MODELACIÓN MATEMÁTICA DEL CAUDAL DEL RÍO MAIPO BASADA EN INFORMACIÓN METEOROLÓGICA DE LA CUENCA.

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1 MODELACIÓN MATEMÁTICA DEL CAUDAL DEL RÍO MAIPO BASADA EN INFORMACIÓN METEOROLÓGICA DE LA CUENCA. Manríquez F Ana*, Estay C Ricardo E. M. O. S. S. A. - Avda. Bulnes Santiago - CHILE La oeración de Plantas de Tratamiento ara Agua Potable que obtienen aguas crudas directamente desde ríos torrentosos, es muy deendiente de las variaciones de caudal de este tio de fuentes, or lo que, disoner de un modelo que ermita redecir su caudal, resulta muy valioso ara los rofesionales encargados de la oeración del sistema roductivo. El resente trabajo se realizó ara el Río Maio, rincial fuente de abastecimiento de aguas crudas destinadas a la roducción de Agua Potable que abastece a Santiago de Chile. La metodología utilizada corresonde a "Modelos ARMAX (Autoregressive Moving Average with Exogenous Signals)", herramienta que ermitió relacionar el caudal del Río Maio con los datos meteorológicos básicos, medidos cotidianamente, en un embalse ubicado en la misma cuenca. La metodología ermitió elegir, dentro de las variables estudiadas, las más relevantes ara describir el fenómeno analizado. El modelo encontrado ermite disminuir el error de la redicción en un 20%. Sin embargo, existen comortamientos del caudal que este modelo aún no exlica. Palabras clave: Modelación, Caudal, Preciitaciones INTRODUCCIÓN Los sistemas roductivos de agua otable que obtienen el agua cruda desde fuentes suerficiales, en articular de ríos torrentosos, cuyos caudales ueden sufrir violentas variaciones en reducidos eriodos de tiemo, deben adatar sus rocesos a los cambios de la calidad y de la cantidad del recurso, de manera tal de mantener la calidad del agua roducida a esar de las erturbaciones señaladas. El Río Maio, cuyas aguas son tratadas en el Comlejo Vizcachas, es un río torrentoso, de régimen nival, cuyo caudal romedio anual es de 100 m 3 /s y cuya turbiedad romedio anual es de 400 UNT. Ambas variables se mueven en rangos bastante amlios: normalmente, el caudal, varía entre 30 y 400 m 3 /s, y la turbiedad, entre 40 y UNT, siendo esta última variable, muy deendiente del valor del caudal. Otra característica de esta fuente es la brusquedad con la que se resentan los valores máximos de caudal y, or ende, de turbiedad. Una situación de crecida como la lanteada, se muestra en los gráficos siguientes: TURBIEDAD EN CRECIDA RÍO MAIPO CAUDAL EN CRECIDA RÍO M AIPO Tiemo (hrs.) Tiemo (hrs.)

