UNIVERSIDAD POLITÉCNICA. TEMA: Cinemática Diferencial. E.T.S.I. y Diseño Industrial. Titulación: Grado en Ingeniería Electrónica y Automática

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1 10/05/2017 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID TEMA: Cinemática Diferencial Profesor: Miguel Hernando Gutiérrez & Cecilia García Cena E.T.S.I. y Diseño Industrial Titulación: Grado en Ingeniería Electrónica y Automática Área: Ingeniería de Sistemas y Automática Departamento de Electrónica Automática e Informática Industrial Escuela Técnica Superior de Ingeniería y Diseño Industrial Robótica Tema 6. Modelo Cinemático Diferencial 1 Resumen En este tema se desarrolla el modelo cinemático diferencial del robot que permite, entre otras cosas, encontrar la relación entre las velocidades articulares y la velocidad (lineal y angular) del extremo operativo del robot. Esta transformación se logra a través de la denominada Matriz Jacobiana del robot. Esta matriz permite además obtener conclusiones aspectos i importantes t t del d l robot b t y de d su funcionamiento. f i i t 2 1

2 Objetivos 1. Conocer los métodos matemáticos para la obtención del modelo cinemático diferencial. 2. Interpretar y saber hacer uso de la información obtenida por medio del modelo cinemático. 3. Conocer las técnicas que permiten extraer conclusiones sobre el funcionamiento del robot tanto en cuanto a su comportamiento cinemático como dinámico. 4. Obtener conclusiones relativas a la manipulabilidad del sistema. 3 Contenido 6.1 Introducción 6.2 Definiciones y conceptos matemáticos La Matriz Jacobiana 6.5 La Jacobiana y las fuerzas estáticas 6.6 El modelo cinemático diferencial inverso 6.7 La Jacobiana como herramienta de análisis Bibliografía [1] Modelling and Control of Robot Manipulator. Lorenzo Sciavicco, Bruno Siciliano. ISBN: [2] Introduction to Robotics. Mechanics and Control. Jhon Craig. Addison Wesley. ISBN [3] Apuntes de Robótica. Capítulo 6. Miguel Hernando

3 o La relación entre las velocidades articulares y las velocidades del extremo operativo, esto es: 6.1 Introducción En robótica es de interés encontrar la relación a entre las coordenadas articulares y la posición espacial del extremo operativo (modelo cinemático directo) y además: v q& i ω o La relación entre las fuerzas aplicadas por el extremo operativo del robot en el entorno con los pares o fuerzas articulares, es decir: f τ i n Estas dos relaciones están basadas en un operador lineal matricial denominado Jacobiano del Robot Introducción Modelo cinemático directo: Modelo cinemático inverso: 6 3

4 6.1 Introducción La Matriz Jacobiana es elemento central del modelo cinemático diferencial, y se utiliza con varios objetivos: 1. Define la relación entre las velocidades articulares y las velocidades alcanzables en el espacio de trabajo del robot. 2. Define la relación entre los pares y fuerzas estáticas que aparecen en las articulaciones como consecuencia de los pares y fuerzas ejercidos sobre el extremo del robot. 3. Determina o permite estudiar las singularidades mecánicas del robot 4. Nos permite la resolución de la cinemática inversa por medio de métodos numéricos 5. Permite analizar el grado de manipulabilidad del robot en su espacio de trabajo 6. Nos permite controlar el movimiento del robot en el espacio de la tarea aún en ausencia de una cinemática inversa algebraica explícita. Previo al cálculo numérico de la matriz Jacobiana, debemos definir varios conceptos. 7 Contenido 6.1 Introducción 6.2 Definiciones y conceptos matemáticos La Matriz Jacobiana 6.5 La Jacobiana y las fuerzas estáticas 6.6 El modelo cinemático diferencial inverso 6.7 La Jacobiana como herramienta de análisis Bibliografía [1] Modelling and Control of Robot Manipulator. Lorenzo Sciavicco, Bruno Siciliano. ISBN: [2] Introduction to Robotics. Mechanics and Control. Jhon Craig. Addison Wesley. ISBN [3] Apuntes de Robótica. Capítulo 6. Miguel Hernando

