Diagramas de fase. Daniel Ricardo Casas Hernández * Gonzalo Combita Mora **

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1 Diagramas de fase Daniel Ricardo Casas Hernández * Gonzalo Combita Mora ** Resumen Este documento busca servir como soporte de estudio a la academia en general, con especial énfasis en los estudiantes, sobre el estudio de la dinámica en economía por medio de una herramienta matemática como lo son los diagramas de fase. Para ello se hace una presentación sobre el sistema de ecuaciones diferenciales lineales y no lineales junto a sus propiedades. Finalmente, se aborda una aplicación práctica desde la macroeconomía donde se presenta el proceso de acumulación capitalista desde el enfoque de Q de Tobin en la Bolsa de valores. Palabras clave: Inversión, macroeconomía, métodos matemáticos en economía JEL: C60, E20, E22 Introducción A través de los diagramas de fase se representan ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales, así como ecuaciones en diferencia y sistemas de ecuaciones en diferencia. En este documento se presentaran los diagramas de fase de sistemas de ecuaciones diferenciales y algunas aplicaciones macroeconómicas; de manera especial, los sistemas de ecuaciones diferenciales que no se pueden resolver por medio de métodos analíticos usuales; en estos diagramas, además de determinar los puntos de equilibrio se analiza la estabilidad a través del tiempo o de largo plazo. * ProfesordelprogramadeeconomíaenlaUniversidaddeLaSalleyEscuelaColombiana de Ingeniería Julio Garavito ** Profesor del programa de economía en la Universidad de La Salle 1

2 Uno de los objetivos de la representación a través de diagramas de fase es determinar el tipo de equilibrio del sistema, por medio de trayectorias (x(t), y(t)) alrededor del punto de equilibrio. De esta manera los diagramas reflejan los comportamientos cualitativos de cada punto de equilibrio. Los sistemas de ecuaciones representables con este tipo de diagramas son los autónomos, es decir los que no dependen directamente de la variable independiente; en estos sistemas no aparece la variable independiente explícitamente en las ecuaciones que forman el sistema. Por ejemplo ẋ = 3x2 es autónomo, mientras que ẋ = 3x2t no es autónomo. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Se inicia esta sección con un sistema de dos ecuaciones diferenciales, lineales de primer orden autónomas:. x = f(x,y) = a 1 xa 2 y a 3. y = g(x,y) = b 1 xb 2 y b 3. Donde x, y son variables dependientes, y t es la variable independiente. [ ] [ ] x x(t) Una solución del sistema es una pareja = (una matriz columna) que satisface el y y(t) sistema. Definición 1. Los puntos de equilibrio están donde ẋ = ẏ = 0. Para el sistema lineal en desarrollo son las parejas ordenadas (x, y) tales que: 0 = f(x,y) = a 1 xa 2 y a 3 0 = g(x,y) = b 1 xb 2 y b 3. Es decir, son las parejas ordenadas (x, y) que satisfacen: a 1 xa 2 y a 3 = 0 b 1 xb 2 y b 3 = 0. 2

3 Este sistema tiene solución si a 1 a 2 b 1 b 2 0. Por qué? Si suponemos que: b 1 0, b 2 0, a 1 0, a 2 0, en el anterior sistema, entonces (x o,y o ) es el punto de equilibrio del sistema. x o = b 3a 2 a 3 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 y o = a 1b 3 b 1 a 3 a 1 b 2 a 2 b 1 y ẋ = 0 y o x o x ẏ = 0 Definición 2. Las líneas en donde ẋ = ẏ = 0 son conjuntos de puntos en los que las variables x(t), y(t) no cambian con respecto a la variable independiente t (en algunos libros las llaman isoclinas del sistema). Y corresponden con los puntos de equilibrio de cada una de las ecuaciones del sistema. Si ẋ = 0, entonces f(x,y) = 0 contiene todos los puntos de equilibrio para x. Además, si sobre la línea ẋ = 0, entonces a un lado es positivo (ẋ > 0) y del otro negativo (ẋ < 0). Recíprocamente para la línea de fase ẏ = 0. En el presente ejemplo se supondrá la siguiente distribución: 3

