Departamento de Informática Primer semestre de 2009 Ejercicios resueltos de temas del Certamen n o 3

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1 Universidad Técnica Federico Santa María Fundamentos de Informática I Departamento de Informática Primer semestre de 2009 Ejercicios resueltos de temas del Certamen n o 3 1 Combinatoria 1. Se lanzan cuatro dados, uno azul, uno rojo, uno verde y uno amarillo. (a) ¾Cuántos resultados distintos son posibles? los dados no son intercambiables, cada uno tiene 6 posibles valores. (b) ¾En cuántos de los resultados el dado azul muestra un 2? el dado azul tiene 1 sola opción, los restantes tres tienen 6 posibles valores. (c) ¾En cuántos de los resultados al menos uno de los dados muestra un 2? el dado con 2 puede ser elegido entre 4 posibilidades, los restantes tres tienen 6 posibles valores. (d) ¾En cuántos de los resultados un dado muestra 1, dos dados muestran 2 y el restante muestra 6? 4 C(3, 2) 1 = 12-4 posibilidades para elegir el dado con el valor 1. Los dos dados con el valor 2 se seleccionan de los tres restantes - c(3, 2) (e) ¾En cuántos de los resultados la suma es 9? C( , 5) - se trata de distribuir 5 puntos (r) entre 4 dados (n). 2. ¾Cuántas maneras distintas hay para ir del punto (0, 0, 0) al punto (4, 3, 5), tomando pasos de una unidad en el sentido positivo de cada coordenada (o sea, no es posible devolverse o ir en el sentido negativo)? Para llegar desde el punto (0, 0, 0) al punto (4, 3, 5) se deben tomar 4 pasos en la dirección x, 3 pasos en la dirección y y 5 pasos en la dirección z. En total, se deben realizar exactamente 12 pasos en cualquier orden, por ejemplo xxxxyyyzzzzz ó xyzxyzxyzxzz. Hay 12! disposiciones, de las cuales hay 4! 3! 5! disposiciones iguales, ya que cuentan los pasos idénticos en la dirección x, y y z respectivamente. 12! 4! 3! 5! = = = Relaciones 1. Sean A el conjunto de alumnos de una determinada carrera y C el conjunto de cursos del plan de estudios de esa carrera. La relación c 1 P c 2 dene que el curso c 2 es prerrequisito del curso c 1, y la relación at c - el alumno a toma el curso c. (a) ¾Cómo se puede denir una lista de alumnos de un determinado curso c? L = {a A at c} (b) ¾De qué forma se podría determinar que el alumno a está en condiciones de tomar el curso c? Curso c tiene como prerrequisito a curso c 1 : cp c 1 Alumno a tomó el curso c 1 : at c 1 ó c 1 T a Alumno tomó el curso prerrequsito de c: cp c 1 c 1 T a = cp T a 1

2 2. Determinar (y justicar su respuesta) si la relación R : N N denida como {(x, y) x+ y se divide por 2} es: (a) Reexiva La relación R es reexiva, ya que para cualquier x tanto par como impar, x + x es siempre par. (b) Simétrica La relación R es simétrica, ya que para cualquier x e y, x + y = y + x, por lo tanto se divide o no por 2 al mismo tiempo. (c) Transitiva La relación R es transitiva, ya que si x + y se divide por 2, e y + z se divide por 2, x y z deben ser ambos pares o impares. Por tanto, x + z se divide por 2. (d) Una equivalencia. Si R es una relación de equivalencia, encontrar las clases de equivalencia. La relación R es una equivalencia, ya que es reexiva, simétrica y transitiva. Las clases de equivalencia serían: [0] = {y N y es par} y [1] = {y N y es impar} (5 pts) 3. Si R 1, R 2 : A A son ambas reexivas, entonces R 1 R 2 es reexiva. Demostración: Si R 1 es reexiva, entonces x AxR 1 x. Si R 2 es reexiva, entonces x AxR 2 x. Tenemos: x A(xR 1 x xr 2 x), lo cual equivale a x A(xR 1 R 2 x). Por tanto, R 1 R 2 es reexiva. 4. Determine si la relación sobre {1, 2, 3, 4} es reexiva, simétrica, antisimétrica y/o transitiva correspondiente a la siguiente matriz Justique su decisión. Dibuje el grafo dirigido correspondiente. no es reexiva, ya que la diagonal de la matriz contiene 0. es simétrica, ya que la matriz es simétrica respecto a la diagonal. no es transitiva, ya que 1R2 y 2R1, pero no 2R2. no es antisimétrica, ya que 1R2 y 2R1, pero Demuestre que la relación de congruencia módulo m denida sobre Z con m Z y m > 1 es una relación de equivalencia. R = {(a, b) a b (mod m)} Demostración: a b(mod m), si y sólo si m divide (a b). Para demostrar que una relación es de equivalencia, se debe demostrar que es reexiva, simétrica y transitiva. 2

