Inferencia: Tarea 3. medio número de mujeres media(años ) des. estándar(años) Rural Urbano

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María Pilar Morales Miranda
hace 5 años
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1 Inferencia: Tarea 3 1. Un sociólogo registró el número de años cumplidos por una mujer al momento de su primer parto. Se clasificó a las mujeres de acuerdo al medio en que vivían, rural y urbano, y se obtuvieron los siguientes resultados: medio número de mujeres media(años ) des. estándar(años) Rural Urbano El investigador sostiene que en el medio rural, debido a la mayor uniformidad de las costumbres, la variabilidad en la edad del primer parto es menor que la que se tiene en el medio urbano. Suponga que esta edad se distribuye Normal. a) Enuncie claramente las hipótesis de la prueba b) Puede afirmarse, a un nivel de significancia α=0.05, que el investigador tiene razón? 2. Un investigador afirma que su medicamento provocará sueño a por lo menos el 80% de las personas que padecen insomnio. Un colega considera que la afirmación es exagerada, y para refutarla, administra la medicina a 20 personas elegidas al azar que padecen de insomnio. Si Y es el número de personas que logran dormir con el medicamento, realiza la prueba de hipótesis utilizando la región de rechazo C γ = {{X 1,X 2,...,X 20 } : Y 12}. a) Enuncie claramente las hipótesis de la prueba b) Calcule la probabilidad de cometer el error tipo I c) Calcule y dibuje la función de potencia de la prueba, para los valores de p [0.1, 0.7] d) Qué decisión tomarías si α=0.05 y Y=14? , 207.6, 81.8, 0.8, 108.9, 76.1, 48.4, 108.1, 52.2, 272.8, 150.5, 80.3, 97.4, 11.5, 46.2, 144.1, 62.5, 262.9, 247.6, 4.1. Los datos anteriores representan el tiempo de vida útil de un artículo, medido en días, mismo que se asume se distribuye como una exponencial(θ). A un nivel de significancia de 5%, realice la prueba de hipótesis a) H 0 :θ =100 vs. H a :θ =120 de manera EXACTA b) Suponiendo el Teorema Central del Límite c) Compare los resultados obtenidos por ambos métodos. Sugerencia: Utilice los resultados de su tarea pasada. 4. Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad bajo H 0 y H 1 está dada por: x f(x H 0 ) f(x H 1 )

2 Use el lema de Neyman-Pearson para encontrar la prueba más potente para realizar el contraste H 0 vs. H 1 de tamaño α = Calcule la probabilidad de cometer el error tipo II con esta prueba. 5. Muestra 1: 2.09, 3.98, 3.36, 4.00, 2.00, 2.76, 6.75, 3.85, 6.01, 5.55, 3.41, 3.03, 4.76, 5.56, 2.64, 2.94, 2.73, 6.41, 4.83, 5.77, 3.05, 5.00; Muestra 2: 4.47, 2.89, 3.85, 0.99, 5.19, 3.50, 2.12, 2.04, 2.53, 3.21, 0.67, 0.74, 2.36, 2.01, 6.71, 5.17, 3.49, 3.65, 4.00, 4.34; Muestra 3: 5.68, 5.83, 4.35, 4.42, 1.61, 3.78, 4.07, 5.28, 1.44, 3.62, 5.35, 5.39, 5.13, 5.73, 3.90, 3.26, 7.80, Las tres muestras anteriores, son registros del crecimiento de un cierto tipo de árbol bajo tres fertilizantes distintos a) Realice la prueba de análisis de varianza correspondiente, verificando TODOS los supuestos de esta prueba. b) A qué nivel de significancia descriptivo rechazaría la hipótesis nula?. Interprete en términos del problema este nivel de significancia. 6. El servicio de urgencias nocturnas de un hospital, ha decidido hacer una investigación sobre el número de casos que se presentan en esta modalidad. Con este fin, realizó un muestreo de 25 días seleccionados al azar, con los siguientes resultados: 0, 1, 2, 2, 4, 5, 3, 2, 2, 2, 2, 0, 2, 4, 3, 3, 5, 2, 0, 2, 3, 4, 1, 2, 2. Si el número promedio de casos supera a 2, entonces se tendrá que incrementar el personal de atención. Con la información realice la prueba: a) H 0 :λ = 2 vs. H a :λ > 2 de manera EXACTA b) Realice esta prueba utilizando teoría asintótica c) Compare los resultados obtenidos en a) y b) d) Si α=0.01, cuál es su decisión? 7. Un dado fue lanzado 300 veces con los siguientes resultados Cara Frecuencia Los datos son consistentes con la hipótesis de que el dado es honesto? Use α=5%. 8. Un grupo de investigadores está planeando la fase III de un ensayo clínico para determinar la probabilidad de respuesta, p, a un nuevo medicamento. Se sabe que el tratamiento estándar produce una respuesta positiva en el 35% de la población. Para determinar si el nuevo tratamiento incrementa la probabilidad de respuesta, los investigadores desean contrastar, al 5% de significancia, las hipótesis H 0 : p = 0.35 vs. H a : p > 0.35 Además, desean detectar un incremento significativo en la respuesta a p = 40% con probabilidad a) Escriba un programa en R, para encontrar el tamaño de muestra requerido 2

