I.E.S. LÓPEZ NEYRA. Programación MATEMÁTICAS II 2º BACHILLERATO CURSO

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1 I.E.S. LÓPEZ NEYRA CÓRDOBA Programación MATEMÁTICAS II BACHILLERATO CURSO CURSO º BACHILLERATO

2 ÍNDICE. 1. OBJETIVOS GENERALES DE LA ETAPA 2. OBJETIVOS GENERALES DEL CURSO 3. DISTRIBUCIÓN DE CONTENIDOS. TEMPORALIZACIÓN 4. METODOLOGÍA 5. CRITERIOS DE EVALUACIÓN 6. INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN

3 1. OBJETIVOS GENERALES DE LA ETAPA El artículo cuatro del Decreto 126/1994, de 7 de junio, por el que se estableció originariamente el currículo del Bachillerato para Andalucía, indica que esta etapa educativa debía contribuir a desarrollar en los alumnos las siguientes capacidades: 1. Profundizar en el conocimiento de la lengua castellana, atendiendo a las peculiaridades del habla andaluza y desarrollando la competencia lingüística necesaria para comprender y producir mensajes orales y escritos, adecuados a diferentes contextos, con propiedad, autonomía y creatividad. 2. Expresarse con fluidez y corrección en una lengua extranjera, así como comprender y comunicar mensajes en una segunda lengua extranjera. 3. Desarrollar hábitos de vida saludable, especialmente los que se relacionan con la práctica habitual del ejercicio físico y el deporte, comprendiendo y valorando la incidencia que tienen diversos actos y decisiones personales en la salud individual y colectiva. 4. Analizar y valorar críticamente las realidades del mundo contemporáneo y los antecedentes y factores que influyen en él. 5. Comprender los elementos fundamentales de la investigación y del método científico utilizándolos con rigor en el estudio de los objetos de conocimiento específicos de las diferentes disciplinas y en situaciones relacionadas con la experiencia cotidiana, personal o social. 6. Posibilitar una madurez personal, social y moral que permita actuar de forma responsable y autónoma valorando el esfuerzo y la capacidad de iniciativa. 7. Analizar los mecanismos básicos que rigen el funcionamiento del medio físico y natural, valorar las repercusiones que sobre él tienen las actividades humanas y participar de forma solidaria en el desarrollo, defensa, conservación y mejora del medio socionatural. 8. Conocer y valorar el patrimonio natural, cultural e histórico de Andalucía y contribuir a su conservación y mejora, así como entender la diversidad lingüística y cultural como un derecho y un valor de los pueblos y de los individuos en el marco de su inserción en la diversidad de Comunidades del Estado Español y en la Comunidad de Naciones. 9. Dominar los conocimientos científicos y tecnológicos fundamentales y las habilidades básicas propias de la modalidad escogida, así como sus aplicaciones e incidencia en el medio físico, natural y social. 10. Desarrollar la sensibilidad artística y literaria como fuente de formación y enriquecimiento cultural. 11. Conocer las creencias, actitudes y valores básicos de nuestro patrimonio cultural para valorarlos críticamente y poder actuar de forma autónoma desarrollando actitudes solidarias, tolerantes y que promuevan la igualdad frente a todo tipo de discriminaciones.

4 2. OBJETIVOS GENERALES DEL CURSO 1. Comprender los conceptos, procedimientos, estrategias y métodos matemáticos que le permitan desarrollar estudios posteriores más específicos de Ciencias o Técnicos y adquirir una formación científica de carácter general. 2. Aplicar sus conocimientos matemáticos a situaciones diversas, utilizándolos en la interpretación de las ciencias, en la actividad tecnológica y en actividades cotidianas. 3. Analizar y valorar la información proveniente de diferentes fuentes, utilizando las herramientas matemáticas y el lenguaje matemático, para formarse una opinión propia que les permita expresarse críticamente sobre problemas actuales. 4. Utilizar con cierta autonomía, estrategias características de la investigación científica y los procedimientos propios de las matemáticas (plantear problemas, formular y contrastar hipótesis, planificar, manipular y experimentar) para realizar investigaciones y explorar situaciones y fenómenos. 5. Hacer uso del lenguaje matemático para expresarse de manera oral, escrita y gráfica en situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente, mediante la adquisición y el manejo de un vocabulario específico de términos y notaciones matemáticas. 6. Favorecer el desarrollo de actitudes asociadas a la actividad matemática tales como la visión crítica, la necesidad de valoración la valoración de la precisión, el gusto por el rigor o la necesidad de contrastar apreciaciones intuitivas. 7. Utilizar el discurso racional para plantear los problemas, justificar procedimientos, adquirir rigor en el pensamiento científico, encadenar coherentemente los argumentos y detectar incorrecciones lógicas. 8. Apreciar el desarrollo de las matemáticas como un proceso cambiante y dinámico, íntimamente relacionado con el de otras áreas del saber, mostrando una actitud flexible y abierta ante opiniones de los demás. 9. Servirse de los medios tecnológicos que se encuentran a su disposición, haciendo un uso racional de ellos y descubriendo las posibilidades que nos ofrecen. 10. Aprovechar los cauces de información facilitados por las tecnologías de la información y la comunicación para utilizarlos en los aprendizajes matemáticos.

