Espero que la colección de textos que les voy a ofrecer les guste y entretenga. Atentamente: Namor. 1

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1 El autor de este libro es profesor de matemáticas y estadística de la Universidad de Sussex. Su interés por la probabilidad nació a raíz de algunos juegos de naipes, y desde entonces ha realizado diversos estudios sobre loterías, cartas y dados. Miembro de la Royal Statistical Society, Haigh actúa como portavoz en asuntos de probabilidad, temas combinatorios y loterías. Es autor también de Probability Models, que acaba de aparecer en Estados Unidos Como ocurre con la gran mayoría de matemáticos, su interés por la ruleta y sus sistemas de apuestas es casi nulo, el autor se entretiene muchísimo en temas relacionados con las apuestas deportivas, las quinielas y loterías, lo poco que hay sobre la ruleta es lo que escribiré en este archivo de Word. La perspectiva de este juego de la ruleta para los matemáticos es siempre negativa, pero en esta serie de archivos que estoy transcribiendo, no solo es bueno ver la parte positiva o esperanzadora, no está de más que también escuchemos la opinión de los matemáticos profesionales, para después poder seguir opinando lo que nos venga en gana. Dado que ya comenté que no era mucho lo que el autor dedicaba a la ruleta, complementaré la opinión de este autor con otros autores y libros sobre probabilidades y juegos, también publicados por expertos en matemáticas y probabilidades, entre ellos, Martín Gardner, un autor bastante conocido por sus muchos libros de entretenimientos matemáticos. Como suele ser inevitable, uno no puede resistir a veces la tentación de opinar o añadir algún comentario que ofrece el autor del libro, por ello, en la siguiente colección de archivos de Word sobre ruleta, todo lo que yo añada como opinión o comentario personal estará escrito en letra azul, mientras que el texto original del libro se mantendrá en negro. Espero que la colección de textos que les voy a ofrecer les guste y entretenga. Atentamente: Namor. 1

2 Este tercer volumen de Word corresponde al siguiente libro: MATEMÁTICAS Y JUEGOS DE AZAR John Haigh Título original: Taking chances. Winning with probability Edita: Tusquets Editores, S.A. Qué es la probabilidad? Sea lo que sea, no es algo que se pueda ignorar. Un seguro de vida, de vivienda o de automóvil dependen de una probabilidad que los asegurados tendrán que asumir, y pagar. Tiene usted que vacunarse contra la gripe este invierno? Deberá empezar contraponiendo el riesgo de efectos secundarios o de una posible reacción a las consecuencias derivadas de no vacunarse. Los miembros de un jurado sólo pueden condenar a un acusado cuando no hay ninguna duda razonable de su culpabilidad. En el sistema judicial, uno de los criterios más adecuados puede basarse en un balance de probabilidades. Una persona decide comprar, o no, participaciones de lotería por un impulso o por diversión, pero también pueden entrar en juego factores como creer, aunque sea vagamente, en la posibilidad de ganar una suma considerable. En los juegos de naipes, como el póquer o el bridge, se espera jugar mejor si se logra tener una idea realista de la posibilidad de que otro jugador tenga una determinada mano de cartas. Muchos problemas de decisión, ya sean serios o frívolos, pueden afrontarse en mejores condiciones si se comprende el concepto de probabilidad. En mi opinión, siempre es preferible conocer que ignorar, y una buena manera de llegar a conocer la probabilidad consiste en familiarizarse con una serie de juegos en los que ésta desempeña un papel relevante. El objetivo de este libro es proporcionar formas de evaluar y, en ocasiones, incrementar la probabilidad de éxito. Ser un experto en probabilidad puede no bastar para tomar decisiones acertadas. A veces, lo único que se consigue saber es en qué nos hemos equivocado. No obstante, por término medio, tanto en el juego como en la vida real, el proceso de toma de decisiones mejora si somos capaces de evaluar la probabilidad de los distintos resultados posibles. Este libro no es un tratado sobre la teoría de la probabilidad, sino 2

3 un conjunto de planteamientos en cuya resolución intervienen argumentos probabilísticos. Las lenguas poseen una capacidad considerable de decir la misma cosa de distintas formas. Después de mezclar bien las cartas de una baraja y escoger la primera, por ejemplo, se puede afirmar La probabilidad de que sea una pica es un cuarto. Las siguientes frases tienen exactamente el mismo significado que la anterior: La probabilidad de que no sea una pica es de tres a uno. Es tres veces más probable que salga una carta que no sea una pica. Existen formas más elípticas de decir lo mismo: se puede recurrir a las palabras riesgo o posibilidad, pero al margen de su formulación, qué significa esa premisa? Qué nos induce a hablar de un cuarto y no de cualquier otro valor? Sólo en un modelo ideal se puede afirmar que la probabilidad es un cuarto. Mi modelo ideal es una baraja de 52 cartas de composición idéntica, 13 de ellas picas, y tal que todas las combinaciones posibles que se pueden dar después de barajar las cartas son igualmente probables. Si se cumpliesen estas condiciones, entonces la primera carta sería una pica en una de cada cuatro de esas combinaciones igualmente probables, lo cual explica la elección de un cuarto. Me consta que mi modelo no puede ser exactamente correcto a todos los efectos, pero espero que se acerque lo suficiente a la realidad como para no dar una respuesta equivocada. Tampoco se necesitó un modelo perfecto del mundo físico para depositar vehículos espaciales sobre las superficies de la Luna y Marte. El experimento con las cartas puede repetirse tantas veces como se quiera. En este caso, se puede comprobar la validez de una afirmación acerca de la probabilidad recurriendo a un gran número de experimentos del mismo tipo. Si la probabilidad de un suceso es un cuarto, entonces es de esperar que se produzca, por término medio, una vez de cada cuatro. De hecho, eso no significa que tiene que producirse exactamente una vez en cada bloque de cuatro repeticiones: puede ocurrir varias veces seguidas y puede que no se produzca en una docena de experimentos. El problema de este enfoque reside en saber qué entendemos por término medio y gran número. Bastan 100 experimentos? Tal vez ? Desgraciadamente, no hay forma de saber hasta qué punto es grande un gran número. 3