2 Debido a que los aumentos bruscos de caudal rovocan grandes incrementos en los valores de turbiedad, todo el sistema roductivo se altera cuando ellos se roducen y el factor tiemo comienza a tener un factor relevante en el éxito del tratamiento. Por otro lado, también se observan eriodos de estiaje con caudales insuficientes ara satisfacer la demanda con los derechos de agua que la Emresa osee en el Río Maio. En tales situaciones, la demanda de agua cruda es satisfecha con volúmenes de reserva acumulados en un Embalse, ubicado a 60 Km, aguas arriba de la catación. Los caudales descargados desde este Embalse, tienen un tiemo de retardo de 12 horas, desde el momento que se descargan hasta que se encuentran disonibles en la catación. Ambas situaciones críticas, tanto de crecidas como de estiaje, ueden ser enfrentadas con mayor robabilidad de éxito si se contara con alguna herramienta que ermita redecir el valor del caudal del río. Para esta redicción, se roone correlacionar las variables meteorológicas disonibles, medidas en un establecimiento ubicado en esta cuenca, con el caudal del Río Maio. Estas correlaciones se intentarán mediante regresiones lineales que son modelos simles y que, en general, dan buenos resultados ara este tio de sistemas hidrológicos (Salas y Díaz, 1994). El objetivo rincial de este trabajo es mostrar que materias tan comlejas como el modelamiento de variables hidrológicas ueden abordarse con metodologías sencillas, obteniendo recisiones adecuadas, a artir de los datos que habitualmente se disone en los sistemas roductivos. Además, estas metodologías ueden ser alicadas a situaciones cotidianas or rofesionales del área de roducción, que distan mucho de ser teóricos y que no disonen de tiemo ara realizar modelos sofisticados que, en algunos casos, sólo tienen un sentido académico. MODELAMIENTO Existen dos tios de modelos: fenomenológicos, que son aquellos que se basan en los rinciios fundamentales que rigen el comortamiento de las variables en estudio, y los emíricos, que utilizan herramientas matemáticas ara encontrar la relación entre distintos variables, sólo a artir de los valores que ellas han tomado en la realidad. Por lo tanto, estos modelos no exlican las leyes físicas ni químicas que gobiernan los rocesos analizados. Para modelar fenómenos que incluyen variables meteorológicas, como los que se abordan en este trabajo, resulta rácticamente imosible utilizar modelos fenomenológicos, or lo que, normalmente, se utilizan modelos del tio emírico. En una rimera aroximación, se intentará una correlación lineal entre las variables. El tio de modelo que se utilizará ara analizar este caso es el ARMAX (AutoRegressive Moving Average with Exogenous Variables), cuya formulación simlificada es la siguiente: en que: yt = K + aj yt j + bj ξt j + cj xt j + L + nj zt j (1) j= 1 j= 1 j = 1 j= 1 y t : caudal en el tiemo t ξ t : error entre la variable medida y el modelo x t... z t : variables exógenas en el tiemo t K, a, b,..., n : arámetros del modelo : orden del modelo que corresonde al número de unidades de tiemo anteriores consideradas

3 El rimer término corresonde a la arte autoregresiva ya que incluye los valores que toma la variable en estudio en tiemos anteriores. El segundo término corresonde al efecto aleatorio al cual está afecto toda medida, efectos que no se ueden medir ni exlicar. Este término se denomina Moving Average (media móvil) orque da cuenta de la regularidad con la cual la variable se ha movido en el asado. En este caso, como una rimera aroximación, se omitirá este término ara no aumentar el número de arámetros a considerar. Los términos siguientes incororan el efecto de otras variables. De esta forma, el roblema consiste en encontrar los arámetros K, a, b,..., n que minimizan el error entre la variable medida y la entregada or el modelo. Para resolver este roblema se utilizó la subrutina SOLVER del Excel 5.0, de muy fácil manejo. Las variables exógenas que se utilizaron fueron todas las variables meteorológicas disonibles ara la cuenca del Río Maio, a saber: Temeratura: en los archivos disonibles se indican las temeraturas extremas del día. Como una aroximación y, ara obtener sólo un dato de temeratura or día, se tomó el romedio de estos valores. Preciitaciones: altura de agua caída en el día. Este valor incluye tanto las reciitaciones de lluvia como las de nieve. Estado del Tiemo: en los registros disonibles, este dato sólo considera el grado de nubosidad: cubierto, nublado, arcialmente nublado, desejado. Para incororar esta variable al modelo se asignaron valores del 1 al 4, los que osteriormente fueron normalizados. 4: desejado 3: cubierto 2: nublado 1: arcialmente nublado El orden máximo que se utilizó ara este modelo fue de 3. Se eligió este orden, tomando en cuenta que se analizarán 3 variables exógenas, además del caudal, or lo que el número de arámetros a encontrar asciende a 13 que se considera como un valor razonable ara una rimera aroximación. CALIBRACIÓN La calibración consiste en determinar los arámetros que multilican a las variables consideradas. La metodología seguida ara este cálculo es la siguiente: Determinar la unidad de tiemo que se va a utilizar. Este factor deenderá de la frecuencia con la que se utilizará el modelo buscado. En la alicación estudiada, se tomó un día como la unidad de tiemo ya que basta con este laso ara tomar las medidas necesarias de manera de afrontar adecuadamente los momentos críticos. Ubicar un conjunto comleto de datos efectivamente medidos. No se deben utilizar datos que hayan sido interolados o estimados de alguna otra forma. El resente estudio utilizó un set de datos registrados entre el 01 de enero y el 31 de octubre de Ordenar los datos en una lanilla electrónica, or columnas. Para este estudio se utilizó Excel 5.0. Normalizar los valores de las variables exógenas. Este rocedimiento consiste en asignar valor uno al valor máximo de la variable, cero, al mínimo e interolar linealmente ara encontrar los valores intermedios. Esta