5 3. DISTRIBUCIÓN DE CONTENIDOS. TEMPORALIZACIÓN. 1. Álgebra lineal Matrices. Operaciones con matrices: suma, producto por un número y transposición. Producto de matrices. Inversa de una matriz cuadrada (concepto) Interpretación de las operaciones y propiedades de las matrices en problemas extraídos de contextos reales. Determinante de una matriz. Calculo y propiedades elementales. Inversa de una matriz cuadrado (cálculo) Sistemas de ecuaciones lineales. Representación matricial de un sistema. Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss. Aplicación de los determinantes a la discusión de sistemas de ecuaciones lineales y al cálculo de productos vectoriales y mixtos para determinar áreas y volúmenes. 2. Análisis. Revisión de los tipos de funciones elementales. Límite, continuidad y derivación en un punto. Cálculo de límites. Asíntotas: conceptos y determinación. Continuidad en un punto y en un intervalo. Derivadas de las familias de funciones conocidas. Derivada de la suma, el producto y el cociente de funciones y de la función compuesta. Derivación y continuidad en un punto. Aplicación de los conceptos de límite, continuidad y derivada, al estudio de propiedades locales de las funciones y a la representación gráfica de funciones elementales. El problema del área. Calculo aproximado: método de las sumas. La integral definida de una función en un intervalo cerrado: concepto, notación y obtención de algunas propiedades sencillas. Relación entre los procesos de integración y derivación: el teorema fundamental del cálculo. La regla de Barrow. Métodos de calculo de primitivas. Integración inmediata, por descomposición, cambio de variables y por partes (hasta dos niveles). Integración de funciones racionales sencillas con raíces reales en el denominador. 3. Geometría Vectores en el R3: Introducción al concepto y operaciones a partir del estudio de problemas concretos extraídos de las Ciencias de la Naturaleza y la Geometría. Dependencia e independencia lineal. Base y dimensión intuitiva. Producto escalar. Vectores unitarios y ortogonales. Espacio euclídeo de dimensión 3. Referencia ortonormal. Ecuaciones de la recta. Ecuación general de un plano. Haz de planos. Resolución de problemas de incidencia, paralelismo y perpendicular entre rectas y planos. Resolución de problemas métricos relacionados con el cálculo de ángulos, distancias, áreas y volúmenes.

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7 Los bloques de contenidos reseñados se desarrollan en las unidades que forman el libro: Bloque 1. Álgebra Tema 1. Matrices Tema 2. Determinantes Tema 3. Sistemas de ecuaciones Bloque 2: Análisis Tema 4. Límites de funciones (unidad 9 del libro) Tema 5. Continuidad de funciones (unidad 10 del libro) Tema 6. Derivadas (unidad 11 del libro) Tema 7. Aplicaciones de la derivada (unidad 12 del libro) Tema 8. Integral indefinida (unidad 13 del libro) Tema 9. Integral definida y aplicaciones. (unidad 14 del libro) Bloque 3. Geometría Tema 10. Geometría en el espacio (unidades 4 y 5 del libro) Tema 11. Geometría afín y geometría métrica (unidades 6 y 7 del libro) TEMPORALIZACIÓN Primer trimestre: Álgebra y Análisis (Límites y Continuidad) Segundo trimestre: Análisis (Continuidad, Derivación e Integración) Tercer trimestre: Geometría

8 TEMA 1. MATRICES Objetivos 1. Comprender el concepto de matriz de dimensión n m como tabla ordenada de números. 2. Conocer los distintos tipos de matrices. 3. Definir y calcular la suma y el producto de matrices, y el producto de una matriz por un número real. 4. Definir y calcular la traspuesta de una matriz. 5. Expresar matricialmente un sistema de ecuaciones lineales. 6. Calcular, cuando exista, la inversa de una matriz. 7. Resolver un sistema de ecuaciones lineales calculando la inversa de la matriz de los coeficientes. 8. Expresar enunciados, cuando sea posible, en forma de matriz. 9. Comprender el concepto de rango de una matriz y saber calcularlo. Contenidos Matrices. Tipos de matrices. Operaciones con matrices. Propiedades. Matriz inversa. Rango de una matriz. Conceptos Matriz. Dimensión y orden de una matriz. Tipos de matrices. Operaciones con matrices. Traspuesta de una matriz: matriz simétrica y antisimétrica. Matriz inversa. Matriz de los coeficientes, ampliada, de las incógnitas y de los términos independientes, asociadas a un sistema de ecuaciones. Rango de una matriz. Procedimientos Adición de matrices y multiplicación por números reales. Multiplicación de matrices. Cálculo de potencias de matrices por inducción. Cálculo de la inversa de una matriz mediante el método de Gauss Jordan. Expresión de un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial. Resolución de sistemas mediante el método de la matriz inversa. Planteamiento y resolución de problemas con enunciado textual, utilizando la notación matricial. Cálculo del rango de una matriz según el método de Gauss Jordan. Relación entre el rango y el orden de una matriz cuadrada con la existencia de su inversa.