4 También se suele hablar de probabilidad cuando nos referimos a acontecimientos únicos, irrepetibles, como el hecho de que el índice bursátil aumente por lo menos un 10% en el próximo año o que Brasil gane el próximo campeonato mundial de fútbol. La idea de una frecuencia media a largo plazo carece de importancia cuando es imposible reconstruir las circunstancias reales. Tampoco estamos limitados a ocuparnos del futuro: una afirmación del tipo La probabilidad de que Shakespeare escribiese Macbeth es del 80% tiene sentido, pues expresa la opinión de un especialista. Considerar la probabilidad como un nivel de certeza permite reconciliar ambos enfoques. Cuanto mayor sea el nivel de certeza de un acontecimiento, mayor será la probabilidad que se le asocia. Si deseo evaluar mi nivel de certeza de que el índice bursátil aumentará cierta cantidad, puedo preguntar a un experto en bolsa. Tal vez me diga que puedo apostar dos a uno, es decir, que si apuesto una libra y gano, recibiré tres libras (la libra que he apostado y otras dos que habré ganado). Mi reacción a su oferta me da una idea de la probabilidad que puedo asignar al acontecimiento en cuestión. Si tengo la impresión de que apostar en esas condiciones es favorable, estoy asignando una probabilidad superior a un tercio. Si, en cambio, considero que no es una buena apuesta, entonces mi nivel de certeza es inferior a un tercio. Todo el mundo puede hacer este tipo de consideraciones, pero es fácil que las opiniones difieran. La probabilidad es algo muy personal. En el ejemplo de la pica es una baraja de cartas, posiblemente coincidamos en evaluar nuestras probabilidades en un cuarto, porque los modelos de nuestro experimento son prácticamente idénticos. En otras circunstancias, especialmente cuando disponemos de informaciones muy distintas, la evaluación de la probabilidad puede variar enormemente. El propietario de un caballo de carreras tendrá una opinión de las posibilidades de su caballo muy distinta a la de un lector de periódicos o a la del simple aficionado a las carreras de caballos. En los ejemplos en los que intervienen los dados, monedas, cartas, etc., se da un consenso generalizado en cuanto al modelo adecuado y, por tanto, el desacuerdo en las probabilidades es mucho menor. La gente puede tener razones muy distintas para creer que la rueda de una ruleta determinada funciona adecuadamente, pero todos aquellos que coincidan en considerar que sus 37 números son igualmente probables utilizarán el mismo modelo para analizar las posibles apuestas. A lo largo de este libro, mantendremos esta posición en lo esencial. Sin embargo, en algunos casos, los 4

5 expertos pueden manifestar opiniones diferentes. Descubrir si estas diferencias tienen grandes repercusiones en las decisiones que tomamos o las conclusiones que sacamos es una parte crucial de cualquier análisis. Reflexionar con lógica. Debemos al erudito victoriano Francis Galton un magnífico ejemplo de los peligros de no reflexionar cuidadosamente. Si se lanzan tres monedas iguales al aire, cuál es la probabilidad de obtener tres caras o tres cruces? Consideremos un razonamiento carente de sentido como el siguiente: Por lo menos dos de las tres monedas han de dar el mismo resultado, ya sea dos caras o dos cruces. La tercera moneda tiene la misma probabilidad de salir cara o cruz, con lo cual la mitad de las veces saldrá como las otras dos y la otra mitad saldrá distinta. Por consiguiente, la probabilidad de que las tres sean iguales es de la mitad. Para detectar el error de este razonamiento, se requiere un enfoque lógico. Una forma consiste en colorear las monedas de rojo, azul y verde, y hacer un listado de todos los resultados posibles lanzando las monedas en ese orden. Al distinguir las monedas, se evita el error que Galton nos presenta de forma provocadora. Los ocho posibles resultados son {CCC, CC+, C+C, +CC, C++, +C+, ++C, + + +}, de los que sólo dos son iguales. Por tanto, la respuesta es muy distinta. La probabilidad de que las tres monedas caigan del mismo lado es de dos de ocho o, lo que es lo mismo, un cuarto. El error en este razonamiento se encuentra en la expresión la tercera moneda, al comienzo de la segunda frase. Si no estamos distinguiendo las monedas entre sí, cómo podemos saber cuál de ellas es la tercera? Si en dos de las monedas han salido cara, entonces está claro que la otra es la tercera, pero también se deduce que en esa moneda ha salido cruz; no es cierto, por tanto, que tenga la misma probabilidad de salir cara o cruz. Y si las tres monedas salen cara, cualquiera de ellas a la que se considere la tercera tendrá que haber salido cara. Por tanto, la probabilidad de salir cara o cruz no es exactamente la misma. Este tipo de pensamiento poco lógico puede costar dinero. Supongamos que Andrés considera que la probabilidad es de un cuarto y que está dispuesto (siendo muy poco generoso) a pagar la apuesta a dos a uno si las tres monedas salen cara o cruz. Espera ganar dinero en la operación. Si apuesta una libra, supone que ganará en tres de cada 5

