Criterios de robustez para sistemas lineales

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1 Criterios de robustez ara sistemas lineales José Franco Carlos Mario Vélez Noviembre de Introducción Al construir un modelo de un sistema, éste siemre incluye algún grado de incertidumbre con resecto al sistema real y a su entorno. El sistema uede cambiar de manera ineserada o estar sujeto a erturbaciones ineseradas. Debido a factores como los cambios en los arámetros, las dinámicas y retardos no modeladas, los cambios en los untos de oeración, el ruido en los sensores o las erturbaciones no redichas, el modelo de un roceso no uede ser una reresentación comletamente acertada del sistema real [1]. La incertidumbre se refiere a la diferencia entre el comortamiento de un modelo y la realidad. En general, ara reresentar esta incertidumbre y oder lidiar con ella, es necesario utilizar, más que un único modelo, un conjunto de modelos que ermita incluir dinámicas de la lanta que no están exlícitamente reresentadas en la estructura del modelo [5]. Al diseñar un sistema de control ara un sistema donde la resencia de incertidumbre es significativa, es necesario tener en cuenta esta reresentación ara minimizar el efecto de los errores que resenta el modelo frente a la realidad en lo que resecta al regulador. Se dice que un sistema de control es robusto si es insensible a las diferencias entre el sistema real y al modelo utilizado ara diseñarlo [4]. En este trabajo se exone la forma de reresentar la incertidumbre y analizar la robustez de sistemas SISO, luego se extienden estos concetos a sistemas MIMO y se resentan ejemlos en MATLAB usando el toolbox de control robusto. 2. Incertidumbre y robustez ara sistemas SISO Los sistemas SISO son erfectos ara introducir las reresentaciones de incertidumbre y los criterios de robustez ya que facilitan la visualización de estos usando condiciones y métodos gráficos en el dominio de la frecuencia que son bien conocidos, y ermiten generalizar los concetos a sistemas MIMO más adelante. 1

2 2.1. Reresentación de la incertidumbre Las diferentes fuentes de incertidumbre que afectan a un modelo ueden resumirse en dos clases generales de incertidumbre: La incertidumbre aramétrica, donde cada arámetro β i está contenido en un intervalo [β min, β max ]; o incertidumbre causada or dinámicas no modeladas. [4]. Cualquiera de estos tios de incertidumbres, o una combinación de ambos, se uede reresentar mediante erturbaciones multilicativas [4] alicadas a una lanta nominal, de la forma G (s) = G(s)(1 + w I (s) I (s)), I 1 Donde w I simlemente es una función onderadora, G es la lanta nominal y la norma H se calcula como [2] G = su σ max [G(iω)] ω En este caso I es cualquier función de transferencia estable que cumla con tener norma H menor o igual que 1. El tio de incertidumbre eserada determina la elección de w I, que varía desde ser una constante real ara incertidumbre en los arámetros, a ser una función de transferencia sencilla ara reresentar olos no modelados. Skogestad muestra diferentes w I ara diferentes tios de incertidumbre [4] Estabilidad robusta Se define que un sistema es robustamente estable cuando cada modelo en el conjunto de lantas osibles es estable [4]. A artir del criterio de estabilidad de Nyquist, esto equivale a que el diagrama de Nyquist no rodee el unto ( 1, ) ara ninguna lanta en este conjunto. En el diagrama de Nyquist, se grafican las artes real e imaginaria de la función de ganancia de lazo L(iω) variando la frecuencia ω como se observa en la Fig. 1. Es claro que si el sistema no es nominalmente estable, entonces no será robustamente estable, or lo que esta condición equivale a evaluar si ara cada frecuencia ω, la distancia entre L(iω) y el unto ( 1, ) es mayor que el radio generado or L(iω)w I (iω): Donde T = nominal. L 1+L RS w I L < 1 + L ω R + w I L 1 + L < 1 ω R+ w I T < 1 es la función de transferencia en lazo cerrado del modelo 2

3 Fig 1: Ilustración de la estabilidad robusta SISO 3. Incertidumbre y robustez ara sistemas MIMO Aunque los sistemas SISO resentan una manera sencilla de visualizar los criterios de robustez ara lantas básicas, las lantas de múltiles entradas y múltiles salidas resentan dificultades adicionales que deben ser consideradas ara analizar la robustez de una categoría más general de sistemas Reresentación de la incertidumbre De manera similar al caso de los sistemas SISO, ara los sistemas MIMO se reresentar la incertidumbre utilizando erturbaciones multilicativas. La estructura general con la que se reresentan los sistemas con incertidumbre se resenta en la Fig. 2. En este caso, es una matriz diagonal or bloques donde cada bloque reresenta una fuente de incertidumbre. Para analizar la estabilidad robusta del sistema, se utiliza la forma M que se observa en la Fig. 3. Esta forma se obtiene a artir de cerrar el lazo 1 ara considerar únicamente los efectos de u y y. En MATLAB, la incertidumbre aramétrica se reresenta usando el comando ureal( nombre,valornominal, roiedad, argumento), donde roiedad uede tomar los siguientes valores: PlusMinus ara una desviación aditiva, Range ara esecificar un rango donde está el arámetro, o Percentage ara establecer una desviación en orcentaje. Posteriormente, estos objetos ureal 1 Primero se alica una transformación lineal inferior ara obtener una matriz N = F l (P, K) = P 11 + P 12 K(I P 22 K) 1 P 21, y luego se toma únicamente la arte de N que involucra a u y y (N 11 ). En MATLAB, se uede usar el comando [M,Delta] = lftdata(a), donde A es el modelo reresentado mediante un objeto uss. 3

