Uso del efecto Talbot para calibrar el haz de referencia en un sistema de medición frente de onda basado en un arreglo de microlentes Hartmann- Shack

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1 Revista Colombiana de Física, vol. 45, No., 13 Uso del efecto Talbot ara calibrar el haz de referencia en un sistema de medición frente de onda basado en un arreglo de microlentes Hartmann- Shack Calibration of the Reference Beam of an Otical Sstem to Measure the Wavefront Based on a Hartmann-Shack Microlenses Arra J.C. Galeano, Y. Mejía Gruo de Ótica Alicada, Deartamento de Física Universidad Nacional de Colombia - Sede Bogotá. Recibido febrero 17 de 11; acetado mao de 11. Resumen A artir del efecto Talbot el efecto fraccional de Talbot se roone un montaje eerimental ara verificar la colimación del haz de referencia emleado en un sistema ótico que inclue un arreglo de microlentes Hartmann-Shack ara medir aberración de frente de onda. Emleando la imagen formada or los untos focales de las microlentes sus corresondientes rimera segunda auto-imágenes se garantiza que el haz de referencia está bien colimado. Palabras claves: Efecto fraccional de Talbot, microlentes Hartmann-Shack. Abstract Based on the Talbot effect and the fractional Talbot effect we roosed a method to check the qualit of a reference beam of an otical sstem for measuring wavefront. The otical sstem is based on a Hartmann-Shack microlens arra. Comaring the foci arra and the corresonding first and second self-images we can determine is the reference beam is roerl collimated (lane waves). Kewords: Talbot effect, fractional Talbot effect, microlens arra. mejiab@unal.edu.co Este trabajo es ublicado or la Sociedad Colombianade Física distribuido en oen acces según los términos de la licencia Creative Commons Attibution.

2 Revista Colombiana de Física, vol. 45, No., Introducción Las imágenes de Fresnel son distribuciones de irradiancia del camo ótico roducidas en la región de Fresnel or un objeto eriódico sobre lanos erendiculares al eje ótico. Las auto-imágenes, también conocidas como efecto Talbot efecto fraccional de Talbot, son un caso articular de las imágenes de Fresnel, donde se encuentran rélicas del objeto difractante. Llevan este nombre a que Talbot en 1836 demostró que una rejilla roducía distintos atrones eriódicos en ciertos lanos cerca a ésta, ero en 1881 fue Raleigh quien demostró que cuando se usa luz colimada la imagen de un objeto eriódico se uede observar a intervalos iguales de distancia dados or d (distancia de Talbot), donde d es el eriodo esacial del objeto es la longitud de onda del haz incidente [1]. También se encuentra que en ciertas fracciones de la distancia de Talbot se uede observar auto-imágenes, que ueden ser una rélica del objeto eriódico (con un cambio de fase de ) o imágenes que siguen la estructura del objeto eriódico [] (or ejemlo, estructuras similares al objeto ero con un eriodo esacial igual a la mitad del eriodo del objeto). Un arreglo de microlentes tio Hartmann-Shack [3] se uede considerar como un objeto eriódico de sólo fase, el cual, dentro de la región de Fresnel, transforma una onda lana en un arreglo de untos focales uniformes de igual irradiancia. Este arreglo de untos focales se uede tomar como un arreglo de iluminadores (denominado TAIL s, del inglés Talbot arra illuminators), siendo así un nuevo objeto eriódico [4]. Para describir el roceso de formación de imagen de estos arreglos se suele suoner que cada unto focal es la imagen generada de forma indeendiente or cada microlente. Con el fin de verificar la colimación del haz de referencia de un sistema ótico diseñado ara medir frente de onda usando un arreglo microlentes Hartmann-Shack, en este artículo, se utilizan las autoimágenes de Fresnel generadas or el arreglo de untos focales que están localizadas a la mitad de la distancia de Talbot a la distancia de Talbot [5-6]. En el rimer caso tendremos una rélica de los untos focales ero con un deslazamiento lateral de la