PROPUESTA DIDÁCTICA DE UN APPLET PARA SIMULAR LA RESPUESTA DE UN SISTEMA MASA RESORTE FORZADO CON AMORTIGUAMIENTO, CON EL APOYO DE SOFTWARE GEOGEBRA

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1 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya PROPUESTA DIDÁCTICA DE UN APPLET PARA SIMULAR LA RESPUESTA DE UN SISTEMA MASA RESORTE FORZADO CON AMORTIGUAMIENTO, CON EL APOYO DE SOFTWARE GEOGEBRA Ma. Del Carmen Cornejo Serrano Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya Eloísa Bernardett Villalobos Oliver Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya Sara Marcela Arellano Díaz Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya Héctor Rojas Garduño Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya Santiago Molina Reséndiz Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya Salvador González Hernández Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya Resumen Se resenta una rouesta didáctica de una alicación de las ecuaciones diferenciales de orden suerior, ara el diseño y simulación de la resuesta de un sistema masa resorte, modelado con el aoyo de un alet, el cual se elaboró con Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~41~

2 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya el software GeoGebra. El alet se usa ara simular la resuesta de una masa susendida en un resorte, a la cual se le alica una fuerza externa, que uede ser del tio: constante, senoidal o cosenoidal, bajo el esquema de un sistema que se encuentra amortiguado. Se hace el análisis de la resuesta ara cada uno de los tres tios de función forzante mencionados, considerando los tres casos de la resuesta transitoria asociada: sistema sobreamortiguado, críticamente amortiguado y subamortiguado. El uso del software tiene la ventaja de que uede ser uno de los soortes del roceso enseñanza - arendizaje en la asignatura de ecuaciones diferenciales en Ingeniería. Palabra(s) Clave(s): Ecuaciones Diferenciales, sistema masa resorte amortiguado, función forzante y GeoGebra. Abstract We resent a didactic roosal of an alication of the differential equations of higher order, for the design and simulation of the resonse of a mass sring system, modeled with the suort of an alet, which was elaborated with GeoGebra software. The alet is used to simulate the resonse of a mass susended in a sring, to which is alied an external force, that can be of the tye: constant, sinusoidal or cosenoidal, under the scheme of a system that is damed. The analysis of the resonse is erformed for each of the three tyes of forcing function mentioned, considering the three cases of the associated transient resonse: overdamed, critically damed and underdamed system. The use of software has the advantage that it can be one of the suorts of the teaching - learning rocess in the subject of differential equations in Engineering. Keywords: Differential Equations, damed sring mass system, GeoGebra. 1. Introducción Actualmente el uso de software en la enseñanza de las matemáticas es rioritario, ya que el aroiamiento de diferentes concetos abstractos es mucho más sencillo a través de la simulación de las resuestas de un sistema o roceso rouesto. El hecho de que los estudiantes rogramen sus alets, refuerza los Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~4~

3 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya concetos vistos en clase, además de que les ermite observar los resultados que obtienen en la solución de la ecuación diferencial, en articular, al usar diferentes tios de erturbaciones en las entradas o funciones forzantes de la ecuaciones diferenciales, esta herramienta es una gran motivación ara que continúen con sus observaciones y análisis ante diferentes situaciones que se resentan en el estudio. Las resuestas de un sistema similar, sin erturbaciones externas se ueden simular con gran facilidad, con el aoyo de GeoGebra (Cornejo et al., 016). También es imortante considerar que solo cuando el estudiante se enfrenta a situaciones que le son afines a su desemeño rofesional, es cuando considera la imortancia de las ciencias básicas en su formación rofesional (Morales y Peña, 013).. Teoría Oscilaciones mecánicas forzadas con amortiguamiento Se arte de un sistema masa resorte susendido verticalmente de un soorte rígido, como se muestra en la figura 1. La deformación o elongación que sufre el resorte deende de la cantidad de masa que está unida al extremo libre del resorte; es decir, masas con diferentes esos deforman el resorte en cantidades diferentes. Figura 1 Sistema masa resorte. Sabemos or la Ley de Hooke que el resorte ejerce una fuerza restauradora F en sentido contrario a la deformación y roorcional a la cantidad de elongación x, la Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~43~