5 6.2 Definiciones y conceptos matemáticos El Espacio de Trabajo del robot se define como la región descrita por el origen del sistema de referencia del efector final cuando todas las articulaciones del robot realizan todoslosposiblesmovimientos. Suele distinguirse entre Espacio de Trabajo Alcanzable Espacio de Trabajo Diestro Se define como Espacio de Trabajo Diestro al volumen que el origen del sistema de referencia del efector final genera cuando realiza diferentes orientaciones. En otras palabras, en cada punto del espacio de trabajo diestro, el efector final puede orientarse arbitrariamente. Se define como Espacio de Trabajo Alcanzable es el volumen de espacio que puede alcanzar el robot en por lo menos una orientación Definiciones y conceptos matemáticos El espacio de trabajo se caracteriza por la geometría manipulador y los límites mecánicos de las articulaciones. El espacio de trabajo del robot sin considerar la muñeca viene dado por el fabricante. Para un manipulador de n DOF, el espacio de trabajo alcanzable es el lugar geométrico de los puntos que se pueden lograr a través de la solución de la cinemática directa del robot. ( ) _min _max p = p q q q q e e i i i 10 5

6 6.2 Definiciones y conceptos matemáticos Definiciones y conceptos matemáticos 12 6

7 6.2 Definiciones y conceptos matemáticos Posición variable en el tiempo Velocidad lineal de un punto: diferenciación en el tiempo del vector asociado Representa la velocidad relativa de Q respecto de en términos de Este mismo vector se puede expresar en términos de otro sistema A: Definiciones y conceptos matemáticos Orientación variable en el tiempo Además de desplazarse, el frisbee también gira en el aire. Esto lo representaremos por medio del el vector ω : vector de velocidad angular 14 7

8 6.2 Definiciones y conceptos matemáticos Orientación variable en el tiempo La dirección del vector ω representa el eje respectodel cual el objetogira La magnitud refleja el ritmo de este cambio El movimiento del frisbee en cada instante de tiempo podemos expresarlo en base a su ritmo de cambio por medio de un vector ϑ denominado velocidad espacial (twist/spatial velocity) Un robot tiene asociado en cada instante una velocidad espacial del extremo o de cualquier eslabón definida por la velocidad espacial del correspondiente sistema de referencia Definiciones y conceptos matemáticos Orientación variable en el tiempo Vamos a ver el efecto que girar tiene sobre la velocidad de un punto Q Sistema fijo Sistema de origen coincidente que gira según Puede estar dado en términos de A o de B: Entonces la velocidad dlineal l de un punto Q asociado id a B será: Ambos vectores respecto del mismo Sistema 16 8

9 6.2 Definiciones y conceptos matemáticos Orientación variable en el tiempo Respecto de {S A } el movimiento del frisbee queda descrito por el vector de velocidad espacial La velocidad instantánea de un punto Q de la superficie del frisbee será por tanto: Definiciones y conceptos matemáticos Orientación variable en el tiempo El producto vectorial en tres dimensiones tiene asociada una representación matricial por medio de una matriz antisimétrica S(a) Además las matrices antisimétricas cumplen: 18 9

10 Contenido 6.1 Introducción 6.2 Definiciones y conceptos matemáticos La Matriz Jacobiana 6.5 La Jacobiana y las fuerzas estáticas 6.6 El modelo cinemático diferencial inverso 6.7 La Jacobiana como herramienta de análisis Bibliografía [1] Modelling and Control of Robot Manipulator. Lorenzo Sciavicco, Bruno Siciliano. ISBN: [2] Introduction to Robotics. Mechanics and Control. Jhon Craig. Addison Wesley. ISBN [3] Apuntes de Robótica. Capítulo 6. Miguel Hernando La cinemática diferencial relaciona las velocidades articulares con la velocidad angular y lineal del extremo operativo o efector final. En robótica se habla de matriz jacobiana siempre que se trate de una matriz que transforma de un sistema de velocidades a otro Por defecto se entiende la Jacobiana como la Jacobiana Geométrica. Esta nos relaciona las velocidades articulares con la velocidad espacial. Si el cálculo de la matriz Jacobiana se realiza a través de la diferenciación del modelo cinemático directo, se hablará entonces de la Jacobiana Analítica

