1. PROGRAMACION 2º CURSO BACHILLERATO CCNS

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1 1. PROGRAMACION 2º CURSO BACHILLERATO CCNS La programación de esta materia incluye las indicaciones del Armonizador de la Universidad de Zaragoza 1.1. CONTENIDOS Se estructuran en tres bloques: 1. Álgebra lineal. 2. Geometría. 3. Análisis Pasamos a desarrollar los contenidos de cada uno de ellos haciendo previamente unas observaciones generales. ÁLGEBRA LINEAL. OBSERVACIONES GENERALES A nivel teórico se trabajará con matrices m n; a nivel práctico se manejarán matrices cuadradas 3 x 3 como máximo. Se calculará la inversa de la matriz A, para algún ejemplo sencillo de dimensión 2 2 ó 3 3 mediante los diversos métodos (AX=I; mediante determinantes). No se exigirá un procedimiento concreto de calcular el rango de una matriz, pero se hará ver con ejemplos que en unos casos conviene usar determinantes y en otros casos es mejor triangular la matriz. Sólo se pedirá la discusión de un sistema dependiente de un parámetro. Las propiedades de los determinantes se justificarán con ejemplos concretos. Se considerará sistema homogéneo compatible determinado al que únicamente tiene la solución trivial. CONTENIDOS A)MATRICES 1. Matriz 2. Dimensión u orden de una matriz. 3. Igualdad de matrices 4. Tipos de matrices: fila, columna, regular, cuadrada, diagonal y simétrica. 5. Matriz traspuesta. 1

2 6. Matriz nula y opuesta. 7. Matriz unidad e inversa. 8. Rango de una matriz :obtención por el método de Gauss B) DETERMINANTES 1. Definición de determinante de una matriz cuadrada. 2. Menor complementario y Adjunto. 3. Cálculo de determinantes de órdenes 2 y 3 mediante la regla de Sarrus. 4. Propiedades elementales de los determinantes. C) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1. Definición de sistemas de ecuaciones lineales. 2. Ecuaciones equivalentes. Sistemas equivalentes. 3. Solución de un ecuación y de un sistema. Clasificación de los sistemas atendiendo a las posibles soluciones. 4. Matriz de los coeficientes y matriz ampliada asociada a un sistema. 5. Teorema de Rouché-Fröbenius. 6. Sistemas homogéneos. 7. Aplicación de los sistemas de ecuaciones a la resolución de problemas. Utilización de los distintos recursos tecnológicos (calculadoras científicas y gráficas, programas informáticos, etc.) como apoyo en los procedimientos que involucran el manejo de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. GEOMETRÍA. OBSERVACIONES GENERALES Se hace notar que el tema de vectores se coloca en el bloque de geometría y no en el de álgebra, porque no interesa su estudio desde el punto de vista de las estructuras algebraicas, sino sobra todo su conocimiento para el manejo práctico y aplicación en la geometría. }.l Las propiedades de los productos escalar, vectorial y mixto, se justificaran con ejemplos. Se obtendrá la expresión analítica del producto escalar. Se repasará la geometría en el plano, vista en primero de bachillerato, como introducción a la geometría del espacio. 2

3 Se trabajará sobre todo en el espacio afín, los problemas de incidencia, insistiendo de una manera más somera en las cuestiones del espacio euclídeo. Conviene relacionar la resolución de sistemas de ecuaciones con su interpretación geométrica, en este tema. Es conveniente la visualización de la obtención de las cónicas, como intersección mediante planos de la superficie cónica. Las superficies de revolución de rectas y cónicas se darán a conocer mediante medios gráficos o audiovisuales, a título de mera información. CONTENIDOS A) VECTORES 1. Vectores fijos y libres: definición. 2. Operaciones elementales con vectores: suma y producto de un número real por un vector. 3. Dependencia e independencia lineal. 4. Base. 5. Componentes de un vector en función de una determinada base. 6. Producto escalar, vectorial y mixto. Definiciones y expresiones analíticas. Propiedades. 7. Bases ortonormales. B) RECTAS Y PLANOS EN R 3 1. Punto, recta y plano en el espacio. 2. Vectores direccionales de una recta. Vectores perpendiculares a un plano. 3. Recta como intersección de planos. 4. Posiciones relativas de rectas y planos. Interpretación geométrica. C) PROBLEMAS MÉTRTICOS 1. Resolución de problemas de incidencia, paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos. 2. Resolución de problemas métricos relacionados con el cálculo de ángulos, distancias, áreas y volúmenes. 3. Introducción al conocimiento de algunas curvas y superficies comunes. 3

