93.58 ÁLGEBRA 1º PARCIAL 2º CUATRIMESTRE 2015

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1 93.58 ÁLGEBRA º PARCIAL 2º CUATRIMESTRE 205 Ejercicio. Sea A el conjunto cuyos elementos son las funciones f: {k N: k 4} {k N: k 8}. Sea R la relación en A definida por: frg f() = g(). Pruebe que R es una relación de equivalencia. 2. Sea f A una función dada. Decida cuántos elementos tiene su clase de equivalencia. Ejercicio 2. Sea f: Z 2 Z definida como f(x, y) = 0x 75y. Estudie la inyectividad de f y halle su imagen. Encuentre todos los (x, y) Z 2 tales que f(x, y) = 00. Ejercicio 3. Sea n = Calcule el número de divisores positivos d de n que verifican simultáneamente las siguientes condiciones:. d es un cuadrado perfecto es divisor de d. 3. (d: ) = Ejercicio 4. Determine de cuántas formas puede repartirse 20 bolígrafos idénticos y 0 carpetas diferentes entre 7 personas, si cada persona debe recibir ningún o un número par de bolígrafos y Juan recibe al menos una carpeta. Ejercicio 5. Sea a Z tal que a 22 2(mod 7) y (a : 4) = 2. Halle los posibles restos de dividir a por 28.

2 93.58 ÁLGEBRA º PARCIAL º CUATRIMESTRE 206 Ejercicio. Sea X el conjunto de los números naturales pares. Se define la siguiente relación R en P(N): ARB (A B) (A C B C ) X. Analizar si X R N, X R I, I R N donde I N es el conjunto de los números impares. 2. Analizar si R es una relación reflexiva, simétrica, antisimétrica o transitiva. Ejercicio 2. Cuatro grupos de personas G, G 2, G 3, G 4 se juntan a trabajar en una mesa redonda con 2 asientos. Los grupos G y G 2 están formados por 4 personas y los grupos G 3 y G 4 están formados por 2 personas. Decidir de cuántas maneras se pueden ubicar en la mesa sabiendo que los integrantes de cada grupo se sientan consecutivamente. Ejercicio 3. Hallar el menor número entero positivo X tal que 7X 2(mod 5) y 7 X Ejercicio 4. Probar que si a y b son coprimos entonces (a + b: a 2 + ab + b 2 ) =. Ejercicio 5. Decidir de cuántas maneras se pueden repartir 83 bolitas iguales en 5 casilleros numerados del al 5, si en los casilleros debe haber una cantidad par de bolitas y en los impares una cantidad impar de bolitas.

3 93.58 ÁLGEBRA RECUPERATORIO º PARCIAL 2º CUATRIMESTRE 205 Ejercicio. Sea R en X = {0,,,99}, tal que xry si la suma de los dígitos de x es igual a la suma de los dígitos de y (suponiendo que los dígitos del número corresponden a su representación en base 0).. Demostrar que R es una relación de equivalencia. 2. Hallar las clases de equivalencia de los números 7, 45 y. 3. Decir cuántas clases de equivalencia hay. Ejercicio 2. Una familia compuesta por 40 personas quiere tomarse una fotografía. El fotógrafo decide ordenarlos en una grada de cinco filas, de modo tal que en la primera y en la última fila hayan 5 personas y en el resto de las filas 0. Calcular cuántas fotografías distintas se pueden sacar si el abuelo debe estar junto a la abuela en la primera fila y Laura y Santiago deben aparecer en la misma fila. Ejercicio 3. Hallar todos los (x, y) Z 2, tales que x 0(5), y (7) y 0x 4y = 8. Encontrar, entre las soluciones halladas, aquellas que satisfagan la condición (x, y) N 2. Ejercicio 4. Sea f: Z Z definida como sigue x + 7, si x es par f(x) = { x + 5, si x es impar Probar que f es biyectiva y hallar f. Ejercicio 5. Hallar el menor número natural n tal que el resto de su división por sea 4 y n 502 sea divisible por 7.

4 Algebra 200 ITBA PRIMER PARCIAL SEGUNDO CUATRIMESTRE Ejercicio. Sea R en Z 2, tal que (a, a 2 )R(b, b 2 ) 5 a b y 3 a 2 b 2. Demostrar que R es una relación de equivalencia, hallar las clases de equivalencia de (0, 0) y (3, 2), y decir cuántas clases de equivalencia diferentes hay. Ejercicio 2. Sean A un conjunto con n elementos, B con m elementos y C con k elementos.. Calcular cuántas relaciones R A B se pueden definir con la la siguiente propiedad: y Im(R) (x, y) R x A 2. Calcular cuántas funciones f : A B C 2 se pueden definir. 3. Decir qué relación debe haber entre m, n y k para poder definir al menos una función f : A B C 2 inyectiva y, en ese caso, cuántas funciones inyectivas diferentes se pueden definir. Ejercicio 3. Un examen consta de 8 problemas. Determinar de cuántas formas distintas puede asignarse puntaje a los problemas si el puntaje total debe ser 00, el primer o el último problema deben tener un puntaje igual o mayor a 20 y el puntaje mínimo de cada problema es 5. Ejercicio 4. Hallar el resto de dividir a por 524, siendo a = 000 k=0 27k(k+). Ejercicio 5. Hallar todos los pares (x, y) Z 2 que satisfagan simultáneamente las congruencias 2x + 3y (mod 35) 9x 2y 3 (mod 35).

