Mecánica Vectorial Cap. 5. Juan Manuel Rodríguez Prieto I.M., M.Sc., Ph.D.

Transcripción

1 Mecánica Vectorial Cap. 5 Juan Manuel Rodríguez Prieto I.M., M.Sc., Ph.D.

2 Equilibrio de cuerpo rígido

3 Equilibrio de cuerpo rígido OBJETIVOS DEL CAPÍTULO Desarrollar las ecuaciones de equilibrio para un cuerpo rígido. Presentar el concepto de diagrama de cuerpo libre para un cuerpo rígido. Mostrar cómo resolver problemas de equilibrio de cuerpos rígidos mediante las ecuaciones de equilibrio.

4 Equilibrio de cuerpo rígido Desarrollaremos las condiciones necesarias y suficientes para lograr el equilibrio del cuerpo rígido

5 Equilibrio de cuerpo rígido El sistema de fuerzas y momentos que actúan sobre un cuerpo puede reducirse a una fuerza resultante y un momento de par equivalentes en cualquier punto arbitrario O sobre el cuerpo o fuera de él. Si tanto la fuerza como el momento de par resultantes son iguales a cero, entonces se dice que el cuerpo está en equilibrio. F R = F M R0 = M 0

6 Equilibrio de cuerpo rígido F R = F establece que la suma de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es igual a cero. M R0 = M 0 establece que la suma de los momentos de todas las fuerzas en el sistema con respecto al punto O, añadida a todos los momentos de par es igual a cero. Estas dos ecuaciones no sólo son necesarias para el equilibrio, también son suficientes. Cuando se apliquen las ecuaciones de equilibrio, supondremos que el cuerpo permanece rígido.

7 Equilibrio en dos dimensiones 2D

8 Equilibrio en dos dimensiones consideraremos el caso donde el sistema de fuerzas que actúa sobre un cuerpo rígido se encuentra en, o puede ser proyectado sobre un solo plano y, además, cualesquier momentos de par que actúen sobre el cuerpo se dirigen de manera perpendicular a dicho plano. F R = F M R0 = M 0

9 Equilibrio en dos dimensiones La aplicación ecuaciones de equilibrio requiere de una especificación completa de todas las fuerzas externas conocidas y desconocidas que actúan sobre un cuerpo. ( diagrama de cuerpo libre) Para resolver problemas en mecánica, es de primordial importancia tener un entendimiento total de cómo trazar un diagrama de cuerpo libre. F R = F M R0 = M 0

10 Reacciones de soportes Consideremos los diversos tipos de reacciones que ocurren en soportes y puntos de contacto entre cuerpos sometidos a sistemas coplanares de fuerza. Como regla general: Si un soporte evita la traslación de un cuerpo en una dirección dada, entonces se desarrolla una fuerza sobre el cuerpo en esa dirección. Si se evita una rotación, se ejerce un momento de par sobre el cuerpo.

11 Reacciones de soportes

12 Reacciones de soportes

13 Reacciones de soportes Procedimiento para el análisis Trace el contorno. Muestre todas las fuerzas y momentos de par. Identifique cada carga y las dimensiones dadas.

14 Ejemplo 1

15 Ejemplo 1

16 Ejemplo 2

17 Ejemplo 3

18 Ecuaciones de equilibrio 2D F R = F M R0 = M 0

19 Ejemplo 4 F R = F M R0 = M 0

20 Ejemplo 4 F R = F M R0 = M 0

21 Ejemplo 5 F R = F M R0 = M 0

22 Ejemplo 5 F R = F M R0 = M 0

23 Equilibrio en 3D F R = F M R0 = M 0

24 Equilibrio en 3D Una fuerza se desarrolla mediante un soporte que restringe la traslación de su elemento conectado. Un momento de par se desarrolla cuando se evita la rotación del elemento conectado.

25 Equilibrio en 3D Una fuerza se desarrolla mediante un soporte que restringe la traslación de su elemento conectado. Un momento de par se desarrolla cuando se evita la rotación del elemento conectado.