4 normalización es de gran utilidad ara comarar el eso relativo que tiene cada variable dentro del modelo analizado. Una vez que se han ordenado y normalizado las variables, se debería tener una tabla del siguiente tio: DATOS METEOROLÓGICOS CUENCA DEL RÍO MAIPO EN EMBALSE EL YESO PARÁMETROS d1 c1 b1 a1 d2 c2 b2 a2 d3 c3 b3 a3 MES DÍA t TEMP (T) PRECIP ESTADO CAUDAL CAUDALES ERROR^2 (P) (E) (Q) ESTI M. ( c) (mm) (m3/s) (Qe) (Q-Qe)^2 ENERO , , , , ,77 27, , ,14 78, , ,40 2,57 OCTUBRE ,489 0,667 91,1 97,90 46, ,511 0,333 74,3 88,51 202,03 ( Q-Qe)^2 En esta alicación, el caudal estimado se calculará de acuerdo con la ec. (1) simlificada, que adquiere la siguiente forma: Qet = K + a1qt 1 + a2 Qt 2 + a 3Qt 3 + b1et 1 + b2 Et 2 + b3et 3 + L L + c Pt + c Pt + c Pt + d Tt + d Tt + d Tt (2) Una vez que se tiene rearada la lanilla, se comienza con la calibración roiamente tal, ara lo cual se deben seguir los siguientes asos: Definir un rimer set de arámetros y llamar a la Subrutina SOLVER. Esta subrutina requiere conocer la celda que se va a minimizar, que corresonde a la sumatoria del cuadrado de las diferencias entre el caudal real y el estimado or el modelo. También se le deben indicar las celdas que esta subrutina uede variar ara encontrar el valor mínimo del error. Estas celdas corresonden a las de los arámetros que van a definir el modelo. Finalmente, hay que señalar las restricciones que deben cumlir estos arámetros. Una vez terminada la subrutina, se debe registrar el set de arámetros encontrados y la desviación estándar obtenida. Tanto ara la obtención de las variables más relevantes en el roceso, dentro de todas las consideradas, como ara la determinación del orden del modelo, se debe seguir un cierto rocedimiento en el cálculo de los arámetros corresondientes. El rimer set de arámetros a utilizar debe considerar que todos son iguales a cero, exceto el arámetro del caudal de rimer orden. De esta forma se encontrará el modelo conocido como ersistencia. Corresonde a la relación entre el caudal en el tiemo t con el caudal en el tiemo t-1. Luego, se agregan todas los arámetros de rimer orden, con lo cual la desviación estándar debería disminuir si es que existe una relación entre las variables estudiadas.