9 Actitudes Valoración de la utilidad del cálculo matricial para la resolución de sistemas de ecuaciones. Reconocimiento de la utilidad del método de Gauss Jordan para obtener la matriz inversa de una matriz invertible y para hallar el rango de una matriz. Valoración de la importancia de las matrices por su aplicación a situaciones reales. Criterios de evaluación 1. Conocer los distintos tipos de matrices. 2. Sumar matrices de igual dimensión. Multiplicar matrices por un número real. 3. Multiplicar matrices, decidiendo cuándo es posible. 4. Expresar un sistema de ecuaciones lineales en notación matricial. 5. Expresar un enunciado textual en notación matricial. 6. Aplicar el método de Gauss Jordan para hallar la inversa y el rango de una matriz. 7. Utilizar la matriz inversa de la matriz de los coeficientes para resolver un sistema de ecuaciones lineales. 8. Decidir, en función del valor del rango, si una matriz cuadrada tiene inversa. Tiempo aproximado 2 semanas: (Del al )

10 TEMA 2. DETERMINANTES Objetivos 1. Conocer y comprender el concepto de determinante de una matriz cuadrada. 2. Distinguir entre los conceptos de matriz y determinante. 3. Conocer y aplicar las propiedades de los determinantes. 4. Utilizar los determinantes para decidir si una matriz cuadrada tiene inversa, y saber calcularla. 5. Emplear los determinantes para calcular el rango de una matriz. Contenidos Determinantes de cualquier orden. Propiedades. Cálculo de determinantes. Cálculo de la matriz inversa y del rango de una matriz, utilizando determinantes. Conceptos Determinantes. Propiedades. Menor complementario y adjunto de un elemento, a ij, de una matriz cuadrada. Regla de Sarrus. Matriz adjunta. Menor de orden k. Procedimientos Cálculo de determinantes mediante métodos distintos cuando sea posible. Utilización de las propiedades de los determinantes para simplificar su cálculo. Cálculo de la inversa de una matriz cuadrada usando determinantes. Determinación del rango de una matriz mediante los determinantes utilizando el procedimiento de orlar el menor. Actitudes Adquisición del hábito de revisar de forma sistemática los resultados obtenidos, comprobando, cuando sea posible, la validez de los mismos. Valoración de la utilidad de los determinantes en el cálculo de la matriz inversa. Criterios de evaluación 1. Calcular determinantes de cualquier orden. 2. Calcular la inversa de una matriz cuadrada mediante determinantes. 3. Calcular el rango de una matriz, por el procedimiento de orlar el menor. Tiempo aproximado 2 semanas: (Del al )

11 TEMA 3. SISTEMAS DE ECUACIONES Objetivos 1. Conocer los conceptos de ecuación lineal y de sistema de ecuaciones lineales. 2. Identificar un sistema homogéneo. 3. Comprender el concepto de conjunto solución. 4. Conocer los criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones. 5. Clasificar los sistemas según su solución: compatibles determinados, compatibles indeterminados, e incompatibles. 6. Conocer los métodos de Gauss y de Gauss Jordan. 7. Aplicar el método de Gauss a sistemas de ecuaciones con parámetros y discutirlos en función de estos. 8. Resolver problemas con enunciado textual usando sistemas de ecuaciones. 9. Utilizar las fórmulas de Cramer para resolver sistemas de n ecuaciones con n incógnitas. 10. Enunciar y utilizar el teorema de Rouché Fröbenius. Contenidos Ecuaciones lineales. Sistemas de ecuaciones lineales. Equivalencia de sistemas. Métodos de Gauss y de Gauss Jordan. Discusión de sistemas. Fórmulas de Cramer. Teorema de Rouché Fröbenius. Conceptos Ecuaciones lineales. Sistemas de ecuaciones lineales. Conjunto solución de un sistema. Sistemas equivalentes. Sistemas homogéneos. Grados de libertad. Sistemas compatibles e incompatibles. Fórmulas de Cramer. Teorema de Rouché Fröbenius. Procedimientos Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones. Eliminación de parámetros. Utilización ágil del método de Gauss. Interpretación geométrica de la solución de un sistema. Planteamiento y resolución de sistemas de ecuaciones extraídos de problemas relacionados con la vida cotidiana. Resolución de sistemas de ecuaciones utilizando la regla de Cramer cuando el sistema cumpla las condiciones necesarias. Aplicación del teorema de Rouché Fröbenius para la discusión de sistemas, tanto si estos dependen de parámetros como si no.

12 Actitudes Interés por la presentación clara y ordenada de los procedimientos seguidos en la resolución de sistemas de ecuaciones. Disposición favorable a repasar de forma sistemática los cálculos que deciden la compatibilidad y solución de un sistema. Valoración de la utilidad de los métodos de Gauss y de Gauss Jordan para resolver un sistema. Valoración de la utilidad de los determinantes en la resolución y discusión de sistemas de ecuaciones lineales. Valoración de la utilidad del teorema de Rouché Fröbenius para la discusión de sistemas de ecuaciones. Criterios de evaluación 1. Diferenciar entre sistemas lineales y sistemas que no lo son. 2. Determinar cuándo dos sistemas son equivalentes. 3. Hallar la solución, si existe, de un sistema de ecuaciones lineales. 4. Discutir un sistema en función de un parámetro. 5. Interpretar geométricamente la solución de un sistema. 6. Aplicar los métodos de Gauss y de Gauss Jordan para resolver un sistema. 7. Traducir problemas con enunciado textual a lenguaje algebraico y convertirlos en un sistema de ecuaciones, aplicando de esta forma los conocimientos adquiridos para su resolución. 8. Aplicar la regla de Cramer cuando sea posible. 9. Aplicar el teorema de Rouché Fröbenius para discutir sistemas. Tiempo aproximado: 4 semanas: (Del al )

