2- Sistemas de Fuerzas

Transcripción

1 2- Sistemas de uerzas Prof. JOSÉ BENJUMEA ROYERO Ing. Civil, Magíster en Ing. Civil

2 Contenido 2. Sistemas de uerzas 2.1 uerza. Definición y propiedades. 2.2 uerza en el plano. Resultante de dos fuerzas. Método del paralelogramo. 2.3 Componentes rectangulares de una fuerza. Vectores unitarios. Resultante de fuerzas sumando sus componentes. 2.4 Equilibrio de una partícula. Primera Ley de Newton del movimiento. Diagrama de cuerpo libre. 2.5 uerzas en el espacio. Componentes rectangulares. uerza definida en términos de su magnitud y dos puntos de su línea de acción. Suma de fuerzas concurrentes en el espacio. Equilibrio de una partícula en el espacio. 2.6 Cuerpos rígidos. Sistemas de uerzas equivalentes. uerzas externas e internas. 2.7 Principio de transmisibilidad. uerzas equivalentes. 2.8 Momento de una fuerza alrededor de un punto. 2.9 Teorema de Varignon. Componentes rectangulares del momento de una fuerza Momento de una fuerza alrededor de un eje. Momento de un par de fuerzas. Pares equivalentes. Suma de pares Descomposición de una fuerza dada en una fuerza en un punto O y un par. Reducción de un sistema de fuerzas en una fuerza y un par. Torsores.

3 uerzas Caracterizadas por su punto de aplicación, dirección y magnitud [N 1kg*m/s 2 ]. Debido a que es un vector, se rige por las operaciones del álgebra vectorial. Cuando muchas fuerzas concurren en un punto, se puede hacer la suma (determinar la fuerza resultante) usando la ley del paralelogramo: P = P = Q

4 uerzas (Componentes Oblicuas) En muchas operaciones, es conveniente expresar el vector fuerza en componentes. Eje 1 1 γ θ β Para determinar las componentes (Ley de senos) 2

5 uerzas (Componentes Oblicuas) En muchas operaciones, es conveniente expresar el vector fuerza en componentes. Eje 1 1 γ θ β Para determinar las componentes (Ley de cosenos) = cos (θ) 1 2 = cos (γ)

6 uerzas (Componentes Rectangulares) y y θ x x z z h θz x β y y x

7 Para el caso 3D, resulta conveniente describir las componentes en función de los ángulos que forma la resultante con los ejes principales z z (Vector unitario con dirección de la uerza) θz θx θy x y y x Nota: Los cosenos directores se miden desde la parte positiva del eje

8 Dirección de la uerza z A B y x Proporcionalidad vector posición vector fuerza

9 Suma de uerzas 2 R

10 Equilibrio de Partículas La partícula se encuentra en equilibrio si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula (fuerzas concurrentes) es igual a cero

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12 Ejercicio 1 Tomado de [Bredford, 5ª Edición ]

13 Ejercicio 2 El elemento BC sólo resiste fuerzas a lo largo de su eje axial. A 65 C 25 Determine la tensión del cable AC para que el elemento BC no falle. Además, determine la fuerza resultante de las tres fuerzas en el nodo C. 50 kn 75 kn 35 B

14 Ejercicio 3 Los dos extremos de un cable de longitud 10 2 metros, están sujetos como se indica en la figura. Determine la tensión del cable y los ángulos α y β. Determine la distancia d. α d 10 m 2 m β 40 kn

15 Ejercicio 4 Tomado de [Bredford, 5ª Edición ]

16 Ejercicio 5 Tomado de [?]

17 Ejercicio 6 z C (-6, 5, 8) Del extremo D de la barra rígida AD, la cual se encuentra empotrada en A, cuelga un elemento de peso 70 kn. Además, se han instalado los cables BD y CD para evitar grandes deflexiones en la barra. B (3, -2, 4) Si las tensiones en los cables son T BD = 30 kn y T CD = 50 kn, determine la fuerza resultante en D. y Determine además, los cosenos directores de la resultante. A (10, 2, 0) x D (10, 8, 0) Tomado de [Prof. Parada, sin fecha]

18 Ejercicio 7 Determine la resultante de las tensiones TAB y TAD en el punto A. D TAD = 50 kn TAB = 100 kn D (-10, 5, 24) Modificado de [Meriam, 5ª Edición ]