6 cuatro juegos y perderá dos libras en el juego restante. Por término medio, obtendrá un beneficio de una libra después de cuatro juegos. En cambio, Bernardo, que se cree el falaz argumento anterior, aceptará gustosamente la apuesta. Creerá que la mitad de las veces perderá una libra, pero que ganará dos libras las veces restantes y que, por tanto, obtendrá un beneficio. Ambos están dispuestos a jugar de buen grado, pero el análisis de Bernardo es erróneo. Cuanto más juegue, más perderá y, tarde o temprano, deberá reconsiderar la situación. La regla inviolable. En el vocabulario de la probabilidad aparecen palabras y expresiones como posible, probable, con casi toda seguridad, etc., pero lo que se entiende por muy probable puede variar de un día a otro, y puede diferir de lo que pueda pensar otra persona. Para entendernos, usaremos los números. Las probabilidades se miden en una escala del cero al uno. Las palabras imposible y probabilidad nula significan lo mismo. Por mi parte, asigno probabilidad nula a un viaje atrás en el tiempo hasta la época de Mozart, pero cada uno puede tener su opinión. Por otra parte, probabilidad uno equivale a seguridad. Considero que es seguro que Elvis Presley está muerto. Tal vez haya quien esté dispuesto a apostar que resucitará dentro de diez años (seguramente haciendo esquí náutico en el lago Ness, perseguido por el monstruo). Sean cuales sean las opiniones de cada cual sobre los acontecimientos reales o hipotéticos, carece de sentido hablar de probabilidad fuera del intervalo entre cero y uno. Es una regla inviolable. Sin embargo, debo confesar que algo me ha incomodado en todo esto. En mi primera época de profesor universitario, propuse en un examen una pregunta inteligente sobre la relación entre dos probabilidades. Se podía resolver con facilidad, y las respuestas parecían sensatas. Desgraciadamente, una consecuencia de mi solución era que otras dos probabilidades violaban esa regla! La situación se aclaró gracias a la intervención de un colega con más experiencia que yo, que consiguió que la pregunta no saliera de su despacho. Las probabilidades se pueden expresar en forma de cocientes, fracciones, decimales o porcentajes comprendidos entre 0% y 100%. Depende de cada cual. Las fracciones aparecen de forma natural si todos los resultados son igualmente probables, como 6

7 ocurre cuando se lanza un dado o en los juegos de cartas o al hacer girar una ruleta. En esos casos, los cálculos suelen ser más fáciles si se representan las probabilidades en forma de fracciones; en general, es poco conveniente, en una primera fase, transformar las probabilidades en decimales. Si se desea comparar diversas probabilidades, se pueden utilizar tanto los porcentajes como los decimales o las fracciones con un denominador común. Algunos métodos de trabajo. Conviene tener siempre presente dos ideas básicas. La primera se refiere a los llamados sucesos excluyentes: si es imposible que dos cosas sucedan al mismo tiempo, entonces son excluyentes. Por ejemplo, si se extrae una carta de una baraja, se puede sacar un corazón o un diamante, pero no ambas cosas al mismo tiempo: los sucesos son excluyentes. Puede ser un trébol o un rey: no son excluyentes, pues puede tratarse del rey de tréboles. Cuando los sucesos son excluyentes, para obtener la probabilidad de que ocurra al menos uno de ellos basta con sumar las probabilidades individuales. Si la probabilidad de que salga un corazón es un cuarto y la de un diamante es un cuarto, entonces la probabilidad de que salga una carta roja es un medio. La otra idea básica es la de independencia. Dos sucesos son independientes cuando el conocimiento de que uno se produzca o no se produzca no influye sobre la probabilidad del otro. Por ejemplo, si lanzo al aire una moneda mientras usted lanza otra, los posibles resultados pueden considerarse independientes. Pero si extraigo una carta de una baraja y usted saca una carta de las restantes, los resultados no serán independientes. Por ejemplo, saber que mi carta es un as reduce la proporción de ases de la baraja y, por tanto, afecta a la probabilidad de sacar un segundo as. Normalmente, resulta evidente cuándo dos sucesos pueden considerarse independientes. Según la definición más habitual, cuando dos sucesos son independientes, la probabilidad de que se produzcan ambos es el producto de sus probabilidades individuales. La probabilidad de sacar un seis en el lanzamiento de un dado es 1/6. Si a continuación hacemos otro lanzamiento independiente, la probabilidad de sacar dos seises es (1/6) x (1/6) = 1/36. Supongamos que cada tres años algún petrolero vierte 7

8 al mar una cantidad considerable de petróleo y que cada cuatro años un determinado equipo gana la copa de fútbol. Es difícil pensar que ambos sucesos interfieran entre sí, por lo que parece razonable pensar que son independientes entre sí. Por tanto, para un año cualquiera, la probabilidad de que se produzca un vertido y que aquel equipo concreto gane la copa es (1/3) x (1/4) = 1/12. A veces, puede parecer sorprendente que algunos sucesos sean independientes. Consideremos los dos sucesos siguientes, en los que interviene un dado corriente. Obtener un número par, es decir, 2, 4 o 6. Obtener un múltiplo de tres, es decir, 3 o 6. Los sucesos son independientes, incluso en la misma tirada! Por tanto, el hecho de que el resultado sea un número par no influye en la probabilidad de que sea un múltiplo de tres, o viceversa. Cada una de las seis caras distintas del dado tiene una probabilidad de 1/6 y, dado que hay tres números pares, la probabilidad total de que salga un número par (sumando las tres probabilidades individuales) es 3/6 = 1/2. Del mismo modo, la probabilidad de que salga un múltiplo de tres es 2/6 = 1/3. Al multiplicar ambas probabilidades se obtiene 1/6. Pero la única manera de que se produzcan ambos sucesos es que salga un seis, cuya probabilidad también es 1/6. Por tanto, los sucesos son independientes, ya que la probabilidad de que se produzcan ambos es igual al producto de ambas probabilidades. Consideremos ahora un dado que no sea de seis caras, por ejemplo un tetraedro, cuyos cuatro lados, designados por {1, 2, 3, 4}, tengan la misma probabilidad de salir. En este caso, los dos sucesos no son independientes. Si el resultado es un número par, entonces es imposible que sea también un múltiplo de tres (y viceversa). Formalmente, si se utiliza la definición de independencia anterior, la probabilidad de que salga un número par sigue siendo 1/2 (dos números pares de los cuatro posibles), pero la probabilidad de obtener un múltiplo de tres pasa a ser ¼, ya que sólo uno de los cuatro posibles resultados es múltiplo de tres. Al multiplicar ambas probabilidades se obtiene (1/2) x (1/4) = 1/8. Pero en este dado no es posible que el resultado sea a la vez par y múltiplo de tres, ya que el dado no tiene ningún múltiplo de seis. Por tanto, la probabilidad de que se produzcan ambos es cero y no 1/8. Si utilizamos un dado en forma de diamante de ocho caras, los dos sucesos vuelven a ser independientes! En esta ocasión, los números pares aparecen una de cada dos 8

