Pontificia Universidad Católica del Perú ICA624: Control Robusto. 8. Desempeño (Performance) Robusto

Transcripción

1 Pontificia Universidad Católica del Perú ICA624: Control 8. (Performance) Hanz Richter, PhD Profesor Visitante Cleveland State University Mechanical Engineering Department 1 / 14

2 de de... Considerar el lazo r W e e e w K 1. La planta G contiene incertidumbre (por ejemplo con descripción inestructurada multiplicativa) 2. El peso W d sirve para especificar características espectrales del disturbio d. Por ejemplo, para choques mecánicos, usaríamos un W d pasaaltos. El peso se escoge de tal modo que se pueda asumir que d El peso W e sirve para especificar frecuencias de interés (énfasis) para el error e. Por ejemplo, para reducir el error en estado estacionario, usaríamos un W d pasabajos con ganancia alta a bajas frecuencias. G d d w W d y 2 / 14

3 de de de... En el lazo anterior, podría exigirse, por ejemplo, que el valor medio cuadrático (rms) del error ponderado se mantenga debajo de un nivel ǫ prescrito para cualquier disturbio con norma unidad: sup d 2 1 e w 2 ǫ Si se escoge W e apropiadamente, siempre se puede tomar ǫ = 1. La matriz de transferencia entre d y e w es (mostrar): T ew d = W e (I +G K) 1 W d Entonces, la especificación de desempeño robusto para éste ejemplo es: T ew d 1 para todo G cubierto en la descripción de incertidumbre. 3 / 14

4 de... de de... En el caso inestructurado multiplicativo: G = (I +W 1 W 2 )G o con RH, 1. Se puede demostrar que (I +G K) 1 = S o (I +W 1 W 2 T o ) 1 Entonces la especificación de desempeño robusto es: W e S o (I +W 1 W 2 T o ) 1 W d 1 A ésto debe añadirse el requerimiento de estabilidad robusta estudiado anteriormente: W 2 T o W / 14

5 de de... Para el caso anterior con incertidumbre multiplicativa, se han obtenido condiciones suficientes para evaluar si existe desempeño robusto de acuerdo a la definición. Si K estabiliza a G o, se obtendrá estabilidad y desempeño robustos si se cumple una de las dos desigualdades siguientes para toda frecuencia w: σ(w d ) σ(w e S o )+ σ(w 1 ) σ(w 2 T o ) 1 κ(w 1 1 W d ) σ(w e S o W d )+ σ(w 2 T o W 1 ) 1 κ = σ(a)/σ(a) es el número de condición de una matriz A. 5 / 14

6 de de... Para el sistema masa-resorte-amortiguador, tomar K(s) = 10/s (estabiliza al lazo nominal). El peso multiplicativo W m (s) = 0,11801 (s+10,85)(s+6,992) s 2 +1,505s+0,6718 es un buen ajuste de incertidumbre para los rangos de m, c y k dados en el ejemplo. Evaluar la estabilidad robusta. Se puede lograr estabilidad robusta con sólo reducir la ganancia integral?. Cambiar K(s) a un compensador proporcional y encontrar la ganancia permisible para obtener estabilidad robusta. Tomar W d = 1 y W e = 1/(0,5s+1). Evaluar el desempeño robusto con el compensador integral (verificar que T ew d sea estable. Se puede reducir la ganancia integral para obtener desempeño robusto? Se puede obtener estabilidad y desempeño robustos con un compensador proporcional? 6 / 14

7 de de... Sea G p (s) la planta generalizada partida de acuerdo a 2 grupos de entradas y salidas: [ ] G11 G G p (s) = 12 G 21 G 22 Esto es, el compensador ya ha sido absorbido, dando lugar a la y u M LFT: z w Si se incluyen las señales apropiadas en la entrada exógena w y la salida de performance z, el requerimiento de desempeño robusto es el de mantener la norma de la matriz de transferencia en lazo cerrado entre w y z debajo de un nivel prescrito. 7 / 14

