1. Realimentación Basada en el Modelo 1

Transcripción

1 08 IMC.doc. Realimentación Basada en el Modelo. Realimentación Basada en el Modelo.. Introducción.. Control con Modelo Interno (IMC) 3... Paradigma de diseño ara IMC 9... Diseño de F..3. Realización del Controlador IMC 5.3. Diseño de PI-IMC ara Plantas de Primer Orden 7.4. Diseño de PID-IMC ara Plantas de Mayor Orden.4.. Controlador de Segundo Orden.4.. Diseño de PID-IMC ara Plantas de Segundo Orden

2 08 IMC.doc.. Introducción v r e R u G y Generalmente se ajusta R sin tener un gran conocimiento de G

3 08 IMC.doc 3.. Control con Modelo Interno (IMC) Se uede lantear el siguiente esquema d o r e Q u G y Ĝ la salida es QG QGˆ y r d Q G G Q G G ( ˆ) ( ˆ) si el modelo es erfecto, ( ˆ ) y QGr QG d [.] o el IMC se uede mostrar como o [.]

4 08 IMC.doc 4 d o r e Q u G y Ĝ r C e Q u d o G y Ĝ

5 08 IMC.doc 5 d o r e Q C QG ˆ u G y El control es diseñado en base al modelo de la lanta ( ˆ ) C C G [.3]"

6 08 IMC.doc 6 Es muy intuitivo d o r e Q u G y Ĝ está relacionado con el conceto de redictor de Smith

7 08 IMC.doc 7 Si la lanta es estable, cómo elegir Q? Si robamos con Q Gˆ? ( ˆ ) o ( ) y QGr QG d [.4] ˆ ˆ ˆ o y G Gr G G d [.5] G Gˆ y r do Gˆ Gˆ G y r Gˆ [.7] con Q ˆ G se obtiene el control erfecto [.6]

8 08 IMC.doc 8 Problemas: (a) nunca el modelo es erfecto (b) los actuadores se saturan (c) un retardo no se uede ertir en forma exacta (d) roblemas matemáticos de ersión (e) roblemas con lantas inestables

9 08 IMC.doc 9 Q... Paradigma de diseño ara IMC Se elige FGˆ [.8] siendo G ˆ una aroximación estable de la ersa de Ĝ y F una condición de diseño (filtro) ara lograr determinadas roiedades en lazo cerrado. G ˆ intenta resolver el roblema (c) y F los roblemas (a), (b) y (d) Si se toma esta condición de diseño se obtiene QG QGˆ y r do [.9] Q G Gˆ Q G Gˆ ( ) ( ) FG ˆ ˆ ˆ G FGG y r d FGˆ G Gˆ FGˆ G Gˆ ( ) ( ) suoniendo que o [.0] Gˆ G Gˆ Gˆ [.] resulta

10 08 IMC.doc 0 ( ) y Fr F d [.] ( ) Gˆ s Gˆ o recordar que elegimos G ˆ como una aroximación estable de la ersa de Ĝ si Ĝ tiene ersa estable y no tiene retardos se uede elegir ˆ ˆ G G si no es el caso se hace una searación Bˆe Bˆi ( ) ( ) ( ) i( ) As ˆ( ) Bˆ s Bˆ ˆ e s B s [.3] As ˆ ( ) s contiene los ceros estables y ( ) s contiene los ceros inestables o de no mínima fase se elige ( s) As ˆ ( ) ( ) ˆ ( ) [.4] ( i ) s 0 Bˆ s B s e se considera la ganancia estática de B ( s ) no se uede hacer esto con el retardo (se verá luego) ˆi

11 08 IMC.doc Ejemlo.. Planta ( ) Gˆ s Gˆ ( s) ( s )( s ) s s 0,s 0,s ( s )( )... Diseño de F ( ) o [.5] [.6] y Fr F d [.7] F es la resuesta deseada del sistema. Para seguimiento de referencias: - F ráida > resuesta ráida - F lenta > resuesta lenta Para rechazo de erturbaciones: - F ráida > buen rechazo de erturbaciones - F lenta > rechazo obre

12 08 IMC.doc Generalmente F se elige de la forma F ( β s ) [.8] se agrega el exonente de modo de que Q número de olos y ceros. Por ejemlo ( ) Gˆ s Gˆ s s, s 5 s ( ) ˆ ( ) s, G s F ˆ s β s, Q FG β s s s 5, F ( β s ) FG sea biroia o tenga igual [.9], ˆ ˆ s s Q FG [.0] 5 ( β s )

13 08 IMC.doc 3 β equeño > F ráido β grande > F lenta Una F lenta reduce los efectos negativos de - incertidumbre en el modelo - limitaciones de los actuadores - ruido de medición β se convierte en un otenciómetro de diseño Una elección más sofisticada de F lleva a un diseño más comlejo.

