Algorítmica del diseño mecánico

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1 Ingeniería Mecánica, 0 (1997) Algorítmica del diseño mecánico J. Martínez Escanaverino, A. García Toll y T. Ortiz Cárdenas Deartamento de Mecánica Alicada, Facultad de Ingeniería Mecánica, Instituto Suerior Politécnico José Antonio Echeverría, La Habana 19390, Cuba. illues@mecanica.isjae.edu.cu (Recibido el 1 de mayo de 1997; acetado el 15 de junio de 1997) Resumen Se demuestra que cualquier rocedimiento de diseño mecánico uede interretarse como un roceso de solución de roblemas sobre modelos matemáticos, lo cual equivale a la obtención de los algoritmos de solución de tales roblemas. Se utilizan los grafos bicromáticos como medio de exresión de los modelos, roblemas y algoritmos. Se ilustran los concetos teóricos con un ejemlo ráctico tomado de la mecánica de los sólidos. 1. Introducción Buena arte del fondo de conocimientos de todo ingeniero lo forman numerosos algoritmos, cuya alicación adecuada deende mucho de un entendimiento leno de los mismos. En articular, el ingeniero que trabaja Diseño Mecánico necesita ser caaz de elaborar algoritmos ara resolver diversos roblemas articulares que se le resentan en el ejercicio de su rofesión. Es decir, el análisis y la síntesis de algoritmos son habilidades esenciales ara realizar con éxito el roceso intelectual de Diseño Mecánico, tanto el manual como el asistido or comutadora. Realmente, alcanzar la debida destreza en la comrensión y elaboración de algoritmos no resulta tarea fácil. En los libros y revistas técnicas algunos autores exresan los algoritmos con ayuda de exlicaciones en lenguaje natural. Otros, se aoyan en diagramas de bloques u organigramas. Un tercer gruo de ingenieros utiliza rogramas escritos en un lenguaje de rogramación. Y existen diversas variantes eclécticas. En general, los resultados obtenidos con estas técnicas distan de ser satisfactorios; resulta difícil asimilar los algoritmos resentados como rescriciones que no reflejan su génesis y, en consecuencia, resulta muy difícil ara el ingeniero crear nuevos algoritmos cuando se necesitan. Faltan herramientas efectivas ara la actividad algorítmica de los ingenieros. Se requiere de nuevas técnicas de reresentación, referentemente gráficas, cuya caacidad exresiva ermita reflejar el roceso de formación de los algoritmos, y no simlemente sus asectos externos. 2. Modelos y roblemas Según el Diccionario Oxford de Comutación [ 1], un algoritmo es una sucesión reestablecida de reglas recisas ara la solución de un roblema en un número finito de asos. Según la definición dada, un algoritmo siemre resuelve un roblema. Por tanto, la comrensión del conceto de algoritmo nos lleva de modo natural al conceto de roblema. En términos rigurosos, un roblema P está definido cuando ara un objeto o roceso determinado se dan un conjunto de datos de entrada E, y un conjunto de datos de salida S. P E, S (1) Donde E es un conjunto de datos de valor conocido, en tanto que S es un conjunto de datos de valor desconocido. Si alguno de los conjuntos E ó S está ausente [ 2], se tiene un roblema incomleto. Si solo se cuenta con E, se ha definido una situación. Si solo se cuenta con S, se ha definido una meta. Como uede areciarse de su definición, el conceto de roblema está ligado inevitablemente al conceto de objeto o roceso. En los cálculos de ingeniería, todo objeto o roceso se reresenta or medio de un modelo matemático M, esto es, or un conjunto de relaciones R definido en un conjunto de variables V. M R, V ( 2 ) 1997 Ediciones ISPJAE.

