Evolución de un modelo de Planificación Forestal

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1 Evolución de un modelo de Planificación Forestal Evolución de un modelo de Planificación Forestal Gómez Núñez, Trinidad a (trinidad@uma.es) Hernández Huelin, Mónica a (m_huelin@uma.es) Molina Luque, Julián a (julian.molina@uma.es) León Sánchez, M. Amaro b (maleon@mat.ur.edu.cu) Caballero Fernández, Rafael a (rafael.caballero@uma.es) a Deartamento de Economía Alicada(Matemáticas), Universidad de Málaga b Deartamento de Matemáticas,Universidad de Pinar del Río (Cuba) RESUMEN Los bosques cubanos sufrieron una exlotación indiscriminada en el asado. A esar de los esfuerzos realizados con los lanes de reforestación, y el establecimiento de lantaciones, la estructura or edades de estos bosques está muy desequilibrada, lo que dificulta un flujo estable de bienes y servicios. En este trabajo se resenta la evolución de un modelo de lanificación forestal con criterios múltiles, alicado a dos lantaciones de Pinus Caribaea situadas en la región de Pinar del Río, Cuba, con el objetivo de lograr una estructura equilibrada de edades al finalizar el horizonte de lanificación y con ello garantizar una estabilidad en el flujo de bienes y servicios sujeto a restricciones de área, volumen y manejo en general. El modelo se aoya en la Programación or Metas (PM) y evoluciona de un modelo de PM lexicográficas lineal a un modelo lexicográfico con metas fraccionales ara terminar en un modelo con variable binaria y cuya resolución se lleva a cabo a través de métodos metaheurísticos. En el resente trabajo trataremos de establecer la evolución en la modelización de los rinciales objetivos rouestos y los resultados obtenidos en cada uno de ellos y analizaremos las conclusiones derivadas de este roceso investigador. Palabras claves: Programación or Metas; Programación Fraccional; Métodos Metaheurísticos, Planificación Forestal Clasificación JEL (Journal Economic Literature): C02, C6, Q23 Área temática: Asectos cuantitativos del fenómeno económico.

2 T. Gómez, M. Hernández, J. Molina, A. León, R. Caballero. INTRODUCCIÓN Los bosques cubanos tienen una comosición or edades en desequilibrio, muy distante de lo que requieren los lanes de desarrollo del aís y la garantía de sostenibilidad. Esta situación es bastante diferente de la recogida en otros modelos que aarecen en la literatura (Díaz-Balteiro y Romero, 2003; Kazana y otros, 2003) alicados a bosques o lantaciones con una distribución de la suerficie ocuada or clases de edad que se desea mantener y con esecies de crecimiento lento, con un amlio margen de tiemo ara llevar a cabo la corta rincial. Como ejemlo de esta situación odemos citar la Unidad Silvícola San Juan y Martínez, erteneciente a la Emresa Forestal Integral Pinar del Río, que cuenta con 3.984,3 ha. de lantaciones de Pinus Caribaea manejadas con roósitos de roducción de madera rincialmente. Las características de esta área de roducción se muestran a continuación en la Tabla, donde la suerficie total se encuentra dividida or zonas (índices de sitio) según su roductividad y or edades de la lantación (gruos de edad). Tabla. Área de roducción or gruos de edades e índices de sitio (San Juan y Martínez) Clases de edad Área (ha.) Índices de sitio Clase Años Total ,6 33,5 32,2 0,0 96, ,9 236,8 344,6 0,0 660, ,5 266,7 405,9 98,0.00, ,4 02,0 79,0 88,0 543, ,0 672,4 759,6 83,2.683,2 Total 562,4.33,4.62,3 469, ,3 A artir de estos datos odemos observar que, si se talaran las masas cuando llegan a la clase de edad cinco (la edad del turno), actualmente se talaría un total de.683,2 hectáreas generando un volumen de 267.0,44 m 3 de madera. Transcurridos cuatro quinquenios, sin realizar ninguna lanificación, se talarían 96,3 hectáreas obteniéndose un volumen de m 3 de madera, aenas alrededor del 7,22 % de los ingresos que se obtendrían en este momento. Ante esta situación, alicar el criterio de talar en la edad del turno (al finalizar el ciclo de la masa forestal) sólo eretuaría el 2

