Estática Profesor Herbert Yépez Castillo
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- Aarón Cáceres Araya
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1 Estática Profesor Herbert Yépez Castillo
2 Introducción 2.1 Escalares y vectores 2.2 Operaciones vectoriales 2.3 Suma vectorial de fuerzas 2.4 Suma de sistema de fuerzas coplanares 2.5 Vectores cartesianos 2.6 Suma y resta de vectores cartesianos 2.7 Vectores de posición 2.8 Vector fuerza dirigido a lo largo de una línea 2.9 Producto punto 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 2
3 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 3
4 2.1 Escalares y vectores Cantidades físicas: Escalares y Vectores Escalar: Número positivo o negativo: A o /A/ masa, volumen, longitud Vector: Magnitud + dirección: fuerza, momento A o A Cola Cabeza L 20 A Línea de acción Referencia horizontal 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 4
5 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 5
6 2.2 Operaciones vectoriales Multiplicación y división de un vector por un escalar A 2 A 2 A 0. 5 A 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 6
7 2.2 Suma de vectores Suma de vectores A A R = A + B B B Ley del paralelogramo A B R = A + B Construcción triangular 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 7
8 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 8
9 2.3 Suma vectorial de fuerzas F 1 + F 2 F R F 2 O F 1 F 3 F R = F 1 + F 2 + F 3 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 9
10 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 10
11 2.4 Suma de un sistema de fuerzas coplanares y F 1 = F 1x i + F 1y j F 2 F 2y F 1y F 1 F 2 = F 2x i + F 2y j F 3 = F 3x i F 3y j F 2x O F 3x F 1x x F 1 = (F 1x, F 1y ) F 2 = ( F 2x, F 2y ) F 3y F 3 F 3 = (F 3x, F 3y ) 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 11
12 2.4 Suma de un sistema de fuerzas coplanares y F 1 = (F 1x, F 1y ) F 2 F 2y F 1y F 1 F 2 = ( F 2x, F 2y ) F 3 = (F 3x, F 3y ) F 1x F 2x O F 3x x F R = F 1 + F 2 + F 3 F 3y F 3 F R = ( F 1x F 2x + F 3x, F 1y + F 2y F 3y ) F R = (F Rx, F Ry ) 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 12
13 2.3 Suma de un sistema de fuerzas coplanares y F Ry F R F R = F 2 R x + F R y2 O θ F Rx x F R x = F R. cos θ F R y = F R. sen θ tg θ = sen θ cos θ = F Ry F R x 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 13
14 2.4 Suma de un sistema de fuerzas coplanares La armella está sometida a dos fuerzas F1 =200N y F2=260 N. Determine la magnitud y la orientación de la fuerza resultante. Datos: F 1 = 200 N F 2 = 260 N Determinar: F R =? θ =? 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 14
15 2.4 Suma de un sistema de fuerzas coplanares F 1 = ( 200 sin 30, 200 cos 30) = 100, N F 2 = ( , ) = 240, 100 N F R = (F R x, F Ry ) = ( , ) = (140, ) N F R = (140) 2 +(73.205) 2 tg θ = F Ry F R x = = N θ = /03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 15
16 2.4 Suma de un sistema de fuerzas coplanares F R = N F R = F R x, F Ry F R = (140) 2 +(73.205) 2 tg θ = F Ry F R x = = (140, ) = N θ = Rpta: F R = N θ = /03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 16
17 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 17
18 2.5 Vectores cartesianos Sistema coordenado derecho Pulgar de la mano derecha señala el eje +Z Los dedos se enrollan alrededor de Z y se dirigen del eje +X hacia el eje +Y Z X Y 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 18
19 2.5 Vectores cartesianos Componentes rectangulares z A z A = A x + A y + A z A = (A x, A y, A z ) Magnitud A = A 2 x + A 2 2 y + A z x A x α O γ A β A y y Dirección cos α = A x A cos β = A y A cos γ = A z A 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 19
20 2.5 Vectores cartesianos Vector unitario Definido A, la magnitud del vector unitario es 1 y tiene la misma dirección de A A = A. μ A μ A = A A μ A = (A x, A y, A z ) A μ A = (cos α, cos β, cos γ) μ A = 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 20 x A x cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 A z α O z γ cos α = A x A μ A A β cos β = A y A A y y cos γ = A z A
21 2.5 Vectores cartesianos Resumen z A = A x + A y + A z A z μ A A = (A x, A y, A z ) γ A A = A. μ A α β A = A (A x, A y, A z ) A A = A. (cos α, cos β, cos γ) x A x O A y y 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 21
22 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 22
23 2.6 Suma de vectores cartesianos F 1 = (F 1x, F 1y, F 1z ) z F 2 = (F 2x, F 2y, F 2z ) F 2 F 3 = (F 3x, F 3y, F 3z ) F 1 F R = F 1 + F 2 + F 3 x O F 3 y F R = F 1x + F 2x + F 3x, F 1y + F 2y + F 3y, F 1z + F 2z + F 3z F R = (F Rx + F Ry + F Rz ) 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 23
24 2.6 Suma de vectores cartesianos Exprese la fuerza F=200N como un vector cartesiano Datos: F = 200 N α =? β = 60 γ = 45 Determinar: F =? 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 24
