BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS LICENCIATURA: QUÍMICO ÁREA ESPECÍFICA DE: FÍSICOMATEMÁTICAS

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1 BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS LICENCIATURA: QUÍMICO ÁREA ESPECÍFICA DE: FÍSICOMATEMÁTICAS NOMBRE DE LA ASIGNATURA: MATEMÁTICAS III CÓDIGO: LQF 137 FECHA DE ELABORACIÓN: MARZO 2001 NIVEL EN EL MAPA CURRICULAR: TIPO DE ASIGNATURA: BÁSICO CIENCIA BÁSICA PROFESORES QUE PARTICIPARON EN SU ELABORACIÓN: Dr. Sergio Solís Sauceda Dr. Gustavo Abarca Avila C. M.C. Jorge Contreras Rascón HORAS DE TEORIA: 2 HORAS PRÁCTICA: 3 CRÉDITOS: 7 PRE-REQUISITOS: Matemáticas I y Matemáticas II RECOMENDACIONES: Repasar y ampliar conocimientos previos en: Álgebra, trigonometría y geometría analítica. PRESENTACION GENERAL DEL PROGRAMA Este programa tiene como objetivo que los estudiantes de la Licenciatura en Química adquieran conocimientos básicos de álgebra lineal que son necesarios para comprender algunos temas propios de otros cursos de la carrera. Estos conocimientos pueden aplicarse en distintos contextos dentro de la actividad profesional del químico. El programa les proporcionará a los estudiantes los fundamentos del álgebra lineal de la manera más completa posible En este programa se definen y estudian las matrices, los determinantes, la estructura algebraica conocida como espacio vectorial y las transformaciones lineales entre espacios vectoriales. OBJETIVO GENERAL DEL CURSO: 1

2 El estudiante comprenderá los conceptos fundamentales del álgebra lineal así como las diversas técnicas de cálculo empleadas en esta teoría. Aprenderá a emplear estos conocimientos en distintos contextos tanto de la física como de la química. CONTENIDO Y ESQUEMA DEL CURSO: UNIDAD 1 INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA DE MATRICES. (12 HORAS) Se introduce el concepto de matriz, una disposición rectangular de números o funciones que aparecen en múltiples situaciones tanto en la matemática pura como en la aplicada. Los conocimientos sobre las matrices se utilizan en cada una de las siguientes unidades. El estudiante: Aprenderá a identificar una matriz en términos de su clasificación. Aprenderá a sumar y multiplicar matrices. Aprenderá a representar un sistema de ecuaciones lineales en notación matricial. Aprenderá a obtener las matrices transpuesta e inversa de una matriz dada Matrices Igualdad y adición de matrices. Leyes de la adición Multiplicación de matrices. Propiedades de la multiplicación Ecuaciones lineales en notación matricial Transpuesta de una matriz Matrices simétricas, antisimétricas y hermitianas Matrices escalares y matriz identidad Inversa de una matriz Partición de matrices. UNIDAD 2. DETERMINANTES. Establecer los conceptos básicos asociados a los determinantes. (12 HORAS) El estudiante Comprenderá el concepto de determinante. Conocerá y aplicará las propiedades de los determinantes Permutaciones e inversiones Determinante de una matriz cuadrada Propiedades de los determinantes Cálculo de determinantes Determinante del producto de dos matrices Matriz adjunta. 2

3 2.7.- Inversa de una matriz Regla de Cramer Solución de ecuaciones por eliminación sintética. UNIDAD 3 RANGO Y EQUIVALENCIA. (10 HORAS) Establecer los conceptos de rango de una matriz y la equivalencia entre matrices. El estudiante Aprenderá a calcular el rango de una matriz. Aprenderá a verificar la equivalencia entre dos matrices Concepto de rango Transformaciones elementales Forma normal. Equivalencia de matrices Propiedades de las matrices equivalentes Rango del producto de dos matrices. UNIDAD 4 ECUACIONES LINEALES Y DEPENDENCIA LINEAL. (16 HORAS) Establecer los conceptos de ecuación lineal y sistemas de ecuaciones lineales, así como los procedimientos para resolver sistemas de ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas. El estudiante Aprenderá a resolver un sistema homogéneo de ecuaciones. Aprenderá a resolver un sistema no homogéneo de ecuaciones Sistemas equivalentes de ecuaciones Teorema fundamental Ecuaciones lineales homogéneas Dependencia lineal de ecuaciones Soluciones de sistemas homogéneos Soluciones de sistemas no homogéneos. 3

4 UNIDAD 5. ESPACIOS VECTORIALES Y TRANSFORMACIONES LINEALES (15 HORAS). Se definen de manera precisa el concepto de espacio vectorial, los conceptos de subespacio de un espacio vectorial, suma directa, combinación lineal de vectores, dependencia e independencia lineal de vectores, bases y dimensión de un espacio vectorial. Así mismo, se introduce el concepto de transformación lineal y sus propiedades. El estudiante: Aprenderá a identificar la estructura de espacio vectorial que poseen algunos conjuntos. Entre estos están los subespacios vectoriales. Aprenderá a representar un vector como combinación lineal de otros. Aprenderá a demostrar si un conjunto de vectores es linealmente dependiente o linealmente independiente. Aprenderá las técnicas que permiten encontrar una base y la dimensión de un espacio vectorial. Aprenderá a determinar el rango y el espacio nulo asociados a una transformación lineal Introducción Espacios vectoriales Subespacios Combinaciones lineales Dependencia lineal e independencia lineal Bases y dimensiones Transformaciones lineales, espacios nulos y rangos La representación matricial de una transformación lineal Invertibilidad e isomorfismos. UNIDAD 6. DIAGONALIZACIÓN Y ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO. (15 HORAS). Se determina el modo de transformar una matriz a una forma diagonal para especificar entre otras cosas, un conjunto de valores y vectores característicos. Por otra parte se introduce el concepto de espacio vectorial con producto interno, para obtener y estudiar vectores ortogonales. El estudiante: Aprenderá a diagonalizar una matriz y a determinar un conjunto de valores y vectores propios. Aprenderá a obtener un conjunto ortogonal de vectores de un espacio vectorial con producto interno Valores y vectores característicos. 4

