Capítulo 1. Introducción Introducción

Transcripción

1 Capítulo 1 Introducción 1.1. Introducción La dinámica es la parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos teniendo en cuenta las causas que lo provocan. Esta rama del conocimiento científico enuncia las leyes físicas que rigen el movimiento e interacción de los cuerpos permitiendo predecir el estado de cualquier sistema mecánico, lo que resulta de vital importancia en numerosas aplicaciones ingenieriles; tales como el diseño de vehículos terrestres, aéreos y espaciales, maquinaria, robots, etc. Ello explica el enorme esfuerzo que históricamente se ha dedicado al estudio de estas leyes y su aplicación a problemas de interés práctico. En la mayoría de los problemas dinámicos resulta imposible resolver de forma analítica las ecuaciones que gobiernan el movimiento. Afortunadamente, los ordenadores y su gran potencia de cálculo permiten obtener soluciones numéricas con un grado de aproximación suficiente. En el caso particular de la dinámica de sólidos deformables, las leyes de la dinámica, inicialmente enunciadas por Isaac Newton y Leonard Euler para el sólido rígido, se amplían considerando el efecto de la deformación de los cuerpos, adoptando normalmente un método discreto de aproximación de las deformaciones de los sólidos como por ejemplo el Método de los Elementos Finitos (MEF). Existen diversas formulaciones que abordan la dinámica de los sólidos deformables, entre ellas se pueden citar la formulación en coordenadas absolutas, la formulación "floating frame" o la formulación corrotacional. La primera formulación es útil cuando la estructura que se quiere analizar es muy flexible y sufre grandes deformaciones. En esta formulación se emplea un solo 1

2 2 Capítulo 1. Introducción sistema de referencia, el sistema de referencia inercial, en el se expresa el desplazamiento total de los puntos que conforman la estructura. Si se emplea un método discreto, como el MEF, para el cálculo de la deformación, las funciones de forma empleadas deben ser capaces de describir con exactitud un movimiento de sólido rígido, cosa que no ocurre con los elementos estructurales no isoparamétricos del MEF, como el elemento tipo barra o el elemento placa. El motivo de lo anterior, véase [?], es que en el desarrollo de estos elementos se utilizan hipótesis que conducen a una linealización de las ecuaciones del movimiento de sólido rígido. La formulación floating frame se emplea cuando se estudian sistemas dinámicos formados por sólidos rígidos o por sólidos deformables con pequeñas deformaciones. Las traslaciones y grandes rotaciones son descritas utilizando un sistema de referencia inercial, mientras que la posición del punto y, en su caso, el desplazamiento deformacional se expresan en un sistema de referencia local. Este último sistema de referencia se mueve solidariamente con la estructura. Si utilizamos, con la formulación floating frame, el MEF para describir las deformaciones es necesario introducir un sistema de referencia adicional, el sistema de referencia intermedio. Se precisa este sistema de referencia describir de forma exacta los movimientos de sólido rígido si utilizamos el MEF. Con este método utilizamos funciones de forma con las que parametrizamos el campo de desplazamientos deformacionales, pero este desplazamiento puede ser cualquiera. Existe, por tanto, la posibilidad de que el cuerpo sufra un movimiento de sólido rígido respecto del sistema de referencia local, este pequeño desplazamiento de sólido rígido se expresa en el sistema de referencia intermedio. De esta forma, puede emplearse la formulación floating frame junto con los elementos finitos estructurales clásicos [?]. Una alternativa a la formulación anterior para el análisis dinámico de estructuras deformables es la formulación corrotacional. Ésta se caracteriza por el empleo de tres configuraciones distintas: la configuración inicial, que puede corresponder a la situación indeformada y que sirve como origen de los desplazamientos, la configuración corrotada, que se obtiene al aplicar movimientos de sólido rígido a la configuración inicial, y la configuración final o deformada, que supone una deformación pura de la estructura respecto de la configuración corrotada. Los movimientos de sólido rígido que caracterizan la configuración corrotada son expresados en el sistema de referencia inercial, mientras que la deformación que nos conduce a la configuración final son descritas con un sistema de referencia local. Un ingrediente indispensable en la formulación corrotacional, es la descomposición del desplazamiento total en suma de un movimiento de sólido rígido y un desplazamiento deforma-