2 32 J. Martínez Escanaverino, A. García Toll y T.Ortiz Cárdenas Al lantearse un roblema (1) sobre un modelo matemático (2), el conjunto de variables del modelo se divide en un conjunto de variables de entrada E y en un conjunto de variables incógnitas X. Esto es, V = E + X (3) La exosición no ierde generalidad si se considera que el conjunto de variables de entrada E y el conjunto de variables de salida S son disjuntos. Esto es, E S = (4) El conjunto de las variables de salida del roblema debe estar contenido en el conjunto de las variables incógnitas. S X (5) Por tanto, al lantearse un roblema (2) sobre un modelo matemático (1), queda de hecho definido un conjunto de relaciones F sobre un conjunto de incógnitas X. donde P F, X (6) F R (7) Por tanto, un roblema es un conjunto de relaciones sobre un conjunto de incógnitas. Integrando las definiciones dadas, uede decirse que todo algoritmo resuelve un roblema lanteado sobre un modelo matemático. Un algoritmo A es una sucesión de asos i A { 1, 2,... n } (8) Donde cada aso i es un subroblema de estructura E, S (9) O sea, que en un algoritmo A el roblema P a resolver está articionado en n subroblemas i que se resuelven en sucesión. Como era de eserar, cada subroblema i se corresonde con un submodelo matemático m i. Donde cada submodelo tiene la estructura m i m (10) i F, V (11) Si se analizan (10) y (11), uede llegarse a otra interretación de la exresión (9). De acuerdo con dicha interretación, cada aso de un algoritmo uede considerarse formado or un conjunto de relaciones donde se obtiene un conjunto de incógnitas. F, X (12) 3. Grafos bicromáticos Un grafo G está formado [ 3] or un conjunto W de untos, llamados vértices, y un conjunto K de líneas, que unen los vértices entre sí. Simbólicamente: G W, K ( 13 ) Si las líneas tienen una orientación, dada or una saeta, se denominan arcos. De lo contrario, se denominan aristas. Dos vértices unidos or una línea se dice que son adyacentes. Un grafo se denomina bicromático cuando sus vértices ueden colorearse con dos colores diferentes, de modo que no haya vértices adyacentes del mismo color. En este caso, el conjunto W de vértices se fracciona en dos conjuntos disjuntos de vértices de distinto color W = W 1 + W 2 ( 14 ) Un modelo matemático uede reresentarse [ 4] or medio de un grafo bicromático no orientado, donde los vértices que reresentan a las variables tendrán un color, y los vértices que reresentan a las relaciones tendrán el otro color. Este grafo se denomina grafo del modelo, y ara el mismo se cumle que W W 1 2 = V = R ( 15 ) Un roblema lanteado sobre un modelo matemático también uede ser reresentado or un grafo bicromático no orientado. Para obtener este grafo se toma el grafo modelo, y se le transforma del modo siguiente: Todos los vértices de entrada E se eliminan, incluyendo las aristas asociadas a ellos. Como resultado de la transformación mencionada, se obtiene el grafo del roblema. 4. Solubilidad de un roblema Todo roblema lanteado sobre un modelo matemático se caracteriza or un número de grados de libertad, definido or la exresión L( P) = X F( X ) (16) Se considera que el roblema es comatible si L( P) 0 (17) Se considera que el roblema está determinado si L( P) = 0 (18) Los roblemas determinados, que evidentemente siemre son comatibles, también se denominan roblemas de simulación.

3 Algorítmica del diseño mecánico 33 Para resolver un roblema de simulación se determinan los areos erfectos [ 3 ] entre los conjuntos X y F(X). Si el roblema tiene solución cerrada, hay uno o más areos erfectos. Si el roblema tiene solución abierta, habrá or lo menos dos areos erfectos. Un algoritmo que resuelve un roblema de simulación con solución cerrada se uede obtener sustituyendo cada arista de uno de los areos erfectos or un arco orientado de la relación a la incógnita, sustituyendo luego las aristas restantes or arcos que arten de las incógnitas. Este algoritmo quedará entonces reresentado or un grafo bicromático orientado acíclico. Los algoritmos, corresondientes a otros areos erfectos que uedan existir, también serán acíclicos, y llevarán en rinciio a la misma solución, aunque or caminos diferentes. Un algoritmo que resuelve un roblema de simulación con solución abierta se obtiene or el rocedimiento exlicado, a artir de un areo erfecto, ero su estructura quedará reresentada or un grafo bicromático orientado cíclico y convergente. Otros algoritmos cíclicos, corresondientes a otros areos erfectos del mismo roblema, ero que sean divergentes, serán inútiles. Los roblemas comatibles ero indeterminados ueden reducirse a roblemas de otimización si se introduce un criterio de otimización J ( Y ) extr (19) donde Y X Y = L( P) (20) Los roblemas incomatibles también ueden reducirse a roblemas de otimización si en el modelo matemático se incluye un número L(P) de variables adicionales, llamadas variables de error, y las mismas se hacen argumentos de un criterio de otimización. 1 2 Fig. 1 Fuerzas actuantes sobre una escalera de mano. r3: G N2 tgα f2 = N f = 0 N + f G = 0 f f 2 1 µ N = µ N = (21) 5. Un ejemlo de Mecánica Sea una escalera de mano aoyada tanto en el iso como en la ared, según se ilustra en la Fig. 1. En la roia figura se muestran el eso G de la escalera, las fuerzas normales N 1 y N 2 y las fuerzas de fricción f 1 y f 2 ejercidas or la ared y el iso sobre la escalera. Si se conocen el eso de la escalera y los coeficientes de fricción µ 1 y µ 2 entre la escalera y la ared y la escalera y el iso, resectivamente, determinar el ángulo máximo de inclinación α de la escalera resecto a la vertical. El modelo matemático del equilibrio estático de la escalera está constituido or el sistema de relaciones (21). El sistema de relaciones (21) se uede reresentar or el grafo modelo dado en la Fig. 2. Fig. 2 Grafo reresentativo del modelo matemático (21). Sobre el modelo matemático (21) se ha lanteado un roblema, que uede exresarse or los conjuntos de variables de entrada y salida siguientes: E = { G, µ, µ } S = { α} (22)