14 ste(tf(,[. ]),tf(,[ ]),tf(,[ ])) a[. ];b[.4 ];c[.8 ]; ste(tf(,conv(a,conv(a,a))),tf(,conv(b,conv(b,b))),tf(,conv(c,conv(c,c)))) Ste Resonse Ste Resonse Amlitude Amlitude Time (sec) Time (sec) 08 IMC.doc 4

15 08 IMC.doc Realización del Controlador IMC en la forma IMC d o r e Q u G y Ĝ en la forma "PID" clásica d o r e C PID u G y

16 08 IMC.doc 6 C PID de donde se deduce que Q [.] QGˆ Con el diseño IMC se uede lograr un comortamiento PID si - se controla con un PI un modelo de rimer orden - se controla con un PID un modelo de segundo orden - se controla con un PID un modelo de rimer orden con retardo Ventajas del diseño de un PID vía IMC: - fácil obtener el modelo de los datos de lanta (res. escalón) - se exlicita la forma de la resuesta en lazo cerrado eligiendo F o β - se calculan las constantes del controlador (P, I y D) con fórmulas aroiadas.

17 08 IMC.doc 7 Gˆ Tˆ r Gˆ Q C.3. Diseño de PI-IMC ara Plantas de Primer Orden Modelo de la lanta Kˆ ˆ τ s el tiemo de crecimiento está relacionado con la constante de tiemo, ˆ τ [.] [.3] ˆ τ s Kˆ, F β s [.4] FGˆ [.5] el controlador según IMC es Q FGˆ ˆ τ s QGˆ FGˆ Gˆ Kˆβ s Gˆ β s [.6] en el caso de un PI aralelo Ki C CPI K [.7] s eligiendo

18 08 IMC.doc 8 K C PI ˆ τ Kˆ β, K i ˆ Kβ [.8] dado β, ˆ τ y ˆK tenemos una forma sistemática de ajustar el controlador. ˆ τ ˆ τ s [.9] Kˆβ Kˆβs Kˆβs

19 08 IMC.doc 9 % Control PI IMC Sistema de Primer Orden % Sistema continuo Kh 0; tauh ; doly([-/tauh]); sis tf( Kh,d); %Sistema en variables de estado Pss ss(sis); % y su resuesta al escalón... recision.0; t 0:recision:5; u ones(size(t)); y lsim(sis,u,t); figure() lot([y]); grid % eríodo de muestreo T.; % PI discreto beta 5; k tauh/beta/kh; ki /beta/kh; kd 0; beta.; k tauh/beta/kh; ki /beta/kh; kd 0; % se usa la aroximación de Euler s(q-)/t %ud(i)ud(i-)a*error(i)b*error(i-) A k; B ki*t-k Tfin 5; t 0:recision:T; ref ; y zeros(size(t)); ly length(t); x0 zeros(,); [xx yx] size(x0); yy 0; uu 0; ttt0; ydzeros(tfin/t,); udzeros(tfin/t,); errorzeros(tfin/t,); for i 3:Tfin/T % muestreo de la salida yd(i) y(length(y)); % Regulador error(i) ref-yd(i); ud(i)ud(i-)a*error(i)b*error(i-); % bloqueador de orden cero ub ud(i) * ones(size(t)); % Sistema [y, tt, x0] lsim(pss,ub,t,x0(length(x0),:)); % se guardan los valores de entrada y salida yy [yy ; y(:length(y))]; uu [uu ; ub(:length(ub))']; end; figure() lot([uu yy]);grid

20 08 IMC.doc 0 Resumen: - encontrar ˆ τ y ˆK - elegir el controlador PI y β Recordar que con β equeños se obtiene - ráidos seguimientos de referencias - menor robustez a errores de modelo - mayor sensibilidad a errores de modelado en alta frecuencia - actuaciones más imortantes - más sensible a saturaciones de los actuadores - mejor rechazo a erturbaciones - mayor sensibilidad al ruido de medición - mayor efecto de los ceros inestables - mayor efecto del retardo