13 TEMA 4. LÍMITES DE FUNCIONES (unidad 9 del libro) Objetivos 1. Comprender el concepto de función real de variable real. 2. Caracterizar adecuadamente las funciones reales de variable real. 3. Operar correctamente con funciones. 4. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 5. Determinar límites de funciones reales en un punto. 6. Conocer las principales propiedades de las funciones convergentes. 7. Comprender el concepto de límite de una función en el infinito. 8. Conocer y aplicar las reglas de cálculo con límites. 9. Reconocer y resolver las indeterminaciones que se producen en el cálculo de límites. Contenidos Función real de variable real. Límite de una función en un punto. Límites de una función en el infinito. Cálculo de límites. Conceptos Función real de variable real. Dominio y recorrido de una función. Caracterización de funciones reales de variable real: acotación, simetría, periodicidad, monotonía. Composición de funciones reales. Función inversa. Límite de una función en un punto. Límites laterales en un punto. Propiedades de las funciones convergentes. Límites de una función en el infinito. Indeterminaciones en el cálculo de límites. Asíntotas de una función. Procedimientos Resolución analítica del dominio de una función. Composición de funciones y averiguación del dominio de la función compuesta. Expresión analítica de la inversa de una función dada respecto de la composición de funciones. Para casos sencillos, acotación del dominio concreto en el cual una función no inyectiva tiene inversa. Cálculo de límites de sucesiones. Resolución de indeterminaciones en el cálculo de límites de operaciones con sucesiones. Cálculo de límites de funciones en un punto y en el infinito. Determinación de las asíntotas de una función. Cálculo de límites de operaciones con funciones. Resolución de indeterminaciones en el cálculo de límites de funciones:, 0, /, 0/0, 1. Actitudes Curiosidad e interés por la caracterización de relaciones funcionales.

14 Apreciación de la utilidad de los procedimientos del cálculo de límites para la resolución de indeterminaciones. Espíritu crítico ante el resultado de cualquier ejercicio o problema. Interés y respeto por los procedimientos y soluciones distintos de los propios. Criterios de evaluación 1. Determinar, analíticamente, dominios de funciones reales de variable real. 2. Determinar, analíticamente, el recorrido de funciones sencillas. 3. Componer funciones, determinando previamente su dominio. 4. Averiguar si una función es inyectiva y calcular su inversa respecto de la composición. 5. Calcular límites de funciones en un punto y en el infinito, tanto gráfica como analíticamente. 6. Reconocer y averiguar asíntotas verticales y horizontales de una función, tanto gráfica como analíticamente. 7. Resolver las indeterminaciones:, 0, /, 0/0,, 1 en el cálculo de límites de funciones, utilizando la calculadora, si es preciso, en los dos últimos casos. Tiempo aproximado: 2 semanas: (Del al )

15 TEMA 5. CONTINUIDAD (unidad 10 del libro) Objetivos 1. Comprender el concepto de función continua en un punto. 2. Conocer las propiedades de las operaciones con funciones continuas y sus consecuencias. 3. Establecer cuándo una función es continua en un punto y cuándo en su dominio. 4. Diferenciar dominio de definición y dominio de continuidad de una función. 5. Averiguar el valor del parámetro o parámetros, para que una función en cuya expresión aparezcan sea continua en un punto. 6. Determinar y clasificar los tipos de discontinuidad de una función dada en forma analítica o gráfica. 7. Conocer las condiciones de continuidad en un intervalo cerrado. Contenidos Continuidad de una función en un punto. Continuidad de una función en un intervalo. Conceptos Función continua en un punto. Definición métrica de función continua en un punto. Continuidad de una función en un intervalo abierto. Adición, multiplicación, división y composición de funciones continuas. Tipos de discontinuidades: evitable, de salto, esencial y asintótica. Función continua en un intervalo cerrado. Procedimientos Aplicación de las condiciones de continuidad en un punto para establecer si una función es continua en un punto determinado. Determinación del dominio de continuidad de una función. Clasificación de las discontinuidades de una función. Transformación de la expresión de una función para salvar discontinuidades evitables. Interpretación de los distintos tipos de discontinuidad. Determinación de parámetros de funciones continuas imponiendo las condiciones de continuidad. Discusión de la continuidad de una función en un intervalo cerrado.actitudes Valoración de la utilidad del cálculo de límites para el estudio de la continuidad de una función. Espíritu crítico ante el resultado de cualquier ejercicio o problema. Interés y respeto por los procedimientos distintos de los propios. Criterios de evaluación 1. Expresar correctamente la definición de función continua en un punto. 2. Determinar el dominio de continuidad de una función. 3. Clasificar las discontinuidades de una función. 4. Modificar el criterio de definición de una función que posee una discontinuidad evitable para que sea continua. 5. Aplicar correctamente las propiedades de las operaciones con funciones continuas. 6. Calcular el valor de un parámetro para que una función sea continua.