4 Fig 2: Configuración general ara sistemas con incertidumbre Fig 3: Estructura M se ueden tratar como valores reales, creando or ejemlo matrices ara invocar la función ss(a, B, C, D) y hacer así un modelo en esacio de estados con incertidumbre (El objeto resultante en este caso sería un objeto uss) Estabilidad robusta La extensión del criterio de estabilidad de Nyquist a los sistemas MIMO está dada or la siguiente condición [4]: Dado un conjunto convexo de erturbaciones acotado bajo la norma H, el sistema modelado con la estructura M de la Fig. 3 es robustamente estable sí y sólo sí el diagrama de Nyquist de det(i M (s)) no rodea el origen, ara cualquier. De manera equivalente,, ω R +, det(i M (iω)) 4

5 El roblema con esta condición es que no indica qué tan robusto es el sistema: únicamente señala si es robustamente estable o no. Para erturbaciones diagonales or bloques, existen dos concetos útiles a la hora de evaluar qué tan insensible a las erturbaciones es el sistema: El valor singular estructurado µ y el margen de estabilidad robusta k m. Estos se definen como sigue: k m = min{k R + : det(i km ) = } µ = 1 k m Mientras más grande es el margen de estabilidad robusta, uede soortar una cantidad más grande de la incertidumbre modelada. Con esta definición en mente, se uede exresar una forma adicional de la condición de estabilidad robusta: RS k m > 1 Si el margen de estabilidad robusta es menor que 1, el sistema es estable ara todas las erturbaciones que no alejen a los arámetros de sus valores nominales en un (k m )1 % o más ero no es estable ara todas las erturbaciones modeladas[3]. En MATLAB, se uede usar la función robuststab ara realizar un análisis de robustez de un objeto uss. Esta función recibe como argumento al sistema, y retorna cuatro valores: el margen de estabilidad, un conjunto de arámetros que desestabilizan al sistema, un reorte e información adicional 2. Para el margen de estabilidad se entregan las cotas suerior e inferior, y la frecuencia en la que ocurre la desestabilización. En el reorte, se ve adicionalmente cuales son los arámetros que más influyen en el margen de estabilidad. Adicionalmente, en la estructura de información adicional se almacenan las cotas de µ ara diferentes frecuencias. 4. Ejemlo usando MATLAB Para ilustrar los concetos vistos, se resenta un ejemlo utilizando MATLAB y el toolbox de control robusto. El sistema a analizar es un éndulo invertido. Para emezar, se definen los arámetros a utilizar en el modelo nominal: M =,5, la masa del carro, m =,2, la masa del brazo, b =,1, la fricción en el carro, I =,6, el momento de inercia del éndulo, g = 9,8, la gravedad, y l =,3, la longitud del éndulo (hasta el centro de masa). Se toma la ecuación de estado linealizada del éndulo ara obtener las matrices A, B, C y D: 2 [stabmarg,destabunc,reort,info] = robuststab(sys) 5

6 A = 1 (I+ml2 )b m 2 gl 2 1 mlb B = ml (I+ml 2 ) ml C = I 4 D = Donde = I(M + m) + Mml 2. Se invoca la función ss ara crear un modelo de esacio de estados: end = ss(a, B, C, D);, tras lo que se utiliza la función lace ara crear un control or realimentación de estado ara el modelo nominal: olos = [-1.1, -1.6, -3.2, -2.9]; Kn = lace(a, B, olos); fbend = feedback(end, Kn); Luego se crea el modelo incierto. Suóngase que se estima que los arámetros M, m, b, I, g, y l tienen una incertidumbre estimada de 2 %, 2 %, 2 %, 2 %,,1 % 3, y 2 % resectivamente. Para modelar estos arámetros inciertos, se usa la función ureal: um = ureal( M, M, Percent, 2); um = ureal( m, m, Percent, 2); ub = ureal( b, b, Percent, 2); ui = ureal( I, I, Percent, 2); ug = ureal( g, g, Percent,.1); ul = ureal( l, l, Percent, 2); u = ui*(um+um)+um*um*ul^2; Las matrices inciertas de la ecuación de estado ua y ub se crean exactamente como antes, ero se utilizan los arámetros inciertos. Se utilizan las mismas matrices C = I 4 y D = 4 1 ara crear un modelo en esacio de estados con incertidumbre, llamando una vez más la función ss, y se cierra el lazo con el control generado ara el sistema nominal ara evaluar la robustez del sistema 3 La gravedad tiene un bajo nivel de incertidumbre. 6