4 4. Ecuación canónica de la superficie esférica. ANÁLISIS. OBSERVACIONES GENERALES Las sucesiones y sus límites se estudiarán sólo en la medida en que sean necesarios para abordar el estudio de los límites de funciones. El teorema de unicidad del limite solamente se enunciará. El cálculo de límites de funciones se reducirá a los casos sencillos, llegando como mucho a los limites de funciones racionales sencillas. Conviene llegar a derivar las funciones conocidas mencionadas. Seria útil conocer el método de derivación logarítmico, como ayuda para la derivación de otras funciones. Se obviará el estudio de la concavidad y convexidad. El método de sustitución se entiende que se aplicará siempre y cuando se de el cambio concreto de variable. Se manejarán las primitivas de las funciones seno, coseno y tangente, sin realizar el proceso de obtención de las mismas. Sólo se integrarán funciones racionales con raíces reales simples. CONTENIDOS A) SUCESIONES Y FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD 1. Introducción: Sucesiones. Limites de sucesiones. 2. Funciones :Definición, dominio, recorrido, composición de funciones, función inversa. 3. Límite de la función en un punto. 4. Límites en el infinito. 5. Límites infinitos. 6. Unicidad del límite y operaciones con Limites. 7. El número e como límite de la sucesión (1+1/n)n. 8. Continuidad de una función en un punto. B) DERIVADAS DE LAS FUNCIONES 1. Derivada de una función en un punto. 2. Función derivada de una función dada. 4

5 3. Reglas para el cálculo de derivadas sencillas. 4. Continuidad y derivabilidad.. C) APLICACIONES DE LA DERIVABILIDAD DE FUNCIONES: MÁXIMOS Y MÍNIMOS REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES. OPTIMIZACIÓN. 1. Intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. 2. Máximos y Mínimos relativos de funciones. 3. Puntos de inflexión de una función. 4. Asíntotas. 5. Simetrías respecto del eje de ordenadas y respecto del origen. D) CONCEPTO DE ÁREA. INTEGRAL DEFINIDA Y CÁLCULO INTEGRAL. 1. Área encerrada bajo una curva (aproximación mediante particiones sucesivas). 2. Integral definida. Propiedades. 3. Teorema fundamental del cálculo integral. 4. Regla de Barrow. Calculo de áreas de regiones planas 5. Primitiva de una función. 6. Utilización de los distintos recursos tecnológicos (calculadoras científicas y gráficas, programas informáticos, etc.) como apoyo en el análisis gráfico y algebraico de las propiedades, globales y puntuales, de las funciones y en los procedimientos de integración CONTENIDOS MÍNIMOS. Comprender y expresarse con precisión mediante la terminología del álgebra matricial. Manejar con soltura las operaciones elementales con matrices de hasta 3x3 Saber obtener el rango de una matriz mediante triangulación y/o mediante el cálculo de los determinantes de los menores. (Datos constantes o a lo sumo un parámetro) Saber obtener la matriz inversa de una dada (Máximo orden 3) Manejo de las propiedades de los determinantes para el cálculo de su valor. 5