16 Tiempo aproximado: 3 semanas: (Del al )

17 TEMA 6. DERIVADAS (unidad 11 del libro) Objetivos 1. Comprender el concepto de derivada de una función en un punto y su interpretación geométrica y física. 2. Calcular la derivada de una función en un punto aplicando la definición. 3. Calcular la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto. 4. Diferenciar cuándo es necesario calcular derivadas laterales de una función en un punto para establecer si existe derivada en él. 5. Caracterizar puntos angulosos y puntos de retroceso de una función a partir del cálculo de las derivadas laterales en un punto. 6. Relacionar continuidad y derivabilidad de una función en un punto. 7. Definir el concepto de función derivada, y disociarlo del de derivada de una función en un punto. 8. Conocer y utilizar las principales reglas de derivación y las derivadas de las funciones más importantes. 9. Aplicar correctamente la regla de la cadena. Contenidos Tasa variación media. Derivada de una función. Recta tangente a una curva en un punto. Derivadas laterales de una función en un punto. Relación entre derivabilidad y continuidad. Función derivada. Derivadas sucesivas de una función. Reglas de derivación. Conceptos Tasa de variación media de una función en un intervalo. Tasa de variación instantánea de una función en un punto: derivada de una función en un punto. Recta tangente a una curva en un punto. Derivadas laterales de una función en un punto. Teorema sobre la relación entre derivabilidad y continuidad. Función derivada. Derivada de una suma, de un producto, de un cociente, de una potenciación y de una composición de funciones. Procedimientos Cálculo de la tasa de variación media de una función en un intervalo. Cálculo de la derivada de una función en un punto a partir de su definición. Cálculo de derivadas de funciones, mediante las reglas de derivación, y utilizando, si es preciso, la regla de la cadena. Obtención de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto. Estudio de la derivabilidad de una función en un punto, mediante el estudio de su continuidad en él, y a través del cálculo de derivadas laterales. Determinación de parámetros en la expresión analítica de una función derivable. Determinación de puntos angulosos y de puntos de retroceso. Derivación logarítmica. Obtención de derivadas sucesivas.

18 Actitudes Valoración de la necesidad del concepto de derivada para la resolución de problemas geométricos y físicos. Valoración de la utilidad de los procedimientos de cálculo de límites en la obtención de las derivadas de las funciones elementales. Confianza en las propias capacidades para afrontar y resolver problemas relacionados con la derivabilidad de una función. Interés y respeto por los procedimientos distintos de los propios. Perseverancia en la búsqueda de soluciones a los problemas planteados. Criterios de evaluación 1. Establecer cuándo una curva tiene recta tangente en un punto y calcularla. 2. Calcular (o determinar si no existiera) la derivada de una función en un punto, utilizando, si es preciso, derivadas laterales. 3. Determinar los parámetros para que una función sea derivable en un punto. 4. Derivar funciones simples y compuestas. 5. Determinar los puntos de una gráfica en los que la recta tangente tiene una pendiente determinada. Tiempo aproximado: 2 semanas: (Del al )

19 TEMA 7. APLICACIONES DE LA DERIVADA (unidad12 del libro) Objetivos 1. Caracterizar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función. 2. Averiguar los extremos relativos de una función. 3. Determinar los extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado. 4. Conocer la condición suficiente para determinar la monotonía de una función derivable en un intervalo abierto. 5. Conocer la condición suficiente para que una función derivable tenga un extremo relativo en x = a. 6. Determinación de los intervalos de monotonía de una función, y de sus extremos relativos. 7. Determinar la concavidad y la convexidad de una función en un intervalo abierto. 8. Concretar los intervalos de concavidad y de convexidad de una función 9. Encontrar los puntos de inflexión de una función. 10. Aplicar el cálculo de extremos absolutos y/o relativos en intervalos abiertos y/o cerrados para resolver problemas de optimización. 11. Determinar las principales características de una función a partir de su expresión analítica y del estudio de sus derivadas primera y segunda. 12. Establecer una sucesión de etapas para obtener la representación gráfica de una función, cuando dicha función lo permita. 13. Construir la gráfica de una función polinómica, racional, irracional sencilla, trigonométrica sencilla y de otras funciones trascendentes sencillas. 14. Utilizar la regla de L Hôpital para resolver ciertas indeterminaciones. Contenidos Relación entre monotonía y derivabilidad de una función. Monotonía, extremos, curvatura y puntos de inflexión de una función derivable. Regla de L Hôpital. Optimización de funciones. Representación gráfica de funciones Conceptos Función creciente y función decreciente en un intervalo abierto. Extremos relativos y absolutos de una función. Puntos críticos de una función. Condiciones necesarias y suficientes para determinar la monotonía de una función y sus extremos locales. Criterio de la derivada segunda para establecer los extremos relativos. Extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado. Extremos relativos de una función en un intervalo abierto o en un intervalo cerrado. Concavidad y convexidad de una función en un intervalo abierto. Condiciones necesarias y suficientes para determinar la curvatura de una función derivable en un intervalo abierto. Condición necesaria y suficiente para determinar los puntos de inflexión. Características generales de una función: dominio, continuidad, signo, simetría y periodicidad. Asíntotas de una función.