9 veces, y los múltiplos de tres una vez de cada cuatro. Para obtener al mismo tiempo un número par y un múltiplo de tres, se necesita un múltiplo de seis. En este dado de ocho caras, sólo hay un múltiplo de seis, el propio seis, por lo cual la probabilidad de que salga un múltiplo de seis es 1/8. Y dado que (1/2) x (1/4) = 1/8, los sucesos son independientes, de acuerdo con la definición que hemos adoptado. En este dado octaédrico, si el resultado es un múltiplo de tres, ello significa que sólo puede haber salido el tres o el seis. Así, el resultado será un número par, seis, la mitad de las veces. La probabilidad de obtener un número par es un medio, al margen de que el resultado sea un múltiplo de tres. Igualmente, si se nos dice que el resultado es un número par, entonces hay cuatro posibilidades {2, 4, 6, 8}, entre las que sólo se encuentra un múltiplo de tres. Así pues, que el resultado sea un número par no influye en la probabilidad de que salga un múltiplo de tres; ésta es 1/4, con o sin dicha información. En estos ejemplos se han considerado dos sucesos (obtener un número par y obtener un múltiplo de tres) que pueden ser o no independientes en función del número de caras del dado. Cuando se trabaja con probabilidades, es necesario especificar el modelo en su totalidad. Para decidir intuitivamente si dos sucesos son independientes, hay que plantearse la siguiente pregunta: si se sabe con certeza que uno de ellos ha ocurrido, modifica esta situación la probabilidad de que se produzca el otro? Si la respuesta es negativa, entonces los sucesos son independientes. Grandes números. Aunque he afirmado que la probabilidad sólo expresa el grado de certeza que uno puede tener sobre algo, es útil saber qué puede suceder cuando el número de repeticiones es muy grande. Veamos el caso del lanzamiento de una moneda: la probabilidad de que salga cara en un lanzamiento es 1/2, pero qué cabe esperar cuando se lanza la moneda miles o millones de veces? Se acercará la proporción de caras a un medio? En principio, la respuesta es afirmativa, pero vale la pena plantearse el caso con más detenimiento. 9

10 Esperar que en un millón de lanzamientos se produzcan caras y cruces parece poco razonable. Todo cambia, sin embargo, cuando hablamos más bien de un porcentaje fijo alrededor del valor central. Supongamos que queremos que el número de caras esté comprendido entre el 49% y el 51% del total. En un experimento consistente en 100 lanzamientos, se trata, por tanto, de que salgan 49, 50 o 51 caras. Si se repite este experimento un gran número de veces, se obtendrá que la proporción de caras se sitúa en ese intervalo estrecho alrededor del 24% de las veces. Vamos a aumentar el tamaño del experimento hasta lanzamientos. Se trata ahora de que salgan entre 490 y 510 caras, lo cual sucede en un 50% de los casos, Con lanzamientos, el intervalo aceptable se sitúa entre y 5.100, y el éxito nos acompaña en más del 95% de los casos. Con un millón de lanzamientos, la familia Romanov recuperará su poder absoluto en Rusia antes de que la proporción de caras caiga fuera del intervalo entre el 49% y el 51%. El mismo principio es válido cuando se endurecen las condiciones. Tal vez sea excesivo pedir que la proporción de caras se sitúe entre el 49,9% y el 50,1% cuando se hacen lanzamientos (los únicos resultados posibles son 499, 500 o 501 caras), pero nos quedaríamos muy sorprendidos si no tuviésemos éxito al hacer 10 millones de lanzamientos. La proporción de caras puede llegar a ser tan próxima a 1/2 como se quiera. Lo que no cabe esperar es que el número de caras sea exactamente igual al de cruces, o que el número de caras se encuentre siempre dentro de un intervalo definido por un número fijo, por ejemplo 20, alrededor de su media, cuando se lanza al aire una moneda millones de veces. De hecho, se cumplo lo contrario: si se lanza al aire una moneda un gran número de veces, la diferencia absoluta entre los números de caras y cruces tenderá a superar cualquier número que se pueda pensar. Lo que se estabiliza es la proporción de caras. Lo mismo ocurre con probabilidades distintas de 1/2. Al extraer una carta de la baraja bien mezclada, la probabilidad de sacar una pica es un cuarto, es decir, el 25%. Si se repite el experimento un gran número de veces, con qué frecuencia saldrá una pica entre el 24% y el 26% de las veces? Como ocurre con las monedas, la respuesta depende del número de veces que se seleccione una carta. Si sólo se realiza diez veces el experimento, nunca tendrá una pica entre el 24% y el 26% de las veces ( tendrían que salir entre 2,4 y 2,6 picas!). Con 100 extracciones, una vez de cada cuatro se sacarán 24, 25 o 26 picas. Con un millón de experimentos, el intervalo es 10