4 y ẋ = 0 y o x o x ẏ = 0 En la región del plano en la que ẋ > 0, x aumenta al incrementarse t; si ẏ < 0, entonces la variable dependiente y disminuye al aumentar t. Así, las flechas muestran las direcciones en las que se mueven las variables dependientes x(t), y(t) al aumentar la variable independiente t. y ẋ = 0 y o x o x ẏ = 0 Las trayectorias de las variables dependientes al aumentar la variable independiente t, tienden hacia el punto de equilibrio, para este caso. 4

5 y ẋ = 0 y o x o x ẏ = 0 Si las trayectorias tienden hacia el punto de equilibrio, cuando t tiende hacia el infinito, entonces el punto de equilibrio es estable. Esta situación puede interpretarse también como: un sistema en equilibrio puede ser afectado por variables diferentes a las que aparecen en el modelo (en economía son conocidas como exógenas), y afectar el equilibrio, es decir, desplazar el punto de equilibrio a otro punto -cercano- al punto inicial; si desde estos nuevos puntos, las variables tienden hacia el punto de equilibrio, entonces el punto de equilibrio es estable. La distorsión producida por las variables exógenas es corregida a través del tiempo. Análogamente, si las trayectorias no tienden hacia el punto de equilibrio, entonces no es estable y se identifica como inestable. Es decir, si al romperse el equilibrio, este se mantiene roto y las variables tienden hacia puntos distintos al de equilibrio, entonces es inestable el punto. Se identifica una tercera situación en la que hay regiones del plano en las que las variables dependientes tienden hacia el punto de equilibrio, y otras en las que tienden hacia puntos distintos; estos puntos se conocen como puntos de silla. Ejemplo 1. Para el sistema de ecuaciones ẋ = x2y 5 ẏ = x3y 5, el punto de equilibrio se obtiene de resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 5

6 x2y 5 = 0 x3y 5 = 0. El punto crítico del sistema está en: y = 2 x = 1. ẋ = 0 y ẏ = 0 x Ahora se exponen la fase del sistema de ecuaciones. Por tabulación se pueden determinar los signos de las regiones en las que se divide el plano x-y. Estudiamos el punto (0,0), se obtiene ẋ = 5 < 0 y ẏ = 5 > 0. Así, el diagrama de fase es: 6

7 ẋ = 0 y ẏ = 0 x En los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, el diagrama de fase está asociado con los signos de los valores propios de la matriz asociada con el sistema homogéneo. [ẋ ] [ ] x = A. ẏ y La solución del sistema lineal es: [ ] x(t) = y(t) [ m1 m 2 ] e r 1t [ n1 n 2 ] e r 2t. [ ] m1 Donde es el vector propio asociado con el valor propio r m 1 de la 2 [ ] n1 matriz A. Recíprocamente, es el vector propio asociado con el valor n 2 propio r 2. Si los valores propios son negativos la solución del sistema tiende hacia la solución particular, que coincide con el punto de equilibrio. El punto de equilibrio es estable. Si los valores propios son positivos la solución no converge hacia la solución particular y el punto de equilibrio es inestable. Cuando un valor propio es positivo y el otro negativo, entonces el punto de equilibrio es punto de silla. Recordamos que los valores propios también pueden ser números complejos a±bi; cuando los valores propios son complejos con parte real negativa (a < 0), entonces el punto de equilibrio es estable. Si la parte real es positiva (a > 0), entonces el punto de equilibrio es inestable. 7