11 6.3.1 La jacobiana como operación La matriz jacobiana de una función vectorial multivariable es el equivalente a la operación derivar de las funciones de una variable. Sea una función que va del espacio n dimensional a otro espacio m dimensional, y que por tanto puede ser representada por un conjunto de m funciones multivariables tal que si Entonces si las F i son diferenciables, la matriz Jacobiana de F es: La jacobiana como operación Al igual que la derivada, una de las aplicaciones más directas de la Jacobiana es la aproximación lineal de la función F en torno a un punto X 0 : 22 11

12 6.3.2 La jacobiana geométrica Es la más importante respecto de la Cinemática diferencial. Obtiene la velocidad d espacial instantánea del extremo del robot en base a la posición y velocidad articular en dicho instante: Empezamos con un robot de 2 gdl en el que No tenemos en cuenta la orientación, solo la posición del extremo: La jacobiana geométrica Para la posición, es una derivación sin más de la cinemática directa: 24 12

13 6.3.2 La jacobiana geométrica Si ahora consideramos la orientación mediante el ángulo polar del extremo. El modelo cinemático directo es: Entonces la matriz Jacobiana será por diferenciación directa: Obsérvese que En 2D la velocidad angular queda determinada por un escalar(aplicado a un vector normal al plano). Por ello, en este caso, es sencillo por diferenciación del MCD obtener la Jacobiana geométrica que coincide con la analítica La jacobiana geométrica En 3D, la orientación, tiene diversas representaciones: La derivadatemporal de Euler velocidad angular La derivada de una matriz R, es otra matriz no perteneciente a SO(3) Queremos obtener el vector de velocidad espacial partiendo del MCD la parte de posición es directa: pero como obtenemos el vector de velocidad angular partiendo de la variación a lo largo del tiempo de la matriz R? 26 13

14 6.3.2 La jacobiana geométrica Para estudiarlo, veamos la evolución de un punto Q asociado a un sistema B que gira a una velocidad ω respecto de otro sistema A fijo: Las coordenadas de Q en B no varían Cambia como consecuencia de ω Las coordenadas de Q en A varían como consecuencia Derivando respecto del tiempo Representando Q en coordenadas de A Dado que solo se produce un giro, ambas expresiones deben ser equivalentes La jacobiana geométrica Observemos como el producto es precisamente la matriz so(3) asociada a un vector. Una matriz R perteneciente a SO(3) cumple: Si derivamos esta expresión respecto del tiempo: Por tanto, el producto es una matriz antisimétrica. Si denominamos al dicho producto, tenemos: O lo que es lo mismo, existe un vector asociado tal que: 28 14

15 6.3.2 La jacobiana geométrica Por lo que por identificación de términos, es posible a través de R y de la derivada de R obtener el vector de velocidad angular asociado. Es decir adoptará la siguiente forma: Lo cual nos permite expresar ω en términos de R y su derivada Obtención de la Jacobiana geométrica: Submatriz Jacobiana de posición: diferenciación Submatriz Jacobiana de orientación: obtenemos y por identificación, los términos de ω La jacobiana geométrica: Ejemplo 15

16 6.3.2 La jacobiana geométrica: Ejemplo La jacobiana geométrica: Ejemplo 16

17 6.3.2 La jacobiana geométrica: Metodos geométricos Observamos que por su propia definición, las columnas de J representan la contribución que cada articulación tiene sobre la velocidad espacial del extremo La jacobiana geométrica: Métodos geométricos Si la articulación es prismática: 17