11 tan grande (de a ) que la probabilidad de quedar fuera de él es comparable con la de que un poni de las Shetland gane la carrera del Grand National. En resumen, supongamos que un experimento se puede repetir independientemente tantas veces como se quiera, y en condiciones idénticas, y que la probabilidad de un determinado suceso sea x. Repitamos el experimento, anotando cada vez la proporción de casos en que se produce dicho suceso. Dicha proporción puede oscilar ampliamente al principio, pero lo que interesa es su comportamiento a largo plazo. Consideremos un intervalo fijo, tan pequeño como se quiera, en el que se encuentre la probabilidad x, y observemos si la proporción en cada caso cae dentro o fuera del intervalo. Sea cual sea el comportamiento inicial, llegará un momento en que la proporción no sólo caerá dentro del intervalo, sino que permanecerá en él a partir de entonces. Si existe una ley de las medias, acabo de describirla. Se refiere a algo que sucederá en el futuro lejano y que no puede inferirse de los sucesos a corto plazo. Algunas veces se utiliza la expresión por la ley de las medias, normalmente con muy poca precisión, para indicar que si los números de caras y cruces terminarán siendo iguales a largo plazo, podrían empezar a serlo en el siguiente lanzamiento. Falso. Esta ley no dice nada sobre el siguiente lanzamiento, ni siquiera sobre los cien lanzamientos siguientes. Las frecuencias de caras y cruces se acercarán a sus medias, pero sólo a su debido tiempo. Si se puede repetir un experimento de este tipo tantas veces como se desee, conocer el comportamiento a largo plazo nos ayudará a evaluar las probabilidades. Basta con hacer un seguimiento de la proporción de casos en que se produce un suceso en tantas repeticiones como sea posible. Dicha proporción puede considerarse como una estimación de la probabilidad subyacente. En ocasiones, la estimación será excesiva o insuficiente, pero será correcta en media. Sin embargo, cuantas más repeticiones se hagan, mejor será la estimación. Algunos experimentos sólo pueden hacerse una vez. La meteoróloga puede señalar que la probabilidad de que mañana llueva es del 50%. Seguramente se ha basado en el estudio de mapas del tiempo, datos enviados por satélites y otras situaciones meteorológicas en la misma época del año, entre otros elementos. Dispone de algún modelo que le permite hacer predicciones, pero no puede verificar su afirmación de la misma manera que lo haría para comprobar su presentimiento de que una moneda saldrá cara. Mañana es un día concreto, en el que lloverá o no, nunca podrá saber si 11

12 su estimación era precisa. Lo que sí puede es llevar un registro acumulativo de sus predicciones durante varios años. Tal vez de él se desprenda que de 100 ocasiones creyó que la probabilidad de lluvia era del 50%, que en otras 80 ocasiones la probabilidad era del 25%, y así sucesivamente. Contrastar el tiempo atmosférico real con sus predicciones agrupadas de esta forma no varía finalmente de repetir el experimento un buen número de veces (siempre y cuando su capacidad de hacer previsiones mantenga su coherencia). Aun cuando no es posible analizar su pretensión sobre la probabilidad de que llueva de la misma manera como lo haríamos en el caso de experimentos repetibles, siempre es posible emitir juicios sobre la precisión global del conjunto de sus predicciones. Promedios y variabilidad. En la mayoría de las ciencias, las ideas más útiles son también las más sencillas. Así ocurre también con la probabilidad en el ámbito de la estadística. En un juego, resulta importante conocer las cantidades que se pueden ganar y la probabilidad de hacerlo, pero la cruda realidad de si el juego favorece a uno o a su oponente tiene normalmente más que ver con un promedio. En muchas situaciones en el campo de la estadística, es mucho más útil disponer de un promedio que de cualquier otra cantidad. Si sólo juega una vez, aunque sea en pocas ocasiones, la variabilidad de los resultados puede desempeñar un papel mucho más importante. Pero si el número de veces que juega es muy elevado, el promedio se impone. Cuanto más variable es el resultado, mayor es el número de veces que hay que jugar en más ocasiones para que se imponga el promedio. Comentario: de lo dicho por el autor se desprende el hecho de que precisamente la mayoría de sistemas fueron realizados según las opiniones de quienes los crearon basándose en datos estadísticos, el problema de manejar datos estadísticos con la esperanza de encontrar algo en particular puede fácilmente caer en resultados inexactos o en lo que se suele llamar la falacia del jugador, del cual veremos más adelante algunos ejemplos. Aprovecho la ocasión del autor al hablar sobre lo que es la probabilidad para indicar que los resultados que pueden dar las estadísticas, sus probabilidades o porcentajes de 12

13 acierto, se basan siempre en situaciones teóricas, teniendo siempre presente lo que suele suceder cuando se produce una enorme cantidad de jugadas, en ningún momento el cálculo de probabilidades nos dará nunca la seguridad de lo que se producirá en una sola jugada. Y esto es lo que hacen los sistemistas generalmente, creen que a través de varios sucesos analizados suponen la probabilidad de acertar la siguiente jugada, ya que según ellos debería producirse tal o cual condición. Estas condiciones suelen producirse acertadamente después de muchas, muchísimas jugadas o intentos (promedios), y nunca, en un tramo corto del juego (variabilidad), y eso es lo malo, porque cuando apostamos lo hacemos siempre sobre un tramo corto de tiempo, los sucesos de probabilidades se cumplen, pero siempre a la larga, ningún sistemista o jugador puede estar constantemente apostando durante diez mil o más jugadas. En un tramo corto de juego, puede pasar absolutamente cualquier cosa. Y en una jugada única, el cálculo de probabilidades nos indica las opciones posibles, pero en ningún caso puede predecir, cuál de esas opciones probables va a tener lugar. Las estadísticas son una aproximación, pero nunca son una certeza, y en las apuestas dependemos más de las certezas que de las aproximaciones. Certeza imposible de descubrir a priori, es la ley del azar. Ruleta La ruleta es, con gran diferencia, el pasatiempo más popular de los casinos, y supone alrededor del 60% de las apuestas totales. La ruleta estándar del Reino Unido tiene 37 números, del 0 al 36. El cero es de color verde y los demás números son rojos o negros. Cada jugador adquiere la cantidad de fichas de colores que desea. No es posible equivocarse sobre la identidad del ganador, ya que, en una misma mesa, los colores de las fichas de cada participante son distintos. En un mismo casino, en algunas mesas se admiten apuestas bajas y en otras pueden ser más elevadas. La apuesta máxima permitida suele ser 100 veces la apuesta mínima. cien veces?. Los casinos en el Reino Unido funcionan de forma muy diferente a los del resto del mundo. Todos los casinos ingleses funcionan como club privado. Son círculos muy 13