3 Evolución de un modelo de Planificación Forestal desorden y la inestabilidad en la roducción, lejos de garantizar los objetivos que demanda la ordenación sostenible de los bosques. Por ello, ara lograr una estructura equilibrada or edades tenemos que admitir la osibilidad de talar antes o desués de la edad del turno. Teniendo en cuenta que el rincial objetivo en nuestro contexto de estudio es regular la lantación, se han elaborado tres modelos que tratan de conseguir tal roósito y en el último de ellos se han incluido restricciones esaciales, que hacen un modelo de mucha mayor comlejidad. En el resente artículo, se exlica cómo ha evolucionado la modelización multiobjetivo del roblema de lanificación forestal, desde su formulación más sencilla hasta la versión más acabada y comleja, que cuenta con asectos esaciales en la lanificación y logra asar de una lanificación estratégica de la cosecha a una lanificación táctica, eriodo a eriodo, estableciendo los tratamientos a alicar a cada unidad básica (rodal) en los que se encuentra dividida la lantación. Los roblemas resultantes de las distintas modelizaciones han sido resueltos mediante los rogramas MOPEN (Caballero y otros, 2005), PFLMO (Caballero y Hernández, 2003) y SSPMO (Molina y otros, 2007). 2. IDEAS BÁSICAS. SIMILITUDES Y DIFERENCIAS DE LOS TRES MODELOS En todos los modelos que resentamos los objetivos básicos erseguidos or el centro decisor se odrían recisar en las siguientes remisas: La roducción de madera debe ser tal que no se degrade el bosque, ara cada unidad de tiemo en que se divide el horizonte temoral. El área cubierta or cada clase de edad debe ser aroximadamente la misma al finalizar el horizonte de lanificación. Evitar, siemre que sea osible, alicar tala rasa en edades temranas. El Valor Actualizado Neto (VAN) debe suerar ciertos umbrales a lo largo de la lanificación. Como se observa, no se retende maximizar ni minimizar ninguna medida, sino que se alcancen determinados valores en ciertos criterios orientados a la obtención de un bosque equilibrado, evitando su degradación. Ello nos conduce a formalizar las 3

4 T. Gómez, M. Hernández, J. Molina, A. León, R. Caballero remisas anteriores en forma de metas, donde incororaremos también las referencias, en cuanto al cumlimiento de estas metas, utilizando el enfoque lexicográfico. Los modelos I (PM lexicográficas lineal, León y otros, 2003) y II (PM lexicográficas fraccional, Gómez y otros, 2006) son modelos de variable continua alicados a la misma lantación (dividida or zonas según la roductividad o índice de sitio y or la edad de los árboles) y en los que consideramos como variable de decisión las hectáreas, en cada índice de sitio considerado y ara cada gruo de edad, a las que se les va a alicar un tratamiento concreto, en cada eriodo de la lanificación. Las denotaremos or x hij, siendo h el índice de sitio (h =,..., H), i el gruo de edad (i =,..., I), j el tratamiento a realizar (j =,..., J), que uede deender de la edad, y el eriodo de lanificación ( =,..., P, donde P coincide con el horizonte de lanificación dividido or el número de clases de edad, P =T / I). Además, en ambos modelos se denota or shi a la suerficie total disonible, en hectáreas, del índice de sitio h y clase de edad i en el eriodo. De manera análoga, Si y S h simbolizan la suerficie total en cada eriodo en hectáreas de edad i e índice de sitio h, resectivamente. Debido a la evolución de las masas s hi deende de las suerficies del eriodo anterior de la siguiente manera: I s h = x h =, 2,,H i= hij shi = shi xh J i = 2,3,,I; h =,2,,H s hi = s ( ) ( ) h( I ) xh( I )J + shi xhij h =,2,,H Por otro lado, el modelo III (PM lexicográficas con variable binaria, Gómez y otros, 2008) es un modelo de variable binaria, uesto que en este caso se considera que la lantación está dividida en unidades básicas o rodales a los que se les alica o no un determinado tratamiento (que udiera ser tala rasa) al rodal en toda su extensión. Además se imlementan restricciones esaciales de adyacencias de forma que el área contigua de tala rasa no uede suerar un cierto tamaño (maximum oening size). Tales restricciones ermiten la reservación de la belleza visual, la biodiversidad, evitar las erosiones, etc. Actualmente están resultando una ráctica estándar en la gestión de áreas forestales úblicas y rivadas (Murray y Weintraub, 2002). En este modelo la variable 4