3 Figure 1: Grafo Dirigido Ya que (a a) = 0 se divide por m, entonces a a(mod m). Generalizando, a a a(mod m), y la congruencia módulo m es reexiva. Supongamos que a b(mod m). Si (a b) = km, entonces (b a) = ( k)m, lo cual signica que b a(mod m). Generalizando, a b(a b(mod m) b a(mod m)), y R es simétrica. Supongamos que a b(mod m) y b c(mod m). Entonces, (a b) = km y (b c) = lm. Sumando las dos ecuaciones, tenemos a c = (a b) (b c) = km + lm = (k + l)m, lo que signica que a c(mod m). Generalizando, a b c((a b(mod m) b c(mod m)) a c(mod m)), y que R es transitiva. La relación R es relación de equivalencia. 6. Sea f : Z Z y R : Z Z, tal que arb cuando f(a) = f(b). Demostrar que R es una relación de equivalencia. En el caso particular de f(x) que entrega el resto de división de x por 4, denir las clases de equivalencia. Solución R = {(a, b) f(a) = f(b), a, b Z}. R es una relación de equivalencia, si y sólo si es reexiva, simétrica y transitiva. x f(x) = f(x) por propiedades de la función, por tanto x xrx y la relación es reexiva. x y f(x) = f(y) f(y) = f(x) por propiedades de la igualdad, por tanto x y xry yrx, por tanto la relación es simétrica. x y z f(x) = f(y) f(y) = f(z) f(x) = f(z) por propiedades de la igualdad, por tanto x y z xry yrz xrz, por tanto la relación es trasitiva. En el caso particular de la función f(x) = resto de la división por 4, las clases de equivalencia son 4: {0} = {4y, y Z}, {1} = {4y + 1, y Z}, {2} = {4y + 2, y Z}, {3} = {4y + 3, y Z} 3 Complejidad de algoritmos 1. Sean f, g : N R. Demostrar que g domina a f. Para demostrar que g domina a f, hay que encontrar 2 constantes: k y m, tales que f(n) g(n) m, n k (a) f(n) = 1/2 log 2 n y g(n) = 100 n k = 2, m = : 1/2 log 2 n 100 n = log 2 n 200 n n k = 2 3

4 (b) f(n) = 5n 3 y g(n) = 5 n + n k = 4, m = : 5n 3 5 n +n = n k = 4 (c) f(n) = log(n!) y g(n) = log(n n ) k = 1, m = 1: 2. Demuestre que log(n!) log(n n = log(n(n 1)...1) log(n n n log(n) n log(n = 1 n k = 1 (a) 2 n es O(3 n ), pero 3 n no es O(2 n ) f(x) es O(g(x)), si existen constantes C y k, tales que f(x) C g(x) cuando x > k Para demostrar que 2 n es O(3 n ) se deben encontrar 2 constantes: C y k. Sea k = 1, tenemos que 2 n 3 n para n > 1 y C = 1. Por tanto, 2 n es O(3 n ). Para demostrar que 3 n no es O(2 n ), se debe demostrar que no puede existir una constante C que puede limitar el crecimiento. 3 n C 2 n equivale a la desigualdad (3/2) n C. 3/2 > 1, por tanto no puede existir una constante C para la cual (3/2) n C para todo n > k, ya que n puede llegar a ser muy grande. Por tanto, 3 n no es O(2 n ). (b) si f(x) es O(log b x), b > 1, entonces f(x) es O(log a x), a > 1. si f(x) es O(log b x), existen constantes C y k, tales que f(x) C log b x cuando x > k. f(x) C log b x = C log a x log b a = C log b a log a x Sea C 1 = C/ log b a. Tenemos que f(x) C 1 log a x cuando x > k, por tanto, f(x) es O(log a x). 3. Determine y demuestre a qué conjunto de funciones O(g) pertenece la función f: f(x) es O(g(x)), si existen constantes C y k, tales que f(x) C g(x) cuando x > k (a) f(n) = 3 + sen(n) O(4) 3+sen(n) 4 1, o sea C = 4 y para todo n (b) f(n) = 5n 2 + 3n log 2 n O(n 2 ) 5n 2 +3n log 2 n n 2 = log 2n 8, C = 8 y n 1 n 2 (c) f(n) = n(n + 1)(n + 2)/(n + 3) O(n 2 ) n(n+1)(n+2) (n+3)n 2 (d) f(n) = n + 1 n O(n) = (n+1)(n+2) n(n+3) = n(n+3) 3, C = 3 y n 1 n+ 1 n n = n 2 = 2, C = 2 y n 1 4. El algoritmo StraightInsertion ordena los elementos del arreglo a[1..n] (Nota: las dimensiones del arreglo han sido cambiadas para la implementación del algoritmo). Calcular la complejidad temporal del algoritmo para el mejor, peor y el caso promedio. Para i := 2 hasta n hacer /* BUCLE 1 */ x := a[i] 4