14 cerrados donde sólo pueden jugar los socios y sus invitados. Para ser socio hay que tener un mínimo de 18 años; los aspirantes, deben cursar una solicitud y firmar una declaración comprometiéndose a observar en el juego las reglas establecidas por el club, al cabo de 48 horas les es concedido el carné de socio (de 2 a 25 libras). En las posturas, cada club establece sus propios límites (con permiso de la Junta del Juego), por lo que algunos dejan un amplio margen de juego, que pueden ir desde los 50 Peniques a las 50 Libras (para los plenos), por ejemplo, en los casinos de Triangle (Bristol) o Westcliff (Essex) de 50 Peniques a 100 Libras, y en el casino Rendezvous de Londres, donde puede apostarse desde 2 Libras y hasta Libras, con lo cual, en una martingala simple, se puede progresionar hasta 14 veces la apuesta inicial, en lugar de las 9 o 10 veces como aquí en España. Las bebidas alcohólicas están prohibidas en la sala de juego y no hay espectáculo en directo. Cada casino, independientemente de su categoría, no puede tener más de dos máquinas tragaperras, la ruleta es el juego más popular, estilo americano con un solo cero (como en España), le siguen el blackjack, el baccarat (punto banco) y el craps, [información proporcionada por Joker y de la Guía del Juego de David Spanier], y después de esta información complementaria, seguimos con John Haigh: Supondremos que los 37 resultados posibles son igualmente probables: los casinos tienen mucho interés en que así sea, pues su margen de beneficios es tan pequeño que cualquier sesgo apreciable puede desviar la ventaja en favor de algún jugador que tenga conocimiento del mismo. En cualquier apuesta que no sea aquellas en que se paga tanto como se ha apostado, lo que por término medio recuperan los jugadores son 36 unidades de cada 37 apostadas. Los jugadores pueden hacer apuestas múltiples, dejar pasar su turno, modificar el volumen de sus apuestas o variar su juego de muy diversas formas, pero el promedio permanece constante. De cada 37 unidades apostadas, se pierde una: una ventaja para la casa del 2,7%. En las apuestas a rojo y negro, etc. en las que el premio es igual a la apuesta, el margen de la casa es la mitad de esa cantidad. La razón es la regla según la cual, cuando sale el cero, la mesa se queda la mitad de la apuesta, y la otra mitad se devuelve al jugador. En ese tipo de apuestas, el margen de la casa se reduce al 1,35%. Para simplificar, con la expresión apostar al rojo nos referiremos a cualquiera de 14

15 las seis apuestas en las que el premio es igual a la cantidad apostada (las chances simples). Esta regla significa que cuando un jugador apuesta dos unidades al rojo, lo normal será que pierda su apuesta o disponga de cuatro unidades. Pero en una de cada 37 veces, cuando salga el cero, se le devolverá sólo una unidad. Por tanto, hay tres resultados posibles: el jugador recibe cero, una o cuatro unidades. Pero supongamos que se modifica la regla del cero, de forma que cuando salga éste, el jugador que ha apostado al rojo tiene la posibilidad, una de cada cuatro veces, de doblar la apuesta o perderlo todo. Esto se podría lograr fácilmente lanzando al aire dos monedas para ver si salen dos caras o haciendo girar de nuevo la ruleta. La devolución media que recibe cuando sale el cero es una unidad (tiene una probabilidad de un cuarto de recibir cuatro unidades y de tres cuartos de no recibir nada), de forma que el margen del casino sigue siendo el mismo. Pero en este caso, toda apuesta de dos unidades sólo daría lugar a dos resultados posibles: cuatro unidades o nada. Teniendo en cuenta la frecuencia de aparición del cero, este cambio equivale a que si se apuesta al rojo se gane con una probabilidad de 73/148 y se pierda con una probabilidad de 75/148. Cuando analicemos este tipo de apuestas, actuaremos como si los casinos utilizasen este sistema modificado. De este modo se simplifica considerablemente el análisis, sin introducir ninguna modificación sustancial en las conclusiones. Objetivos Pablo necesita 216 libras para comprar un billete de avión que le permita asistir a la final de la Copa de Europa de fútbol. Sólo dispone de la mitad de esa cantidad, 108 libras, pero está dispuesto a quedarse sin nada. Para él, 216 libras representa el nirvana, mientras que 215 libras sirven tan poco como una tarjeta caducada. Le puede ser de alguna utilidad el casino? Ante este tipo de problemas, sólo cabe un consejo: en los juegos desfavorables, jugar con audacia es bueno, jugar con timidez, malo. Para ayudar realmente a Pablo, empecemos simplificando un poco la situación y supongamos que, cuando sale el cero, también pierden las apuestas en las que el premio es igual a la cantidad apostada. En ese caso, el margen de la casa no varía sea cual sea la apuesta realizada. 15