5 Evolución de un modelo de Planificación Forestal de decisión va a indicar si el tratamiento j (j =,,J) se va a alicar o no al rodal r (r=,, R) en el eriodo t (t=,, T), y la denotaremos or x rjt, de manera que: si al rodal r se le alica tratamiento j en el eriodo t x rjt = 0 en caso contrario Hacemos notar que se asa de una lanificación estratégica (temoral) de la cosecha en los modelos I y II donde la lanificación se hace or eriodos de T/P años cada uno, a una lanificación táctica (temoral y esacial) en el modelo III donde la lanificación es anual. Debido a la diferencia esencial entre los modelos I y II (variable continua) y el modelo III (variable binaria) los dos rimeros modelos fueron resueltos con algoritmos exactos mientras que el tercero hubo de ser resuelto con un método metaheurístico basado en el Scatter Search. Para terminar este aartado, cabe destacar el hecho de que, salvo las restricciones esaciales de adyacencias, en los tres modelos se consideran las mismas restricciones técnicas (relativas a los tratamientos a alicar, que deenden de la edad del árbol y relativas a la suerficie disonible) y restricciones de control del límite inferior de la suerficie total a ser talada cada eriodo así como del VAN obtenido cada eriodo. 3. MODELOS I Y II A continuación describiremos las metas que se incluyeron en los modelos I y II según su orden de rioridad, (teniendo en cuenta que son las mismas ara cada eriodo ), y los rinciales resultados obtenidos. 3.. Modelo I. PM lexicográficas lineal En este rimer modelo se incluyeron las siguientes metas: Primer nivel de rioridad: Mantener la suerficie en la que se alica la tala rasa en niveles róximos a lo silvícola y ecológicamente acetable, evitando que se suere el nivel Se que reresenta la suerficie a regenerar de equilibrio en el índice de sitio h, h ara el eriodo, que es la que garantiza que se tale y se regenere toda la suerficie en un turno: Consideraremos que el último subíndice, J, es el tratamiento de tala rasa. 5

6 T. Gómez, M. Hernández, J. Molina, A. León, R. Caballero I i= xhij + n h h = Seh h,..., H = Segundo nivel de rioridad: Se trata de mantener los niveles de extracción en el límite del volumen que se uede extraer sin riesgos de degradación, tratando de que no se sobrease. Así, si v hij reresenta el volumen or hectárea arovechada en cada índice de sitio, edad, tratamiento y eríodo, y V la osibilidad volumen cosechable en dicho eriodo, el siguiente conjunto de metas ocuan el segundo nivel de rioridad: H v hij h= ( i, j) N x hij + n 2 2 = V Tercer y cuarto nivel de rioridad: En estos niveles se intentará imedir que se talen árboles de edad inferior al gruo I-2 (nivel 3) e I- (nivel 4), en cada eriodo : H I 2 h= i= hij 3 3 = 4 4 = x + n 0 y x + n 0 H I h= i= Quinto nivel de rioridad: Esta meta modela el objetivo económico en cada eriodo. Se desea alcanzar o sobreasar el valor actualizado neto or eriodo, VAN : hij H h= ( i, j) N VAN hij x hij + n 5 5 = VAN donde VAN reresenta el valor monetario de la corresondiente hectárea. h i j La resolución del corresondiente roblema de PM se realizó con el rograma MOPEN, (Caballero y otros, 2005) y los datos corresondientes a la lantación San Juan y Martínez de 3.984,3 ha. de Pinus Caribaea, cuya suerficie está dividida en H = 4 índices de sitio, I = 5 clases de edad y cuya situación inicial se corresonde con la Tabla de la Introducción. La lanificación se hizo a T =25 años divididos en P = 5 eriodos. Tras la resolución se obtuvieron diversas soluciones que verifican los niveles a los que asiraba el centro decisor, ero resentando el inconveniente de que no todas estas soluciones aseguran el equilibrio al finalizar el horizonte de lanificación, en cuanto a la suerficie ocuada or cada clase de edad. Las 5 soluciones resentadas se resumen en la Tabla 2. 6

