Funciones de Varias Variables

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Veronica Sandoval Camacho
hace 5 años
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1 Funciones de Varias Variables Índice de Quetelet o Índice de Masa Corporal El sobrepeso y la obesidad se definen como una acumulación anormal o excesiva de grasa que puede ser perjudicial para la salud. El índice de masa corporal (IMC)-peso en kilogramos dividido por el cuadrado de la talla (estatura) en metros (kg/m)- es un índice utilizado frecuentemente para clasificar el sobrepeso y la obesidad en adultos. La OMS (organización mundial de la salud) define el sobrepeso como un IMC igual o superior a 5, y la obesidad como un IMC igual o superior a. Tomado de Clasificación del IMC Insuficiencia <.5 Intervalo normal.5-.5 Sobrepeso 5 Preobesidad Obesidad Este índice es un ejemplo de una función de varias variables que estudiaremos en el presente curso. Una función de varias variables (campo escalar) es una regla que asigna a cada vector en un subconjunto de R n un único número real. Para el ejemplo del IMC: el espacio es R (por lo que se trata de una función de dos variables), las variables (independientes) son estatura y peso, la regla es P y el IMC corresponde a la variable dependiente. Para hallar el IMC, se debe especificar tanto el peso de la E persona como la talla, el conjunto de todas las posibles combinaciones (parejas, vectores) de peso y talla (que son las variables independientes), en las cuales se podría calcular el IMC se conocen como el dominio de la función y los valores que puedan obtenerse del IMC (variable dependiente) se conocen como el rango de la función. El dominio(considerado de forma general) sería Domf = {(E, P ) R : E >, P > }. Este corresponde al primer cuadrante en el plano cuya gráfica se presenta a continuación.

2 Gráfica de una función de dos variables La gráfica de una función es útil para conocer el comportamiento de la misma. La gráfica de una función de dos variables se realiza en el espacio R y la superficie que se genera es el conjunto de todos los puntos del dominio junto con su correspondiente valor asignado del rango. Este material ha sido recopilado, diseñado y o

3 Curvas de nivel Otra forma de visualizar el comportamiento de una función de dos variables es por medio de las curvas de nivel. Una curva de nivel graficada en R, reúne en una curva, todas las parejas que generan un mismo valor (constante y predeterminado) para la función. Para el ejemplo del IMC es muy probable que varias personas tengan el mismo valor del IMC aunque difieran en sus Este material ha sido recopilado, diseñado y o

4 pesos y tallas. Los valores (peso y estatura) de esas personas aparecerían en la misma curva de nivel. Las curvas de nivel del índice de masa corporal se muestran en la siguiente gráfica. Este material ha sido recopilado, diseñado y o

5 5 Este material ha sido recopilado, diseñado y o

6 Ahora se trabajará la función f(x, y) = 6 x y El dominio de esta función es Dom = {(x, y) R : x + y 6}. La gráfica de este dominio es 6 Este material ha sido recopilado, diseñado y o

7 La zona sombreada representa todos las parejas en las cuales sí se puede reemplazar la función, como por ejemplo el punto A. Sin embargo en aquellas parejas que no pertenezan a esta zona si se reemplaza se genera una raíz negativa, como es el caso del punto B. Por lo tanto al dibujar curvas de nivel, éstas sólo pueden estar dentro de este círculo. Si se grafica la curva de nivel,79, esta debe pasar por el punto A. 7 Este material ha sido recopilado, diseñado y o

8 La curva de nivel sólo consta de la pareja (, ). La curva de nivel corresponde al borde del dominio, x + y = 6. Este material ha sido recopilado, diseñado y o

9 Ejercicios. La cafetería de la universidad vende el tinto a $, el café corriente a $, el café gourmet a $ y el capuchino a $. Escribir la función de ingreso que obtiene la cafetería por la venta de estos productos.. Para una caja rectangular sin tapa, construir la base cuesta $ por centímetro cuadrado y construir los lados cuesta $5 por centímetro cuadrado. Expresar el costo de construcción de la caja en función de las medidas de los lados.. En la remodelación de la sala de una casa se va a cambiar el piso de cerámica a porcelanato. Si el costo del metro cuadrado de porcelanato está en $5 y el piso tiene forma rectangular, exprese el costo de remodelación en terminos del largo y el ancho de la sala. Si las dimensiones son 5,5 metros por, metros, calcule el costo (mínimo) del piso.. Modelo de filas. La cantidad de tiempo promedio que un cliente espera en una fila para recibir un servicio es W (x, y) = x y con x > y, donde y es el ritmo o tasa media de llegadas, expresada como número de clientes por unidad de tiempo, y x es el ritmo o tasa media de servicio, expresada en las mismas unidades. A. Qué sentido le da a la condición x > y? B. Determinar el dominio y graficarlo. C. Dibujar algunas curvas de nivel. D. Graficar la función. 5. La temperatura (en grados Celsius) en cualquier punto (x, y) de una placa circular de acero de 7 metros de radio es T (x, y) = 6,75x,75y, donde x y y se miden en metros. Dibujar algunas de las curvas isotermas. Cuál es la zona más caliente de la placa? Y la más fría? 6. El coeficiente de inteligencia de una persona se mide con la función I(m, e) = m e y m es su edad mental. donde e es la edad real de la persona A. Trazar la gráfica de varias curvas de nivel. B. Qué describen estas curvas? C. Trazar la gráfica de la función. 9 Este material ha sido recopilado, diseñado y o

10 7. Algunos médicos usan la fórmula empírica A(P, E) =,7P,5 E,75 que relaciona el área de la superficie corporal de una persona A medida en m, con su peso P en kg con la estatura E en cm. A. Encontrar la curva de nivel que pasa por (7, 6). B. Si una persona pesa.7 kg y tiene un área superficial de.6 m, qué estatura se espera que tenga?. Para las siguientes funciones hallar su dominio, graficarlo y graficar la función: A. f(x, y) = x+y 5x y B. f(x, y) = x + y 6 C. f(x, y) = xy D. f(x, y) = x x +y + E. f(x, y) = ln(x + y ) F. f(x, y) = x+y ln(x y+) G. f(x, y) = x y + y 9. Un empresa de telefonía celular ofrece un plan a sus usuarios por un valor de $5 que incluye minutos y mensajes de texto, a todo destino. El minuto adicional a cualquier destino tiene un valor de $5 y el mensaje de texto adicional a cualquier destino $5. Si un usuario toma este plan, determinar la función de costo del plan. Graficar la curva de nivel para los valores c =, 5, 5, 6.. Verdadero o Falso. Justifique su respuesta. A. Dada la función f(x, y) = x + y las parejas (, ) y (, ) están sobre la misma curva de nivel. B. La pareja (7, ) hace parte del dominio de la función f(x, y) = ln(x y + ). C. Dada la función f(x, y) = x + y no es posible graficar curva de nivel que pase por (6, ). Este material ha sido recopilado, diseñado y o

11 D. Dos curvas de nivel no se pueden cortar. E. Una curva de nivel puede constar de una sola pareja. F. Las funciones f(x, y) = x + y y g(x, y) = x + y son iguales.. A continuación se presenta las curvas de nivel de una función f. Estimelos valores de f(, ), f(, ) y f(, ) donde sea posible. A. 5 Curvas de Nivel y x Este material ha sido recopilado, diseñado y o

12 B. 5 Curvas de Nivel y x Este material ha sido recopilado, diseñado y o

13 C Curvas de Nivel y x Este material ha sido recopilado, diseñado y o

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