21 08 IMC.doc.4. Diseño de PID-IMC ara Plantas de Mayor Orden Recordar que existe una variedad de PIDs Cualquier controlador de segundo orden con acción integral uede ser reresentado como un PID. ( ) C s.4.. Controlador de Segundo Orden sea el controlador bs bs b 0 as as [.30] se uede interretar como un PID aralelo de la forma γ s CPID ( s) K Ki Kd [.3] s γ s K si se hace ba a b 0, a K i b a 0, γ, a a K d ab baa ab 0 [.3] 3 a se oera de igual modo con otras estructuras de PIDs

22 08 IMC.doc.4.. Diseño de PID-IMC ara Plantas de Segundo Orden se analizarán tres casos Caso : Modelo sin ceros Caso : Modelo con un cero estable Caso 3: Modelo con un cero inestable

23 08 IMC.doc 3 - Caso : Modelo sin ceros Gˆ Modelo de la lanta Kˆ ˆ τ s ˆ ξτˆ s n ˆn τ ˆ ξ n [.33] : eríodo natural de oscilación [seg/rad] : factor de amortiguamiento ˆK : ganancia estacionaria el tiemo de crecimiento está relacionado con el eríodo natural (, 4 ˆ, ˆ ) Tˆ ξ ξ ˆ τ [.34] r Tˆ r Tˆ r ara sistemas subamortiguados,5 ˆ τ n n [.35] ara sistemas con amortiguamiento crítico 3,5 ˆ τ n [.36]

24 08 IMC.doc 4 Gˆ el modelo erso estable ˆ τ ˆˆ ns ξτns, Kˆ F β s β βs ( ) s [.37] Q FGˆ [.38] el controlador según IMC es Q ˆ C QG FG G G FGˆ ˆ ˆ τn s ξτn s ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ s Kβ s Kβs β si se elige un PID aralelo de la forma γ s CPID ( s) K Ki Kd s γ s K se iguala 4 ˆˆ ξτn β 4Kˆ β, K i ˆ Kβ, β γ, [.40] β s 4ˆ τ 4βξτ ˆˆ β 8Kˆ β [.39] n n K d [.4]

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26 08 IMC.doc 6 - Caso : Modelo con un cero estable Modelo de la lanta n ( ˆ ) Kˆ bs Gˆ ; bˆ > 0 ˆ τ s ˆ ξτˆ s Gˆ n el modelo erso estable ˆ τ ξτˆns Kˆ bs ˆ ns ( ˆ ), F β s el controlador según IMC es Q FG s ˆ s C QGˆ FGˆ Gˆ Kˆ s Kˆβs Gˆ β s ˆ ˆ ˆ τn ξτn β si se elige el PID aralelo de la forma γ C ( s) K K K s PID i d se iguala y se obtiene s γ s [.4] [.43] [.44] [.45]

27 08 IMC.doc 7 K ˆ ξτˆ ˆ n b Kˆ β, K i ˆ ˆ Kβ, γ b, K ˆ τ bˆˆ ξτˆ bˆ Kˆ β n n d [.46] Porqué no coincide la resuesta en lazo cerrado con la del modelo?

28 08 IMC.doc 8 - Caso 3: Modelo con un cero inestable Modelo de la lanta n ( bs ˆ ) Kˆ Gˆ ; bˆ > 0 ˆ τ s ˆ ξτˆ s Gˆ n el modelo erso estable ˆ τ ˆˆ ns ξτns, Kˆ F ( β s ) el controlador según IMC es [.47] [.48] Q ˆ C QG FG G K s K b s s b s FGˆ ˆ ˆ τn s ξτn s ˆ G ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ β β β β si se elige el PID aralelo de la forma γ C ( s) K K K s PID i d se iguala y se obtiene s γ s ( ) ( ) [.50] [.49]

29 08 IMC.doc 9 K K d ( bˆ) ˆ ξτˆ β β n ( β bˆ ) Kˆ ( ) b ˆ ( ) n b β ˆ τ β ˆ β ˆ ξτˆ β ( β bˆ ), 4 n Kˆ 3 K i ( β bˆ ) Kˆ [.5], γ β β bˆ, Si se trata de hacer un control ráido se obtiene una mala resuesta. Se debería elegir β > ˆb

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