19 Ejercicio 8 z A AB = 3900 N AC = 5250 N LAB = 19.5 m LAC = 21.6 m LAO = 16.8 m α =? La torre AO permanece en su posición vertical; apoyada por medio de 3 cables; el cable AB, está sometido a una fuerza de 3900 N; el cable AC se somete a una fuerza de 5250 N. La longitud de los dos cables es de 19.5 y 21.6 metros, respectivamente. La altura de la torre es de 16.8 m. D α B Se requiere que la resultante de las tres fuerzas actuando en el punto A, sea vertical. O y Determinar la magnitud del ángulo α que define la posición del cable AD. x C Es posible determinar la magnitud de la tensión en el cable AD?

20 Ejercicio 9 Tomado de [Bredford, 5ª Edición ]

21 Ejercicio 10 Tomado de [Prof. Parada, sin fecha]

22 Ejercicio 11 z Determinar el sistema fuerza-par resultante en el punto O de la barra rígida OE. O Datos: - Peso barra OB: 600 N - Peso Q: 800 N y - Barra OB homogénea y de sección prismática E (0, 0.6, -0.3) - OB = 2.0 m B D Q Tomado de [Prof. Leocadio Rico, sin fecha]

23 Sistemas de uerzas Equivalentes en Cuerpos Rígidos Partículas? o Cuerpos Rígidos?

24 uerzas Internas y Externas B 4 RBx RBy C 1 RCx A C.R. 3 RAx C.R. 3 RCy RAy int EXT Tint Pint Qint Rint

25 Principio de Transmisibilidad A B C.R. C.R. es equivalente a El vector fuerza es deslizante? Limitaciones del Principio (Cuerpos Rígidos vs Cuerpos Deformables) T A B A B A B T T T T A B T El elemento se alarga!?

26 Momento de una uerza con Respecto a un Punto Ver vídeo: El momento M0 mide la tendencia de la fuerza a hacer girar el C.R. alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo de M0. M0 M0 contenido en un plano perpendicular a M0 y 0 r0a A θ En forma escalar C.R. En forma vectorial

27 El momento M0 no depende del punto de aplicación de la fuerza, si esta se mantiene sobre la línea de acción. M0 M0 r0a 0 A θ r0a A 0 β C.R. C.R. Por lo tanto, se establece que dos fuerzas son equivalentes, sí y solo sí, tienen la misma magnitud y dirección, y, además, tienen momentos iguales con respecto a un punto 0.

28 2D r Donde d es la distancia perpendicular entre el eje de aplicación de la fuerza y el punto 0. M0 0 d r0a A θ C.R.

29 Teorema de Varignon El momento con respecto a un punto 0 de la resultante de varias fuerzas es igual a la suma de los momentos de las distintas fuerzas con respecto al mismo punto 0. M0 4 R 0 r0a 3 2 A 1 C.R.

30 Momento de una uerza con Respecto a un Eje Se define como la proyección del momento M0 (con respecto a un punto o) sobre el eje. Mide la tendencia de la fuerza a rotar el C.R. alrededor del eje L. Eje L ul M0 M0L 0 r0a A θ C.R.

31 Se genera un momento en el eje L si la línea de acción de la fuerza cruza el eje? Eje L ul M0 r0a A θ r0a 0 A C.R.

32 Ejercicio 12 E A B m 0.95 m D C 2 m Tomado de [Beer & Jonhston, 8va edición] Un rótulo está suspendido de dos cadenas AE y B. Si la tensión en B es de 200 N, determine: a) El momento de la fuerza ejercida por la cadena en B respecto al punto A. b) La magnitud y el sentido de la fuerza vertical aplicada en C que produce el mismo momento respecto de A c) La fuerza mínima aplicada en B que produce el mismo momento respecto de A.

33 Ejercicio 13

34 Ejercicio 14 6m D 8m Las magnitudes de los dos pares que actúan sobre la barra T son C1= 220 N-m C2= 100 N-m Calcule el momento total de los pares respecto al eje AD. 8m C1 A B C2 C 4m

35 Ejercicio 15 Determinar el momento y la fuerza resultante en A. La tensión en el cable DE es de 4 kn. La estructura tiene un peso de 30 kn.