6 Saber analizar la compatibilidad y determinación de un sistema de ecuaciones (máximo nivel de complejidad: 3 ecuaciones con 3 incógnitas y un parámetro) Resolver con destreza sistemas de ecuaciones usando la regla de Cramer y/o el método de Gauss. Saber expresar en lenguaje matricial entidades diversas (conexión en grafos, estadillos variados, ecuaciones, etc..., interpretando el sentido de las operaciones matriciales y el significado de resultados concretos ). Comprender y saber verificar el carácter ligado o libre de un conjunto de vectores así como su rango y otros conceptos relacionados con combinación lineal. Saber los elementos que caracterizan rectas y planos en R3 y a partir de ellos obtener su ecuación. Saber analizar la incidencia y paralelismo entre, a lo sumo 3, variedades afines. Adquirir destreza en la solución de problemas geométricos sencillos (Determinación de planos y rectas mediante condiciones no excesivamente complejas. Cálculo de simétricos de puntos, rectas, y planos respecto a puntos, rectas o planos, Problema de la perpendicular común a dos rectas, etc...) Resolución de problemas euclideos de determinación de distancias, áreas, ángulos y volúmenes en casos de aplicación casi inmediata de la correspondiente fórmula. Comprender y manejar la técnica de los lugares geométricos y saber relacionar y /o calcular los elementos característicos de las cónicas entre sí o con en relación con su ecuación. Comprender intuitivamente el concepto de límite y saber calcular límites algebraicos sencillos (expresiones racionales) y funciones habituales en indeterminaciones sencillas. Comprender e interpretar el concepto de tasa incremental, la derivada de una función en un punto y la función derivada y adquirir destreza y seguridad en el cálculo de derivadas. de funciones sencillas. Saber determinar las características esenciales para representar una función y adquirir destrezas para determinar en especial: los puntos máximos, mínimos y de inflexión, el crecimiento y la concavidad, las asíntotas y las simetrías. Manejar la integración inmediata, y adquirir alguna destrezas en casos sencillos de cambio de variable (que se dará explícitamente), integración por parte (no iterada) y en relaciones muy directas con las funciones trigonométricas. 6

7 Saber obtener el área de recintos delimitados por varias funciones siempre que los cálculos sean sencillos y conduzcan a integraciones de los casos mencionados CRITERIOS DE EVALUACIÓN. Utilizar los conceptos básicos y la terminología adecuada del análisis. Desarrollar las destrezas más usuales para el cálculo de límites y derivadas e integrales y dar significado a las operaciones y procedimientos numéricos involucrados en la resolución de un problema, valorando los resultados obtenidos de acuerdo con el enunciado. Extraer información práctica y esbozar las gráficas de funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas sencillas, ayudándose del estudio de sus propiedades globales y locales (dominio, recorrido, continuidad, simetrías, periodicidad, puntos de corte, intervalos de crecimiento, puntos críticos, extremos, asíntotas), que ayude a analizar el fenómeno del que se derive. Aplicar las condiciones de continuidad y derivabilidad en funciones definidas a trozos. Aplicar las propiedades de las funciones estudiadas para analizar, interpretar y resolver problemas relacionados con fenómenos naturales, económicos o sociales. Utilizar el cálculo de derivadas como herramienta para resolver problemas de optimización extraídos de situaciones reales de carácter geométrico, físico o tecnológico. Calcular áreas de regiones limitadas por rectas y curvas sencillas, fácilmente representables por los alumnos. Utilizar el método de Gauss para obtener matrices inversas de órdenes dos o tres y para discutir y resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices y determinantes como herramienta algebraica útil para expresar y resolver situaciones diversas y problemas relacionados con la organización de datos, el análisis y resolución de sistemas de ecuaciones lineales, y con la geometría analítica, contextualizando la solución. Transcribir al lenguaje algebraico y resolver problemas basados en situaciones próximas al entorno del alumno o relacionadas con las demás materias del ámbito científico tecnológico, cuyo tratamiento matemático exija la utilización de técnicas algebraicas básicas, interpretando las soluciones de acuerdo con el enunciado. Utilizar el lenguaje vectorial y las técnicas apropiadas en cada caso, como instrumento para la interpretación de fenómenos diversos derivados de la 7