5 6.2.- Diagonalizabilidad Producto interior y normas Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt. METODOLOGÍA En general, se resolverán ejercicios en clase y se dejarán otros de tarea para que los estudiantes desarrollen habilidades para interpretar las representaciones gráficas, esquemas, fórmulas, etc., y describan en detalle la relación existente entre un concepto y el formalismo que se usa para representarlo Para que el estudiante asimile conceptos abstractos, es necesario ponerlos a trabajar en el uso de los conceptos en los más variados contextos. Por otra parte, los problemas deberán contribuir a conocer el funcionamiento, y a explicar situaciones que se dan en la vida diaria y en la naturaleza. Los problemas deberán de estar perfectamente ordenados por dificultad creciente, primero los que corresponden a una aplicación inmediata de un único concepto, después los que precisan de dos o más conceptos, y por último, problemas adicionales de nivel elevado. Deberá fomentarse la consulta frecuente de los libros apropiados. Es seguro que no existe un libro que se apegue al programa de estudio, pero sí hay muchos que abordan de manera diversa unos u otros temas del programa. El uso del lenguaje juega un papel muy importante en el aprendizaje. En las exposiciones y en todos los ámbitos de comunicación entre el profesor y los alumnos, se debe utilizar un lenguaje claro y preciso. INSTRUMENTACIÓN DIDÁCTICA A UTILIZAR: El estudiante deberá tener acceso a calculadoras graficadoras y a sistemas algebraicos para computadoras (con recursos de software tales como DERIVE, MAPLE, MATHEMATICA, MATHCAD, SWP Y MATLAB) pero la tecnología no hace que el lápiz y el papel sean obsoletos. A menudo resultan preferibles el cálculo o los esquemas hechos a mano para ilustrar y reforzar algunos conceptos. IMPACTO ECOLÓGICO DEL CURSO a) Se introducirán en los momentos apropiados del desarrollo del curso, aplicaciones de los conceptos y técnicas en estudio, en problemas asociados a la contaminación ambiental, el cambio de clima, la tala inmoderada, el calentamiento del planeta, etc. b) Se hará conciencia entre los estudiantes de la necesidad de participar en las soluciones de alguna o varias facetas de al menos uno de los problemas que amenazan el equilibrio ecológico. El Departamento de Físico-Matemáticas difundirá paralelamente al curso, información pertinente alusiva a la ecología y a los graves problemas y posibles soluciones, que en esta materia, enfrenta la humanidad. Se indicará como intervienen la física, las matemáticas y la química en la solución de los problemas ambientales. c) El Departamento de Físico-Matemáticas dará los pasos necesarios para que se realicen conferencias en la facultad, en las que los participantes pertenezcan a un grupo de investigadores que trabajen en proyectos asociados a la ecología. En estas conferencias se indicará la necesidad de comprender y manejar algunas áreas de las matemáticas y la física. 5

6 FOMENTO DE VALORES EN LOS ESTUDIANTES a) Trabajo en equipo. Se plantearán tareas y/o participaciones en clase por equipos. b) Laboriosidad. En la práctica docente, al inicio de cada unidad, se mostrarán las subestructuras y el nivel que se requiere en cada tema. Se procurará crear notas de los cursos y problemarios que indiquen y refuercen lo anterior y que permitan a los estudiantes ubicarse mejor y concebir la inversión de tiempo y esfuerzos necesarios requeridos en el plan del curso. Esto puede incentivar su laboriosidad. c) Creatividad. Se apoyará el desarrollo creativo del estudiante, planteando en la clase situaciones y problemas especialmente elegidos que permitan al estudiante buscar soluciones propias. d) Actitud de investigador. Se inducirá en el estudiante una actitud apropiada para la investigación, proponiendo como parte de sus obligaciones, investigar algunos temas en las bibliotecas, videotecas, etc. CRITERIOS DE EVALUACIÓN La evaluación del curso debe medir el grado de conocimiento de un tema, planteando al estudiante, sea de forma oral o escrita, preguntas conceptuales y así mismo, midiendo la habilidad que tiene en la resolución de problemas. Además, la evaluación suministra al profesor información sobre el grado de consecución de los objetivos planteados, y al alumno le indica su situación de aprendizaje. Esta información es de gran utilidad para establecer medidas correctoras que se estimen pertinentes. La calificación del curso se basará en la suma de calificaciones obtenidas por el estudiante en tres rubros. Estos rubros y sus porcentajes de referencia son: 1. Exámenes parciales 60 % 2. Tareas 20 % 3. Participación en clase 20 % La participación en clase puede ser en las modalidades de resolución y/o explicación de problemas, así como por exposiciones orales. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: 1. Hohn, Franz E.. Algebra de matrices. Editorial Trillas, México, ISBN Kolman, Bernard. Algebra lineal. Addison-Wesley Iberoamericana, ISBN Anton Howard, Bernard Kolman. Applied finite Mathematics, New York, Academic Press. c1974. ISBN BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA: 4. Friedberg, Stephen H. Linear Algebra. Prentice Hall, Williams Gareth. Algebra lineal con aplicaciones. McGraw-hill/Interamericana Editores, S.A. de C.V ISBN X. 6

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