TEMA 5 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. PROGRAMAS DE CÁLCULO

Transcripción

1 TEMA 5 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. PROGRAMAS DE CÁLCULO

2 Índice Introducción Los asistentes matemáticos Derive Comenzar a trabajar con Derive Las ventanas de trabajo Introducción de expresiones matemáticas Operaciones elementales Utilización y eliminación de expresiones introducidas Copiar, pegar y reordenar expresiones Insertar Texto Manipulaciones algebraicas Valor numérico de un polinomio Desarrollar y operar expresiones Factorización Descomposición de expresiones racionales Resolución de problemas

3 Índice Resolución de ecuaciones Ecuaciones con coeficientes complejos Ecuaciones no polinómicas Métodos numéricos Resolución de inecuaciones Resolución de sistemas de ecuaciones Sistemas de ecuaciones no lineales Sistemas con parámetros Funciones con Derive Definición de funciones Funciones definidas a trozos Límites de funciones

4 INTRODUCCIÓN Los asistentes matemáticos o programas de cálculo simbólico son, hoy en día, una herramienta fundamental a la hora de simplificar y realizar los cálculos necesarios para la resolución de problemas en todas las disciplinas del ámbito científico. La posibilidad de operar con precisión exacta y utilizar los propios símbolos matemáticos en los procesos internos de cálculo permite manejar expresiones algebraicas, funciones, derivadas, límites, integrales y muchas otras funciones matemáticas.

5 Los Asistentes matemáticos La evolución del ser humano ha estado ligada a la de la tecnología y esta a la capacidad de realizar cálculos con precisión y sobre todo con rapidez. Históricamente, ya desde el siglo XIX se buscaban métodos automáticos de cálculo, pero no fue hasta el siglo XX, con el desarrollo de los medios informáticos, cuando estas ideas encontraron el soporte técnico adecuado.

6 Los asistentes matemáticos Las calculadoras de bolsillo supusieron un avance espectacular, pero a partir de 1980 es cuando surgen los actuales asistentes matemáticos; programas eficaces en el cálculo y resolución de problemas, y capaces de realizar representaciones gráficas. En un segundo nivel evolutivo, se encuentran los programas de cálculo simbólico como Derive, Maple, Mathematicao Matlab. Estos programas trabajan internamente usando las notaciones propias de matemáticas y manipulando las expresiones algebraicas de forma directa, generando soluciones exactas. Así, por ejemplo, el número πes tratado como tal y no como en el caso de la mayoría de calculadoras, donde se utiliza una aproximación racional, como, por ejemplo

7 Los asistentes matemáticos El cálculo simbólico abre, por tanto, la posibilidad de generalizar estas estrategias de cálculo y trabajar de forma directa con letras y operaciones simbólicas entre ellas, lo que implica poder simplificar y manejar expresiones algebraicas, trabajar con números complejos, calcular límites y, sobre todo, derivar e integrar.

8 Derive Uno de los asistentes de cálculo simbólico más sencillos de utilizar, con un entorno de trabajo muy intuitivo y que responde eficazmente a casi todas las necesidades de cálculo, es Derive. Derive surge como ampliación de mumathen 1988, aplicación concebida a finales de la década de 1960 por David R. Stoutemyer y Albert D. Rish con fines docentes. Fue el primer sistema de cálculo simbólico creado específicamente para ordenadores personales. Derive es un programa propiedad de la empresa Texas Instruments y, por tanto, requiere de una licencia para su uso.

9 Comenzar a trabajar con Derive Las ventanas de trabajo La ventana de trabajo principal se denomina ventana de álgebra. En ella introduciremos las expresiones con las que vamos a trabajar, realizaremos los cálculos, manipulaciones y operaciones matemáticas e incluso podremos insertar textos. Como es natural, podremos tener abiertas a la vez varias ventanas de álgebra independientes. Para trabajar en la ventana de álgebra, disponemos de varias barras de herramientas. Debajo de la habitual barra de menú, se encuentran la barra de órdenes, compuesta por diferentes iconos que ejecutan las instrucciones más significativas. En la parte inferior nos encontramos con la barra de entrada de expresiones, utilizada para introducir las fórmulas en el área de trabajo. Debajo de ella conviven la barra de letras griegas y la barra de símbolos matemáticos.

10 Las ventanas de trabajo

11 Las ventanas de trabajo La zona de trabajo de la ventana de álgebra incorpora dos áreas diferenciadas: a la izquierda, donde se relacionan las expresiones introducidas, y la central, en la que se muestran los resultados de operaciones y cálculos. Derive etiqueta cada expresión o resultado con el símbolo # seguido de un número natural correlativo. Asociadas a la ventana de álgebra, disponemos de una o varias ventanas específicas para realizar las representaciones gráficas. Estas ventanas gráficas son de dos tipos: ventana gráfica en dos dimensiones y ventana gráfica en tres dimensiones. Cada una de estas ventanas tiene su propia barra de órdenes. Derive las diferencia denominándolas, gráficas -2D y gráficas-3d respectivamente.

