Herramientas Geométrico Computacionales para Analizar Cualidades de Forma en Rotores Acoplados

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1 Herramientas Geométrico Comutacionales ara Analizar Cualidades de Forma en Rotores Acolados José Sánchez V., Sergio Padilla O. Centro de Ciencias Alicadas y Desarrollo Tecnológico, Universidad Nacional Autónoma de México Circuito Exterior S/N, Ciudad Universitaria, 04510, Distrito Federal, México. jose.sanchez@ccadet.unam.mx RESUMEN A la escasa literatura disonible ara diseño de engranes de ejes ortogonales excéntricos, se añaden las condiciones de roiedad de diseños y de sus rocesos de fabricación y de verificación. En un intento or develar diseños válidos y establecer ajustes o semejanzas con engranajes reales ara evaluarlos, se han desarrollado rocesadores que materializan las suerficies límite de dientes en esacios CAD. El conocimiento exacto de estas formas y sus ensambles, ermite diseñar rotocolos de verificación incluido el análisis de interferencia. Las herramientas son útiles en el análisis de otros ares acolados diferentes de engranes. 1. INTRODUCCIÓN La teoría de diseño de engranes se enfoca rincialmente sobre engranes rectos o helicoidales y con erfiles envolventes y eicicloidales. Buckingham [1], ataca en rofundidad asectos de diseño de engranes hioidales; sin embargo no desarrolla una teoría general del desarrollo de dientes y su curvatura en direcciones longitudinal y transversal, o es escasa y arcial. Otros autores [2] los tratan bajo los asectos de eficiencia de transmisión, lubricación, corte, materiales, terminado o ruebas. La evaluación metrológica de estos engranes ara roósitos de análisis de falla, no requiere del conocimiento exacto del diseño o roceso de fabricación; ero sí del cumlimiento de relaciones cinemáticas a todo lo largo y alto del desarrollo de dientes. Para éste roósito, se han creado rocesadores de geometrías y modeladores de suerficies, que las lanzan a CAD en distintos estados de rotación. Definiremos como geometrías válidas a aquellas configuraciones de suerficies límite, ertenecientes a rotores acolados ortogonalmente, que ermiten deslizamiento sin interferencia, y garantizan una región de contacto continua ara cualquier estado de rotación. El conocimiento de geometrías válidas y sus ensambles en esacios CAD, ermite diseñar rotocolos de verificación alicables también a otros ares diferentes de engranajes. Como subroducto de esta investigación se han encontrado diseños no comunes que exceden el esectro observado en la industria. 2. CINEMÁTICA DE PARES HIPOIDALES La teoría general de engranes casa ángulos de generatriz, diámetros y número de dientes or: Db Dbg N = Ng 2, (1) N tan(γ ) =, (2) Ng donde Db es el diámetro base o más estrecho del hierboloide del iñón, Dbg es el diámetro más estrecho del hierboloide de la corona, N y Ng son los números de dientes de iñón y corona resectivamente, y γ el ángulo de la generatriz de hierboloides resecto del eje del iñón. Esta inclinación de la generatriz, garantiza tangencia de hierboloides a todo lo largo, cuando el eje conjugado es ortogonal. El desarrollo de los hierboloides de revolución, que reresentan las suerficies de aso de los engranes, cumle la relación: r = Rb 2 + h 2 tan 2 ( γ ), (3) donde r es el radio del hierboloide a una altura h del círculo base: Rb. Ésta relación uede adquirir diferentes asectos, según se trate de ecuaciones cilíndricas o aramétricas, o escritas en diferentes sistemas de coordenadas. SM2008-M