16 Una apuesta atrevida es jugárselo todo al rojo. En 18 de cada 37 ocasiones, el 48,6% de las veces, Pablo dispondrá inmediatamente de 216 libras y podrá ver el partido de su equipo en directo. En el caso contrario, perderá todo su dinero y tendrá que ver el partido por televisión. Existen otros enfoques audaces. Podría dividir su dinero en 18 partes iguales de seis libras y apostar sucesivamente a un único número hasta que se quede sin dinero o acierte. Las apuestas a un solo número se pagan a 35:1, con lo que basta ganar una vez. Para determinar su probabilidad de éxito calculemos primero la probabilidad de perder en todas las apuestas. Con cualquier apuesta, Pablo pierde 36 veces de cada 37; por tanto, la probabilidad de perder en todas las apuestas es (36/37) 18 = 0,61. Con esta estrategia, la probabilidad de que gane por lo menos una de las apuestas es del 39%, una cantidad inferior a la correspondiente a una única apuesta al rojo. Pablo puede utilizar las apuestas a 35:1 de una manera alternativa. Ya dispone de 108 libras y, si consigue ganar con una apuesta de cuatro libras en su primera apuesta (tres libras no bastan), habrá alcanzado su objetivo. De hecho, mientras disponga de 76 libras, una apuesta de cuatro libras puede proporcionarle el dinero que necesita; si dispone de menos, necesitará apostar cinco libras, y con menos de 41 libras, tendrá que subir la apuesta hasta seis libras. De esta forma, puede planificar hasta un total de 22 apuestas si es necesario (nueve de cuatro libras, siete de cinco y seis de seis libras); si gana con alguna de ellas, habrá logrado su objetivo, pero en el caso contrario su fortuna se habrá reducido a una libra. Su última oportunidad es apostar esa libra a 5:1 y luego las seis libras a 35:1. Su probabilidad total se eleva sólo al 45,7%. En conjunto, esta estrategia es mejor que la de intentar 18 apuestas de seis libras, pero no tan buena como apostar todo de golpe al rojo. Un último intento: colocar toda su fortuna en una apuesta a doble columna. Si gana, dispondrá de 162 libras, de las que podrá apostar 54 al rojo; si gana entonces, objetivo logrado; si pierde, vuelve a encontrarse con 108 libras y puede volver a empezar de nuevo. Esta estrategia sólo permite ganar el 47,3% de las veces. Todas estas alternativas tienen probabilidades inferiores a la inicial, consistente en una única apuesta cuyo premio sea igual a la cantidad apostada. En realidad, esa apuesta es más favorable de lo que hemos dicho, debido a la regla del cero en las apuestas al rojo. Teniendo todo en cuenta, Pablo tiene una probabilidad del 49,3% de ver el partido en vivo. Su paso por el casino será muy breve, pero tampoco tiene interés 16

17 alguno en ver cómo fluctúa su fortuna; su planteamiento sólo está pendiente en salir volando a presenciar la final. Hemos elegido unos números que facilitasen los cálculos, pero un juego audaz implica que se hacen pocas apuestas, las menos posibles. Fijémonos en el caso en que Pablo disponga de 24 libras, en lugar de 108, pero siga deseando tener 216 libras. Su esperanza es pequeña, pero tiene alguna posibilidad. Una apuesta audaz consiste en jugárselo todo a un cuadrado; ganará si sale cualquiera de los cuatro números. Su probabilidad es de 4/37, aproximadamente un 11%. Una alternativa consiste en dividir el dinero en dos partes iguales y hacer dos apuestas a caballo a 17:1 en tiradas sucesivas. En esta ocasión, tendrá éxito el 10,5% de las veces. Ninguna otra apuesta que no sea al rojo supera la apuesta al cuadrado. Si Pablo dispone de 24 libras en un principio, una forma audaz de utilizar la apuesta al rojo es apostarlo todo, cuando ya ha acumulado 108 libras, con la esperanza de doblar la cantidad, o utilizar lo justo para conseguirla cuando ha acumulado más de 108 libras. Como el margen de la casa es menor en las apuestas al rojo, los resultados de la comparación con la apuesta al cuadrado son algo ambiguos. Con un capital inicial de 24 libras, Pablo tiene que hacer tantas apuestas que irá perdiendo esa ventaja y la apuesta al cuadrado seguirá siendo mejor. Si tuviese 54 libras, estaría más cerca de su objetivo y no existiría prácticamente diferencia entre hacer dos apuestas al rojo en dos partidas sucesivas y cubrir nueve veces seguidas un único número con seis libras en cada ocasión. En ambos casos, la probabilidad de cuadruplicar su dinero es algo superior al 24%. Estará ganando cuando deje de jugar? El hermano de Pablo, Miguel, también dispone de 108 libras, pero quiere ver el partido por televisión. Si le llega el dinero hasta entonces, se marchará del casino a las seis. El objetivo de su visita es la pura diversión. Cuál es la probabilidad de que vaya ganando cuando acabe su visita?. La respuesta depende el número y la naturaleza de las apuestas que haga. Supongamos que Miguel se limita a un tipo de apuesta, de una libra cada vez. A modo de comparación, no utilizará las apuestas al rojo, que son marginalmente más favorables, sino que apostará por cualquier conjunto de m números, siendo m = 1, 2, 3, 4, 6, 12 o 24 (pleno, caballo, línea, cuadro, seisena, etc). Sea cual sea su decisión, 17

18 la pérdida media resultante es de 1/37 libras en cada tirada y, si tuviera tiempo de hacer 370 apuesta, su pérdida media sería de 10 libras. Si sus apuestas son siempre a un solo número, la variabilidad con respecto a este promedio será mayor que si se decanta por cualquier otra apuesta. La variabilidad será menor si apuesta a la doble columna de 24 números. Cuanto mayor sea la variabilidad de los resultados, mayor será la probabilidad de que el resultado real se aleje de la media, ya sea por exceso o por defecto. Como, por término medio, pierde en cada jugada, para conseguir ganar al final de su visita es necesario que la variabilidad sea grande. Debería hacer apuestas a 35:1 a un solo número. Esta decisión también hace aumentar la probabilidad de que sus pérdidas sean muy superiores a la media, pero aquí el planteamiento es otro. El objetivo de Miguel es aumentar la probabilidad de ir ganando cuando el reloj marque las seis. Vamos a seguir paso a paso las apuestas de Miguel y a calcular las probabilidades de que vaya ganando a medida que avanza la sesión. Es muy probable que empiece con una serie de pérdidas, pero cuando gane, su fortuna aumentará en 35 libras. Así pues, de golpe estará ganando, siempre que haya tenido suerte en cualquiera de las 35 primeras tiradas, solo irá perdiendo si en todas ellas ha perdido. Desde una probabilidad de 1/37 después de la primera tirada, su probabilidad de ir ganando aumenta continuamente hasta la 35ª tirada. La probabilidad de que pierda en las 35 primeras tiradas es (36/37) 35 = 0,3833, es decir, Miguel tiene una probabilidad del 62% de ir ganando después de la 35ª tirada. Pero para ir ganando después de 37 tiradas, tendrá que haber ganado por lo menos dos veces en ese período. En 37 tiradas, la probabilidad de no haber ganado nada es (36/37) 37, y la probabilidad de ganar exactamente una vez es (36/37) 36. Por tanto, la probabilidad de haber ganado por lo menos dos veces después de la 37ª tirada es 1- (36/37) 37 -(36/37) 36, lo cual equivale a una disminución considerable, hasta el 27%. Pero a parte de ese momento, hasta la 71ª tirada, irá ganando si ha ganado por lo menos dos partidas en total, y su probabilidad irá en aumento. Tras exactamente 71 tiradas, su probabilidad se ha situado alrededor del 58%. Como es evidente, necesita haber ganado por lo menos tres veces para ir ganando después de 73 tiradas. En ese momento, su probabilidad de ir ganando ha vuelto a disminuir, hasta menos del 32%. Desde entonces hasta la 107ª tirada, basta con haber 18