4 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya cual se exresa de la siguiente forma F = kx, donde k es una constante de roorcionalidad conocida como coeficiente de elasticidad del resorte y se refiere a la cantidad de fuerza que se necesita ara que el resorte se deforme una cierta cantidad. La segunda Ley de Newton establece que el balance de fuerzas en un sistema es igual a la masa or la aceleración. Suoniendo que no existe amortiguamiento y no se ejercen fuerzas externas sobre el sistema, or un análisis dinámico de la masa dentro del sistema, se obtiene ecuación 1. d x m dt = kx (1) La ecuación 1 reresenta la fórmula del movimiento armónico libre, donde como se menciona, el sistema se encuentra en ambiente ideal donde no existen fuerzas retardadoras externas actuando sobre la masa y roician un movimiento eretuo del sistema. Pero este conceto es oco real uesto que en la realidad, la mayor arte de los sistemas de ingeniería encuentran al menos una fuerza retardadora actuando sobre la masa (figura ), en consecuencia, la energía mecánica del sistema disminuye con el tiemo y or lo tanto se dice que el movimiento es amortiguado. Figura Ejemlo de un disositivo amortiguador. Un tio común de fuerza retardadora es una fuerza roorcional a la raidez del objeto en movimiento y que actúa en sentido contrario a la velocidad de dicho Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~44~

5 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya objeto, con lo que la fuerza retardadora se uede exresar como dx R= b, donde dt b es una contante conocida como coeficiente de amortiguamiento, y la segunda Ley de Newton mediante la ecuación. d x dx m = kx b () dt dt La ecuación, como hemos visto es válida cuando las únicas fuerzas que actúan sobre nuestro objeto de estudio, la masa, son ocasionadas or la elasticidad del resorte y or la fuerza de retardo o amortiguamiento. Pero existe un caso donde además de estas, se encuentra actuando una fuerza externa, f() t, como se uede areciar en la figura 3. Figura 3 Fuerza f() t actuando sobre un sistema masa-resorte amortiguado. En el ámbito natural este tio de fuerzas ueden ser rovocadas or diferentes elementos, además de que su comortamiento uede ser de tio constante, líneal o inclusive de tio senoidal. Suoniendo que ninguna otra fuerza actúa sobre el sistema, la segunda Ley de Newton uede ser escrita con ecuación 3. d x dx m = kx b + f () t (3) dt dt Al reacomodar la ecuación 3 y dividirla entre la masa, se encuentra que la ecuación diferencial del sistema masa resorte amortiguado está dada or ecuación 4a. Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~45~

6 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya O bien 4b. d x b dx k f t x dt m dt m m () + + = (4a) d x dx f t η α x b En la ecuación 4b se tiene que η = y m () + + = (4b) dt dt m k α =, donde se realiza el cambio de m variables or conveniencia algebraica. Como observamos la ecuación diferencial que se nos resenta es del tio no homogénea, or lo que la solución de este tio de ecuaciones se resenta en ecuación 5. xt () = x() t + x () t (5) h Donde xh () t es la solución de la arte homogénea asociada a la ecuación diferencial y x () t es la solución articular de dicha ecuación. Primero comenzaremos obteniendo la solución de la arte homogénea de la ecuación, ara esto igualamos a cero el lado izquierdo de la ecuación diferencial, ecuación 6 d x dx η α x 0 dt + + = (6) dt Cuya ecuación auxiliar está dada or ecuación 7. D + ηd+ α = 0 (7) Y sus raíces están definidas or las ecuaciones 8a y 8b. r η η α 1 = + (8a) r η η α = (8b) A artir de aquí se ueden distinguir tres casos osibles de resuestas deendiendo del signo algebraico de η α, ara la solución homogénea, xh, de la ecuación 5. A continuación se hará el análisis de los tres casos (Cornejo y col, 016). Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~46~