mitad del eriodo esacial en el segundo caso tendremos en efecto una rélica de los untos focales. Comarando la escala del arreglo de untos focales con sus corresondientes rimera ( z d / ) segunda ( z d / ) autoimágenes se determina si el haz está bien colimado.. Teoría Suongamos que un arreglo (infinito) de microlentes eriódico en las direcciones ortogonales con eriodo es iluminado or una onda lana que los untos focales se localizan en el lano z =, Fig. 1. Fig.1. Sistema coordenado ara el arreglo de untos focales. La amlitud de onda comleja u (,, z ) de los focos se uede reresentar or la convolución de la amlitud A (, ) de un sólo foco la función generadora del arreglo g (, ) : u(,, z ) A(, ) g(, ) (1) donde el símbolo reresenta la oeración de convolución, kl k l g (, ) () La amlitud medida en un lano aralelo al lano focal en z z se uede calcular a artir de la roagación del esectro angular de ondas lanas [7], es decir 185

3 J.C. Galeano et al.: Uso del efecto Talbot ara calibrar u(,, z ) [1 u ~ ( v, v ) e{ i ( z / ) ( v v )] e{ i ( v v ) dv dv 1/ } (3) donde es la longitud de onda de la luz, v v son las frecuencias esaciales la función u ~ ( v, v ) es la transformada de Fourier de u (,, z ). Alicando el teorema de la convolución usando las Eqs. (1) (), u(,, z) se uede escribir como Con u(,, z) A(, ) G(,, z) (4) G(,, z ) [1 g ~ ( v, v ) e{ i ( z / ) ( v v )] e{ i ( v v ) dv dv 1/ } (5) donde g ~ reresenta la transformada de Fourier de g. Esta transformada se calcula de manera conveniente si rimero se eresa g como una serie de Fourier, es decir: 1 g (, ) e{ i( m n) / }, (6) or lo tanto m n 1 g ~ ( v, v ) kl k v l v. (7) Es bien conocido que las auto-imágenes ocurren solamente si la función u ~ toma valores diferentes de cero cuando se tienen frecuencias esaciales equeñas [8], ( v v 1 ). En este caso, la raíz cuadrada en las Eqs. (3) (5), se uede aroimar or los dos rimeros términos de su serie de Talor (aroimación arabólica), es decir: [1 ( )] 1/ v v 1 ( v v ) (8) Usando las Eqs. (7) (8) la función G de la Eq. (5) se uede eresar como: G(,, z ) e{ ( iz k kl e{ i( k l) / } donde el factor de fase e{ i z / }. l ) / } (9) Si el término e{ iz ( k l ) / } de la Eq. (9) vale 1, teniendo en cuenta la eresión de g dada or la Eq. (6), entonces la función G reresenta nuevamente (salvo or el factor de fase ) la eansión en series de Fourier de la función generadora del arreglo de untos focales, or lo tanto, en este caso, la Eq. (4) será una rélica del arreglo de untos focales descrito or la Eq. (1). La distancia z estará dada or la condición: z ( k l ) / s, (1) siendo s un entero. Desejando z se tiene que z / (11) con s /( k l ). En el caso articular en que 1, la distancia z corresonde la distancia de Talbot z T se tiene la segunda autoimagen de Talbot (imagen idéntica al arreglo de untos focales). Por otra arte, si el término e{ iz ( k l ) / } de la Eq. (9) vale 1, ahora se estará sumando un término de fase de a todas las frecuencias esaciales e{ i ( k l) / } de Fraunhofer (ondas lanas), lo que se traduce en un cambio de contraste en la transmitancia del objeto eriódico. Por lo tanto, en este caso, la Eq. (4) será una rélica del arreglo de untos focales descrito or la Eq. (1) ero con un deslazamiento lateral igual a la mitad del eriodo esacial. La distancia z estará dada or la condición: z ( k l )/ (s 1) (1) Desejando z se tiene que z / (13) con (s 1) /( k l ). En el caso articular en que 1, la distancia z corresonde la distancia fraccional de Talbot z 1/ se tiene la rimer auto-imagen de Talbot (imagen del arreglo de 186