5 a[0] := x j := i mientras x < a[j-1] hacer /* BUCLE 2 */ a[j] := a[j-1] j := j-1 a[j] := x Mejor Caso: el arreglo a[1..n] ya esta ordenado de forma ascendente. Por tanto, se realizarían 6 operaciones (incluidas la comparación del bucle 2 y el incremento del contador del bucle 2) por cada iteración del bucle 1. En total, son (n 1) iteraciones. Por tanto, T (n) = 6(n 1) O(n). Peor Caso: el arreglo a[1..n] esta ordenado de forma descendente. Entonces, se harán las 6 operaciones del primer bucle más las 3 operaciones de las iteraciones del segundo bucle: T (n) = 6(n 1)+3 n 1 i=1 i = 6(n 1)+((n 1)n)/2 = (n2 +11n 12)/2 O(n 2 ) Caso Promedio: con la suposición que todos los intercambios de los elementos tienen la misma probabilidad, el promedio de iteraciones del segundo bucle sería i/2. T (n) = 6(n 1) + 3 n 1 i=1 i/2 = 6(n 1) + 3((n 1)n)/4 = (3n2 + 21n 24)/4 O(n 2 ) 5. Determine la complejidad temporal del algoritmo de búsqueda compacta del elemento con el valor k en un arreglo de n elementos ordenado de menor a mayor. Los valores que guarda son distintos, o sea, clave[i] < clave[i+1], i= 1,..., n-1. función BusquedaCompacta (arreglo clave(1..n), k): i := 1 hacer mientras i <= n y clave[i] < k j := random(1,n) si clave[i] < clave[j] y clave[j] < k entonces i := j i:= i +1 si clave[i] = k entonces retornar i retornar 0 El peor caso es cuando la función random(1, n) no ayuda en saltar las porciones del arreglo, y el elemento k buscado es el último en el arreglo. Así, el algoritmo se tranforma en busqueda secuencial, o sea incrementando el contador en i := i + 1. La condición de término del bucle establece que se harán n iteraciones hasta llegar al último elemento del arreglo. Por lo tanto, el algoritmo O(n). 6. Analice la complejidad temporal del algoritmo P alindrome check, que determina si la cadena de caracteres es un palíndromo, es decir, se lee de la misma manera de derecha 5

6 a izquierda que de izquierda a derecha. Para el caso promedio asuma que la mitad de las veces la cadena no es un palíndromo, y las diferencias pueden empezar en cualquier caracter. procedure P alindrome check(a 1 a 2... a n 1 a n : string) respuesta := T rue mitad := n/2 i := 1 while (respuesta and i <= mitad) if not (a i = a n+1 i ) then respuesta := F alse else i := i + 1 Mejor caso: La cadena de largo n no es un palíndromo, y la diferencia aparece en el primer caracter. Por tanto, while se ejecutará 1 sola vez, y la complejidad del algoritmo en este caso es O(1). Peor caso: La cadena de largo n es un palíndromo. Por tanto, while se ejecutará n/2 veces, y la complejidad del algoritmo en este caso es O(n). Caso promedio: La probabilidad de que la cadena no sea un palíndromo es 1/2, entonces la probabilidad de que el elemento i sea distinto del elemento n i es (1/2/n/2) = 1/n. En este caso, los pasos totales equivalen a 1/n ( n/2) = (n + 2)/8 En el caso de que la cadena sea palíndromo, se ejecutan 1/2 n/2 = n/4 pasos. Sumando ambos casos, tenemos que en total se ejecutan (n + 2)/8 + n/4 = (3n + 2)/8 iteraciones. Por tanto, tenemos que la complejidad del caso promedio es O(n). 7. Evalue la complejidad de la función P otencia que calcula a n : función Potencia (a, n): x := 1 i := n hacer mientras i > 0 si i <> 2 * (i div 2) /* i es impar*/ entonces x := x * a i:= i div 2 si i > 0 entonces a := a*a retornar x El contador del bucle i de está función empieza en n y se va dividiendo por 2 en cada iteración excepto la primera. O sea, si n es impar, i es impar e x se multiplica por a. En todas las demás iteraciones el x se multiplica por a 2. 6

7 Como resultado tenemos que n <= 2 i + 1, y el número de veces que se ejecutará i <= log 2 n. 8. Analice la complejidad del algoritmo que encuentra el primer elemento de la secuencia que es menor que el elemento inmediatamente precedente. procedure find(a[1], a[2],..., a[n]: integer positivos) location := 0 i := 2 while (location = 0 and i <= n) if a[i] < a[i-1] then location := i else i := i +1} Mejor caso: El primer elemento de la secuencia es menor que el segundo elemento. Por tanto, while se ejecutará 1 sola vez, y la complejidad del algoritmo en este caso es O(1). Peor caso: Los elementos de la secuencia están en el orden estrictamente descendente. Por tanto, while se ejecutará n 1 veces, y la complejidad del algoritmo en este caso es O(n). Caso promedio: Es igualmente probable que el elemento mayor que su precedente puede estar en cualquiera de n 1 posiciones dentro de la secuencia, entonces en promedio se realizan ( (n 1))/(n 1) = (n 1)n/2(n 1) = n/2. Por tanto, tenemos que la complejidad del caso promedio es O(n). 7