7 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya Caso 1: Sistema sobreamortiguado, η α > 0 Un sistema sobreamortiguado es aquel en el que el coeficiente de amortiguamiento b es mayor que el coeficiente de elasticidad del resorte k, esto significa no se resenta movimiento oscilatorio uesto que el amortiguamiento es fuerte, como se muestra en la figura 4, y la solución corresondiente de la ecuación 6 está dada or ecuación 9. η ( ) α t η α t x () t = ce + ce = e ce + ce (9) h rt 1 rt ηt 1 1 Figura 4 Resuesta de un sistema sobreamortiguado. Caso : Sistema críticamente amortiguado, η α = 0 En un sistema críticamente amortiguado, el sistema se encuentra en un estado estático, es decir, que cualquier variación en la fuerza de amortiguamiento el sistema asaría a ser sobreamortiguado (aumento), o subamortiguado (disminución); esto indica que al liberar la masa esta regresará a su osición de equilibrio estático sin ningún tio de oscilación, su resuesta es muy arecida a la de un sistema sobreamortiguado, con la diferencia de que la masa uede asar más de una vez or la osición de equilibrio, ver figura 5. La solución ara la ecuación 6 está dado or ecuación 10. x() t = ce + cte = e ( c + ct) (10) h rt 1 rt ηt 1 1 Caso 3: Sistema subamortiguado, η α < 0 En el caso de un sistema subamortiguado el coeficiente de amortiguamiento es más equeño que el de elasticidad del resorte, lo cual ermite que al liberar la Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~47~

8 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya masa, esta tenga un movimiento oscilatorio hasta que regrese a su osición de equilibrio, como se uede observar en la figura 6. Figura 5 Movimiento de un sistema críticamente amortiguado. Figura 6 Movimiento de un sistema subamortiguado. Entonces las raíces r1 y r son comlejas conjugadas, ecuaciones 11a y 11b. r1 r = η+ η α i (11a) = η η α i (11b) Por tanto la solución general de la ecuación 6 está dada or la ecuación 1. rt 1 r t ( η+ η α it ) ( η η α it ) 1 1 x () t = ce + ce = ce + ce (1) h Haciendo uso de la fórmula de Euler en esta última ecuación, se obtiene ecuación 13. Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~48~

9 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya ( α η α η ) 1 ηt x ( t) = e c cos t+ c sen t (13) h Debido al coeficiente e ηt amlitudes de vibración tienden a cero, cuando t., en la resuesta descrita or la ecuación 13, las 3. Método Una vez obtenida la solución de la arte homogénea de la ecuación diferencial 4b, rocedemos a obtener su solución articular. La solución que buscamos deende del tio de función que reresente la fuerza externa que actúa sobre el sistema; ara nuestro caso de análisis comrenderemos tres tios de fuerza: una constante C, una de tio senoidal F 0 sen( γ t) y una de tio cosenoidal F 0 cos( γ t). Además ara obtener la solución ara la ecuación diferencial nos aoyaremos del método de oeradores anuladores. 3.1 Prouestas de las soluciones articulares según el tio de función forzante Fuerza de tio constante (C ) La ecuación diferencial ara este caso es la ecuación 14. d x dx m + b + kx = C (14) dt dt La ecuación 14 se asa a su forma estándar y reescrita en términos del oerador D quedando ecuación 15. D + ηd+ α = (15) m C Por el método de oeradores anuladores se tiene que el oerador que anula a la constante C m es D, or lo tanto se tiene ecuación 16. C DD + D+ = D = m ( η α ) 0 Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~49~ (16)

10 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya Enseguida se obtiene x () t de la ecuación 15, la cual es la solución articular, ecuación 17. x () t = ce = c (17) (0) t 3 3 Por el método de coeficientes indeterminados, este resultado se sustituye en la ecuación 14, obteniendo el valor de c 3, ecuación 18. c C = (18) m α 3 Por lo que la solución articular de la ecuación diferencial está dada or ecuación 19. () C x t = (19) m α Al sustituir la ecuación 19 en la ecuación 5, tenemos la solución general de la ecuación diferencial, ecuación 0. C xt () = xh () t + (0) m α Con xh () t dada or ecuaciones 9, 10 ó 13, según sea el caso. Fuerza de tio senoidal ( F0 sen( γ t) ) La ecuación diferencial del sistema queda de la forma mostrada en ecuación 1. d x dx 0 ( γ ) m + b + kx = F sen t (1) dt dt Al realizar el rocedimiento utilizado anteriormente ara la fuerza de tio constante y sabiendo que el oerador que anula a F0 sen( γ t) es D + γ, la solución articular queda dado mediante ecuación. Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~50~