7 Parámetro Valor nominal Valor desestabilizante Diferencia relativa M.5,14 71 % m.2 9, % b.1,17 69 % I.6 2, % g 9.8 9,84,4 % l.3,15 49 % Tabla 1: Valores nominales de los arámetros y valores desestabilizantes entregados or robuststab en lazo cerrado: uend = ss(ua, ub, C, D); ufbend = feedback(uend, Kn); Teniendo ya el modelo en esacio de estados con incertidumbre, se rocede a hacer el análisis de robustez usando la función robuststab: [stabmarg, destabunc, reort, info] = robuststab(ufbend); De stabmarg se obtienen los límites suerior e inferior del margen de estabilidad robusta 4 : 1,5538 k m 5. Ya que cualquier elemento del intervalo es mayor que 1, el sistema es robustamente estable. En destabunc se encuentra un conjunto de arámetros que causan inestabilidad en el sistema. Estos valores ueden verse en la Tabla 1, donde se observa que excetuando al arámetro g, el valor desestabilizante de cada arámetro difiere en una cantidad mayor que la incertidumbre esecificada. Para verificar que esta combinación de arámetros en efecto desestabiliza al sistema, se uede usar el comando usubs ara remlazarlos en el sistema con incertidumbre, y así obtener un objeto ss, ara luego evaluar la estabilidad del sistema con la función ole. Sin embargo, las matrices que se obtienen en este caso al hacerlo resentan roblemas numéricos (el valor, que aarece en el denominador de algunos elementos de las matrices A y B, es casi ara estos valores de m y I), or lo que MATLAB arroja un error. En reort se describen los resultados, entregando qué tanta incertidumbre modelada uede tolerar el sistema, qué características tiene la combinación de arámetros desestabilizante y en qué frecuencia se encuentra la inestabilidad, y las sensibilidades frente a cada arámetro. Para este caso en articular se tiene lo siguiente: El sistema tolera el 155 % de la incertidumbre modelada. 4 stabmarg es una estructura donde UerBound es la cota suerior del margen de estabilidad, LowerBound es la cota inferior y DestabilizingFrequency es la frecuencia en la que ocurre la inestabilidad ara algún conjunto de arámetros. 7

8 Parámetro Sensibilidad Aumentar en un 25 % cambia k m en M 44 % - 11 % m 2 % - 25 % b 7 % - 2 % I 7 % - 2 % g 1 % % l 37 % - 9 % Tabla 2: Sensibilidad asociada a cada arámetro La combinación desestabilizante de los arámetros reresenta un 5 % de la incertidumbre modelada. La sensibilidad con resecto a cada arámetro está registrada en la Tabla 2 Es osible que se quiera observar el comortamiento de µ(iω) frecuencia or frecuencia ara ver cómo se comorta la estabilidad del modelo frente a cambios en las frecuencias. Esta información frecuencial se encuentra en la estructura info, donde info.frequency son las frecuencias usadas en el análisis, e info.mussvbnds tiene las cotas inferiores y sueriores del valor singular estructurado µ. Para ver esto gráficamente, se uede usar el comando semilogx(info.mussvbnds). El resultado se observa en la Fig. 4, donde es evidente que las condiciones de estabilidad robusta se cumlen ara todas las frecuencias analizadas. Fig 4: Valor singular estructurado vs. frecuencia (en escala logarítmica) 8

9 5. Conclusiones El análisis de estabilidad robusta es una herramienta oderosa ara evaluar la eficiencia de cualquier controlador cuando existe incertidumbre en los arámetros o en las dinámicas del modelo utilizado ara el diseño. No sólo tiene una fuerte fundamentación teórica sino que además su alicación es sencilla gracias a aquetes de software como MATLAB. Se realizó el análisis de sensibilidad de un éndulo invertido con incertidumbre utilizando el toolbox de control de MATLAB, ilustrando las caacidades de esta herramienta e interretando los resultados obtenidos. Referencias [1] R. Dorf and H. Bisho. Modern Control Systems. Pearson Education, Inc., 28. [2] L. Lublin, S. Grocott, and M. Athans. H 2 (LQG) and H control. In W. Levine, editor, The Control Handbook, ages CRC Press, [3] The Mathworks, Inc. MATLAB Documentation, 21. [4] S. Skogestad and I. Postlethwaite. Multivariable Feedback Control. John Wiley & Sons, [5] K. Zhou, C. Doyle, and K. Glover. Robust and Otimal Control. Prentice Hall,