25 2.6 Suma de vectores cartesianos cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 cos 2 α = 1 cos 2 β cos 2 γ cos 2 α = 1 cos 2 (60 ) cos 2 (45 ) cos 2 α = 0.25 cos α = 0.25 α = /03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 25
26 2.6 Suma de vectores cartesianos F = F. μ F F = F (F x, F y, F z ) F F = F. (cos α, cos β, cos γ) F = 200(cos 60, cos 60, cos 45 ) Rpta: F = 100, 100,141.4 N 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 26
27 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 27
28 2.7 Vectores de posición Vector fijo que localiza un punto en el espacio con relación a otro. z r: Se extiende desde el origen O hasta el punto P (x,y,z) r = (x, y, z) x O r P x,y,z z y x y 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 28
29 2.7 Vectores de posición Vector fijo que localiza un punto en el espacio con relación a otro. z r AB : Caso general, se extiende desde el punto A hacia el punto B r AB = r B r A r AB = x B, y B, z B (x A, y A, z A ) r AB = (x B x A ) x B x A, y B y A, z B z A x A O r B (y B y A ) (z B z A ) y 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 29
30 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 30
31 2.8 Vectores fuerza dirigida a lo largo de una línea Se cuenta con una cuerda tensionada, la cual está sujeta por un extremo de la pared z F A B μ AB y F = F. μ AB μ AB = r AB r AB x 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 31
32 2.8 Vectores fuerza dirigida a lo largo de una línea Exprese la fuerza F=70 lb como un vector cartesiano Datos: F = 70 lb A = 0, 0, 30 B = 12, 8, 6 Determinar: F =? 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 32
33 2.8 Vectores fuerza dirigida a lo largo de una línea Determinar el vector unitario μ AB = r AB r AB μ AB r B = 12, 8, 6 r A = 0, 0, 30 r AB = 12, 8, 24 pie μ AB = r AB r AB = μ AB = 12, 8, , 8, 24 (12) 2 +( 8) 2 +( 24) 2 = 0.429, 0.286, /03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 33
34 2.8 Vectores fuerza dirigida a lo largo de una línea Determinar la fuerza vectorial F = F. μ AB F = F. μ AB = , 0.286, μ AB Rpta: F = 30, 20, 60 lb 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 34
35 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 35
36 2.9 Producto Punto Multiplica dos vectores y halla el ángulo entre estos. A B = A. B. cos θ 0 θ 180 También llamado producto escalar, ya que el resultado es un valor escalar y NO un vector A B = A x. B x + A y. B y + A z. B z A θ B 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 36
37 2.9 Producto Punto Aplicaciones A Proyección escalar de A a lo largo de la línea a a A = A μ a a θ μ a a Proyección vectorial A a lo largo de la línea a a A A Además: A = (A μ a ) μ a a θ A μ a a A = A + A 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 37
38 2.9 Producto Punto Determine magnitud de la componente de F = 100 lb que actúa a lo largo del eje BC de la tubería Datos: F = 100 lb Determinar: F BC =? A = 3, 0, 0 C = 6, 4, 2 D = 0, 12, 0 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 38
39 2.9 Producto Punto La tubería esta sometida a F = 80 lb. Determine el ángulo entre F y BA, así como las magnitudes de las componentes de F, las cuales son paralelas y perpendiculares a BA Datos: F = 80 lb A = 0, 1, 0 B = 2, 3, 1 C = 2, 0, 0 Determinar: θ =? F BA =? F BA =? 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 39
40 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 40
41 El cable AB ejerce una fuerza T igual a 32 lb sobre el collarín en A. Determinar la fuerza T como vector cartesiano. 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 41
42 El cable AB ejerce una fuerza T igual a 32 lb sobre el collarín en A. Determinar la fuerza T como vector cartesiano. Rpta.: La fuerza T es igual a (7.705; ; ) lb. 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 42
43 El disco A está en el punto medio de la superficie inclinada. La cuerda de A hacia B ejerce 0.2 lb de fuerza F sobre el disco. Si se expresa F en términos de componentes de vector paralelo y perpendicular a la superficie, cual es la componente perpendicular a la superficie?. z y x 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 43
44 El disco A está en el punto medio de la superficie inclinada. La cuerda de A hacia B ejerce 0.2 lb de fuerza F sobre el disco. Si se expresa F en términos de componentes de vector paralelo y perpendicular a la superficie, cual es la componente perpendicular a la superficie?. z y x Rpta.: La componente perpendicular a la superficie es igual a (0.023; 0; 0.093) lb. 15/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 44
34 35
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 1. Dos fuerzas se aplican a una armella sujeta a una viga. Determine gráficamente la magnitud y la dirección de su resultante usando: a) La ley
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