7 Evolución de un modelo de Planificación Forestal Tabla 2. Soluciones modelo I Solución Equilibrada VAN total (Pesos) No No No No Sí A la vista de estas soluciones, el centro decisor emitió sus valoraciones con resecto a las distintas situaciones que reresentan y seleccionó la que ofrece una comosición homogénea de áreas or gruo de edad (Solución 5) aún cuando es la que tiene menos área tratada y también la que aorta un menor beneficio Modelo II. PM lexicográficas fraccional Se mantienen las mismas remisas y las metas son las mismas que en el modelo I. Los niveles de rioridad y 2 ermanecen y se añade en el tercer nivel de rioridad una meta fraccional cuyo objetivo es buscar el equilibrio or edades al finalizar la lanificación en todas las soluciones satisfactorias. A cambio se ermite la tala de árboles de edad I-, es decir, las metas que ocuaban el nivel 4 en el modelo I se surimen. Nuevo Tercer nivel de rioridad: La meta situada en este nivel de rioridad recoge el deseo de alcanzar el equilibrio or edades al finalizar el horizonte de lanificación. En ella se establece que el ratio existente entre el número de hectáreas del rimer gruo de edad y las del último gruo de edad se vaya estabilizando or eriodo hasta llegar a ser. S S I + n3 3 = =,, P P Se mantienen las restricciones técnicas y de control del modelo I y comentadas en el eígrafe 2, y se añade (al haber eliminado la meta que imide la tala rasa de árboles de edad I-) una restricción que controla mediante un arámetro el orcentaje de tala rasa ermitido en estos árboles. 7

8 T. Gómez, M. Hernández, J. Molina, A. León, R. Caballero El nuevo modelo fraccional es alicado a la misma lantación San Juan y Martínez utilizando el rograma PFLMO (Caballero y Hernández, 2003) que resuelve de forma exacta el roblema de PM lexicográficas fraccional que se genera. Tras ello, se encontraron soluciones satisfaciendo todas las metas, lo cual conlleva soluciones equilibradas al finalizar el horizonte de lanificación, es decir, todas las soluciones satisfactorias obtenidas alcanzan una distribución equilibrada de la suerficie ocuada or cada gruo de edad. Las soluciones resentadas al centro decidor se resumen en la Tabla 3. Tabla 3. Soluciones modelo II Solución Equilibrada Su. Talada Edad 4 VAN total (Pesos) Sí 79,94 ha Sí 09,6 ha Sí 36,08 ha Sí,26 ha A la vista de estas soluciones el centro decisor emitió sus valoraciones y la solución escogida fue la Solución 3. Dicha solución es tal que consigue el equilibrio al finalizar el horizonte de lanificación, no tala árboles de gruos de edad, 2 y 3 y sólo tala un 5% de los árboles de edad 4 y además el VAN en esta solución asciende a esos. 4. MODELO III Como se exlicó en el eígrafe 2, la rincial diferencia de este modelo con los anteriores viene marcada or el uso de variables binarias. En el caso más común de una lantación dividida en unidades básicas o rodales, un determinado tratamiento (incluyendo tala rasa) o se alica al rodal entero o no se alica, lo cual conlleva necesariamente el uso de estas variables a la hora de modelizar el roblema. En este caso concreto, se nos resentó el roblema de lanificar la cosecha anual de la lantación Minadora de 3.347,7 ha. de Pinus Caribaea dividida en 305 rodales, situada de nuevo en la rovincia cubana de Pinar del Río y cuya situación inicial desequilibrada (Tabla 4) se quería normalizar. En este roblema se mantienen las mismas remisas y las metas son las mismas que en el modelo II, incluyendo la meta fraccional cuyo objetivo es buscar el equilibrio 8