8 Mientras que si la parte real de los valores propio es cero (a=0), entonces las trayectorias son circunferencias o elipses que no convergen ni divergen hacia el punto de equilibrio. Sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales Si el sistema de ecuaciones no es lineal, el procedimiento es similar, salvo que las líneas de fase dejan de ser rectas y se convierten en curvas; eso depende de la relación que resulte de hacer ẋ = 0 y ẏ = 0. También, el diagrama deja de tener relación con valores propios, ya que el sistema no lineal no tiene representación matricial. Además de la tabulación, hay otro procedimiento para determinar el signo acadaladodelaslíneasẋ = 0oẏ = 0.Calculandoelsignode dẋ sedetermina dx la relación en el cruce de la línea ẋ con el eje x. Si dẋ > 0, entonces ẋ = 0 dx pasa de a al aumentar x. Ejemplo 2. ẋ = y x 2 3 ẏ = y x1. Las líneas de fase (isoclinas) se obtienen, nuevamente haciendo ẋ = ẏ = 0. Por tanto, si ẋ = 0, entonces y = x 2 3. Si ẏ = 0, entonces y = x1. Así, los puntos de equilibrio están en (1,2) y (2,1). Tabulando en (0,0) se tiene que ẋ = 3 > 0 y ẏ = 1 > 0. Por tanto en (0,0) ẋ, ẏ son positivos. 8

9 y ẋ = 0 ẏ = 0 x Los puntos críticos se obtienen del sistema: y = x 2 3 y = x1 x 2 3 = x1 x 2 x2 = 0 x = 1± 18 2 = 1±3 2 Así, x = 4 y x = 1. Por tanto los puntos de equilibrio están en (x,y) = 2 (1,2) y (x,y) = (2,1). Ambos puntos de equilibrio son inestables. Tabulando en (0,0) se tiene que ẋ = 3 > 0 y ẏ = 1 > 0. Así, donde está (0,0), entonces ẋ, ẏ son positivos. 9

10 Problemas 1. Hallar todos los puntos de equilibrio y clasificarlos para los sistemas ẋ = (xxy), ẏ = x 2 y y. ẏ = y(x1), ẋ = y x. ẋ = 2y x, xy 1ẏ = 0. Aplicaciones practicas Los diagramas de fase se emplean en la macroeconomía de manera recurrente para recoger la dinámica de dos variables, sus interacciones y ajustes a través del tiempo. Los diagramas son herramientas analíticas sumamente útiles que logran formalizar algunas intuiciones de la teoría aclarando la explicación de los modelos y su pertinencia. Un ejemplo de lo anterior es la relación entre el financiamiento de la inversión en la Bolsa de Valores y la acumulación de capital productivo. Se cree que existe una relación estrecha entre estas dos variables pues la acumulación de capital promete a los accionistas retornos futuros adicionales sobre su inversión financiera pero a su vez estos fondos entregados por ellos permiten a la empresa ampliar su capacidad productiva lo que se refleja en un nivel mayor de capital para los periodos siguientes, lo que prometería retornos futuros adicionales y así sucesivamente. Otro ejemplo puede ser cómo bajo el esquema de oferta y demanda agregada con expectativas racionales propio de los modelos de Nueva Macroeconomía Clásica de Lucas y Sargent, donde se puede observar que un incremento en la demanda no esperado por los agentes económicos, empresarios y trabajadores, provoca una desviación de sus pronósticos respecto del valor observado en el nivel general de precios (P). Si el incremento en (P) es inferior al pronóstico hecho sobre él por parte de los agentes la producción caerá, lo que se traduce en un exceso de oferta que provoca una caída en los 10