12 Las ventanas de trabajo

13 Las ventanas de trabajo (gráfica-2d)

14 Las ventanas de trabajo (gráfica-3d)

15 Introducción de expresiones matemáticas Se inserta la expresión en la barra de entrada de expresiones y seleccionamos una de las 5 opciones que se encuentran a su izquierda 1. Introducir Expresión. Tiene la función de insertar la expresión en el área de trabajo de la ventana de álgebra. Es equivalente a pulsar la tecla enter 2. Icono Simplificar. Introduce la expresión simplificada (cuando esto sea posible) o realiza las operaciones indicadas en precisión exacta, es decir mantiene las fracciones o radicales cuyo resultado no sea entero 3. Icono introducir y simplificar: Realiza la combinación de las operaciones anteriores 4. Icono aproximar: Muestra el resultado de las operaciones. En el caso numérico, calcula la aproximación decimal (por redondeo) con una precisión de 10 cifras significativas 5. Icono Introducir y aproximar. Realiza la combinación de las operaciones introducir expresión y la correspondiente a la aproximación:

16 Operaciones elementales En Derive cuando interpreta expresiones o secuencias de operaciones, se rige por las reglas de prioridad que ya conoces. Es muy importante, por tanto, la correcta utilización de paréntesis. Los operadores elementales son: Suma + Diferencia Producto * División / Potencia ^ (Además del asterisco, el punto (que comparte tecla con el numero 3), la ausencia de símbolo o dejar un espacio en blanco cuando no se produzcan ambigüedades, sirven para identificar la multiplicación)

17 Utilización y eliminación de expresiones introducidas Si introducimos una expresión por error, o nos hemos equivocado al editarla, o sencillamente ya no la necesitamos, podemos eliminarla de la ventana con el botón con una X Roja o la tecla Supr Se pueden eliminar varias expresiones conjuntamente, bastaría seleccionarlas con el ratón, mientras se tiene pulsada la tecla control. Además de eliminar o utilizar una expresión, podemos modificarla. Una vez seleccionada pulsamos la tecla entero bien hacemos clic con el botón derecho del ratón y del menú contextual elegimos la opción editar. El hecho de que Derive identifique cada expresión introducida y cada resultado obtenido con una etiqueta, hace que podamos reutilizar estas expresiones o resultados sin necesidad de reescribirlos. Bastará referirnos a ella a través de su etiqueta

18 Copiar, pegar y reordenar expresiones Si se necesita utilizar expresiones parecidas a las ya introducidas (con cambios relativamente pequeños) no es preciso editar de nuevo toda la expresión, sino que se puede hacer una copia de la expresión semejante para que seguidamente sea modificada. Se realizará con el menú contextual desplegado al hacer clic con el botón derecho apareciendo las opciones de copiar y pegar.

19 Insertar Texto Derive permite insertar texto de forma independiente en el área de trabajo. Tiene por función crear un entorno donde se puedan añadir notas, observaciones o comentarios, ya que posteriormente el área de trabajo puede ser guardada o impresa. Para insertar un texto, hay que seguir los siguientes pasos: 1. Situarse sobre la expresión donde queremos que el texto aparezca. Hacer clic en el menú insertar, objeto de texto o pulsar la tecla de función F5. 2. Aparecerá un rectángulo azul en cuyo interior podrás escribir el texto. Si se desea dar un formato determinado se podrá dar con la barra de formato. 3. Si la barra de formato, basta dar clic derecho en la barra de órdenes y seleccionar la barra formato para que sea visible

20 Ejercicios Introduce las siguientes expresiones

21 Ejercicios

22 Ejercicios Guarda el documento creado en el ejercicio anterior con el nombre de ejercicio1 Abre el documento ejercicio1 Haz tres comentarios en tres etiquetas diferentes y guarda los cambios Realiza varias operaciones sin guardar los cambios para familiarizarte con las operaciones vistas anteriormente

23 Manipulaciones Algebraicas Valor numérico de un polinomio: es el resultado de sustituir la variable o variables por un número determinado. Primero hay que introducir dicho polinomio, posteriormente hacer clic en el menú SimplificarSustituirVariable, o bien pulsar sobre la tecla SUB Desarrollar y operar expresiones: Cuando en una expresión están indicadas las operaciones, haciendo clic en el menú simplificarexpandir, obtendremos una nueva expresión, resultado de las operaciones descritas. Cuando exista más de una variable, habrá que indicar respecto a cuál o cuáles variables se desarrolla

24 Manipulaciones algebraicas Factorización: se incluye la descomposición de un polinomio en factores irreducibles, de un número en factores primos o de una expresión racional en producto de fracciones simples. Se realiza en SimplificarFactorizar

25 Ejercicios Simplificar la siguiente expresión Halla el valor numérico del siguiente polinomio para x=2 Desarrolla el binomio (a+b) 6 Factoriza el número P(x)=3x 5-2x 2 +3x-23 Descompón factorialmente el siguiente polinomio

26 Resolución de ecuaciones Se realiza con la opción resolver (solve). Permite calcular las soluciones de una ecuación, con coeficientes reales o complejos. Tras introducir o seleccionar una ecuación, haz clic en el menú resolverexpresión. A continuación se abre una ventana donde se solicita la variable respecto a la cual se obtendrán las soluciones. Si lo que queremos es resolver un sistema de ecuaciones procederemos de la misma forma pero elegiremos la opción resolversistema, indicaremos el número de ecuaciones que tiene nuestro sistema e iremos introduciéndolas según nos las pida.