20 Relación entre la derivada primera de una función y su monotonía. Extremos relativos de una función. Relación entre la derivada segunda de una función y su curvatura. Puntos de inflexión de una función. Procedimientos Determinación de los siguientes elementos de una función: monotonía, extremos relativos, concavidad y convexidad y puntos de inflexión. Determinación de los extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado. Aplicación del teorema de Rolle a la determinación del número de soluciones de una ecuación. Decisión sobre cuándo una función cumple las hipótesis de los teoremas de Rolle o de Lagrange, y cálculo de los puntos en los cuales se cumplen las tesis de dichos teoremas. Aplicación de la regla de L Hôpital en el cálculo de límites cuando la situación lo requiera. Dado un problema en el que es necesario optimizar una función, delimitación de su expresión analítica a partir de los datos del enunciado en función de la variable para la cual se desea averiguar los extremos de dicha función, así como en qué intervalo es necesario averiguarlos. Determinación de máximos y mínimos absolutos de una función en un intervalo cerrado. Determinación de máximos y mínimos relativos de una función en un intervalo abierto o en un intervalo cerrado, a partir de la obtención de los puntos críticos de la función en dicho intervalo y del estudio del signo de la función derivada. Determinación de máximos y mínimos relativos de una función en un intervalo abierto o en un intervalo cerrado, a partir de la obtención de los puntos críticos de la función en dicho intervalo y del criterio de la derivada segunda. Dada la expresión analítica de una función, determinación de su dominio, simetría, periodicidad, continuidad y signo. Determinación de las ecuaciones de las asíntotas de una función mediante el cálculo de límites. Obtención de los intervalos de crecimiento de una función a partir del cálculo de su derivada primera y del estudio de su signo, así como de sus extremos relativos. Obtención de los intervalos de concavidad y convexidad de una función a partir del cálculo de su derivada segunda y del estudio de su signo, así como de sus puntos de inflexión. Elaboración de un cuadro resumen que recoja toda la información que se ha obtenido a partir de las expresiones analíticas de f, f y f. Construcción de la gráfica de una función, f, a partir de la información obtenida de f, f y f. Análisis de gráficas de funciones y determinación de sus principales características. Actitudes Disposición a la revisión y mejora de los procedimientos adquiridos en estadios anteriores del proceso de aprendizaje. Observación de las normas sistemáticas y de precisión que regulan los procedimientos que se utilizan en esta unidad.

21 Confianza en la capacidad propia para afrontar y resolver problemas relacionados con la derivabilidad de una función. Interés por los procedimientos distintos de los propios. Perseverancia en la búsqueda de soluciones a los problemas planteados. Valoración de la importancia del cálculo diferencial en la resolución de problemas prácticos. Disposición a la revisión y mejora de los procedimientos analíticos adquiridos en estadios anteriores al proceso de aprendizaje. Gusto por la presentación clara y ordenada de los resultados obtenidos en el proceso de la representación gráfica de funciones. Valoración de la utilidad de la representación gráfica de funciones. Interés y respeto por los procedimientos y soluciones distintos de los propios. Perseverancia en la búsqueda de soluciones a los problemas planteados. Valoración de los recursos que pueden proporcionar las calculadoras gráficas o los programas que visualizan gráficas de funciones. Criterios de evaluación 1. Calcular los intervalos de monotonía de una función. 2. Distinguir, entre los puntos críticos de una función, cuáles son extremos. 3. Calcular los extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado. 4. Determinar los intervalos de concavidad y de convexidad de una función, así como sus puntos de inflexión. 5. Deducir las propiedades de una función conocida la gráfica de la función derivada, en casos sencillos. 6. Resolver indeterminaciones mediante la regla de L Hôpital. 7. Dado un problema de optimización, determinar la función que se ha de optimizar y calcular qué valor alcanza en el extremo deseado. 8. Determinar el dominio, la continuidad y el signo de una función. 9. Aplicar el cálculo de límites a la obtención de las asíntotas de una función. 10. Averiguar los puntos críticos de una función y establecer sus intervalos de monotonía. Decidir qué puntos críticos son extremos relativos de una función. 11. Concretar los intervalos de concavidad y de convexidad de una función a partir del estudio del signo de su derivada segunda. Localizar los puntos de inflexión, si los hay. 12. Realizar la representación gráfica de una función, f, a partir de los signos de f, f y f, y del conocimiento de sus asíntotas. Tiempo aproximado: 2 semanas (Del al )

22 TEMA 8. INTEGRAL INDEFINIDA (unidad 13 del libro) Objetivos 1. Introducir el concepto de función primitiva. 2. Determinar la integral indefinida como el conjunto de las primitivas de una función. 3. Conocer las propiedades de la integral. 4. Calcular integrales inmediatas y conocer los principales métodos de integración por cambio de variable, por partes, e integración de funciones racionales. Contenidos Función primitiva. Integral de una función. Métodos de integración. Conceptos Primitiva de una función. Integral indefinida. Propiedades de la integral. Diferencial de una función. Procedimientos Cálculo de la primitiva de una función. Cálculo de integrales inmediatas y cuasi inmediatas. Cálculo de integrales por cambio de variable. Cálculo de integrales por partes. Cálculo de integrales de funciones racionales cuyo denominador no tenga raíces complejas múltiples. Actitudes Valoración de la integración como operación recíproca de la derivación. Interés por la comprobación de los resultados obtenidos. Valoración de la importancia del cálculo integral en la resolución de problemas prácticos y en su aplicación en el ámbito de la ciencia y de la técnica. Criterios de evaluación 1. Comprender el concepto de primitiva y relacionarlo con el proceso inverso de la derivación. 2. Conocer la primitiva de las principales funciones. 3. Decidir el método de integración según la función que se quiere integrar. 4. Conseguir un elevado grado de corrección de los resultados. 5. Comprobar los resultados mediante la derivación de las funciones obtenidas. 6. Calcular las constantes de integración cuando en el enunciado se especifiquen condiciones que lo permitan. Tiempo aproximado: 3 semanas (Del al )