3 b) Habiendo obtenido el tamaño de muestra, realice una simulación de 1000 conjuntos de datos con las especificaciones dadas por las hipótesis nula y alternativa (en ésta tome p = 0.4) y cuente cuántas veces rechaza la hipótesis nula. Este número de veces que rechaza empíricamente esta hipótesis, a qué corresponde en el problema? individuos fueron clasificados de acuerdo a su sexo y a si eran o no daltónicos. Los resultados se muestran en la siguiente tabla: Masculino Femenino Normal Daltónico 38 6 De acuerdo con un modelo genético, esta tabla debería tener frecuencias relativas dadas por: Masculino Femenino Normal P/2 (P 2 /2) + PQ Daltónico Q/2 Q 2 /2 Donde Q = 1 P es la proporción de individuos daltónicos en la población. a) Los datos son consistentes con el modelo genético?. α=5%. b) Existe asociación entre el sexo y ser daltónico?. α=5%. 10. Suponga que Y 1,...,Y 10 es una m.a. de una distribución geométrica (p). Se quiere probar la hipótesis H 0 : p = 1 4 vs. H a : p > 1 4 a) Encontrar la prueba uniformemente más poderosa a un nivel de significancia α. b) Encontrar la región de rechazo explícita a un nivel de significancia α= c) Aplicar sus resultados a los datos {0, 0, 4, 4, 1, 2, 4, 2, 1, 6}, con α= Cuál es su decisión? 11. Se sabe que si (X,Y ) N 2 (µ 1,µ 2,σ 2 1,σ 2 2,ρ), el MLE de ρ es el coeficiente de correlación de Pearson, ˆρ. Para realizar pruebas de hipótesis sobre ρ, es necesario conocer la distribución muestral de ˆρ. Para ello, considere los siguientes casos: a) Si ρ = 0 (i.e. si X y Y son independientes), entonces la estadística T = ˆρ n 2 1 ˆρ 2 t n 2 3

4 Genere 1000 muestras de tamaño 12, de esta estadística y verifique que, en efecto, se distribuye como una t n 2. b) Si ρ = ρ 0 0, y si n, la estadística Z = 1 2 log 1+ˆρ 1 ˆρ d N ( 1 log ) 1+ρ ρ 0, n 3 Genere 1000 muestras de tamaño 50, de esta estadística y verifique que, efectivamente, se distribuye como se enuncia arriba. Utilice ρ 0 = En Canadá, se realizó una investigación sobre el uso de vitamina C para prevenir el resfriado común. Se recolectaron 818 voluntarios para un estudio doble ciego. A un grupo de ellos se les administró un suplemento de vitamina C antes de iniciar el invierno, mientras que a otro se le aplicó un placebo. Los resultados se muestran en la siguiente tabla Resfriado No resfriado Total Placebo Vitamina C Total Construir un intervalo de confianza al 95% para el cociente de momios, por medio de un procedimiento de bootstrap. Mediante este intervalo probar la hipótesis de que la vitamina C es efectiva para prevenir el resfriado común contra que no lo es. 13. Escriba un programa en R para realizar una prueba de diferencia de medias. Su programa debe verificar si las muestras provienen de poblaciones normales con varianzas iguales, si este es el caso, aplicar la prueba conocida. Si no lo es, utilizar la prueba no paramétrica alternativa correspondiente. El programa debe reportar las estadísticas necesarias para realizar esta prueba, el p-value y la decisión correspondiente. Correr su programa con un ejemplo donde se cumplan todos los supuestos (pueden ser los datos del ejercicio 5 de esta tarea), y uno donde no se cumpla(n) alguno(s) de estos supuestos. 14. trat=(24,61,59,46,43,53,43,44,52,43,57,49,58,67,62,57,56,33,71,49,54), cont=(42,33,46,37, 62,20,43,41,10,42,53,48,55,19,17,55,37,85,26,54,60,28,42). Los datos anteriores, corresponden a un estudio desarrollado para incrementar la capacidad lectora de un grupo de alumnos de escuela primaria. Al grupo tratado (trat) se le estimuló con un sistema nuevo de lectura, mientras que al control (cont) se le aplicó el sistema usual. a) Realizar la prueba de hipótesis H 0 : trat = cont vs. H a : trat > cont mediante un proceso bootstrap. 4

5 b) Comparar los resultados obtenidos contra el proceso usual de una t. Cumplen los datos los supuestos para aplicar este último proceso? 15. La base en Excel denominada Trastorno, muestra los datos de 160 sujetos conformada por las variables: Folio: (variable de control de los sujetos) Diagnóstico Psiquiátrico (variable que clasifica en tres categorías a los sujetos: 0: ausencia de trastorno, 1: depresión, 2: depresión más trastorno de la personalidad) Edad del sujeto: edad en años de los sujetos Prueba psicológica: puntuación de una prueba psicológica, a mayor puntuación mayor patología Diagnóstico de la Prueba psicológica: (dicotomizacición de la puntuación de la prueba psicológica, 0: salud mental, 1: patología mental) a) Aplique un ANOVA (pruebe los supuestos teóricos) y determine si la edad es motivo de definición de las tres categorías de la variable Diagnóstico Psiquiátrico. b) Aplique un ANOVA (pruebe los supuestos teóricos) y determine si la prueba psicológica es motivo de definición de las tres categorías de la variable Diagnóstico Psiquiátrico. c) Realice una tabla de contingencia y obtenga la Ji Cuadrada (verificando los supuestos teóricos para su aplicación), entre las variables Diagnóstico Psiquiátrico y Diagnóstico de la Prueba, compare los resultados obtenidos con los del inciso b. FELIZ 2 DE DICIEMBRE 5

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