19 ganado tres veces; la probabilidad aumenta, pero vuelve a disminuir en la 109ª tirada. (He tenido mucho cuidado en no mencionar las tiradas números 36, 72, 108, etc, pues en esos casos es posible que Miguel se encuentre exactamente en la misma situación que el comienzo; entonces la discusión puede centrarse en si ir ganando incluye o no estar a la par. Para evitar esa cuestión semántica, nos limitaremos a números de tiradas que no son múltiplos de 36). La situación es clara. La probabilidad que tiene Miguel de ir ganando en distintos momentos de la sesión responde a una gráfica en dientes de sierra. Tras un continuo aumento, se produce una caída abrupta hacia las 36 tiradas. Vuelve a aumentar de nuevo, pero no exactamente hasta el mismo nivel, con otra caída alrededor de las 72 tiradas, seguida de un aumento análogo durante otras 35 tiradas, con una nueva caída a ambos lados de la 108ª tirada, y así sucesivamente. Si se construyese una sierra según ese modelo, resultaría muy poco eficaz, pues cada máximo sucesivo, justo antes de la caída abrupta, es algo menor que el anterior. Cuando dan las seis, la probabilidad de que Miguel vaya ganando depende en gran medida del lugar en el ciclo de 36 tiradas en que el destino le haya colocado. Si el número total de tiradas es algo menor que un múltiplo de 36, la probabilidad de que vaya ganando cuando termine la sesión es bastante elevada, pero si ese número es algo mayor que un múltiplo de 36, la probabilidad será bastante pequeña. A un ritmo de 90 tiradas por hora ( toma castaña, menudo crupier!), Miguel puede haber hecho unas 180 apuestas en dos horas. Para ir ganando después de 179 tiradas, basta haber ganado cinco veces, por lo menos, siendo la probabilidad de ese suceso del 53%. Pero para ir ganando después de 181 tiradas, se necesita haber ganado por lo menos seis veces, siendo la probabilidad correspondiente de sólo el 37%. Si su único objetivo fuese tener la probabilidad más alta de terminar la sesión con ganancias después de una serie de apuestas a un solo número, Miguel debería olvidarse del reloj y prever una sesión de 35 tiradas como máximo (basta con ganar una partida), con una probabilidad del 62%. Sin embargo, es muy posible que quiera quedarse más tiempo, tal vez para poder completar 180 tiradas. En este caso, para que su probabilidad sea máxima, debería pensar en 179 apuestas. En realidad, estos cálculos contienen una pequeña inconsistencia, ya que inicialmente dijimos que el capital con que contaba Miguel era de 108 libras. Supusimos que era 19

20 capaz de hacer 180 apuestas, pero puede darse la situación de que sus pérdidas iniciales sean tan cuantiosas que agote su capital antes del instante en que ha decidido poner fin a la sesión. La limitación de su capital reduce las probabilidades citadas en unos 0,5 puntos porcentuales. Pero se mantiene la diferencia entre finalizar la sesión después de 179 o de 181 tiradas, y si Miguel dispone de 181 libras, todo encaja. Por otra parte, si Miguel sólo tuviese 54 libras al inicio de la sesión, tendría una probabilidad de casi un cuarto de perderlo todo antes de ganar algo... y los casinos (todavía) no prestan dinero. En lugar de apostar a un solo número, Miguel podría tentar la suerte y apostar a bloques de 2, 3, 4, 6 o 12 números. Vuelve a producirse una gráfica de dientes de sierra, pero en este caso las caídas se producen alrededor de los múltiplos de 18, 12, 9, 6 o 3 tiradas, y no alrededor de los múltiplos de 36. Los resultados son menos contrastados y las caídas menos pronunciadas. Supongamos que se concentra apostando 11:1 a una transversal, una fila de tres números. Después de 179 o 181 tiradas, las probabilidades de ir ganando son del 49% y del 40%, respectivamente. Si apuesta a 2:1 a una columna de 12 números, las cifras serían del 40,5% y del 38,5%. Podría Miguel utilizar las apuestas al rojo, al tener un margen de la casa menor, para incrementar la probabilidad de terminar la sesión siendo aún más rico? No, excepto si está dispuesto a apostar en miles de tiradas. En una única sesión, en la que como mucho podrá hacer varios centenares de apuestas, es más probable que vaya ganando si se limita a apostar a 35:1. Después de 179 apuestas, irá ganando el 53% de las veces; con cualquier número de apuestas al rojo, su probabilidad de ir ganando nunca superará el 50%. Si sólo apuesta al rojo, su probabilidad después de 35 tiradas es del 47%, y después de 179 apuestas del 44%. Por término medio, Miguel mejorará apostando al rojo, pero los resultados no son lo suficientemente variables como para proporcionarle una buena posibilidad de terminar la sesión siendo más rico. Ilusiones Si los casinos admitiesen apuestas ilimitadas y prestasen dinero, existiría una forma segura de obtener algún tipo de beneficio. Todo lo que uno tiene que hacer es apostar repetidas veces al rojo y doblar la apuesta cada vez. Cuando salga rojo y gane, vuelva a empezar. Puede repetir la secuencia varias veces. Independientemente de las pérdidas al comienzo, la cantidad que recibirá la primera vez que gane siempre será una unidad mayor que la que tenía al comienzo. 20

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