CURSO: MECÁNICA DE SÓLIDOS II

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULAD DE INGENIERÍA ELÉCRICA Y ELECRÓNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCRICA CURSO: MECÁNICA DE SÓLIDOS II PROFESOR: ING. JORGE A. MONAÑO PISFIL

2 CURSO DE MECÁNICA DE SÓLIDOS II CAPÍULO 4: ORSIÓN Rotura por ORSIÓN de eje de hidrogrúa

3 CAPÍULO 4: ORSIÓN 4.1 DEFORMACIONES POR ORSIÓN DE UNA FLECHA CIRCULAR.- Cuando una flecha con sección transversal circular está sometida a un par de torsión, la sección transversal permanece plana mientras que las líneas radiales giran. Esto ocasiona una deformación unitaria cortante dentro del material que varía linealmente a lo largo de cualquier línea radial, de cero en el eje de la flecha a un máximo en su borde exterior. * Un par de torsión es un momento que tiende a hacer girar a un miembro con respecto a su eje longitudinal. Su efecto es de interés primordial en el diseño de ejes o flechas de impulsión usadas en vehículos y en maquinaria.

4 CAPÍULO 4: ORSIÓN 4.2 LA FÓRMULA DE LA ORSIÓN.- Si una flecha está sometida a un par de torsión externo, entonces, por equilibrio, debe desarrollarse un par de torsión interno en la flecha. Para un material homogéneo elástico lineal, debido a la ley de Hooke ( G ), el esfuerzo cortante a lo largo de cualquier línea radial de la flecha también varía linealmente, de cero en su eje a un máximo en su borde exterior. Este esfuerzo cortante máximo no debe exceder el límite proporcional. Se cumple que: c max Esta ecuación expresa la distribución del esfuerzo cortante como una función de la posición radial ρ del elemento.

5 El esfuerzo cortante máximo se calcula mediante la ecuación siguiente: max c J Donde: máx = esfuerzo cortante máximo en la flecha, el cual ocurre en la superficie exterior. = par de torsión interno resultante que actúa en la sección transversal. Este valor se determina por el método de secciones y la ecuación de equilibrio de momentos con respecto al eje longitudinal de la flecha. J = momento polar de inercia del área de la sección transversal c = radio exterior de la flecha Usando las dos ecuaciones dadas, el esfuerzo cortante en la distancia intermedia ρ se puede determinar con la sgte ecuación: J (Fórmula de la torsión) (Fórmula de la torsión)

6 Nota.- Las fórmulas de la torsión se usan solamente cuando la flecha es circular y el material es homogéneo y se comporta de manera elástico-lineal. FLECHA SÓLIDA Si la flecha tiene una sección transversal circular sólida, el momento polar de inercia J está dado por: J 2 c J es una propiedad geométrica del área circular y es siempre positiva. FLECHA UBULAR Si una flecha tiene una sección transversal tubular, con un radio interior ci yunradioexteriorc0, entonces, podremos determinar su momento polar de inercia restando J para una flecha de radio ci del calculado para una flecha de radio c0. El resultado es: J 4 ( c 2 c i )

7 ESFUERZO ORSIONAL MÁXIMO ABSOLUO En cualquier sección transversal dada de la flecha, el esfuerzo cortante máximo se presenta en la superficie exterior. Sin embargo, si la flecha está sometida a una serie de pares externos o el radio (momento polar de inercia) varía, el esfuerzo torsional máximo en la flecha podría entonces ser diferente de una sección a la siguiente. Si se va ha determinar el esfuerzo torsional máximo absoluto, resulta importante encontrar la posición en que la razón c/j es máxima. Para esto puede ser de ayuda mostrar la variación del par interno en cada sección a lo largo del eje de la flecha por medio de un diagrama de momento torsionante. Específicamente, este diagrama es una gráfica del par interno versus su posición x alo largo de la longitud de la flecha. De acuerdo con una convención de signos será positivo si de acuerdo con la regla de la mano derecha, el pulgar está dirigido hacia afuera de la flecha cuando los dedos se curvan en la dirección del giro causado por el par. Una vez que se ha determinado el par interno en toda la flecha, puede identificarse entonces la razón máxima c/j.

8 PROCEDIMIENO DE ANÁLISIS La fórmula de la torsión puede aplicarse usando el siguiendo procedimiento: - Seccione la flecha perpendicularmente a su eje en el punto en que el esfuerzo cortante debe determinarse y use el diagrama de cuerpo libre necesario y las ecuaciones de equilibrio para obtener el par interno en la sección (la carga interna). - Calcule el momento polar de inercia de la sección transversal. - Para calcular el esfuerzo cortante, especifique la distancia radial ρ medida desde el centro de la sección transversal al punto en que se va a calcular el esfuerzo cortante. Aplique luego la fórmula de la torsión = Тρ/J, o si el esfuerzo cortante máximo se va a determinar usando máx =c/j. El esfuerzo cortante actúa sobre la sección transversal siempre en forma perpendicular a ρ. La fuerza que genera debe contribuir a formar el par de torsión respecto al eje de la flecha que tiene el mismo sentido que el par resultante interno que actúa sobre la sección.