11 precios y promueve una subsecuente caída en la producción. Los ejemplos expuestos muestran que los diagramas de fase recogen la interacción entre variables propia de la dinámica económica lo que supone un avance sobre los ejercicios de estática donde los cambios son apenas expuestos por medio de la estática comparativa que obvia estas interacciones pues el ajuste es instantáneo aunque algunos ejercicios pedagógicos traten de otorgarle cierta secuencialidad a los procesos de ajuste. Esto se puede evidencia en el caso de los movimientos que la política monetaria o fiscal provoca en el esquema IS-LM bajo los denominados mecanismos de transmisión. Adicionalmente, se debe advertir que la noción de tiempo manejada en los diagramas de fase es una cercana a lo que Joan Robinson denominó tiempo lógico en contra del tiempo histórico. El primero se caracteriza por establecer una secuencia o trayectoria definida para las variables de suerte que los procesos pueden ser reversados. La reversibilidad puede ser capturada cuando se ejemplifican cambios transitorios en las curvas que componen el diagrama de fase dado que el desplazamiento de la curva implica un movimiento de ida y vuelta lo que deja inalterado el sistema a largo plazo. Por el contrario, el tiempo calendario es el que se observa en la realidad y su característica es la no reversibilidad, es decir, que luego de un cambio la economía no tiene por qué volver necesariamente a la misma posición aún si los cambios de ida y vuelta fueran de la misma magnitud (Henry, 2003). A continuación se presentarán algunos ejemplos de la aplicación de los diagramas de fase en macroeconomía. El financiamiento de la inversión y la acumulación de capital: La Q de Tobin La Q de Tobin es una teoría del financiamiento de la inversión a través de la Bolsa de Valores que fue publicada en (1969) por James Tobin en el Journal of Money Credit and Banking. Como mencionaba Keynes en 1936, el rasgo fundamental de la Bolsa de valores es hacer líquido al individuo lo que es fijo para la sociedad. Por tal razón el rol de la Bolsa es capturar recursos de ahorro de las familias, que buscan financiar los proyectos de inversión en maquinaria y equipo de las firmas sin comprometer la liquidez de los hogares 11

12 pues estos pueden transformar en un plazo no muy largo el valor de las acciones en recursos completamente sin que esto acarre una reducción del capital ya acumulado por la firma. En principio la idea de la Q de Tobin es mostrar que la maximización de lariquezadeloshogaresexpresadoenelvalordelasaccionesquetienenensu poder es equivalente a la maximización del beneficio de la firma. No obstante, la Q es un indicador de Bolsa que se obtiene a diario en el cual relaciona el valor de capital instalado en la Bolsa respecto del valor de reposición de ese mismo capital en mercado de bienes. 1. q = Valor de mercado del capital instalado Coste de reposición del capital instalado. Cuando q > 1 es cuando el mercado de valores anima a las empresas a invertir, y cuando q < 1 es cuando las empresas deberían dejar caer el nivel de inversión. Q de Tobin busca dar un cuerpo teórico a este indicador bursátil tratando de incorporar las decisiones de inversión empresarial, su financiamiento y el impacto de esto sobre la riqueza financiera de los hogares. Lo anterior puede descifrarse en la siguiente condición: 2. V t = De t Dt1 e 1rǫ = πe t I t a 2 I2 t q t (K t I t ) 1r ǫ Donde V t es el valor de la empresa en la Bolsa, el cual estaría determinado por el precio fundamental de una acción, que de acuerdo con la condición 2, está constituido por el dividendo esperado D e t, el valor de la acción esperado en el (t 1)V ( t 1) e, la tasa de interés (r) y una prima de riesgo (ǫ). A su vez, los dividendos esperados se alimentan de los beneficios de la firma (D e t = π e t I t c(i t )), y el valor esperado de la acción puede expresarse como una proporción q del valor de capital en el mercado de bienes V ( t 1) e = q t K ( t1). 1 Por tanto, se puede expresar en términos de acumulación K ( t 1) = K t I t. La expresión 2 muestra que el precio de la acción dependería de la maximización del beneficio de la firma, de la acumulación futura en 1 Esto se toma de la condición 1 pero adelantado un periodo. 12