8 de de... Recordar que T zw = F i (G p, ). Se ha demostrado el siguiente resultado: Teorema (Zhou y Doyle): Sea β > 0. Para todo (s) M( ) con < 1/β, el lazo anterior está bien definido, es internamente estable y F i (G p, ) β siempre y cuando sup µ ΘP (G p (jw)) β w R El conjunto Θ P es una extensión de Θ de la forma: {[ ] } 0 Θ P = : Θ, 0 f C q 2 p 2 f donde p 2 y q 2 son las dimensiones de z y w respectivamente. El teorema indica que el desempeño robusto es equivalente a la estabilidad robusta considerando una incertidumbre aumentada. 8 / 14

9 de de... Al aplicar el teorema anterior a de dos bloques, se pueden usar matrices de escala derecha e izquierda iguales y de la forma diag(d w I, I) con d w > 0. Entonces µ se puede escribir para cada frecuencia como: ([ ]) µ ΘP (G(jw)) = inf d w >0 σ G 11 (jw) d w G 12 (jw) G 22 (jw) 1 d w G 21 (jw) Notar que es fácil programar una búsqueda lineal en d w para encontrar µ con precisión arbitraria. Tambien es posible encontrar aproximaciones para d w que produzcan cotas superiores para µ con buena precisión. 9 / 14

10 de de... Inestructurada a Para el caso multiplicativo (con incertidumbre a la salida), se puede deducir que la planta generalizada tiene la forma (hacerlo): G(s) = [ W2 T o W 1 W 2 T o W d W e S o W 1 W e S o W d Las entradas de G son [u,d] y las salidas [y,e w ]. Para la estabilidad robusta se requiere G 11 (s) 1 y para el desempeño robusto F i (G, ) 1 para todo RH con < 1. Usando las aproximaciones mencionadas anteriormente, se obtienen las cotas: µ Θ (G(jw)) W 2 T o W 1 +κ(w1 1 W d ) W e S o W d µ Θ (G(jw)) κ(w1 1 W d )( W 2 T o W 1 + W e S o W d ) ] 10 / 14

11 de de... Introducción a la Recordemos que en el marco general de síntesis tenemos: y P 11 P 12 P 13 u z P 21 P 22 P 23 w y P 31 P 32 P 33 u Para sintetizar un K con criterio de estabilidad y desempeño nominales ( = 0), eliminamos la primera fila y la primera columna y definimos G con las P ij sobrantes. Para K con criterio de estabilidad robusta, eliminamos la segunda fila y la segunda columna. Para K con criterios de estabilidad y desempeño robustos usamos P en su totalidad. 11 / 14

12 de de... Introducción a la Iteración D-K... En cada caso, el problema se reduce a encontrar K tal que se cumpla la estabilidad interna nominal y se minimize F i (G,K), donde la norma puede ser 2, o µ. Los dos primeros casos corresponden a los problemas de síntesis H 2 y H, que se estudiarán en el siguiente tema. En el caso µ, el problema de optimización se escribe como: min K inf D,D 1 H DF i (G,K)D 1 La iteración D-K consiste en empezar con un D estimado, luego resolver un problema de síntesis H usando la planta aumentada con D. Luego se refinan las matrices de escala y se repite el proceso hasta que se cumpla un criterio de convergencia para D. En Matlab, existe la rutina dkit para efectuar el diseño robusto mediante iteración D-K. 12 / 14

13 de de... Los comandos relacionados a la síntesis µ han evolucionado mucho en las últimas 2 décadas. Comandos como musyn, dkit y dkitgui están aun disponibles, pero probablemente serán reemplazados por dksyn, que require la definición de la planta generalizada como un objeto incierto (USS). Una de las dificultades al usar la técnica µ (al igual que H ) es la selección de pesos. Frecuentemente hace falta iterar con los pesos. La gran desventaja de ésta técnica es el alto orden de los compensadores resultantes. 13 / 14

14 de de... Diseñar un compensador K(s) para el sistema masa-resorte amortiguador con disturbio de salida mediante la técnica µ con iteración D-K (usar dkit). Usar un peso de performance (para minimizar la influencia del disturbio de salida en el error) de la forma: s/m +w W e (s) = s+αw Recordar que 1/W e (s) se usó para imponer una cota en la 1 sensibilidad de la forma S(jw) W e (jw). Notar que S(jw) mide la influencia del disturbio de salida en el error. Asumir que el disturbio es senoidal, con frecuencia alrededor de 1 rad/s. Simular e interpretar el resultado. 14 / 14