18 6.3.2 La jacobiana geométrica: Métodos geométricos Si la articulación es rotacional: La jacobiana analítica Es muy común. Recibe el nombre por su procedimiento de obtención: diferenciación de la cinemática directa. Si tenemos explícitamente los ángulos de Euler: Aun perdiendo su significado físico, es interesante para los métodos numéricos Es posible (aunque tedioso) obtener la relación entre la analítica y la geométrica 36 18

19 Contenido 6.1 Introducción 6.2 Definiciones y conceptos matemáticos La Matriz Jacobiana 6.4 La Jacobiana y las fuerzas estáticas 6.5 El modelo cinemático diferencial inverso 6.6 La Jacobiana como herramienta de análisis Bibliografía [1] Modelling and Control of Robot Manipulator. Lorenzo Sciavicco, Bruno Siciliano. ISBN: [2] Introduction to Robotics. Mechanics and Control. Jhon Craig. Addison Wesley. ISBN [3] Apuntes de Robótica. Capítulo 6. Miguel Hernando La Jacobiana y las fuerzas estáticas La energía invertida en realizar un movimiento es la misma independientemente del medio de representación utilizado. Estáticamente los pares y fuerzas se deben equilibrar. Concepto de trabajo virtual ( movimiento estático ) 38 19

20 6.4 La Jacobiana y las fuerzas estáticas Sea el vector de fuerzas y pares realizado por el extremo y los pares y fuerzas realizados por cada articulación : Considerando el trabajo virtual realizado visto por consideraciones del extremo debe ser igual al trabajo visto por el movimiento articular, se cumple: Expresado en términos de potencia instantánea entregada: 6.4 La Jacobiana y las fuerzas estáticas Que expresado en términos de la jacobiana: Que nos dice que la traspuesta de la Jacobiana establece la relación entre los pares y fuerzas del extremo con los pares y fuerzas articulares 20

21 6.4 La Jacobiana y las fuerzas estáticas Ejemplo: si el robot esta en (45º, 45º) y alguien tirase con una cuerda del extremo con una fuerza F= (fx, fy, fz, 0, 0, 0), los pares reflejados en las articulaciones vendrían determinados por : Contenido 6.1 Introducción 6.2 Definiciones y conceptos matemáticos La Matriz Jacobiana 6.5 La Jacobiana y las fuerzas estáticas 6.6 El modelo cinemático diferencial inverso 6.7 La Jacobiana como herramienta de análisis Bibliografía [1] Modelling and Control of Robot Manipulator. Lorenzo Sciavicco, Bruno Siciliano. ISBN: [2] Introduction to Robotics. Mechanics and Control. Jhon Craig. Addison Wesley. ISBN [3] Apuntes de Robótica. Capítulo 6. Miguel Hernando

22 6.5 Cinemática Diferencial Inversa Se basa en el cálculo de la inversa de la matriz Jacobiana. Permite calcular las velocidades articulares apartirdelavelocidaddelextremo operativo. La inversión analítica de J es una tarea normalmente inasequible, por tanto se procede al cálculo de la inversa en puntos del espacio En algunos puntos J, aun siendo cuadrada, es singular: son los puntos singulares que se verán más adelante. La solución a este problema permite transformar las especificaciones de movimiento asignado al efector final en el espacio operacional, en los movimientos articulares que permiten la ejecución del movimiento deseado: Si rang( J) = n 6.5 Cinemática Diferencial Inversa Si la matriz Jacobina no tiene inversa, por lo que el cálculo debe realizarse a través de las matrices pseudo inversas o reduciendo el subespacio de la tarea. El numero de articulaciones puede ser menor (infra actuación) o mayor (redundancia) d Robots infra actuados a) Reducción del espacio de la tarea, considerando un subespacio de la misma dimensión que número de articulaciones tiene el robot b) Usodela pseudoinversa porla izquierda 22