3 1.1. Introducción 3 cional, lo que nos permite hacer uso del MEF para aproximar la deformación. Como aspecto en su contra, esta formulación parte de una simplificación importante de carácter cinemático: tanto los desplazamientos como las rotaciones podrán ser grandes, pero las deformaciones han de ser pequeñas [?]. Al igual que ocurre con la formulación floating frame, si empleamos el MEF para el cálculo de la deformación debemos tener en cuenta los posibles desplazamientos de sólido rígido que éste contempla. Para ello extraemos la parte deformacional de los desplazamientos por eliminación de la componente de desplazamiento de sólido rígido. Es frecuente encontrar sistemas mecánicos cuyo movimiento está restringido de algún modo. La restricción o restricciones pueden deberse a varias causas: una acción externa o la interacción con otros cuerpos. Estas restricciones suelen representarse por ecuaciones algebraicas y deben introducirse en el sistema de ecuaciones. Para plantear la ecuaciones del movimiento es frecuente emplear un principio variacional, estos principios nos conducen a un sistema de ecuaciones producto de la minimización de una cierta función auxiliar apropiada. Se presenta a continuación una breve descripción de varios métodos para introducir las restricciones. Estos métodos son: multiplicadores de Lagrange, penalización, lagrangiano aumentado y multiplicadores de Lagrange localizados. Desde el enfoque de un principio variacional, el método de los multiplicadores de Lagrange permite expresar las fuerzas de restricción en función de unas variables adicionales llamadas multiplicadores de Lagrange. El punto de partida consiste en multiplicar las restricciones por los multiplicadores, que tienen la función de coeficientes de valor arbitrario y cuya finalidad es la de obligar a que se cumplan las restricciones. La variación del producto de las restricciones por los multiplicadores da resultado nulo y puede sumarse a la ecuación de equilibrio dinámico sin que ésta quede alterada [?]. El método de penalización consiste en introducir un potencial, correspondiente a las fuerzas de restricción. Este potencial incluye un parámetro de penalización por cada restricción, parámetros que pueden ser diferentes entre sí. La función del parámetro de penalización es la de obligar a que se cumpla la ecuación de restricción, para ello el valor de cada parámetro debe ajustarse de forma que el error en la ligadura sea lo menor posible. Esto último se consigue empleando valores de los parámetros de penalización lo suficientemente grandes [?]. El punto de partida del método lagrangiano aumentado es la expresión que se obtiene de introducir el término del potencial de penalización en el principio variacional. A esta expre-

4 4 Capítulo 1. Introducción sión se añade un nuevo término correspondiente a multiplicadores de Lagrange. Éste puede interpretarse como una corrección a la aproximación realizada con el método de penalización. El último método de construcción de las restricciones que vamos a comentar es el método de los multiplicadores de Lagrange localizados, éste consiste en una variación del método de los multiplicadores de Lagrange. En este método se introduce un elemento intermedio entre los puntos que están ligados mediante una restricción y los multiplicadores obligan a que todos los puntos implicados en la restricción tengan el mismo desplazamiento que el elemento intermedio. De esta forma eliminamos la redundancia en la introducción de las restricciones que puede aparecer con el método de los multiplicadores de Lagrange, a costa de ampliar el conjunto de restricciones en más del doble. El objetivo de este trabajo es dar los primeros pasos en el desarrollo de una formulación aplicable al análisis dinámico de sistemas deformables con grandes rotaciones. Para ello hemos empleado una formulación muy cercana a la formulación corrotacional. Basándonos en esta formulación desarrollaremos el planteamiento cinemático, que nos proporcionará las expresiones de la posición, velocidad y aceleración de las partículas que componen un cuerpo, tanto para el caso de sólido rígido como para el de sólido deformable. Para conseguir una descripción exacta de los movimientos de sólido rígido necesitaremos filtrar los desplazamientos obtenidos con el MEF, como ya se comento en párrafos anteriores. Haremos esto incorporando a la formulación ideas desarrolladas inicialmente para el análisis estructural, aplicando un proyector a los desplazamientos totales obtenidos con el MEF y cuya propiedad es la de eliminar la componente de sólido rígido de cualquier campo de desplazamientos sobre el que se aplique. Finalizaremos el planteamiento de las ecuaciones del movimiento incluyendo las restricciones a dicho movimiento, que serán introducidas en el sistema aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange localizados. Las principales aportaciones de este trabajo son, por un lado, la incorporación en el planteamiento dinámico del operador de proyección, que elimina la componente de sólido rígido de los movimientos obtenidos con el MEF. De esta forma conseguimos la componente puramente deformacional de éstos y podemos incorporar al análisis los elementos finitos estructurales. La siguiente aportación es la inclusión de las restricciones al movimiento empleando el método de los multiplicadores de Lagrange localizados. Con este método conseguimos un sistema de ecuaciones único y sin redundancia. Los multiplicadores tienen un significado físico, se corresponden con las fuerzas de reacción vincular, además de incorporar directamente al sistema