4 Rev. Col. Fís., 45, No, 1. untos focales deslazada lateralmente / tanto en como en ). 3. Eerimento En la Fig. se muestra un sistema ótico diseñado ara medir el frente de onda de un camo luminoso reflejado en una suerficie (reflectora) de rueba. Generalmente, el camo ótico incidente en la suerficie de rueba es una onda lana (haz de referencia), de modo que la deformación del frente de onda reflejado es una medida de la forma de la suerficie de rueba. Laser ND OM Pinhole LC Microlentes CCD 1 BS 3 Plano focal del arreglo Suerficie (reflectora) de rueba Fig. Sistema ótico ara medir frente de onda mediante un arreglo de microlentes Hartmann-Shack. El haz de referencia se genera de la siguiente manera: el haz de un láser He-Ne (63.8 nm, 5mW) se enfoca mediante un objetivo de microscoio OM en un inhole (agujero de 1 m de diámetro) con el roósito de realizar un filtrado esacial. Luego el haz diverge del inhole e incide sobre una lente acromática ositiva LC (lente colimadora), la cual está localizada a una distancia aroimadamente igual a su distancia focal. Lo anterior ermite que el haz refractado or la lente colimadora se transforme en una onda lana 1 (haz colimado), siemre cuando la osición de la lente colimadora sea la adecuada, es decir, que la distancia entre el inhole el lano rincial anterior de la lente colimadora sea igual a la distancia focal. Para controlar la osición de la lente colimadora, ésta se monta sobre un sistema mecánico de deslazamiento aial con tornillo micrométrico. De este modo, es osible controlar la colimación del haz de referencia. Si la distancia entre el inhole el lano rincial anterior de la lente colimadora es menor que la distancia focal de la lente colimadora el haz refractado será divergente, si la distancia entre el inhole el lano rincial anterior de la lente colimadora es maor que la distancia focal de la lente colimadora el haz refractado será convergente. Una vez que se tiene el haz de referencia adecuado, éste asa or un divisor de haz BS e incide sobre la suerficie de rueba (esejo de rueba) luego se refleja regresando al divisor de haz donde nuevamente es reflejado 3 se dirige hacia un arreglo de microlentes tio Hartmann-Shack (5 19 lentes de.5 mm de diámetro 5 mm de distancia focal, emaquetadas en una cuadrícula cartesiana) con el que se mide la forma del frente de onda reflejado. Cada micro lente muestrea una equeña región del frente de onda reflejado luego esta orción del frente de onda es enfocada en el lano focal del arreglo que está a una distancia 5 mm., Fig.. Midiendo la osición de cada unto focal es osible reconstruir la forma del frente de onda [9]. La intensidad del haz del láser (5 mw.) se controla mediante un filtro de densidad neutra ND. La imagen de los untos focales se registra con una cámara CCD blanco negro ( a 55 niveles de gris) en un formato 64(H) 48(V) ieles. El tamaño de cada iel es de 9.8 μm 9.8 μm. La cámara CCD se monta sobre un carro de deslazamiento aial de 5 mm de recorrido con un nonio de.1 mm. Si la suerficie de rueba en la Fig. es un esejo lano de referencia (calidad de la suerficie /4 error ico-valle), el frente de onda reflejado será un lano, entonces los untos focales formarán un arreglo cuadriculado de untos. Como se mencionó en la sección anterior, este arreglo de untos focales constitue un objeto eriódico, de modo que en lanos osteriores será osible encontrar autoimágenes del arreglo de untos focales. Por lo tanto, verificando que la escala del arreglo de untos focales sus corresondientes auto-imágenes sea la misma es osible obtener un haz de referencia bien colimado, es decir, un frente de onda lano. Siguiendo la teoría de la formación de imágenes de Fresnel, ara los arámetros de nuestro montaje eerimental, eriodo esacial. 5 mm, longitud de onda nm, las auto-imágenes se encontrarán en lanos searados 1.35 mm entre sí, es decir, la rimer auto-imagen estará a 1.35 mm del lano focal del arreglo de microlentes la segunda auto-imagen estará a.7 mm del lano lano focal del arreglo de microlentes. En nuestro eerimento, observaremos las tres imágenes del arreglo de untos focales, a saber: la imagen en el lano focal del arreglo de microlentes las dos rimeras auto-imágenes de Talbot. La uila de cada microlente del arreglo es cuadrada, or lo que el atrón de difracción generado or cada una de 187