23 6.5 Cinemática Diferencial Inversa Robots infra actuados a) Reducción del espacio de la tarea, considerando un subespacio de la misma dimensión que número de articulaciones tiene el robot 6.5 Cinemática Diferencial Inversa Robots infra actuados b) Uso de la pseudoinversa por la izquierda Sea una matriz se define la pseudoinversa por la izquierda a: Las pseudoinversas cumplen las siguientes propiedades: Pero particularmente, la inversa por la izquierda cumple: Y por tanto: La solución obtenida no es exacta, pero si la más cercana desde el punto de vista de mínimos cuadrados. Es decir, si es la velocidad espacial obtenida por aplicación de la pseudoinversa (valores de q), estos hacen mínimo el índice de error cuadrático: 23

24 6.5 Cinemática Diferencial Inversa Robots sobre actuados Si n>m se usa la matriz Jacobiana inversa por la derecha. Es un caso de redundancia, y el menor desplazamiento en q de los infinitos posiblesvalores de q que minimizan por mínimos cuadrados la solución es lo que se obtiene: La pseudoinversa por la derecha se define como: Siendo n el número de gdl, y m el espacio de trabajo. Esta pseudoinversa cumple que: Se puede demostrar que: El espacio nulo asociado N, se puede utilizar para maniobrar. 6.5 Cinemática Diferencial Inversa Control de movimiento resuelto en velocidad Por medio de la Jacobiana y su inversa es posible ver un primer esquema que permite controlar el movimiento del extremo del robot en base a una referencia en el espacio cartesiano 1. Obtengo 2. Calculo la velocidad para ir al objetivo en 3. Calculo la velocidad articular 4. Calculo la posición articular 5. Paso la referencia articular al controlador 6. Repetir desde 1 Nótese que sólo se hace uso del modelo directo de forma analítica! 4 y 5 se pueden resolver en velocidad: suaviza la trayectoria 24

25 6.5 Cinemática Diferencial Inversa Modelo cinemático Inverso iterativo Por medio de la Jacobiana y su inversa es posible obtener un método numérico general para la resolución del MCI. Especialmente interesante en casos infra o sobre actuados. La Jacobiana puede considerarse como el núcleo de una aproximación lineal del MCD: 6.5 Cinemática Diferencial Inversa Modelo cinemático Inverso iterativo Se puede generalizar expresándolo en términos de la pseudoinversa. Un sucedáneo de la inversa es la traspuesta (nótese su relación con el trabajo virtual y las fuerzas estáticas). Obviamente es menos elegante y menos exacta, pero puede valer. Y es muchísimo menos costosa. Las primeras articulaciones tenderán a asumir todo el desplazamiento. En este caso, se procede a realizar aproximaciones sucesivas: 25

26 Contenido 6.1 Introducción 6.2 Definiciones y conceptos matemáticos La Matriz Jacobiana 6.4 La Jacobiana y las fuerzas estáticas 6.5 El modelo cinemático diferencial inverso 6.6 La Jacobiana como herramienta de análisis Bibliografía [1] Modelling and Control of Robot Manipulator. Lorenzo Sciavicco, Bruno Siciliano. ISBN: [2] Introduction to Robotics. Mechanics and Control. Jhon Craig. Addison Wesley. ISBN [3] Apuntes de Robótica. Capítulo 6. Miguel Hernando La Jacobiana como herramienta de análisis Singularidades Singularidades de Contorno Son aquellas en la que el robot adopta o bien una postura totalmente extendida o bien totalmente retraída. Estas singularidades no son peligrosas ya que son evitables no llevando el manipulador a los extremos de su espacio de trabajo alcanzable. Singularidades Internas Se producen en el interior del espacio de trabajo accesible y son generalmente causada por la alineación de dos o más ejes de movimiento, o bien por la consecución de determinadas configuraciones del efector final. A diferencia de las de contorno, estas singularidades constituyen un problema grave, ya que pueden ser encontradas en cualquier lugar del espacio de trabajo accesible. 26