5 1.2. Contenido del trabajo 5 de ecuaciones la tercera ley de Newton, el principio de acción y reacción, lo que garantiza el equilibrio de los multiplicadores Contenido del trabajo Con la idea de seguir el orden natural en el proceso de desarrollo de la formulación, el presente documento se ha ordenado como sigue: El siguiente capítulo de este trabajo se dedica al problema cinemático. La cinemática es un ingrediente fundamental del análisis dinámico, pues gracias a ella podemos conocer las expresiones de la posición, velocidad y aceleración del punto material. El planteamiento del problema cinemático se realizará en forma matricial empleando los Parámetros de Euler. En base a ellos, se obtendrá la matriz de giro [?,?,?] y se deducirá la relación de la matriz de giro con la velocidad angular. A partir de esta deducción, obtendremos la ecuación diferencial de primer orden que gobierna la orientación de un sólido rígido, respecto de un sistema de referencia inercial, en función de la velocidad angular [?]. Posteriormente se definirá el vector posición de un punto material para, mediante derivación temporal, obtener finalmente las expresiones de la velocidad y la aceleración del punto, tanto para el caso de sólido rígido como de cuerpo deformable. En el Capítulo 3 se plantean las ecuaciones diferenciales y algebraicas que gobiernan el movimiento de los cuerpos deformables con grandes rotaciones y pequeñas deformaciones. Para ello, se parte del Principio de los Trabajos Virtuales (PTV) utilizando una aproximación de elementos finitos no isoparamétricos para representar la deformación que sufre el sólido respecto de un sistema de referencia que se mueve solidariamente con el cuerpo. Con la intención de utilizar los elementos finitos estructurales clásicos (desarrollados bajo la hipótesis de pequeños desplazamientos) en este tipo de problemas, se introducen proyectores capaces de eliminar la componente de sólido rígido de los desplazamientos nodales totales, manteniendo únicamente la componente puramente deformacional. Se incluyen las restricciones al movimiento utilizando los multiplicadores de Lagrange localizados sobre la estructura ya discretizada. Para finalizar el capítulo aplicando, sobre el sistema de ecuaciones, la simplificación que supone el uso de elementos isoparámetricos. El Capítulo 4 se dedica a la integración temporal de las ecuaciones del movimiento. Veremos cómo se tratan e incluyen en la formulación las restricciones del movimiento. Existen varias formas, una de ellas es la de incluir directamente dichas restricciones y utilizar un mé-

6 6 Capítulo 1. Introducción todo de integración temporal específico para sistemas algebraico-diferenciales. Otro método consiste en transformar el sistema en uno puramente diferencial derivando dos veces el vector de ecuaciones de restricción. Emplearemos la segunda opción, que conduce a un sistema matricial simétrico. Finalizaremos el capítulo mostrando el diagrama de flujo que representa el método de integración que emplearemos. El Capítulo 5 comprueba la validez de la formulación propuesta. Para ello, se eligen dos problemas de prueba, comparando la solución obtenida con la de otros autores y se cuantifican los errores asociados al incumplimiento de las restricciones al movimiento, demostrando que estos errores no son achacables a la formulación propuesta del problema dinámico [?,?]. En el Capítulo 6 se exponen las conclusiones que se obtienen de este trabajo. Se comentan de nuevo los puntos fuertes de la formulación propuesta así como sus debilidades, proponiendo como posibles desarrollos futuros distintas alternativas para su mejora.