4 34 J. Martínez Escanaverino, A. García Toll y T.Ortiz Cárdenas El grafo del roblema (22) se da en la Fig. 3. Este grafo se obtiene transformando el grafo del modelo, según el rocedimiento exlicado anteriormente. Fig. 4 Uno de los dos areos erfectos entre las relaciones e incógnitas del roblema (22). Fig. 3 Grafo reresentativo del roblema (22), lanteado sobre el modelo matemático (21). El conjunto de las incógnitas del roblema será { } X f, f, N, N,α (23) = Y el conjunto de las relaciones entre las incógnitas del roblema { } F( X ) r, r, r, r, r = (24) El número de grados de libertad del roblema es L( P) = X F( X ) = 0 (25) El roblema es determinado, or lo cual constituye un roblema de simulación. Existen dos areos erfectos entre las relaciones y las incógnitas del roblema (22). Uno de tales areos erfectos se reresenta en la Fig. 4. Considerando que cada una de las variables incógnitas es ahora una variable conocida, se sustituyen las aristas restantes en el grafo del areo erfecto or arcos que salen de las variables resectivas. De ese modo, el grafo de cada uno de los dos areos erfectos da lugar a un grafo que reresenta la estructura de un algoritmo. El algoritmo corresondiente al areo erfecto de la Fig. 4 se da en la Fig. 5. Puede demostrarse que este algoritmo es convergente, ara cualquier inicialización. Fig. 5 Grafo del algoritmo que soluciona el roblema (22), lanteado sobre el modelo matemático (21). Por otro lado, el algoritmo corresondiente al otro areo erfecto es divergente, ara cualquier inicialización, salvo el valor exacto de la solución. El algoritmo obtenido es cíclico, y or tanto requiere de una inicialización. Esto imlica que el rimer aso 1 del algoritmo es un subroblema incomleto, una situación, donde se le da a la variable N 2 su valor inicial.,{ N } (26)

5 Algorítmica del diseño mecánico 35 El segundo aso del algoritmo, como se observa en la Fig. 5, consiste en determinar la variable f 2 en la relación r 4. O sea, 2 { r4 },{ f2} (27) Los restantes asos del algoritmo serán, siemre según la Fig. 5: { r },{ } 3 3 α (28) 4 { r 1},{ N1} (29) 5 { r5 },{ f1} (30) 6 { r2 },{ N2} (31) Los asos 2 a 6 se reiten hasta que el valor de N 2 converja a una magnitud fija. Entonces, el valor de α será el correcto. Para los datos numéricos siguientes: G =1 000 N, µ 1 = 0.15 y µ 2 = 0.20 los cálculos numéricos arrojan los resultados recogidos en la Tabla 1. Tabla 1. Ejemlo numérico iteración N 2, [ N ] α, [... ] Conclusiones y recomendaciones La construcción sucesiva de los grafos del modelo, del roblema y del algoritmo ermite esclarecer la génesis del algoritmo. Los algoritmos cíclicos resultan de difícil comrensión, ero muchos de los rocedimientos de diseño mecánico resentan este carácter. El ejemlo sencillo de la escalera dado en el resente artículo no aarece en los textos de Mecánica ara Ingenieros, orque involucra un algoritmo cíclico. Según la exeriencia de los autores, cuando se utilizan los grafos bicromáticos como medio de reresentación de los modelos, roblemas y algoritmos, los roios ingenieros diseñadores se motivan or realizar ellos mismos el roceso de desarrollo, con lo cual alcanzan tanto las habilidades ara el análisis como ara la síntesis. Por tanto, se recomiendan los grafos bicromáticos como herramienta ara la reresentación de los algoritmos en las monografías, artículos de ublicaciones eriódicas y en todos los documentos de royecto donde se exresen algoritmos. Por otro lado, se ha demostrado en la ráctica el alto valor de los grafos bicromáticos como herramienta edagógica ara la formación algorítmica [ 5] de los estudiantes de ingeniería, en osgrado y en regrado. Por ello, se recomiendan los grafos bicromáticos ara reresentar la génesis de algoritmos en los libros de texto, así como en las conferencias, clases rácticas, laboratorios y demás actividades docentes. Bibliografía 1ILLINGWORTH V., GLEYSER E.L., PAYLE I.K. (Eds.) Dictionary of Comuting. Oxford University Press, Oxford, LOPATNIKOV L.I. Èkonomiko-matematiceskij slovar. Nauka, Moskva, ORE O. Theory of Grahs. American Mathematical Society, Rhode Island, TYUGU È.H. Rešenie zadac na vycislitel nyh modelâh. Vycislitel naâ matematica i matematicescaâ fizika. 10 (1970), N 3, ESCANAVERINO J.M. Los grafos bicromáticos: una herramienta en la formación algorítmica de los estudiantes de ingeniería. Evento Pegagogía 97. La Habana, Cuba, 3-7 febrero Algorithmics of mechanical design Abstract It is shown that every mechanical engineering design rocedure can be interreted as a roblem solving rocess in mathematical models, by means of the corresonding algorithms. Dichromatic grahs are used as means to exress models, roblems and algorithms. Theoretical concets are illustrated with a ractical examle taken from solid mechanics.