2 Una ecuación o conjunto de ecuaciones que reresente el desarrollo del diente a lo largo del hierboloide es más comlejo; ero una línea de inclinación γ es común a ambos hierboloides y uede constituir un trazo válido de dientes ara ambos: corona y iñón. Sin embargo, el diseño de dientes admite variaciones de acuerdo a lo observado en iezas comunes; ero además, el análisis de ensambles ermite deducir que deben cumlirse las relaciones: a. El aso o distancia entre dientes iñón-corona, royectada sobre la generatriz, es el mismo a alturas conjugadas. b. El desarrollo de dientes es erendicular a alturas conjugadas, o tangente en ensambles. Estas condiciones sin embargo, arecen no conducir de manera directa a un diseño, ni en su desarrollo longitudinal ni en su erfil transversal o de rofundidad Cinemática Fuera de las Suerficies de Paso La Ec. (1) arece no obligada en dientes con rofundidad, ya que mientras la relación de dientes se conserva, no sucede lo mismo con los diámetros. Similarmente los engranes helicoidales no están ligados a la Ec. (1), ermitiendo cualquier relación que satisfaga la Ec. (4): N tan 1 gd α = ( ). (4) N D Por otra arte dos secciones de engrane hioidal de esesor desreciable a la altura de los círculos base, coinciden con engranes helicoidales. Reescribiendo la Ec. (3) en coordenadas ortogonales se obtiene: x 2 + y 2 = Rb 2 + z 2 tan 2 ( γ ). (5) Con las Ecs. (4) y (5) se ueden iniciar sendos trazos de corona y iñón, válidos en las vecindades de Rb. A artir de las coordenadas iniciales de estos trazos, se uede navegar or las suerficies hioides, Ec. (5), hasta que se cumlan las condiciones (a) y (b) de la sección 2. El roceso se continúa hasta que se llega a las regiones de interés, o hasta que no se encuentran nuevos g segmentos que satisfagan condiciones de acolamiento. Este roceso constituye el rinciio de trazo longitudinal Desarrollo Transversal de Dientes Considerando que la invulometría en dientes de engranes hioidales tienen erfil envolvente en el círculo base, los desarrollos longitudinales que arten de untos envolvente del erfil base definirán el desarrollo transversal de dientes a todo lo largo de su desarrollo. Sin embargo, no se descartan otros erfiles. Los ajustes siguientes son una oción ara estos trazos: Para los desarrollos de cresta en corona: Dg + Add en vez de: Dg, (6.1) D Add en vez de: D, (6.2) donde Add y Ded son las alturas de adendo y dedendo. Los ajustes ara trazo de dedendo serán similares Modelación de Suerficies Límite El lugar geométrico de las trayectorias: rincial, en adendo y dedendo, y de ser necesario de otras curvas intermedias, ermite configurar y resolver un modelo aremétrico de suerficie B-sline: ( = UMcV, (7) Donde ( es el conjunto de untos suerficie 3D definido arametricamente or 0 u 1, 0 v 1, Mc Es una matriz de untos de control que forman una malla, la que moldeará la suerficie a través de coeficientes de influencia anidadas en U y en V, y U y V, son matrices de coeficientes de influencia de los untos de control, que adotan diferentes valores deendiendo de los valores de v, y del sub-modelo elegido. Los valores internos de U, Mc, V, deenden del submodelo B-sline (B-s) elegido; entre las variantes osibles ueden ser: B-s con grados diferentes en direcciones u y en v, y con distribución eriódica y no eriódica. Un caso articular de B-s lo constituyen las suerficies de Bezier; todas ellas hábiles ara modelar la suerficies de interés. Remitimos al lector a la referencia [3] ara ahondar detalles. SM2008-M

3 Adotando un modelo no eriódico a una cara del iñón, éste osee los arámetros de la Fig. 1. Fig. 2. Obtención de direcciones normales de alación e. Fig. 1. Los untos de trayectorias ermiten definir el oliedro Mc(1,1) Mc(3,7), el que moldeará la suerficie de dientes (. En una geometría no erfecta los untos realmente alados serían cm. El conjunto de untos cm constituirá una caa envolvente, y el cumlimiento de tolerancias se uede realizar or los valores que adote la desviación de la Ec. (10): devr( = cm'( cm(. (10) 3. ANÁLISIS DE FORMA Y HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES 3.1. Modelado de Suerficies La Ec. (7) es continua y derivable en u y en v: u (, v ( ; lo que ermite obtener un vector unitario e normal a la suerficie, Fig. 2, y dado or: u v e( = ( (, (8) El conjunto de untos ( y vectores e (, ermite definir un conjunto de untos de medición (cm) de localización: cm ( = ( + e( r, (9) donde r es el radio del alador, Fig. 3. Fig. 3. El conocimiento numérico de untos suerficie, untos caa envolvente y radio o dirección de alación ermite definir rotocolos de medición. SM2008-M

