z 0 }. Entonces, si c z0 = u + iv, tendremos que los campos [u, v] T y [v, u] T (estudiados anteriormente) cumplen la (CNPG) y, en consecuencia, las integrales de línea de estos campos a lo largo de han de ser nulas, pues es homótopa a un punto. Se deduce pues que f (z) dz z z 0 f (z 0 ) dz = c z0 (z) dz = 0. z z 0 Por último, f (z 0 ) z z 0 dz = f (z 0 ) 2πi ind(, z 0 ),

68 Planteamiento La función c z0 es continua en Ω y holomorfa en Ω \ {z 0 }. Entonces, si c z0 = u + iv, tendremos que los campos [u, v] T y [v, u] T (estudiados anteriormente) cumplen la (CNPG) y, en consecuencia, las integrales de línea de estos campos a lo largo de han de ser nulas, pues es homótopa a un punto. Se deduce pues que f (z) dz z z 0 f (z 0 ) dz = c z0 (z) dz = 0. z z 0 Por último, f (z 0 ) z z 0 dz = f (z 0 ) 2πi ind(, z 0 ),

69 Planteamiento La función c z0 es continua en Ω y holomorfa en Ω \ {z 0 }. Entonces, si c z0 = u + iv, tendremos que los campos [u, v] T y [v, u] T (estudiados anteriormente) cumplen la (CNPG) y, en consecuencia, las integrales de línea de estos campos a lo largo de han de ser nulas, pues es homótopa a un punto. Se deduce pues que f (z) dz z z 0 f (z 0 ) dz = c z0 (z) dz = 0. z z 0 Por último, f (z 0 ) z z 0 dz = f (z 0 ) 2πi ind(, z 0 ),

70 Planteamiento La función c z0 es continua en Ω y holomorfa en Ω \ {z 0 }. Entonces, si c z0 = u + iv, tendremos que los campos [u, v] T y [v, u] T (estudiados anteriormente) cumplen la (CNPG) y, en consecuencia, las integrales de línea de estos campos a lo largo de han de ser nulas, pues es homótopa a un punto. Se deduce pues que f (z) dz z z 0 f (z 0 ) dz = c z0 (z) dz = 0. z z 0 Por último, f (z 0 ) z z 0 dz = f (z 0 ) 2πi ind(, z 0 ),

71 Fórmula de Cauchy Llegamos finalmente a la fórmula de Cauchy 1 2πi f (z) z z 0 dz = ind(, z 0 )f (z 0 ).

72 Fórmula de Cauchy. Consecuencias Los valores de una función holomorfa vienen determinados por los valores de la función sobre las curvas para las que su índice sea distinto de cero. Las funciones holomorfas f : Ω C C son indefinidamente derivables (en el sentido complejo). En efecto, dado un disco arbitrario D tal que D Ω y tomemos el arco Γ que corresponde al borde orientado positivamente de D. Para los puntos ζ D se cumple que ind(γ, ζ) = 1 y, en consecuencia f (ζ) = 1 f (z) dz, ζ D. 2πi Γ z ζ La integral depende de manera diferenciable de ζ y por tanto existe la derivada f (ζ), ζ D, que se expresa por f (ζ) = 1 f (z) dz, ζ D. 2πi Γ (z ζ) 2

73 Fórmula de Cauchy. Consecuencias Los valores de una función holomorfa vienen determinados por los valores de la función sobre las curvas para las que su índice sea distinto de cero. Las funciones holomorfas f : Ω C C son indefinidamente derivables (en el sentido complejo). En efecto, dado un disco arbitrario D tal que D Ω y tomemos el arco Γ que corresponde al borde orientado positivamente de D. Para los puntos ζ D se cumple que ind(γ, ζ) = 1 y, en consecuencia f (ζ) = 1 f (z) dz, ζ D. 2πi Γ z ζ La integral depende de manera diferenciable de ζ y por tanto existe la derivada f (ζ), ζ D, que se expresa por f (ζ) = 1 f (z) dz, ζ D. 2πi Γ (z ζ) 2

74 Fórmula de Cauchy. Consecuencias Aplicando inducción, concluimos que existe la derivada de cualquier orden m 1 y que f (m) (ζ) = m! f (z) dz, ζ D. 2πi Γ (z ζ) m+1 Siendo f indefinidamente derivable sobre todos los discos D Ω. Por extensión también será en indefinidamente derivable en Ω. Sabiendo que f es indefinidamente derivable, volviendo a la fórmula de Cauchy vemos que f (m) (z 0 ) = m! f (z) 2πi Γ (z z 0 ) m+1 dz, z 0 Ω, m 0. De aquí se deducen dos teorema importantes

75 Fórmula de Cauchy. Consecuencias Aplicando inducción, concluimos que existe la derivada de cualquier orden m 1 y que f (m) (ζ) = m! f (z) dz, ζ D. 2πi Γ (z ζ) m+1 Siendo f indefinidamente derivable sobre todos los discos D Ω. Por extensión también será en indefinidamente derivable en Ω. Sabiendo que f es indefinidamente derivable, volviendo a la fórmula de Cauchy vemos que f (m) (z 0 ) = m! f (z) 2πi Γ (z z 0 ) m+1 dz, z 0 Ω, m 0. De aquí se deducen dos teorema importantes