11 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya x () t = ce + ce () ( iγ) t ( iγ) t 3 4 Como se uede areciar la ecuación resenta números imaginarios, or lo que ara facilitar su análisis se utilizará la identidad de Euler, obteniendo ecuación 3. x ( t) = c cos( γt) + c sen( γt) (3) 3 4 Para obtener los valores de las constantes c3 y c4 se hace uso del método de coeficientes indeterminados, sustituyendo la ecuación 3 en la ecuación 1, se obtiene la ecuación 4. d x t dx t F0 sen γ t η α x () t () () ( ) + + = (4) dt dt m De la ecuación 4 se obtienen entonces las ecuaciones 5a y 5b. c c ηγ F = m[( α γ ) + 4 η γ ] 0 3 m[( α γ ) + 4 η γ ] ( α γ ) F0 4 = (5a) (5b) Siendo así que la solución general de la ecuación diferencial 1 está dada or la sustitución de ecuaciones 5a y 5b en ecuación 3 y este resultado en la ecuación 5, obteniendo ecuación 6. F0 ( ) F0 x() t xh () t η γ cos( t) α = γ + γ sen( γt) (6) m[( α γ ) + 4 η γ ] m[( α γ ) + 4 η γ ] Con xh () t dada or ecuaciones 9, 10 ó 13, según sea el caso. Función de tio cosenoidal ( F cos( γ t) ) 0 La ecuación diferencial queda de la forma mostrada or ecuación 7. d x dx 0 ( γ ) m + b + kx = F cos t (7) dt dt Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~51~

12 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya Para obtener la solución de esta ecuación se sigue el mismo rocedimiento que en el caso anterior, la solución articular queda definida or ecuación 8. x ( t) = c cos( γt) + c sen( γt) (8) 3 4 Alicamos el método de coeficientes indeterminados ara obtener los valores de las constantes c3 y c4 sustituyendo la ecuación 8 en la ecuación 1, se obtine la ecuación 9. d x t dx t F0 cos γ t η α x () t () () ( ) + + = (9) dt dt m Resolviendo la ecuación 9, se obienen ecuaciones 30a y 30b. c c ( α γ ) F0 3 = m[( α γ ) + 4 η γ ] ηγ F = m[( α γ ) + 4 η γ ] 0 4 (30a) (30b) Siendo así que la solución general de la ecuación diferencial 7 está dada or la sustitución de las ecuaciones 30a y 30b en ecuación 8 y este resultado en ecuación 5, obteniendo ecuación 31. ( α γ ) F0 ηγ F0 γ x() t = xh () t cos( t) + sen( γt) m[( α γ ) + 4 η γ ] m[( α γ ) + 4 η γ ] (31) Con xh () t dada or ecuaciones 9, 10 ó 13, según sea el caso. También es necesario mencionar que a la solución homogénea se le conoce como solución transitoria y a la solución articular se le conoce como solución de estado estable. Esto se debe a que en tiemos muy grandes, es decir, cuando t, los deslazamientos del sistema son modelados o aroximados or la solución articular. Se uede observar en las soluciones generales ecuaciones 0, 6 y 31 que modelan la resuesta del movimiento del sistema forzado, aarecen las Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~5~

13 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya constantes c1 y c de la solución homogénea asociada a la ecuación diferencial. Para obtener el valor de dichos arámetros se hace uso de las condiciones iniciales x(0) = x0 y x'(0) = v0, las cuales se evalúan cada solución general y en su derivada, resectivamente, ara obtener el sistema lineal de ecuaciones que nos ermitirá obtener los valores de las constantes, ecuación 3. x(0) = x (0) + x (0) = x (3) h x'(0) = x '(0) + x '(0) = v h Estimación de los arámetros de x h(t) ara cada tio de función forzante Enseguida se muestran los resultados que se obtuvieron ara cada tio de función forzante, es decir, ara cada función se analizan los tres tios de resuesta transitoria, x h(t), las cuales se generan analizando los tios de raíces que se obtienen con ecuaciones 8a y 8b. Se debe recordar que en todos los casos las condiciones iniciales están dadas or las ecuaciones 3. Fuerza forzante de tio constante (C) En este caso x(t) está dada or la ecuación 0: Sistema sobreamortiguado, al utilizar ecuaciones 9 y 0, se obtienen las constantes 33a y 33b. C r x v mα c1 = r r c C v0 r1 x0 mα = r r 1 (33a) (33b) Sistema críticamente amortiguado, al utilizar las ecuaciones 10 y 0, se obtienen las constantes 34a y 34b. C c1 = x0 (34a) mα Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~53~