5 ellas (unto focal) es una función sinc () = (sin()/), como se uede areciar en la Fig. 3. Entonces, colocando el sensor de la cámara CCD en el lano focal del arreglo de microlentes (a 5. mm) se ajustó la osición de la lente colimadora hasta tener un atrón de untos focales cuos máimos se encontrarán searados 6 ieles entre sí, aroimadamente. Luego, conociendo de antemano las distancias teóricas a las que se deben encontrar las auto-imágenes, se deslazó el sensor de la cámara CCD una distancia de 1.3 mm con resecto al lano focal se verificó que los máimos del atrón de untos de esta auto-imagen estuvieran searados 5.7 (=.5/.98) ieles, ara lo cual se realizó un equeño ajuste en la osición de la lente colimadora, or último, se deslazó el sensor de la cámara CCD a una distancia de.7 mm con resecto al lano focal nuevamente se verificó que los máimos del atrón de untos de esta otra autoimagen estuvieran searados 5.7 ieles mediante un rocedimiento similar al que se hizo con la rimer auto-imagen. Para encontrar los máimos de irradiancia en cada uno de los atrones se evalúo el centroide de irradiancia [1]. Las Figs. 3(a), 3(c) 3(e) corresonden a los atrones de: untos focales del arreglo de microlentes tio Hartmann-Shack, rimera auto-imagen en z segunda auto-imagen en 1/ z T, resectivamente. Las Figs. 3(b), 3(d) 3(f) son los erfiles de irradiancia siguiendo los máimos de algunos untos focales ara las Figs. 3(a), 3(c) 3(e), resectivamente. Tomando el romedio del eriodo esacial (en dirección horizontal) ara cada uno de los atrones se obtuvo.5.1 mm,.5.1 mm.51.1 mm, resectivamente. Lo anterior muestra que el haz de referencia se encuentra bien colimado. Por otra arte, los erfiles de irradiancia muestran que en los tres casos se tienen funciones tio sinc () cuos máimos están searados 6 ieles aroimadamente. La escala de la distribución de irradiancia de los tres erfiles no es absoluta, debido a que el láser que se emleó no osee estabilidad en la intensidad del haz, or lo que no se uede hacer una comaración de las irradiancias. Sin embargo, se nota que en la segunda auto-imagen, en los bordes de la imagen ha una disminución considerable en la irradiancia de los máimos secundarios. J.C. Galeano et al.: Uso del efecto Talbot ara calibrar (a) (c) (e) Intensidad (niveles de gris) Intensidad (niveles de gris) Intensidad (niveles de gris) ieles (b) ieles 5 (d) ieles Fig.3.(a) Imagen en el lano focal del arreglo de microlentes, (c) (e) rimera segunda auto-imágenes del arreglo de untos focales, resectivamente; (b), (d) (f) erfiles de la irradiancia ara algunos focos a lo largo de la tercer fila en cada una de las imágenes resectivamente. 4. Conclusiones Se verificó que los focos de un arreglo de microlentes tio Hartmann-Shack forma una estructura eriódica que uede generar auto-imágenes. Comarando el tamaño de las dos rimeras auto-imágenes (del efecto fraccional de Talbot del efecto Talbot) con el arreglo de untos focales, se comrobó que el haz de referencia está bien colimado. A medida que el lano de observación se aleja, se ierden órdenes de difracción (términos de alta frecuencias) dentro de la región de la imagen, esto hace que la irradiancia de los untos focales disminua ero sin cambiar las osiciones de los mismos, es decir se conserva la eriodicidad tal como en el lano focal. REFERENCIAS [1] J.T. Winthro, C.R.Worthington, J.Ot. Soc.Am. 55, 4, , (f) 188

6 Rev. Col. Fís., 45, No, 1. [] P. Latimer, R. Crouse, Al. Ot, 31, 8-89, 199. [3] B.C. Platt, R. Shack, Journal of Refractive Surger, 17, S573-S577, 1. [4] A. Lohmann, J.Thomas, Al.Ot, 9, , (199). [5] E.Bonet, P.Andres, J.C.Barreiro, A. Pons, Ot.Commun. 16, 39-44, [6] B. Besold, N. Lindlein, Fractional Talbot efect for eriodic microlens arra, Ot. Eng. 36, , [7] J.W.Goodman, The angular sectrum of lane waves, Cha. 3.1 en: Introduction to Fourier Otics, , McGraw-Hill, New York, [8] W.D.Montgomer,, J.Ot. Soc.Am. 57, 6, , [9] L.N. Thibos, Princiles of Hartmann-Shack aberrometr, en: Vision Science and its Alications, Trends in Otics and Photonics OSA, 35, , (). [1] O.E. Olarte, Y. Mejia, Ot. Commun. 6, 87-9, (6). 189