13 proporción q t que expresa la valoración presente de ingresos futuros, y todo descontado a un tipo de interés y una prima de riesgo. Así pues, la empresa elegirá el nivel de inversión I t que maximiza la riqueza inicial de los propietarios, teniendo en cuenta la valoración de la bolsa de una unidad de capital, q t. La condición de primer orden sería entonces V t I t = 0, que establecería la regla de inversión. Despejando se tiene: 3. q t = 1 dc di t. Si dc di t = ai t, entonces 4. I t = q t 1. a La condición 4 corrobora q t > 1, I t, K t1 ) y q t > 1, I t, K t1. La Q de Tobin puede ser llevada a una representación mediante diagramas de fase. En primer lugar, reconocemos que los incrementos del stock de capital vienen determinados por los cambios de q t a través del tiempo, K(t) = f(q(t)). Se sabe a partir de 4 que la inversión o la acumulación de capital cambiarán dependiendo del valor de q t respecto de 1, lo cual puede obtenerse obteniendo la condición de primer orden del Hamiltoniano respecto de la inversión, que es la variable de control: 5. H(k(t),I(t)) = π(k(t)k(t)i(t)c(i(t))q(t)i(t). 6. H I(k(t),I(t)) = 1C (t)q = I(t) = N(C ) 1 (q(t)1). La condición 7 es la misma expresión de 4 sabiendo que N es el número de firmas en la economía y (a) está expresada como el costo marginal de instalación de una unidad adicional de capital. Con lo anterior se puede establecer la evolución de la acumulación o desacumulación de capital a través del tiempo: 13

14 q K > 0 K = 0 K < 0 K Derivando 5 respecto de la variable de estado k se obtiene: 8. π(k(t)) = rq(t) q(t). 9. q(t) = rq(t)π(k(t)). De 8 se puede deducir que el beneficio que reporta a la firma el capital debe cubrir el costo de oportunidad o de financiamiento rq(t), pero este a su vez es aliviado en la medida que el capital se valorice en la Bolsa q(t). De 9 se puede encontrar la isóclina correspondiente a q = 0, que resulta en q(t) = π(k(t)) 1/r, donde la pendiente es π (K(t)) 1/r < 0. Su signo se explica pues se supone que por economías externas el aumento del capital de la industria reduce el beneficio de la firma pues tal incremento en el factor satura el mercado, y si las firmas enfrentan en su conjunto una curva de pendiente negativa la única forma de vender su producción será ofreciéndola a un precio más bajo, lo que acarrea beneficios menores π (K(t)) < 0. Así, se concluye que la isoclina q = 0 tiene pendiente negativa en el plano (K,q). En 9 se observa que un aumento en el capital conforme el tiempo pasa, reduce los beneficios, lo que implica que ese aumento del capital debe ser financiado de otra manera para que se incremente efectivamente, por lo que esto es solo posible si crece el financiamiento externo en la Bolsa a través del tiempoq(t).entoncessisepartede q = 0,ysepermitequeeltiempoaumente y eleve el capital, este superara cierto valor que tendría como resultado un incremento de q(t) a través del tiempo ( q > 0), y viceversa. 14

15 q q > 0 q < 0 q = 0 K Luego si combinamos las dos isoclinas tenemos el diagrama de fases completo de la Q de Tobin. El gráfico 3 muestran que solamente las trayectorias de las regiones 1 y 3 son compatibles con el equilibrio estable o punto de silla en E, lo que aseguraría un nivel de K óptimo. Estando en el campo 3 se sabe que conforme el tiempo avance el capital retrocederá incrementando los beneficios. No obstante, en el campo 3 el stock de capital es muy elevado por lo que se necesita financiamiento externo y q debería estar creciendo. Entonces, los dos efectos anteriores se retroalimentan, por un lado la caída del capital reduce la dependencia de financiamiento externo y a su vez q crece conforme se acerca a E, cada vez más despacio por lo que se detienen en el punto de equilibrio. q E K = q = 0 K 15

16 Bibliografía Casas D. (2012) Elementos de ecuaciones diferenciales y en diferencia. Ed. Unisalle. Pecha A (2007) Optimización estática y dinámica en economía. Ed. U. Nacional de Colombia. Escobar D. (2005) Economía matemática. 2 a Edición. Ed. Uniandes. Romer, D. (2011). Macroeconomía avanzada 3ra ed. Mac Graw Hill. Madrid: España. p. 704 Tobin,J.(1969):. A generalequilibriumapproachtomonetarytheory, Journal of Money Credit and Banking. 16