14 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya C c = v0 + η x0 (34b) mα Sistema subamortiguado, al utilizar las ecuaciones 13 y 0, se obtienen las constantes 35a y 35b. C c1 = x0 (35a) mα c C v0 + η x0 mα = α η (35a) Fuera forzante de tio senoidal ( F0 sen( γ t) ) En este caso x(t) está dada or la ecuación 6: Sistema sobreamortiguado, ecuaciones 9 y 6, se obtienen las constantes 36a y 36b. r( x0 c3) ( v0 γ c4) c1 = r r c 1 v0 γ c4 r1( x0 c3) = r r 1 (36a) (36b) Sistema críticamente amortiguado, ecuaciones 10 y 6, se obtienen las constantes 37a y 37b. c1 = x0 c3 (37a) ( ) c = v γc + η x c (37b) Sistema subamortiguado, ecuaciones 13 y 6, se obtienen las constantes 38a y 38b. c c1 = x0 c3 (38a) ( ) v γc + η x c = α η (38b) Fuerza forzante de tio coseniodal ( F0 cos( γ t) ) Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~54~

15 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya En este caso x(t) está dada or la ecuación 31: Sistema sobreamortiguado, ecuaciones 9 y 31, se obtienen las constantes 39a y 39b. r( x0 c3) ( v0 γ c4) c1 = r r c 4 1 v0 γ c4 r1( x0 c3) = r r 1 (39a) (39b) Sistema críticamente amortiguado, ecuaciones 10 y 31, se obtienen las constantes 40a y 40b. c1 = x0 c3 (40a) ( ) c = v γc + η x c (40b) Sistema subamortiguado, ecuaciones 13 y 31, se obtienen las constantes 41a y 41b. c c1 = x0 c3 ( ) v γc η x c = α η (41a) (41b) 4. Protocolo de Construcción Para la construcción del alet con el software GeoGebra se utilizará como ejemlo una fuerza externa que resente una forma senoidal. Quedando or entendido que la construcción del alet ara una fuerza externa de otro tio se realiza de la misma manera modificando los elementos que deenden del tio de fuerza externa, como lo son la solución articular y las constantes. 4.1 Construcción de la resuesta gráfica del sistema mecánico 1. Primero se introducen los arámetros de control del sistema, como lo es la masa del objeto, elasticidad del resorte y fricción del sistema; y además ara la fuerza externa senoidal la amlitud y frecuencia. Para esto nos aoyaremos del Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~55~

16 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya uso de casillas de entrada. También se crearán casillas de entrada ara las condiciones iniciales, osición inicial x 0 y velocidad inicial v 0, ver figura 6. Figura 6 Casillas de entrada ara los arámetros de control. Parámetros de control: - Masa: m, - Constante de elasticidad del resorte: k, - Coeficiente de amortiguamiento: b, - Amlitud de la fuerza externa: F 0, - Frecuencia de la fuerza externa: γ, - Posición inicial: x 0, y - Velocidad inicial: v 0.. Crear los números η y α, que son una relación entre las constantes, de b k elasticidad y de amortiguamiento, y la masa, η =, α =, tal como se m m muestra en la figura 7. Figura 7 Entrada de los números η y α. 3. Crear las variables r 1 y r (ver figura 8), las cuales son las soluciones de la ecuación general. Figura 8 Entrada de los números r 1 y r. Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~56~