26 Equilibrio en 3D Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas tridimensionales

27 Equilibrio en 3D Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas tridimensionales

28 Equilibrio en 3D Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas tridimensionales

29 Equilibrio en 3D Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas tridimensionales

30 Equilibrio en 3D Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas tridimensionales

31 Equilibrio en 3D Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas tridimensionales

32 Equilibrio en 3D Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas tridimensionales

33 Equilibrio en 3D Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas tridimensionales

34 Equilibrio en 3D Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas tridimensionales

35 Equilibrio en 3D Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas tridimensionales

36 Equilibrio en 3D Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas tridimensionales

37 Diagrama de cuerpo libre en 3D Se requiere primero aislar el cuerpo por medio del delineado de su contorno. Una cuidadosa rotulación de todas las fuerzas y momentos de par con referencia a un sistema coordenado x, y, z establecido. Mostrar las componentes de reacción con magnitud desconocida en cuanto actúan en el diagrama de cuerpo libre en sentido positivo. De este modo, si se obtienen valores negativos, esto indicará que las componentes actúan en las direcciones coordenadas negativas.

38 Ecuaciones de equilibrio en 3D F R = F M R0 = M 0 F R = F x i + F y j + F z k M R0 = M x i + M y j + M z k F x F y F z M x M y M z

39 Ejemplo 1

40 La ecuación de momentos con respecto a z no nos aporta ninguna información. La sumatoria de fuerzas en z, y los momentos con respecto al eje x y y, nos suministran las tres ecuaciones para poder despejar las tres incógnitas Ejemplo 1 F x F y F z B x B y A z + B z + T C M x M y M z T C (2m) 981(1m) + B z (2m) 300(1.5) + 981(1.5) B z (3m) A z (3m) 200Nm

41 Ejemplo 1 A z + B z + T C = T C + 2B z = 981 3B z + 3A z = A z B z T C = A z B z T C = La fuerza Bz va en dirección contraria

42 Ejemplo 2

43 Ejemplo 2 F x F y F z A x + B x A y A z + B z + F C 900 M x M y M z 900(0.4m) + B z (0.8m) + F c (1.2m) F C (0.6m) 900(0.4m) F C = 600N B x (0.8m) B x

44 Ejemplo 2 A x + B x A x A z + B z + F C 900 A z = (0.4m) + B z (0.8m) + F c (1.2m) B z = 450 B x F C A x B z A z A y = N

45 Ejemplo 3

46 Ejemplo 3 F AC = F AC U AC F AB = F AB U AB r A = 6j r B = 2i + 3k r C = 2i + 3k r AC = 2i 6j + 3k r AB = 2i 6j + 3k U AC = 2 7 i 6 7 j k U AB = 2 7 i 6 7 j k

47 Ejemplo 3 F AC = F AC U AC F AB = 2 7 F AB i 6 7 F AB j F AB k F AC = 2 7 F AC i 6 7 F AC j F AC k M 0 = r 0 A ( F AC + F AB ) 450j

48 Ejemplo 3 M 0 = r 0 A ( F AC + F AB ) 450i r 0 A F AC = i j k F AC 6 7 F 3 AC 7 F AC = 18 7 F AC i F AC k r 0 A F AB = i j k F AB 6 7 F 3 AB 7 F AB = 18 7 F AB i 12 7 F AB k M 0 = 18 7 F AC i F AB i 450i

49 Ejemplo 3 M 0 = 18 7 F AC i F AB i 450i 12 7 F AC j 12 7 F AB j 18 7 F AC F AB = 450 F AC = F AB F AC = F AB = 87.5lb

50 Ejemplo 3

51 Ejemplo 3 Sumatoria de fuerzas, formulación vectorial F A = A x i + A y j + A z k T E = T E i T D = T D j F C = 200kN F R = F F A + T E + T D + F C F = (A x + T E )i + (A y + T D )j + (A z 200)k (A x + T E ) A y + T D A z 200

52 Ejemplo 3 Sumatoria de momentos con respecto a A M A = r AC F C + r AB (T E + T D ) r A i + 0j + 0k r B = 1i + 2j 2k r AB = 1i + 2j 2k r AC F C = i j k r AB (T E + T D ) = i j k T E T D 0

53 Ejemplo 3 r AC F C = i j k = 200i +100j r AB (T E + T D ) = i j k T E T D 0 = 2T D i 2T E j + ( T D 2T E )k 2T D 200 2T E +100 T D 2T E T D = 100N T E = 50N A x = T E = 50N A y = T D = 100N A z = 200N