Universidad de Talca Taller de Matemática 2012 Estudiantes de Enseñanza Media

Transcripción

1 Soluciones Taller 7 Solución Ejercicio. Qué número le asignarán a la posibilidad de obtener una cara en el lanzamiento de una moneda? Respuesta: Hay tantas posibilidades de obtener una cara como una cruz, por lo que cada resultado aparecerá en la mitad de las ocasiones. Luego, parece lógico asignar 1 P (C) = P ( X ) = Qué número le asignarán a la posibilidad de que la moneda caiga parada? Respuesta: Este evento nunca ocurre, por lo que pudiéramos asignarle un cero a sus posibilidades de ocurrir: P ( P ) = 0 Como nada ocurre menos que nunca, entonces P ( imposible ) = 0 y probabilidades negativas no tienen sentido. Qué número le asignarán a la posibilidad de obtener una cara o una cruz en el lanzamiento de una moneda? Respuesta: Deberán ser las posibilidades de obtener cara más las posibilidades de obtener una cruz P (C) + P ( X ) = 1 Pero obtener una cara o una cruz es algo que siempre va a ocurrir por lo que P ( seguro ) = 1 y como nada ocurre más veces que siempre, probabilidades mayores que 1 no tienen sentido. Solución Ejercicio 3. Qué probabilidad le asignarán a obtener un 3 en el lanzamiento de un dado? Respuesta: Hay seis resultados posibles y todos con igual posibilidad de ocurrir, por lo que 1 P ( 3) = 6 Qué probabilidad le asignarán a obtener un número menor que 3 en el lanzamiento de un dado? Respuesta: Hay sólo dos números menores que tres en un dado, estos son el 1 y el, por lo que 1 1 P ( < 3) = P ( 1) + P ( ) = + = Instituto de Matemática y Física 1

2 Qué probabilidad le asignarán a obtener un número par en el lanzamiento de un dado? Respuesta: Hay sólo tres números pares en un dado, estos son el, 4 y 6, por lo que P ( par ) = P ( ) + P ( 4) + P ( 6) = + + = Ejercicio 4. Un senador de la república está haciendo un estudio de su popularidad en las regiones VI y VII de Chile para poder decidir por cuál de esas dos regiones hacer la postulación para su reelección. Para esto cuenta con dos equipos de trabajo, uno en cada región. La primera semana de estudio cada equipo de trabajo hace una encuesta, en la parte Norte de su región, preguntando si votarán por dicho senador para su reelección. Se obtuvieron los siguientes resultados, Cuadro 1: Resultados de la encuesta en la parte norte de cada región. VI región VII región Apoyo al Si candidato No 8 54 Según los resultados de la encuesta en la parte norte de cada región, por cuál región le conviene más al senador intentar su reelección? Solución Ejercicio 4 Debemos comparar la probabilidad de ser elegido en cada región. La región más conveniente es en la que haya mayor probabilidad de ser elegido. Haciendo los cálculos tenemos: 1 P ( Si VI = 0, y 351 P ( Si VII = 0, Por tanto, con estos resultados es más conveniente intentar su reelección por la VI región. La segunda semana de estudio cada equipo de trabajo hace la misma encuesta, pero en la parte Sur de su región, obteniendo los siguientes resultados, Cuadro : Resultados de la encuesta en la parte sur de cada región. VI región VII región Apoyo al Si candidato No Instituto de Matemática y Física