17 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya 4. Introducción de la variable tio, esta variable nos ermitirá crear las sentencias ara determinar el caso de amortiguamiento que resenta el sistema, esta variable está definida or el siguiente comando tio η α = sgn( ), figura 9. Figura 9 Entrada de la variable tio. 5. Introducción de las constantes de la solución transitoria y de la solución de estado estable. Para la solución transitoria se crearán las dos constantes de cada tio de amortiguamiento, teniendo seis variables ara esta solución. Además se creará una variable D = α η, que nos servirá ara la solución transitoria del caso subamortiguado, como se observa en las figuras 10, 11, 1 y 13. Figura 10 Constantes de la solución de estado estable (no homogénea). Figura 11 Constantes de la solución transitoria, caso sobreamortiguado. Figura 1 Constantes de la solución transitoria, caso críticamente amortiguado. Figura 13 Constantes de la solución transitoria, caso subamortiguado. Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~57~

18 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya 6. Introducir la ecuación transitoria (solución homogénea) que describe el comortamiento del sistema ara cada uno de los casos: sobreamortiguado, críticamente amortiguado y subamortiguado, así como la ecuación de la solución de estado estable (no homogénea), como se muestra en las figuras 14, 15, 16 y 17. Figura 14 Ecuación transitoria, caso subamortiguado. Figura 15 Ecuación transitoria, caso críticamente amortiguado. Figura 16 Ecuación transitoria, caso subamortiguado. Figura 17 Ecuación de estado estable. 7. Crear un deslizador ( t f ), ara la maniulación del tiemo transcurrido dentro del sistema, como se muestra en la figura 18. Figura 18 Deslizador ara maniulación del tiemo. 8. Crear la función xt () = x() t + x () t que modela el movimiento del sistema ara h cada caso de amortiguamiento, que se muestra en las figuras 19, 0 y 1. Figura 19 Función ara sistema sobreamortiguado. Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~58~

19 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya Figura 0 Función ara sistema críticamente amortiguado. Figura 1 Función ara sistema subamortiguado. 9. Utilizar la instrucción Función[ <Función>, <Extremo inferior del intervalo>, <Extremo suerior del intervalo> ] ara limitar el dominio del tiemo en el que deseamos que se muestren la gráfica del deslazamiento de la masa m, esto se hará ara mostrar la solución total, la solución transitoria y la solución de estado estable. En este aso es donde se utilizará la variable tio ara determinar que gráfica se mostrará en la solución total y en la solución transitoria, utilizando la instrucción Si[ <Condición>, <Entonces>, <Si no>], ver figuras, 3 y 4. Figura Introducción de la función X () t que modela el sistema deendiendo del tio de amortiguamiento que se resenta. T Figura 3 Introducción de la función que modela la función transitoria del sistema deendiendo del tio de amortiguamiento que se resenta. Figura 4 Introducción de la función que modela la función de estado estable del sistema. 10. Genera un unto P a con coordenadas ( tf, XT( t f )), como se muestra en la figura 5, el cual hace referencia a la osición de la masa de acuerdo al tiemo transcurrido en la gráfica. También crear los untos P h y P (ver figuras Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~59~

20 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya 6 y 7, resectivamente) que hacen referencia a la osición de la masa ara la solución transitoria y de estado estable, resectivamente. Figura 5 Punto P a que modela la osición de la masa al transcurso del tiemo. Figura 6 Punto P h que modela la osición de la masa ara la solución transitoria. Figura 7 Punto P que modela la osición de la masa ara la solución de estado estable. 11. Crear una casilla de control que nos ermita mostrar u ocultar la solución transitoria y la solución de estado estable, así como los untos P h y figura 8. Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~60~ P, ver

21 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya Figura 8 Casilla de control ara mostrar u ocultar la solución transitoria y la solución de estado estable. 4. Construcción de la simulación del sistema mecánico forzado Para la construcción de la simulación se siguen asos siguientes: 1. Una vez hechas las funciones basicas, se rosigue con la creación de los resortes en el rograma de GeoGebra. Se inicia con la creación de un deslizador Barra, ara oder controlar la osición fija inicial del resorte, ver figura 9. Figura 9 Deslizador Barra.. Crear la variable osicion resorte, que es en función del deslizador Barra, ara oder maniular la gráfica del resorte, como se muestra en la figura 30. Figura 30 Variable osicion resorte. 3. Crear el unto B con coordenadas (-5, Barra) el cual indica la osición fija del resorte, que está cambiando según la osición inicial que se seleccione con el deslizador barra. También crea un segmento con el comando Segmento[(-7, osicion resorte ),(-3, osicion resorte )], donde dicho segmento servirá ara hacer ilustración del aoyo del resorte (ver figura 31). Figura 31 Vista del unto B y segmento. Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~61~