9 Evolución de un modelo de Planificación Forestal or edades al finalizar la lanificación en todas las soluciones satisfactorias, ero modelizadas de acuerdo a la nueva situación (variable binaria). Además, debido a la gran cantidad de rodales con edad suerior a la edad de rotación existentes en la lantación, se añadió en el nivel de asiración 5 (nivel anterior al económico) una nueva meta que ersigue la tala de estos rodales viejos de una forma rogresiva. Cada año, el nivel de asiración de esta meta es talar al menos un orcentaje del área total de estos rodales viejos existentes el año anterior. Así, las nuevas metas situadas en el quinto nivel de rioridad se modelizan como sigue: t t t ( S( r )( xrjt )) n S( r ) = t =,..., T T r / A( r,t ) > N* r / A( r,t ) > N* siendo S(r) la suerficie en hectáreas del rodal r y N* la edad de rotación. Con resecto a las restricciones, de nuevo se incluyeron restricciones técnicas relativas a los tratamientos y disonibilidad de área así como restricciones de control inferior de la suerficie talada y el VAN obtenido cada año. Como novedad se incluyen restricciones de adyacencias que imiden la tala simultánea de rodales de un mismo conjunto de adyacencia hasta que hayan asado un mínimo de g años (llamado green-u requirement). Este arámetro g refleja el tiemo necesario ara que los árboles del rodal r, talado en un determinado año, alcancen una altura mínima antes de oder talar otro rodal de su conjunto de adyacencia (Weintraub y Murray, 2006): r Ck t+ g s= t x rjs C k k = 2,,...,K; t = 2,,... T g Los conjuntos de adyacencia han sido calculados reviamente junto con el centro decisor de manera que rodales ertenecientes a un mismo conjunto C k son unidades contiguas cuya suerficie unida suera el umbral ermitido S* denominado maximum oening size (Murray y Weintraub, 2002). Teniendo en cuenta las características fundamentales de este modelo, (un modelo de PM lexicográficas fraccional que trata con restricciones esaciales de adyacencia y variable binaria), nos encontramos ante un roblema sumamente comlejo el cual, ara tratar su resolución, se hace necesario acudir a rocedimientos metaheurísticos. El algoritmo metaheurístico emleado ara la resolución de este roblema es una adatación del método evolutivo SSPMO (Scatter Search Procedure for Multiobjective Otimization, Molina y otros, 2007) a este roblema de lanificación forestal. Al 9

10 T. Gómez, M. Hernández, J. Molina, A. León, R. Caballero resolver, se obtiene una lanificación de los tratamientos a alicar durante 30 años a esta lantación de manera que se verifiquen todas las restricciones esaciales y técnicas y al finalizar el horizonte temoral nos acerquemos lo más osible a los deseos del decisor. La solución obtenida en este caso satisface los tres rimeros niveles de rioridad ero a artir del cuarto nivel las metas no se logran satisfacer. La solución obtenida es aquella que minimiza el incumlimiento de la meta situada en el 4º nivel de rioridad (la meta fraccional, que busca el equilibrio or edades). Dicho resultado era revisible or el gran desequilibrio inicial del que se arte y además tanto las restricciones técnicas como las de adyacencias, así como los dos rimeros niveles de rioridad tratan de limitar la tala rasa. Con todo ello, en la solución, la diferencia relativa entre el área cubierta or rodales del rimer gruo de edad y del último se incrementa año a año desde el 2,58% inicial hasta el 76,6% al finalizar la lanificación. La situación final ha mejorado bastante con resecto a la situación inicial, véase la siguiente tabla (Tabla 4): Tabla 4. Área de roducción or edades (Minadora) Edad Situación Inicial Situación Final ,3 548, ,7 545,8-5 26,0 54, ,6 546, ,5 448,9 > 25 45,6 76,9 Total 3.347, ,7 4. CONCLUSIONES Todos los modelos de PM resentados ermiten determinar la suerficie que debe ser sometida a los diferentes tratamientos, indicando el volumen de madera a extraer en cada eriodo de la lanificación, conocer el Valor Actualizado Neto que genera dicha lanificación y además disminuir los sacrificios de cortabilidad en el roceso de arovechamiento de la lantación. 0