5 Algebra 20 ITBA PRIMER PARCIAL 20 - SEGUNDO CUATRIMESTRE Ejercicio. Hallar todos los a, b, c Z tales que a + b + c = 35 y 3a + 27b + 2c = 76. Ejercicio 2. Hallar la cantidad de anagramas de 5 letras de la palabra PROPIEDAD, con al menos una P y que termine en vocal. Ejercicio 3. Sea A = {x N : x 00}. Determinar cuántas relaciones R en A satisfacen simultáneamente las siguientes condiciones: R es reflexiva, simétrica y, para cada x A, (2, x) R si y solo si x es par. Ejercicio 4. Sea X el conjunto de partes del conjunto {, 2, 3, 4,..., 00} y sea R la relación en X definida por ARB si y solo si A {, 2, 4, 5, 6, 8, 9} B. Determinar si R es reflexiva, simétrica, antisimétrica o transitiva. 2. Decidir cuántos subconjuntos B de {, 2, 3, 4,..., 00} satisfacen {, 2, 3, 4,..., 00}RB. Ejercicio 5. Probar que n 4 + 2n 3 + n 2 2n es divisible por 2 para todo n N.

6 Algebra 2009 ITBA PRIMER PARCIAL SEGUNDO CUATRIMESTRE Ejercicio. Sea f : A B, donde A = {, 2,..., 0} y B = {, 2,..., 00}. Calcular el número de funciones que pueden definirse en cada uno de los siguientes casos.. f deber ser inyectiva y f(x) par cuando x sea par. 2. f debe cumplir la condición 0 i= f(i) = f debe ser estrictamente creciente y f(5) = 50. Ejercicio 2.. Se define R en R 2 de la siguiente forma: (x, y)r(a, b) y b = x 3 a 3. Demostrar que R es una relación de equivalencia, y graficar las clases de [(0, 0)],[(, 2)] y [(2, 7)]. 2. En N 2 se define la relación (n, m) R(r, s) si y solo si n > r ó n = r y m s. Probar que R es una relación de orden. Ejercicio 3. Probar que para todo a Z, a 2 + 6a (Sugerencia: analice los divisores comunes primos.) Ejercicio 4. Hallar todas las soluciones (x, y) Z de la ecuación 430x + 84y = 0346, y determinar cuántas de ellas pertenecen a N 2. Ejercicio 5. Hallar el menor x natural que satisface simultáneamente 8x x (mod 5) (x 328 4) 2 0 (mod 7).

7 Algebra 20 ITBA PRIMER PARCIAL 20 - PRIMER CUATRIMESTRE Ejercicio. Determinar todos los (a, b) Z Z, que satisfacen simultáneamente: 9 a, 3 b y 22a + 0b = 48. Ejercicio 2. Sean A = {k N : k 0} y B = {k N : k 6}.. Contar la cantidad de funciones inyectivas f : A B tales que {, 2} Im(f). 2. Contar la cantidad de funciones sobreyectivas f : B A tales que card(f ()) 7, donde, para a A, f (a) = {b B : f(b) = a}. Ejercicio 3. Hallar el menor número natural n que satisface simultáneamente las condiciones. (n : 360) = 8; 2. n tiene exactamente 2 divisores positivos. Ejercicio 4. Sea X = {x N : x 92} y sea R en X definida de la siguiente manera: xry si x y = y x. Probar que R es una relación de equivalencia. 2. Dado x X determinar su clase de equivalencia y hallar la cantidad de clases de equivalencia diferentes que hay en total. Ejercicio 5. Contar todos los anagramas de la palabra COMBINATORIA que satisfacen:. Todas las vocales están juntas y todas las consonantes están juntas. 2. Todas las vocales satisfacen el orden relativo OIAOIA original. Tener en cuenta que los incisos son separados.

8 Algebra 200 ITBA PRIMER PARCIAL PRIMER CUATRIMESTRE { x Ejercicio. Sea f : Z Z, f(x) = 2, si x es par 2x, si x es impar.. Decidir si f es biyectiva. 2. Sea R Z Z, la relación definida mediante: xry f(x) = f(y). Demostrar que R es de equivalencia. Hallar [x] para x impar. Determinar de qué forma debe ser un número par x para que [x] tenga más de un elemento. Ejercicio 2. Se tienen dos grupos de rectas en un plano, 9 paralelas entre sí y otras 8 paralelas entre sí pero no paralelas a las anteriores.. Cuántos paralelogramos quedan formados cuyos lados se encuentren contenidos en las rectas dadas. 2. Se quieren colocar 8 fichas rojas y 5 negras en los puntos de intersección de las rectas. Determinar de cuántas formas distintas pueden colocarse, si dos fichas rojas no tienen que estar sobre la misma recta. Ejercicio 3. Probar los siguientes enunciados:. Sean a, b, c Z. Sabiendo que a 4 + b 4 = c 4, se concluye que: 5 a ó 5 b 2. ( n 5) es par n (8) ó n 3 (8) ó n 0 (2). Sugerencia: tenga en cuenta que 5! ( n 5) = n(n )(n 2)(n 3)(n 4) Ejercicio 4. Sea f : Z 2 Z tal que f(x, y) = 2x + 2y.. Hallar f () y f (020). 2. Repetir el item anterior, pero restringiendo el dominio de f a N 2. Ejercicio 5. Sea L el lenguaje formado por todas las palabras (cadenas de finitos caracteres) cuyas letras son sólo vocales. Si w es una palabra, notamos w = w w 2...w n y long(w) = n, es decir, long(w) es el número de caracteres de w. Por ejemplo, si w = aeaei entonces w = a, w 2 = e, w 3 = a, w 4 = e y w 5 = i, y long(w) = 5. Se define el siguiente orden en el conjunto de letras vocales: a < e < i < o < u. Sea R la relación definida en L de la siguiente forma: wrv (long(w) < long(v)) ó (long(w) = long(v) y w i v i para todo i). Probar que R es una relación de orden. Determinar si el orden es global. Existe w L tal que wrv v L?