9 4.3 RANSMISIÓN DE POENCIA Las flechas y los tubos que tienen secciones transversales circulares seusanamenudoparatransmitirlapotenciadesarrolladaporuna máquina. Cuando se usan para este fin, quedan sometidos a pares de torsión que dependen de la potencia generada por la máquina y de la velocidad angular de la flecha. El trabajo transmitido por una flecha en rotación es igual al par de torsión aplicado por el ángulo de rotación. Por tanto, si durante un instante de tiempo dt un par de torsión aplicado ocasiona que la flecha gire un ángulo dө, entonces la potencia instantánea es: P d dt Dado que la velocidad angular es ω = dө/dt, la potencia se puede expresar como: P

10 Para la maquinaria, a menudo se reporta la frecuencia, f, de rotación de la flecha. Ésta es una medida del número de revoluciones o ciclos de la flecha por segundo y se expresa en hertz (1 Hz = 1 ciclo/s). Puesto que 1 ciclo = 2 π rad, entonces ω =2π f y la ecuación anterior para la potencia resulta P 2 f DISEÑO DE UNA FLECHA Cuando la potencia transmitida por una flecha y su frecuencia se conocen, el par de torsión desarrollado en la flecha puede determinarse con la ecuación = P/2πf. Conociendo y el esfuerzo cortante permisible para el material, perm, podemos determinar el tamaño de la sección transversal de la flecha usando la fórmula de la torsión, siempre que el comportamiento del material sea elástico-lineal. Específicamente, el parámetro geométrico o de diseño J/c es: J c perm

11 4.4 ÁNGULO DE ORSIÓN El ángulo de torsión se determina relacionando el par aplicado al esfuerzo cortante usando la fórmula de la torsión, = Т ρ/j, y relacionando la rotación relativa a la deformación unitaria cortante usando d dx /. Finalmente estas ecuaciones se combinan usando la ley de Hooke, G, lo que da la ecuación siguiente: L ( X ) 0 J ( x) G Donde: Ф = ángulo de torsión de un extremo de la flecha con respecto al otro (se mide en rad). (x) = par de torsión interno en una posición arbitraria x, hallado a partir del método de las secciones y de la ecuación del equilibrio de momentos aplicada con respecto al eje de la flecha. J (x) = momento polar de inercia de la flecha expresado en función de la posición x. G = módulo de rigidez del material. dx

12 PAR DE ORSIÓN Y ÁREA DE LA SECCIÓN RANSVERSAL CONSANES. En la práctica de la ingeniería el material es homogéneo por lo tanto G es constante. Además, el área transversal de la flecha y el par de torsión aplicado son constantes a lo largo de la longitud de la flecha ; luego, el par de torsión interno (x) =, elmomento polar de inercia J(x) = J, y al integrar la ecuación de Ф se obtiene: J L G Ф

13 Si la flecha está sometida a varios pares de torsión diferentes, o si el área de la sección transversal o el módulo de rigidez cambian abruptamente de una región de la flecha a la siguiente, la ecuación anteriorpuedeaplicarseacadasegmentodelaflechaenqueestas cantidades sean todas constantes. El ángulo de torsión de un extremo de la flecha con respecto al otro se halla entonces por la suma vectorial de los ángulos de torsión de cada segmento. En este caso, J L G CONVENCIÓN DE SIGNOS. Utilizando la regla de la mano derecha, tenemos que el par y el ángulo de torsión son positivos si el pulgar se aleja de la sección de la flecha cuando los dedos restantes se curvan para indicar el sentido del par. El par y el ángulo de torsión son negativos si el pulgar se acerca ala sección de la flecha cuando los dedos restantes se curvan para indicar el sentido del par.

14 4.5 MIEMBROS ESÁICAMENE INDEERMINADOS CARGADOS CON PARES DE ORSIÓN Una flecha sometida a torsión puede clasificarse como estáticamente indeterminada si la ecuación de equilibrio por momentos, aplicada con respecto al eje de la flecha, no es suficiente para determinar los pares de torsión desconocidos que actúan sobre la flecha. En la figura se muestra un ejemplo de esta situación A C B

15 A Al hacer el DCL de la flecha, los pares de torsión reactivos en los soportes A y B son desconocidos. Si aplicamos sumatoria de momentos, respecto al eje de la flecha, igual a cero, tenemos que: A B 0 Puesto que aquí sólo se tiene una ecuación de equilibrio y existen dos incógnitas, este problema es estáticamente indeterminado. La condición necesaria de compatibilidad, o condición cinemática, requiere que el ángulo de torsión de un extremo de la flecha con respecto al otro extremo sea igual a cero, ya que los soportes en los extremos son fijos. Por tanto, 0 A / B A B A B B

16 Para escribir la ecuación anterior en términos de los pares de torsión desconocidos, supondremos que el material se comporta de modo elástico-lineal, de modo que la relación cargadesplazamiento quede expresada por Ф = L/JG. Considerando queelparinternoenelsegmentoaces+ay que en el segmento CB el par interno es B (ver la fig. anterior), la ecuación de compatibilidad anterior puede escribirse como: A L J G AC B L J G BC 0 Resolviendo las dos ecuaciones anteriores para las reacciones y considerando que L = LAC + LBC, ademásquejg es constante, obtenemos A L L BC y B L L AC Observe que cada par reactivo crece o decrece linealmente con la ubicación de LAC o LBC al par de torsión aplicado.