22 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya 4. Crear el número ry, dicho número servirá ara generar el resorte, ya que éste es en donde se encontrará la masa m, que también estará relacionado con la unión del resorte con la masa m, como se indica en la figura 3. Figura 3 Introducción número r y. 5. Se crea el olígono que ayudará a la visualización de la masa m como se muestra en la figura 33, con referencias de los untos XCD, XCDINF, XCD, XCIINF, cabe mencionar que dichos untos, se deslazan, ara dar movilidad al olígono que reresenta la masa m en el tiemo. También se crea un unto auxiliar POSPUNT: - POSPUNT = (x(b), r_y). - XCD = (x(pospunt) + m / 10, y(pospunt)). - XCD = Refleja[XCD, POSPUNT]. - XCDINF = (x(pospunt) + m / 10, y(pospunt) - m / 5). - XCIINF = (x(xcd'), y(xcd') - m / 5). Figura 33 Reresentación de la masa m. 6. Se rosigue a crear la gráfica del resorte el cual se genera or medio de las ecuaciones aramétricas que se introducen con el comando Curva, con la instrucción: Curva[0.7sen(15 () π (ñ - r_y) / ( x(b), ñ, ñ, r_y, osicion resorte ], figura 34. osicion resorte - r_y)) + Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~6~

23 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya Figura 34 Reresentación del resorte en GeoGebra. 7. Terminada la gráfica del resorte, además del olígono que reresentara a la masa, se crean 3 botones (ver figura 35), uno ara el inicio de la simulación, otro ara ausar la simulación y un último ara el reinicio del tiemo, y con esto la gráfica del movimiento de la masa y la osición del resorte: - Inicio: IniciaAnimación[true] - Pausa: IniciaAnimación[false] - Limiar: IniciaAnimación[false] t_f=0 Figura 35 Botones constroladores de simulación. 8. Introducir un texto que nos indique cuando el movimiento sea sobreamortiguado, críticamente amortiguado o subamortiguado, haciendo uso de la instrucción Si[ <Condición>, <Entonces>, <Si no>], tal como se observa en la figura 36. Figura 36 Introducción de la condición ara mostrar el tio de sistema. 9. Finalmente modificar los colores y estilos del alet ara obtener un diseño más agradable a la vista. Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~63~

24 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya 5. Resultados El alet que se obtiene se muestra en la figura 37, donde se observan todos los elementos que se rogramaron en el rotocolo de construcción. Figura 37 Visualización del alet del sistema mecánico construido con GeoGebra. Se muestran alguno ejemlos de resuestas que se obtienen ara diferentes condiciones de la función forzante, así como diferentes condiciones iniciales, la resuesta se simuló con el aoyo del alet que ya se tiene diseñado. En la figura 38 se muestra la resuesta de un sistema mecánico sometido a una fuerza externa constante de magnitud C = 9. Las características del sistema son una masa de magnitud m= 50 N, una fricción b= 10 N s/ m, una constante de resorte k = 15 N / m, osición inicial x0 = 10m y una velocidad inicial v0 = 15 m/ s. En la figura 39 se muestra la resuesta de un sistema mecánico sometido a una fuerza externa constante de magnitud C = 0. Las características del sistema son una masa de magnitud m= 5 N, una fricción b= 35 N s/ m, una constante de resorte k = 10 N / m, osición inicial x 0 = 0 y una velocidad inicial v0 = 15 m/ s. En la figura 40 se muestra la resuesta de un sistema mecánico sometido a una fuerza externa cosenoidal de amlitud F 0 = 6 y frecuencia γ = 1.5. Las características del sistema son una masa de magnitud m= 30N, una fricción Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~64~