8 geometría, la física y demás ciencias del ámbito científico tecnológico, e interpretar las soluciones de acuerdo con los enunciados. Identificar, calcular e interpretar las distintas ecuaciones de la recta y el plano en el espacio para resolver problemas de incidencia, paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos y utilizarlas, junto con los distintos productos entre vectores, para calcular ángulos, distancias, áreas y volúmenes. Reconocer las ecuaciones de curvas y superficies en el espacio. Identificar la ecuación canónica de la superficie esférica. Transcribir situaciones de las ciencias de la naturaleza y de la geometría a un lenguaje vectorial, utilizar las operaciones con vectores para resolver los problemas extraídos de ellas, dando una interpretación de las soluciones. Interpretar geométricamente el significado de expresiones analíticas correspondientes a curvas o superficies sencillas. Identificar las formas correspondientes a algunos lugares geométricos, analizar sus propiedades métricas y construirlas a partir de ellas, estudiando su aplicación a distintas ramas de la ciencia y la tecnología. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices como instrumento para representar e interpretar datos, relaciones y ecuaciones, y en general para resolver situaciones diversas. Elaborar estrategias para la resolución de problemas concretos, expresándolos en lenguaje algebraico y utilizando determinadas técnicas algebraicas para resolverlos. Utilizar el concepto y cálculo de límites y derivadas para encontrar e interpretar características destacadas de funciones expresadas en forma explícita. Aplicar el cálculo de límites, derivadas e integrales al estudio de fenómenos naturales y tecnológicos, así como a la resolución de problemas de optimización y medida. Realizar investigaciones en las que haya que organizar y codificar informaciones, seleccionar, comparar y valorar estrategias para enfrentarse a situaciones nuevas con eficacia, eligiendo las herramientas matemáticas adecuadas en cada caso TEMPORALIZACIÓN. lª Evaluación: Álgebra lineal. 2ª Evaluación: Geometría 3ª Evaluación: Análisis 8

9 2. CRITERIOS DE CALIFICACIÓN EN BACHILLERATO. La evaluación de los alumnos se hará mediante pruebas escritas en las que constará la puntuación de cada pregunta cuando ésta no sea igual para todas. Para aprobar una evaluación es necesario obtener cinco o más puntos sobre diez, en el promedio (excepcionalmente la media podría ser ponderada) de las pruebas escritas de dicha evaluación, siempre y cuando la nota de cada una de ellas sea al menos de 3 puntos. Este último requisito no será necesario cuando el alumno observe una clara línea ascendente a lo largo de dicha evaluación. Cada evaluación suspendida, tendrá una única recuperación escrita de dicha evaluación; siendo necesario obtener al menos cinco en esta prueba para recuperar. Si se recupera esta evaluación, su nota definitiva será la media entre la obtenida inicialmente y la del examen de la recuperación, siendo 5 si la media fuera inferior a esa nota. La nota final para los alumnos que tengan las tres evaluaciones aprobadas será el redondeo de la media aritmética de las evaluaciones. Los alumnos aprobados dispondrán de un examen voluntario de toda la materia de la asignatura para mejorar su calificación y el examen será propuesto por el Departamento. Los alumnos con evaluaciones no recuperadas dispondrán de un examen final escrito con los contenidos correspondientes a las mismas que podría coincidir con la recuperación de la 3ª evaluación. Para aprobar la asignatura será necesario aprobar dicho examen y la nota final se obtendrá ponderando la de esta prueba con las obtenidas en el curso. Si no se aprueba en junio, el alumno deberá examinarse en septiembre de toda la asignatura, recibiendo como calificación final la obtenida en este examen. 9