23 TEMA 9. APLICACIONES DE LA INTEGRAL (unidad 14 del libro) Objetivos 1. Aproximar, por acotación, el área de una región plana. 2. Conocer y comprender el concepto de integral definida. 3. Conocer y aplicar las propiedades de la integral definida. 4. Distinguir entre la integral definida de una función, f, continua en un intervalo [a, b], y el área que delimita la gráfica de dicha función, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b. 5. Comprender el teorema del valor medio y el teorema fundamental del cálculo integral. 6. Aplicar la regla de Barrow para calcular integrales definidas. 7. Calcular áreas de regiones del plano limitadas por curvas. 8. Conocer diversas aplicaciones de la integral definida. Contenidos Área definida bajo una curva. Integral definida de una función continua. Propiedades. Teorema fundamental del cálculo integral. Regla de Barrow. Aplicaciones del cálculo integral al cálculo de áreas y volúmenes. Conceptos Aproximación, por defecto y por exceso, del área de una región del plano mediante rectángulos. Sumas, superior e inferior de f, asociadas a una partición P de un intervalo [a, b]. Relación del límite de las sumas de f en el intervalo [a, b] con el área del plano que delimita la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b. Integral definida de una función continua. Propiedades. Valor medio de una función en un intervalo cerrado. Teorema fundamental del cálculo integral. Regla de Barrow. Procedimientos Cálculo de primitivas. Aplicación de los métodos de integración. Determinación del valor medio de una función en un intervalo cerrado. Cálculo de integrales definidas mediante la regla de Barrow. Representación gráfica de funciones de forma esquemática. Cálculo del área que delimita la gráfica de una curva, el eje de abscisas y las rectas de ecuación x = a y x = b. Cálculo del área de la región del plano delimitada por dos curvas. Cálculo del volumen que genera la región del plano delimitada por una curva entre x = a y x = b, cuando gira alrededor del eje de abscisas. Actitudes Valoración de la importancia del cálculo integral y de su utilidad para calcular áreas y volúmenes. Interés por expresar con rigor los conceptos relacionados con el cálculo integral. Utilización de los medios gráficos adecuados. Interés por la evolución histórica del cálculo integral.

24 Disposición a la revisión y mejora de los resultados. Respeto por las estrategias y por los resultados obtenidos por los compañeros y compañeras. Criterios de evaluación 1. Calcular las sumas inferior y superior de una función sencilla en un intervalo cerrado, asociadas a una determinada partición. 2. Relacionar el área bajo una curva y = f (x) con la integral definida de f. 3. Determinar el valor medio de una función continua en un intervalo cerrado. Si se trata de una función sencilla, averiguar en qué punto se alcanza. 4. Calcular el área de la región del plano delimitada por una curva y el eje de abscisas. 5. Calcular el área delimitada por la gráfica de la función f, el eje de abscisas y las rectas de ecuación x = a y x = b. 6. Calcular el área de la región del plano delimitada por dos curvas. Tiempo aproximado: 2 semanas (Del al )

25 TEMA 10. GEOMETRÍA DEL ESPACIO (I) (unidades 4 y 5 del libro) Objetivos 1. Comprender el concepto de vector libre. 2. Conocer las operaciones con vectores libres: adición y multiplicación por un escalar. 3. Determinar cuándo varios vectores son linealmente dependientes e independientes. 4. Comprender el concepto de base. 5. Expresar un mismo vector en distintas bases. 6. Definir el módulo de un vector libre. 7. Definir el producto escalar y el producto vectorial de vectores libres y conocer sus propiedades y sus interpretaciones geométricas. 8. Definir el producto mixto de vectores libres y conocer sus propiedades y su interpretación geométrica. Contenidos Vector libre. Operaciones con vectores libres. Dependencia e independencia de vectores. Bases. Producto escalar de vectores libres. Producto vectorial de vectores libres. Producto mixto de vectores libres. Conceptos Vector libre. Operaciones con vectores libres. Dependencia e independencia lineal. Producto escalar: interpretación geométrica y expresión analítica. Producto vectorial: interpretación geométrica y expresión analítica. Producto mixto: interpretación geométrica y expresión analítica. Procedimientos Cálculo del módulo de un vector. Cálculo de un vector unitario en una dirección determinada. Expresión de vectores en distintas bases. Cálculo de productos escalares de vectores libres en el espacio. Cálculo de productos vectoriales de vectores libres en el espacio. Cálculo de productos mixtos de vectores libres en el espacio. Determinación de la alineación de varios puntos en el espacio. Actitudes Valoración de la utilidad de la base canónica para operar con vectores en el espacio. Interés por la interpretación geométrica de los productos escalar, vectorial y mixto. Criterios de evaluación 1. Calcular el módulo de un vector y un vector unitario en una dirección determinada. 2. Calcular productos escalares, vectoriales y mixtos de vectores en el espacio, y realizar la interpretación del resultado.

26 3. Determinar si varios puntos del espacio están alineados. 4. Determinar si varios puntos del espacio son coplanarios. Tiempo aproximado: 2 semanas: (Del al )