36 Ejercicio 16 E O D C Durante construcción, una grúa se ve sometida a vientos que generan fuerzas en dirección x en los brazos de la misma. Con el fin de evitar que la grúa gire alrededor de su eje vertical, se ha instalado un cable AB. Determine la presolicitación (tensión) que debe tener el cable para evitar el giro de la grúa. Peso brazo O C= 1500 kn (en D) Peso brazo O = 500 kn (en E) O E= 5m; E= 5 m O D= 9 m; AC= 6m w1=50 kn w2=40 kn Asuma que w se aplica a 30 m de altura respecto del suelo.

37 Ejercicio 17 En la figura se muestra un mástil y aparejos de un velero. Determinar momento de la fuerza 1 respecto del punto O. 1 Además, determine el ángulo entre E y EC. - Tensión en la cuerda = 250 N - 1= -10 i + 20 j 30 k {N} - CD y E están en un mismo plano. - CD = 7.5 m CD y eje y = 45 θ = 10 Modificado de [Beer & Jonhston, 8va edición]

38 Ejercicio 17 (solución gráfica) En la figura se muestra un mástil y aparejos de un velero. Determinar momento de la fuerza 1 respecto del punto O. 1 Además, determine el ángulo entre E y EC. - Tensión en la cuerda = 250 N - 1= -10 i + 20 j 30 k {N} - CD y E están en un mismo plano. - CD = 7.5 m CD y eje y = 45 θ = 10 Modificado de [Beer & Jonhston, 8va edición]

39 Ejercicio 19 Puntal, L= 6ft (x, 7.5, z) El marco ABCD se apoya en A mediante una rótula (esta permite rotaciones respecto a los ejes x, y, y z). En D existe una pequeña holgura respecto al piso. La tensión en el cable AE es de 110 N. La tensión en el cable EG es igual al valor absoluto de la tensión en E proyectada en EG. Modificado de [Beer & Jonhston, 8va edición] a) Determine el momento de la resultante en E respecto del punto A. b) Con el fin de impedir la rotación del marco respecto al eje y, se colocará un puntal en C (el puntal solo trabaja a compresión o a tensión). Determine las coordenadas x y z del extremo del puntal de modo tal que la fuerza en este sea mínima y que el marco no rote respecto al eje y.

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41 Momento de un Par?

42 Momento de un Par Dos fuerzas opuestas, de igual magnitud, no colineales, tienden a hacer girar al C.R. con respecto al punto o. B M0 A M0 0 C.R. 0 M o = r oa + r ob = (r a r b ) El momento de un par es un vector libre! d M=d M M

43 Par de uerzas: Aplicación en el diseño de vigas de concreto

44 Pares Equivalentes C A C Q A P C Q A B d1 B Q B Q d2 D P D D *d1 = Q*d2 Q A Q B

45 uente:

46 Ejercicio 20 Determine la magnitud y dirección del momento M para que los dos sistemas sean equivalentes P/2 4m M 3m P/2 P/2 4m 1.5m P P 1.5m P/2 45

47 Ejercicio 21 Cuáles de los sistemas son equivalentes al par en (a)? z 60 kn 4m z 4m 75 kn z 4m 60 kn 3m 3m 75 kn 3m y 75 kn x (a) x 75 kn (b) x (c) 100 kn z 4m 75 kn z 4m z 50 kn 4m 45 kn 45 kn 3m x (d) 100 kn 3m x (e) 45 kn 3m 75 kn x (f) 45 kn 50 kn y

48 Ejercicio 22 Dos clavijas de 2.4 pulgadas de diámetro están montadas en A y C sobre una placa de acero. A esa placa se conectan dos barras en B y D. Se pasa un cuerda alrededor de las clavijas y se jala aplicando una fuerza T en los extremos, mientras que se aplica una fuerza de 2.5 lb a las barras. a) Determine el par resultante en la placa cuando T= 9 lb. b) Si únicamente se usa la cuerda, en qué dirección debería jalarse para generar el mismo par que en (a), pero con la mínima tensión? c) cuál es el valor de la tensión mínima? 2.5 lb T 11.4 in T 2.5 lb 15.2 in Tomado de [Beer & Jonhston, 8va edición]

49 Ejercicio 23 La placa mostrada en la figura está sometida a la acción de múltiples fuerzas y un momento concentrado. Reemplace el sistema de fuerzas (incluyendo el momento) que actúan en la placa por: a) Un vector par b) El par de fuerzas más pequeño, con una fuerza actuando en O y la otra en B.