25 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya b= 10 N s/ m, una constante de resorte k = 40 N / m, osición inicial x 0 = 0m y una velocidad inicial v 0 = 0. Figura 38 Modelado de la resuesta de un sistema subamortiguado, con una función forzanate constante. Figura 39 Modelado de la resuesta de un sistema sobreamortiguado, con una función forzanate constante. En la figura 41 se muestra la resuesta de un sistema mecánico sometido a una fuerza externa cosenoidal de amlitud F 0 = 10 y frecuencia γ = 1. Las características del sistema son una masa de magnitud m= 10N, una fricción b= 0 N s/ m, una constante de resorte k = 10 N / m, osición inicial x 0 = 10m y una velocidad inicial v0 = 0 m/ s. Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~65~

26 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya Figura 40 Modelado de la resuesta de un sistema subamortiguado, con una función forzanate constante cosenoidal. Figura 41 Modelado de la resuesta de un sistema críticamente amortiguado, con una función forzanate cosenoidal. En la figura 4 se muestra la resuesta de un sistema mecánico sometido a una fuerza externa senoidal de amlitud F 0 = 10 y frecuencia γ = 3. Las características del sistema son una masa de magnitud m= 0N, una fricción b= 5 N s/ m, una constante de resorte k = 5 N / m, osición inicial x 0 = 4 m y una velocidad inicial v0 = 10 m/ s. Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~66~

27 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya Figura 4 Modelado de la resuesta de un sistema subamortiguado, con una función forzanate senoidal. En la figura 43 se muestra la resuesta de un sistema mecánico sometido a una fuerza externa cosenoidal de amlitud F 0 = 10 y frecuencia γ = Las características del sistema son una masa de magnitud m= 5N, una fricción b = 0, una constante de resorte k = 0 N / m, osición inicial x 0 = 0 y una velocidad inicial v 0 = 0. Figura 43 Modelado de la resuesta de un sistema subamortiguado, con una función forzanate cosenoidal. Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~67~

28 Pistas Educativas No. 14, junio 017. México. Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico de Celaya 6. Conclusiones Como se uede observar en las gráficas de las resuestas del sistema masa resorte, el comortamiento mostrado en las simulaciones de diferentes tios de funciones forzantes cambia, según la magnitud de los arámetros de entrada y el tio de función erturbación alicada. La comrensión y análisis de estas resuestas or arte de los estudiantes es mucho más clara cuando se rograma el alet, ya que deben tener bien claros los concetos que están alicando, lo cual les ermite también desarrollar sus habilidades de toma de decisiones. También se arovecha el hecho de que muchos de nuestros alumnos tienen un estilo de arendizaje visual y se aroian mejor de los concetos cuando tienen a su alcance un simulador que les ermite comrobar la resuesta eserada ante diferentes estímulos y sobre todo cuando visualmente se observan las diferencias entre una resuesta y otra. 7. Bibliografía y Referencias [1] Cornejo, M.C., Villalobos, E. B., Molina, S. y Arreola, W. G., (016). Sistema masa resorte con movimiento libre amortiguado, casos: sobreamortiguado, críticamente amortiguado y subamortiguado, su modelado y solución, con el aoyo de geogebra. Revista Pistas Educativas 11, (.61-80). Instituto Tecnológico de Celaya. México. [] Cornejo, M. C., Villalobos, E. B., Quintana, P.A. (008). Métodos de solución de ecuaciones diferenciales y sus alicaciones. México: Editorial Reverte. [3] Morales García J.F. y Peña Páez L.M. (013). Prouesta metodológica ara la enseñanza del cálculo en ingeniería, basada en la modelación matemática. VII CIBEM. Uruguay, Montevideo. [4] Serway, R., A., y Jewett, J. W. (008). Movimiento oscilatorio. En S. R. Cervantes (Ed.), Física ara ciencias e ingenierías vol. 1 ( ). México D.F., México: Cengage Learning Editores. [5] Seto, W., W. (1970). Sistemas de un solo grado de libertad. Vibraciones mecánicas: teoría y 5 roblemas resueltos (. 1-5). McGraw Hill. Pistas Educativas Vol ISSN: X Reserva de derechos al uso exclusivo No ~68~