27 TEMA 11. GEOMETRÍA DEL ESPACIO (II) (unidades 6 y 7 del libro) Objetivos 1. Comprender el concepto de vector director de una recta. 2. Conocer las ecuaciones vectorial, paramétricas y continua de la recta en el espacio. 3. Conocer todas las ecuaciones de un plano en el espacio. 4. Reconocer un vector perpendicular a un plano dada su ecuación implícita. 5. Resolver problemas relacionados con las posiciones relativas de rectas y planos en el espacio. 6. Aplicar el teorema de Rouché Fröbenius para discutir las posiciones relativas de elementos en el espacio. 7. Determinar las ecuaciones de rectas y planos en el espacio cuando se dan las condiciones suficientes. 8. Definir y calcular el ángulo que forman diversos elementos en el espacio. 9. Definir y calcular la distancia entre diversos elementos del espacio. Contenidos Ecuaciones de la recta. Ecuaciones del plano. Posiciones relativas de elementos en el espacio. Ángulos entre elementos en el espacio. Proyecciones entre elementos del espacio. Distancias en el espacio. Ecuaciones de rectas y planos. Conceptos Ecuaciones de la recta en el espacio: vectorial, paramétricas y continua. Ecuaciones del plano en el espacio: vectorial, paramétricas y general o implícita. Vector perpendicular a un plano. Posiciones relativas de planos, de una recta y un plano, y de dos rectas. Ángulo entre dos planos, entre recta y plano, y entre dos rectas que se cortan. Distancia entre dos planos, entre recta y plano, y entre un punto y un plano. Distancia entre rectas paralelas, entre rectas que se cruzan, y entre un punto y una recta. Ecuaciones de una recta y de un plano que cumplen determinadas condiciones. Procedimientos Determinación de cualesquiera de las ecuaciones de una recta dadas ciertas condiciones. Cálculo de cualesquiera de las ecuaciones de un plano dadas ciertas condiciones. Determinación de la coplanariedad de varios puntos en el espacio. Determinación de un vector perpendicular a un plano dado. Determinación de las posiciones relativas de dos y tres planos, entre rectas, y entre una recta y un plano. Cálculo de los ángulos que forman dos planos, dos rectas que se cortan, y una recta y un plano. Cálculo de las distancias entre planos paralelos, entre una recta y un plano, entre un punto y una recta, y entre un punto y un plano. Determinación de las ecuaciones de haces de planos.

28 Determinación de las ecuaciones de una recta y de un plano que cumplen determinadas condiciones. Actitudes Interés por asumir los conceptos de vector libre, vector director de una recta y vectores directores de un plano. Valoración del teorema de Rouché Fröbenius como instrumento apropiado para la determinación de posiciones relativas de elementos en el espacio. Interpretación de las soluciones de los sistemas formados por las ecuaciones de rectas y planos como elementos del espacio. Globalización de todos los conocimientos adquiridos en primer y segundo cursos de Bachillerato y valorar la posibilidad de estudiar geometrías de dimensión n. Criterios de evaluación 1. Escribir cualesquiera de las ecuaciones de una recta. 2. Determinar si varios puntos del espacio están alineados. 3. Escribir cualesquiera de las ecuaciones de un plano. 4. Determinar si varios puntos del espacio son coplanarios. 5. Determinar si una recta y un plano son perpendiculares. 6. Determinar las posiciones relativas de rectas y planos en el espacio. 7. Calcular el ángulo que forman diversos elementos en el espacio. 8. Calcular la distancia entre diversos elementos en el espacio. 9. Utilizando los conocimientos adquiridos en esta unidad y en la anterior, calcular las ecuaciones de rectas y de planos que cumplen determinadas condiciones en cuanto a posición relativa, ángulo y distancia con respecto a otros elementos del espacio. Tiempo aproximado: 4 semanas (Del al )

29 4. METODOLOGÍA Método expositivo diagonal con intervención del alumnado en la corrección de actividades (en la medida que lo permita la temporalización). 5. CRITERIOS DE EVALUACIÓN El Decreto 208/2002 establece, de modo genérico, los criterios de evaluación que deberán ser tenidos en cuenta para valorar el aprendizaje del alumno en esta materia, entendido como adquisición de los objetivos o capacidades propios de esta materia. Estos criterios se refieren tanto a la adquisición de conceptos como de procedimientos y actitudes, siendo los siguientes: 1. Utilizar el concepto y cálculo de límites y derivadas para encontrar e interpretar características destacadas de funciones expresadas en forma explícita. 2. Aplicar el cálculo de límites, derivadas e integrales al estudio de fenómenos naturales y tecnológicos, así como a la resolución de problemas de optimización y medida. 3. Transcribir situaciones de las ciencias de la naturaleza y de la geometría a un lenguaje vectorial, utilizar las operaciones con vectores para resolver los problemas extraídos de ellas y dar una interpretación de las soluciones. 4. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices como instrumento para representar e interpretar datos, relaciones y ecuaciones, y, en general, para resolver situaciones diversas. 5. Elaborar estrategias para la resolución de problemas concretos, expresándolos en lenguaje algebraico y utilizando determinadas técnicas algebraicas para resolverlos. 6. Identificar las formas correspondientes a algunos lugares geométricos, analizar sus propiedades métricas y construir dichas formas a partir de ellas, estudiando su aplicación a distintas ramas de la Ciencia y la Tecnología. 7. Realizar investigaciones en las que haya que organizar y codificar informaciones, seleccionar, comparar y valorar estrategias para enfrentarse a situaciones nuevas con eficacia, eligiendo las herramientas matemáticas adecuadas en cada caso. 6. INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN Se realizarán pruebas escritas de cada uno de los grandes bloques: Una prueba de Álgebra, 2 de Análisis (límites y continuidad; derivación e integración), y otra de Geometría. Además se realizarán pruebas de recuperación trimestrales para el alumnado no calificado positivamente. La nota final de un alumno puede verse incrementada en un punto si se considera, a juicio del profesor, que se ha esforzado a lo largo del curso académico. Dicho esfuerzo se evaluará con la realización de las actividades diarias y, sobre todo, con la corrección de ejercicios en la pizarra.