5 Los asos siguientes consisten en sacar, de a una, las variables con el objeto de determinar cuál de ellas rovoca menos efecto al ser retirada del modelo. Esta variable odrá ser retirada del modelo, simlificándolo sin que varíe sustancialmente el error. Una vez determinadas las variables más relevantes, se rocede a determinar el orden ótimo del modelo. Si bien, inicialmente, mientras se aumenta el número de variables o el orden del modelo, disminuye el error. Luego, llega un momento en el cual esta disminución se hace oco significativa y no conviene seguir comlicando el modelo. Utilizando esta metodología, la calibración del modelo arrojó los siguientes resultados: TABLA 1 VARIACIÓN DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR EN FUNCIÓN DEL N DE PARÁMETROS PERSIS - K Q, T, P, E S/TEMP S/PRECIP S/ESTADO S/CAUDAL Q, T y P Q, T y P TENCIA 1er ORDEN 2do. ORDEN 3er. ORDEN a1 0,991 0,975 0,946 0,977 0,951 0, ,184 1,191 a ,208-0,302 a ,0881 b ,407 2,233 2, , b b c ,618 16, ,316 48,205 22,598 23,537 c ,612-23,305 c ,075 d , ,852 12, ,493 17,211 21,963 d ,366-22,343 d ,976 K 0 1,514-4,644-0,400-2,662-3,018-31,722 1,121 1,099 sigma 4,87 4,82 4,39 4,56 4,67 4,49 26,14 3,95 3,9 n Graficando la Desviación Estándar en función del Número de Parámetros utilizados, se obtiene lo siguiente: DESVIACIÓN ESTÁNDAR VS. N DE PARÁMETROS 4,9 4,7 4,5 4,3 4, 3,9 3,7 3, N PARAMETROS Cabe señalar que cuando hay varios valores de desviación estándar ara el mismo número de arámetros, se debe considerar la menor. De la Tabla 1 se desrende que el arámetro Estado del Tiemo no altera significativamente el error del modelo, or lo que no será considerado en el modelo final. Además, del gráfico se uede observar que no se

6 disminuye areciablemente la desviación estándar al considerar 10 arámetros en lugar de utilizar 7. Por esta razón, se considerará un modelo de segundo orden. De esta forma, el modelo encontrado es el siguiente: Qe = 1,1 + 1,2 Q t-1-0,2 Q t ,6 P t-1-25,6 P t ,2 T t-1-16,4 T t-2 Como se uede observar en la Tabla 1, el modelo encontrado ermite disminuir en un 20% el error de la ersistencia que es la redicción más sencilla que uede realizarse. RESULTADOS Y CONCLUSIONES Los resultados obtenidos indican que existe una clara relación, de segundo orden, del caudal del Río Maio con la Temeratura y las Preciitaciones en la cuenca. Esta relación disminuye el error de la estimación de caudal en un 20% con resecto de la ersistencia. A esar de estos resultados, se analizó con mayor detalle el comortamiento del modelo obtenido frente a los aumentos imortantes de caudal en el eriodo estudiado, como los ocurridos entre el 15 de agosto y el 30 de setiembre de La desviación estándar que resultó al alicar el modelo fue de 2,3 m 3 /s, valor que reresenta una disminución del 61% con resecto del modelo de ersistencia alicado ara este tramo de datos. 80,0 75,0 70,0 65,0 60,0 55,0 50,0 45,0 40, Medido DÍAS Modelo La figura anterior resenta las curvas de caudal medido y de caudal estimado or el modelo ara el rango señalado. En este gráfico se uede observar que la curva estimada se ajusta bastante bien a los datos reales. Sin embrago, existen algunos untos que no son comletamente exlicados or el modelo. Se continuará analizando la información dionible con el objetivo de mejorar el ajuste de este modelo. Para ello, se incororarán nuevas variables, como or ejemlo, la altura de nieve en la cuenca, la altura de la isoterma 0 C, información más comleta acerca del estado del tiemo y, eventualmente, se odrá aumentar el número de datos de las variables consideradas. Finalmente, cabe señalar que, si bien es cierto el modelo encontrado es erfectible, se ha logrado utilizar con éxito una herramienta, habitualmente comleja, alicando una metodología sencilla a un set de datos reales.

7 REFERENCIAS Hodouin D. (1995) Análisis, Modelación y Control en Plantas de Procesamiento de Minerales Pérez-Correa J. (1996) Princiios Básicos de Modelación Salas J., Díaz G. (1994) Análisis de Sistemas Hídricos Bajo Condiciones de Riesgo e Incertidumbre.