50 Descomposición de una uerza en un Sistema uerza- Par Cualquier fuerza que actúe sobre un C.R. puede ser trasladada un punto arbitrario o, siempre y cuando se agregue un par cuyo momento sea igual al momento de con respecto de o. A A A o o o M0 Par de uerzas Sistema uerza-par

51 En otras palabras cambio de la línea de acción de una fuerza A A o o M0 Sistema uerza-par

52 Si se desea trasladar el sistema uerza-par del punto o al punto o Moo O O M0 O M0 A A A o M0 o o El sistema se puede reducir a una fuerza?

53 En 2D K R A J MR o o El sistema se puede reducir a una fuerza?

54 R R MR o d o MR = *d

55 Reducción de un Sistema de uerzas a un Sistema uerza-par 4 3 MR 5 r5 M4 M3 M2 o M5 2 1 o R Cada fuerza genera un sistema fuerza-par en o (i y Mi, perpendiculares entre sí) (R y Mr, NO perpendiculares entre sí)

56 Reducción de un Sistema uerza-par a una Llave de Torsión Como R y MR no son perpendiculares entre sí, el sistema no puede ser reducido a una fuerza equivalente o a un solo par, pero o R MR MRL o R MRT MRL N R Al trasladar R se genera un momento MRT con dirección opuesta a MRT MRT MRL N R MRT o o

57 Ejercicio 24

58 Ejercicio 25 Para la red de tuberías presentada en la figura, determine un sistema fuerza-par equivalente en A. Tomado de [Merian & Kreige, 2002]

59 Ejercicio 26 La figura presenta una losa de cimentación, sobre la cual reposan 5 columnas. z A Sabiendo que la resultante de las fuerzas actúa en el punto (4, 4.5, 0), en dirección vertical, determine la magnitud de las fuerzas axiales que transmiten las columnas D y C. x E D C B PA= 400 kn PB= 450 kn PC=? kn PD=? kn PE= 300 kn 5.5m 3m y 4.5m 7m

60 Ejercicio 27 La lámpara A (de peso 100 N) se encuentra unida a la barra rígida ABO (de peso 50 N, localizado en el centro de la barra). Si el viento ejerce una fuerza de 20 N (en dirección j ) en A, y si se sabe que la resultante de las fuerzas sobre la lámpara A y la barra rígida ABO, incluyendo la tensión en los cables, es una fuerza R que actúa en O, determine la tensión en los cables y la fuerza R. AB=2m, BO=4m, OO'=2m, CO'=1.5m, DO'=1.5m

61 Ejercicio 28 Un sistema fuerza-par consiste en la fuerza resultante R=600i j + 700k (N) y en un vector par MR= -800i + 500j + 600k (N-m). Transformar el sistema anterior en una fuerza única o en una llave de torsión y determinar la posición de su línea de acción.

62 Ejercicio 29 Un bloque de madera está sometido a tres fuerzas de igual magnitud en las direcciones mostradas en la figura. Reemplace las tres fuerzas por una llave de torsión equivalente. Determine el punto donde el eje de la llave de torsión interseca al plano xy. Tomado de [Beer & Russel, 2007]

63 Ejercicio 30 Expresar la resultante de las fuerzas como un sistema llave-torsión. z 100 kn 50 kn m E 6m H G 5m A 65 kn B y D C x 20 kn 80 kn

64 Ejercicio 31

65 Ejercicio 32 Z I E Una placa semicircular está sostenida, en forma inclinada con los ejes x y y 20 y 15 respectivamente por un tubo vertical soldado a ella en el punto o. El peso por unidad de área de la placa es W=0,08 N/cm² A e Determine el momento resultante del peso de la placa y del elemento Q (que cuelga en el punto A), respecto del punto o. X H D 48 d 20 o B C G 15 Y Datos: R= 50 cm (radio de la placa con centro en C) oc= 15cm oa= 15 cm CG= 8 cm Q= 150 N El cable que sostiene el elemento Q parte de A a un ángulo de 48 con HI y se descuelga en el borde de la placa en B. HI es paralela a DE Q G es el centro de gravedad de la placa

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