76 Fórmula de Cauchy. Consecuencias Aplicando inducción, concluimos que existe la derivada de cualquier orden m 1 y que f (m) (ζ) = m! f (z) dz, ζ D. 2πi Γ (z ζ) m+1 Siendo f indefinidamente derivable sobre todos los discos D Ω. Por extensión también será en indefinidamente derivable en Ω. Sabiendo que f es indefinidamente derivable, volviendo a la fórmula de Cauchy vemos que f (m) (z 0 ) = m! f (z) 2πi Γ (z z 0 ) m+1 dz, z 0 Ω, m 0. De aquí se deducen dos teorema importantes

77 Teorema de Morera Sea f : Ω C C una función continua definida en un abierto Ω. Entonces f es holomorfa si, y sólo si, f (z) dz = 0, para todo curva cerrada : [a, b] C continua, de clase C 1 a trozos, que sea homótopa a un punto en Ω.

78 Teorema de Liouville Se llama función entera a toda función holomorfa en todo el plano C. Pues bien, si f : C C es una función entera y acotada, es decir, tal que existe una constante M 0 de suerte que f (z) M, z C. Entonces f es constante sobre C.

79 Teorema de Liouville. Demostración Vamos a ver que en las condiciones del teorema f (z) = 0, para todo z C. En efecto, fijemos z C y tomemos R > z arbitrario. Llamemos Γ R a la circunferencia centrada en el origen, de radio R, orientada positivamente. Para w Γ R se cumple w z R z f (w) (w z) 2 M (R z ) 2. Por tanto, usando el Teorema de Cauchy se deduce la acotación f (ζ) = 1 2πi Γ R f (z) (z ζ) 2 dz 2πRM, ζ < R. 2π(R ζ ) 2 Haciendo ahora R + vemos claramente que f (z) = 0.

80 Corolario Toda función entera f : C C para la cual lim f (z) = + z + admite al menos un cero, es decir, existe al menos un punto z 0 C tal que f (z 0 ) = 0.

81 Corolario. Observaciones El corolario, aplicado a una función polinómica N f (z) = a n z n de grado N 1, muestra que todo polinomio n=0 no constante admite al menos una raíz z 1 C. Si N 2, dividiendo por z z 1, encontraremos una nueva raíz del polinomio cociente y así sucesivamente, probando entonces que, contando multiplicidades, f (z) admite N raíces. La demostración del corolario es por reducción al absurdo: Si f no admite raíz alguna, entonces la función g(z) = 1/f (z) sería entera y, como su límite es nulo cuando z +, tendría que ser acotada. En virtud del Teorema de Liouville, g sería constante y entonces f también lo sería, en contradicción con la hipótesis del corolario.

82 Corolario. Observaciones El corolario, aplicado a una función polinómica N f (z) = a n z n de grado N 1, muestra que todo polinomio n=0 no constante admite al menos una raíz z 1 C. Si N 2, dividiendo por z z 1, encontraremos una nueva raíz del polinomio cociente y así sucesivamente, probando entonces que, contando multiplicidades, f (z) admite N raíces. La demostración del corolario es por reducción al absurdo: Si f no admite raíz alguna, entonces la función g(z) = 1/f (z) sería entera y, como su límite es nulo cuando z +, tendría que ser acotada. En virtud del Teorema de Liouville, g sería constante y entonces f también lo sería, en contradicción con la hipótesis del corolario.

83 Outline Derivabilidad de funciones complejas Derivabilidad de funciones complejas Propiedades básicas Integración Compleja Definiciones Propiedades Índice de una curva respecto de un punto Definiciones Fórmula de Cauchy Fórmula de Cauchy Apéndice A Apéndice A

84 Resultado auxiliar Lema 1 Dada una matriz A M 2,2 (R) son equivalentes: 1. La aplicación R-lineal A : R 2 R 2 conserva ángulos. 2. La aplicación R-lineal A : R 2 R 2 es una composición de un giro y de una homotecia real de parámetro positivo. 3. A es de la forma ( ) a b A =, a, b R. b a 4. Existe w = a + bi C tal que para todo vector v = [x, y] T R 2 se cumple Av w (x + yi). Esta propiedad significa que el producto de números complejos se puede ver como un aplicación lineal de R 2.

85 Resultado auxiliar Además, en las condiciones anteriores, si la matriz A es regular, entonces la inversa A 1 también cumple las condiciones del lema. De hecho, si A corresponde a la multiplicación por w = a + bi C, con a, b R, tendremos que A es invertible si, y sólo si, w 0, en cuyo caso A 1 corresponde a la multiplicación por 1/w, ( ) a b A = A 1 = b a 1 a 2 + b 2 ( ) a b. b a