27 Resolución de inecuaciones Derive también tiene la capacidad de realizar inecuaciones. La forma de resolverlas es la misma que en el apartado anterior. ResolverExpresión

28 Ejercicios Resuelve las siguientes ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones.

29 Funciones con Derive Definición de funciones: para definir una función se selecciona haciendo clic en el menú introducirdefinición(authorfunction definition) de una función. En la primera casilla hay que introducir el nombre de la función y sus variables entre paréntesis y separados por comas. La segunda casilla está reservada para la definición de la función. Al pulsar el botón si, la expresión Nombre(variables):= fórmula se situará en el área de trabajo de la ventana álgebra

30 Funciones con derive Funciones definidas a trozos: una función está definida a trozos cuando varía su expresión según el intervalo de definición. Para definir una función definida a trozos podemos hacerlo de la siguiente manera. Introducir las expresiones de cada uno de los trozos como funciones independientes y utilizar la función condicional IF para elegir la expresión correspondiente a cada trozo. Ejemplo: IF(x<1,a(x),b(x))

31 Límites de funciones Una de las características más relevantes de una función es el cálculo de sus límites. Es, además, uno de los procesos en los que el asistente nos puede ayudar de una manera más efectiva, ya que el cálculo de límites requiere no sólo de estrategias de cálculo precisas para cada caso, sino de un buen dominio de las manipulaciones algebraicas. Derive calcula el límite tanto de una función como de una expresión o fórmula introducida. Una vez seleccionada, hay que pulsar sobre el botón lim (límite) y elegir en la ventana Cálculolímite(calculuslimit ), tanto el valor de la variable cuyo límite queremos calcular, como el tipo de límite (para tender hacia infinito usaremos inf )

32 Funciones en Derive Algunas funciones que maneja derive son las siguientes. Sin=seno Cos=coseno Tan=tangente Sqrt=raiz cuadrada Abs=valor absoluto Ln=logaritmo neperiano

33 Ejercicios Resuelve los siguientes límites Estudia la continuidad de la siguiente función

34 Representación Gráfica de Curvas Derive incorpora ventanas específicas para realizar los gráficos tanto en dos como en tres dimensiones. Para activarlas, hay que hacer clic en el menú Ventana, Nueva Ventana 2D o Nueva Ventana 3D. Las ventanas gráficas están asociadas a alguna ventana de álgebra, donde se introducen las correspondientes expresiones o funciones que queramos representar A la hora de visualizar las diferentes ventanas, se puede optar, fundamentalmente, por tres estrategias diferentes

35 Representación gráficas de curvas 1. Cada ventana está maximizada y se pasa de una a otra a través de la relación de todas las ventanas abiertas que aparece en la parte inferior del comando Ventana. También se puede cambiar desde la barra de herramientas 2. Se puede desplegar una serie de pestañas (al igual que las que hay en las hojas de cálculo para diferenciar cada hoja), de manera que cada ventana tiene asociada una de ellas y permite trasladarse de una a otra simplemente pulsando sobre la correspondiente pestaña. Para visualizar las pestañas hay que hacer clic en VentanaMostrar Pestañas 3. Podemos optar por ver varias ventanas a la vez distribuidas en el área de trabajo. Esta posibilidad es particularmente interesante cuando manejamos una ventana de álgebra y su ventana gráfica asociada. Para ello hay que hacer clic en ventanamosaico horizontal o mosaico vertical

36 Funciones en 2D Una vez introducida una expresión o definida una función en la ventana de álgebra, pulsaremos sobre el icono gráfica. Al realizar esta acción, derive abrirá una nueva ventana gráfica en dos dimensiones o nos trasladará a la ventana gráfica asociada si esta ya estuviera creada. Para dibujar la gráfica pulsaremos sobre el icono plot de la ventana gráfica

37 Funciones en 3D Derive dispone de una ventana específica para las representaciones en tres dimensiones. Al abrir una ventana nueva 3D haciendo clic en ventananuevaventana 3D, aparecerá un cubo en cuyo interior se representará la superficie definida por cada función de dos variables z=f(x,y) Una vez introducida la expresión de la curva en la ventana de álgebra, pulsaremos sobre el icono plot de la ventana gráfica 3D para realizar la presentación

38 Ejercicios Representar gráficamente las siguientes funciones, en ventanas gráficas diferentes y explica su comportamiento, mediante la inserción de textos en la ventana de álgebra