11 Evolución de un modelo de Planificación Forestal La inclusión de la meta fraccional en los modelos II y III trata de una forma natural el deseo de equilibrio del decisor, ya que incide en el asecto dinámico del roblema, asegurando, en el caso de que existan soluciones que satisfacen las metas, que todas ellas estarán equilibradas al finalizar la lanificación y consiguiéndolo de una forma aulatina. Como se uede areciar en este trabajo, cada modelo suera el anterior en la intención de reresentar cada vez con mayor fidelidad el uso múltile de los bosques, desembocando en un comlejo modelo de metas lexicográfico que además tiene en cuenta restricciones de adyacencias que no ermiten talar de forma contigua en un mismo eriodo de la lanificación más de un número concreto de hectáreas. El modelo lanteado resulta ser de una gran comlejidad debido a sus características fundamentales: de rogramación multiobjetivo, de variable binaria y no lineal. Por todo ello, se lantea el uso de un método metaheurístico ara roceder a su resolución. Por otra arte, los modelos diseñados en este trabajo son alicables a lantaciones uras de otras esecies, siemre que revalezcan los mismos objetivos económicos y ecológicos aquí abordados. 5. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS CABALLERO, R. y HERNÁNDEZ, M. (2003). PFLMO (Programación Fraccional Lineal Multiobjetivo). Programa de ordenador, R.P.I.: MA , Universidad de Málaga, Málaga. CABALLERO, R., LUQUE, M., MOLINA J. y RUIZ, F. (2005). MOPEN: A comutational ackage for linear multi-objective and goal rogramming roblems. Decission Suort System, A, 4, DÍAZ-BALTEIRO, L. y ROMERO, C. (2003). Forest management otimisation models when carbon catured is considered: a goal rogramming aroach. Forest Ecology and Management, 74, GÓMEZ, T., HERNÁNDEZ, M., LEÓN, M.A. y CABALLERO, R. (2006). "A forest lanning roblem solved via a linear fractional goal rogramming model". Forest Ecology and Management, 227, GÓMEZ, T., HERNÁNDEZ, M., MOLINA, J., LEÓN, M.A. y CABALLERO, R. (2008). A multiobjective model for forest lanning with adjacency constraints. Enviado a ublicación.

12 T. Gómez, M. Hernández, J. Molina, A. León, R. Caballero KAZANA, V., FAWCETT, R.H. y MUTCH, W.E.S. (2003). A decision suort modelling framework for multile use forest management: The Queen Elizabeth Forest case study in Scotland. Euroean Journal of Oerational Research, 48, LEÓN, M.A., CABALLERO, R., GÓMEZ, T. y MOLINA J. (2003) Modelización de los roblemas de ordenación forestal con múltiles criterios. Una alicación a la economía forestal cubana. Estudios de Economía Alicada, 2, MOLINA, J., LAGUNA, M., MARTI, R., CABALLERO, R. (2007). SSPMO: A scatter tabu search rocedure for non-linear multiobjective otimization. Informs Journal of Comuting, 9,, MURRAY, A.T. y WEINTRAUB, A. (2002). Scale and unit secification influences in harvest scheduling with maximum area restrictions. Forest Science, 48, WEINTRAUB, A. y MURRAY, A.T. (2006). Review of combinatorial roblems induced by satial forest harvesting lanning. Discrete Alied Mathematics, 54,