27 6.6 La Jacobiana como herramienta de análisis Singularidades Singularidades de contorno Singularidad id d interna 6.6 La Jacobiana como herramienta de análisis Singularidades EJEMPLO: Alineaciónió de ejes Hombro Codo 27

28 6.6 La Jacobiana como herramienta de análisis Singularidades Matemáticamente los puntos de singularidad se reflejan porque: Al ser matemáticamente complejo, se plantea un desacoplo aprovechando el punto de muñeca presente en muchos robots: Singularidades del brazo: Singularidades de muñeca: 6.6 La Jacobiana como herramienta de análisis Manipulabilidad Considere que el vector de velocidad articular cumple con: Esta ecuación describe los puntos de una esfera en el espacio de las velocidades articulares. Sería muy útil poder describir los puntos de velocidad cartesiana alcanzable por el manipulador cuando las velocidades articulares son puntos de dicha esfera. Entonces: T ( ) 1 T v JJ v= 1 Elipsoide 28

29 6.6 La Jacobiana como herramienta de análisis Manipulabilidad Para ilustrarlo, en dos dimensiones: Para el punto del espacio determinado, es posible lograr una elevada velocidad en la dirección del eje y mientras que en el sentido de las x, las articulaciones tienen menos efecto. En dos dimensiones la hyperesfera es un círculo y el hyperelipsoide una elipse. 6.6 La Jacobiana como herramienta de análisis El elipsoide de manipulabilidad es una medida de cuán lejos estamos de una singularidad y cuánta amplitud de movimiento es posible realizar desde una postura. Granamplitud amplitud de movimiento Baja amplitud de movimiento 29

30 6.6 La Jacobiana como herramienta de análisis El radio mayor y menor del elipsoide de manipulabilidad está determinado por el mayor y menor autovalor de la matriz T J J respectivamente, dado que viene 1 determinado por la inversa de los autovalores, pero λ λ λ ( A ) = 1/ λ ( A) Si 1 es el mayor autovalor y n el menor, se define el número de condición del elipsoide a la relación siguiente: k = λ 1 λ n v 1 i λ 1 λ 2 v 2 i Cuando más próximo sea este valor a la unidad, más isotrópico es el elipsoide, esto es: Elipsoide ISOTROPICO Elipsoide NO ISOTROPICO 6.6 La Jacobiana como herramienta de análisis Se define la manipulabilidad de un robot como: ( ) T ( ) = J( ) J ( ) mq det q q Algunas particularidades.. m(q) es conocido como índice de Yoshikawa. m(q) está dada por el producto de los valores propios absolutos de la matriz J. m(q) toma valores cercanos a cero cuando el robot se aproxima a una singularidad. m(q) es maximizado en configuraciones isotrópicas. m(q) es una medida del volumen del elipsoide 30

31 6.6 La Jacobiana como herramienta de análisis Elipsoide de Manipulabilidad de Fuerzas: Considere ahora que los pares articulares están dados por: τ Se define una esfera en el espacio articular del siguiente modo: Por otro lado sabemos que: T τ = J F Sustituyendo, T τ τ = 1 T ( ) T T J F J F = 1 O bien: T ( ) T F JJ F = 1 Elispoide de manipulabilidad de fuerzas 6.6 La Jacobiana como herramienta de análisis Los ejes principales del elipsoide de manipulabilidad de fuerzas están dados por los autovalores y autovectores de la matriz: Los autovectores de T ( JJ ) 1 T JJ T son los mismos que los de ( JJ ) ( ) 1 Sin embargo los autovalores recíprocos son inversos, es decir: 1 λ = f i v λ i Por lo tanto el eje mayor del elipsoide de velocidad será el eje menor del elipsoide de fuerza: 31

32 6.6 La Jacobiana como herramienta de análisis Elipsoide de Fuerza Elipsoide de Velocidad Esto se conoce como relación dual fuerza / velocidad Es posible aplicar los mayores esfuerzos en la misma dirección que su velocidad es menor Es posible obtener la mayor velocidad en la dirección en la que sólo se pueden aplicar las más pequeñas fuerzas. 32