3 Según los resultados de la encuesta en el sur de cada región, por cuál región le conviene más al senador intentar su reelección? y Respuesta: Haciendo los cálculos tenemos: P ( Si VI 88 = 0, P ( Si VII 83 = 0, Por tanto, con estos resultados es más conveniente intentar su reelección por la VI región, nuevamente. Sin embargo, este senador necesita analizar sus posibilidades en cada región como un todo. Uniendo los resultados anteriores, por cuál región le conviene más al senador intentar su reelección? Respuesta: Sumando los cuadros 1 y : Cuadro 3: Resultados de la encuesta en cada región. VI región VII región Apoyo al Si candidato No Por tanto, y P ( Si VI 410 = 0, P ( Si VI 434 = 0, Oh!!!!, Ahora es más conveniente su reelección por la VII región. Ejercicio 5. Si bajo las condiciones anteriores tu recibes un resultado positivo de la prueba, cuál es la probabilidad de que tengas la enfermedad? Solución Ejercicio 5 Lo que tenemos que calcular es la probabilidad de que un individuo seleccionado al azar de esta población esté enfermo si ya sabemos que la prueba le resultó positiva, o sea, P(E +). Hagamos una tabla de resumen: Instituto de Matemática y Física 3

4 Estado de salud Enfermo Sano Total Resultado de + la prueba - Total Sabemos que esta prueba da 99 resultados positivos por cada 100 enfermos. Por tanto, como en esta población hay 1 enfermo por cada mil habitantes, entonces en esta población tendríamos a = 0,99 1 enfermo con resultado + por cada mil habitantes. Completando la tabla tenemos: Estado de salud Enfermo Sano Total Resultado de + 1 la prueba - 0 Total También sabemos que la prueba da resultados + por cada 100 sanos. Pero como en esta población hay 999 sanos por cada mil habitantes, entonces en esta población habría 999 = 19, sanos con resultado + por cada mil habitantes. Completando la tabla tenemos: Finalmente, Estado de salud Enfermo Sano Total Resultado de la prueba Total Instituto de Matemática y Física 4

5 Más exactamente, La probabilidad es realmente muy baja. Ejercicio 6 (Paradoja de de Méré). Qué es más probable: sacar al menos un 6 en cuatro tiradas con un solo dado, o sacar al menos un doble 6 en 4 tiradas con dos dados? Solución Ejercicio 6 En este problema es más sencillo calcular la probabilidad del evento contrario al buscado. 5 4 P(No obtener un 6 en 4 lanzamientos de un dado) = = 0, Hemos supuesto que el resultado obtenido en un lanzamiento de un dado no afecta al resultado de cualquier otro lanzamiento. Luego, para el primer caso se tiene: P(Obtener al menos un 6 en 4 lanzamientos de un dado) = 1 0, = 0,51775 Para el segundo caso es similar: Por tanto, 35 4 P(No obtener un (6,6) en 4 lanzamientos de un dado) = = 0, P(Obtener al menos un (6,6) en 4 lanzamientos de un dado) = 1 0, = 0,4914 Conclusión, es más fácil obtener al menos un 6 en cuatro lanzamientos de un dado que obtener al menos un doble 6 en 4 lanzamientos de dos dados. Ejercicio 7. Dos pololos acordaron reunirse en un lugar entre las 1:00 y 13:00 horas. El primero que llegue esperará por el otro sólo 0 minutos. Cuál es la probabilidad de que los pololos se reunan si cada uno de ellos llega a la hora acordada de forma independiente4 y aleatoria? Solución Ejercicio 7 Instituto de Matemática y Física 5

6 Figura : Supongamos que él llega en el tiempo x y ella en el tiempo y. Para que los pololos se encuentren es necesario y suficiente que la diferencia entre los tiempos de llegada sea menor o igual a 0 minutos, o sea, x y 0 La situación se puede describir a través de un eje de coordenadas Cartesianas en el plano. La Figura muestra todos los posibles resultados (llegada de ambos pololos) como puntos en el cuadrado de ancho 60 minutos. Los resultados sombreados son los que producen un encuentro entre los pololos. Por tanto, la probabilidad deseada es igual a la razón entre el área de la región sombreada y el área del cuadrado de ancho 60, 60 P ( Encuentro ) = = 5 9 Instituto de Matemática y Física 6

7 Instituto de Matemática y Física 7