4 3.2. Recursos Comutacionales El análisis de forma e interacciones entre objetos geométricos, difícilmente uede realizarse sin la confirmación visual que es osible realizar en esacios CAD. Para ello, se tomaron o adataron los códigos fuente de Numerical Recies [4]; rincialmente en lo referente a maniulaciones lineales. Básicos: Entradas: Ng, N, aso (@ circ base), Asecto Hg/Dg. Salidas: Dg, D (@circ base), Hg, H, γ g, γ, α g, α, (ángulos de salida de base), Lg (Longitud de generatriz), Addc, Dedc, Add, Ded (@circ base) Trazo: Entradas: Dg, D (@circ base), Hg, H, γ g, γ, α g, α, (ángulos de salida de base), Lg (Longitud de generatriz), Add, Ded ó untos intermedios de arranque. Fig. 4. Par acolado de relación Ng/N=6, Dg/D=1. Salidas: Bases de datos de: ejes, círculos base, adendo, dedendo, curvas de desarrollo, generatriz. Envolvente normalizada. Suerficies de erfiles. Ensamble: Entradas: Salidas de Trazo, número de flancos, crestas y raíces a graficar Salidas: Arreglos de trazos transformados, código CAD. La interactividad de recursos de rocesamiento, se lleva a cabo or el establecimiento de matrices numéricas o con texto embebido, de intercambio de datos en código ASCII. Los modeladores de sólidos de Autodesk, ermiten el intercambio de información a través de archivos en este formato. 4. RESULTADOS El emleo del roceso ha ermitido encontrar un esectro de diseños válidos, que excede lo observado en iezas industriales comunes, como lo muestran las Figs. 4 y 5. En estos diseños, los trazos se extienden desde en círculo base hasta más allá de la relación D/H=1.0; ésta osibilidad ermite elegir altas inclinaciones diente/ecuador, ara lograr reversibilidad de movimiento, entre otros beneficios. Fig. 5. Par acolado de relación Ng/N=1, Dg/D=15. Como las figuras revias lo muestran, se cuenta ahora con herramientas numéricas de transformación, aroximación, y trazo CAD, que ermiten: (a) definir alaciones 3D en iezas de diseño conocido y determinar desviaciones, (b) caturar formas reales de diseño desconocido or MMCs de forma indeendiente ara corona y iñon, ensamblarlas en CAD y analizar interferencia, (c) convertir iezas reales en iezas maestras, or la adición de vectores en diseños aroximados, Fig Casos Particulares de Acolamiento Existen casos similares de alicación industrial, que se enfrentan a roblemas de verificación de forma y definición de criterios de tolerancias; algunos de ellos son: engranes de ejes cruzados no hioidales, y comresores rotativos continuos ara gases. Para estos casos, las herramientas desarrolladas ermiten establecer ajustes y convertir los diseños SM2008-M

5 hioides en lanoides o cónicos; o los erfiles envolventes truncos, en erfiles suaves, ermitiendo desarrollar rotocolos ara tales alicaciones, Figs. 7 y 8. Permite la verificación y análisis de falla cuando ocurre or interferencia. Permite diseñar rotocolos de verificación 3D en MMC. Permite la comunicación y enseñanza de la cinemática de ares acolados ortogonalmente. Fig. 6. Ensamble del iñón de Figs. 1 a 3 en azul y corona en blanco, mostrando: tangencia de líneas de aso (blanca y amarilla), y roximidad de suerficies en línea de acción (en rojo). Fig. 8. Análisis de interferencia entre tornillos de erfiles continuos senoidales. 6. CONCLUSIONES Los rinciios y metodología de trazos válidos no constituyen or si mismos un rotocolo de medición; ero constituyen una herramienta de tio general ara desarrollar rotocolos de verificación a iezas articulares, y de análisis de falla or interferencia. Fig. 7. Tornillos acolados a trayectorias lanoides. 5. DISCUSIÓN El aquete de herramientas desarrollado, aorta los siguientes beneficios: Permite la aroximación a diseños desconocidos or rocedimientos heurísticos (ingeniería de reversa). Este trabajo sirve de base ara confeccionar una rouesta a: GPS - Comité ISO 213, relativa a la verificación de calidad de forma de engranes, basada en el conocimiento exacto de formas; en sustitución de ruebas roietarias. REFERENCIAS [1] Analytical Mechanics of Gears, Buckingham E., Dover Publications Inc., N. Y. 1963, Library Congress Catalog Number: [2] Gear Handbook, Dudley D., Mc. Graw Hill Comany, First Edition, N. Y., 1962, Library Congress Catalog Number: [3] Geometric Modelling, Michael E. Mortenson, John Wiey & Sons, ISBN , Ch 2. SM2008-M