APU TES Y EJERCICIOS DEL TEMA 9 PROPORC. GEOMÉTRICA. THALES. ESCALA.

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1 APU TES Y DEL TEMA 9 PROPORC. GEOMÉTRICA. THALES. ESCALA. 1-T 9--2ºESO RECORDATORIO INICIAL: Antes de empezar de lleno con este tema, os digo que, ocasionalmente, se van a trabajar ciertos conceptos que ya han sido explicados en cursos anteriores y que no deben olvidarse por tanto. Dichos conceptos son a) Elementos geométricos (plano, punto, recta, semirrecta, segmento). Saberlos definir y nombrarlos. b) Nombre de la posición en la que nos podemos encontrar 2 rectas (paralelas, secantes,...) c) Clasificación de los ángulos según su medida (agudos, rectos, convexos, completos,...) d) Clasificación de los triángulos según los lados y los ángulos (acutángulo, isósceles,...) e) Clasificación de los cuadriláteros (paralelogramos, trapecios,...) f) Rectas notables de un triángulo (mediatrices, circuncentro, ortocentro,...) g) Teorema de Pitágoras ( h 2 = c 2 + c 2,...). Sólo para los triángulos rectángulos. Finalmente, os comento, aunque ya lo sabéis la mayoría, que la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo siempre saldrá 180 º, ni un minuto o segundo más, ni menos. Pero lo que no sabéis, aunque lo habréis intuido por ser de sentido común, es que no siempre que me den la medida de los 3 lados de un triángulo existe ese triángulo. Para que exista un triángulo debe cumplir la propiedad que dice que la suma de 2 de los lados de un triángulo tiene que ser mayor que el tercero de los lados. También se puede decir que la resta de 2 de los lados de un triángulo debe ser menor que el lado que nos queda. Ejemplos: Existe un triángulo cuyos lados miden 4, 7 y 10 cm, respectivamente? En principio, parece que sí, y al comprobar si la suma de 2 de los lados sale mayor que el tercero, efectivamente sale mayor. Por ello, afirmamos que ese triángulo EXISTE PERFECTAMENTE. Existe un triángulo cuyos lados miden 4, 5 y 10 cm, respectivamente? En principio, parece que sí, y al comprobar si la suma de 2 de los lados sale mayor que el tercero, observamos que si sumo los 2 primeros (4 cm + 5 cm) no sale mayor que el tercero (10 cm), y por tanto afirmamos que dicho triángulo NO EXISTE. También, si resto el 3º con el 1º (10 cm 4 cm) no nos sale menor que el 2º (5 cm), y por lo mismo afirmamos que no existe. RAZÓN Y PROPORCIÓN ENTRE SEGMENTOS: Sabemos del tema anterior que una razón (división de 2 n os ) se puede sacar de la división de 2 cantidades de 2 magnitudes diferentes las cuales están relacionadas o son dependientes (al cambiar el valor de una de ellas eso hace que cambie el valor de la otra). Pues también podemos coger una serie de segmentos que nos dan y hacerles razones, simplemente dividiendo lo que mide uno entre lo que mide otro. Si tenemos 5 segmentos cuyas medidas son 4 cm, 5 cm, 6 cm, 8 cm y 10 cm podríamos hacer esta serie de razones 4cm 4cm 4cm 8cm 10cm 8cm,,,,,,,,,, y todas las demás que se nos ocurran 5cm 6cm 10cm 5cm 6cm 10cm Y qué tal si nos fijamos en la 1ª y la última razón? Qué me podéis decir?? 4cm 8cm Pues creo que las vamos a poner una al lado de la otra y así ya lo sabréis: = Efectivamente, 5cm 10cm esas 2 razones de segmentos forman una proporción. Eso quiere decir que, en ocasiones, al tener 4 segmentos podremos formar una proporción siempre y cuando se cumpla la propiedad que dice la multiplicación de los extremos es igual a la de los medios. 1.- De la página 176 del libro, el n o 4. En este último ejercicio, los 6 segmentos deben ser distintos. 2.- Dados segmentos de 10, 9, 8, 6, 4 y 3 (cm), forma parejas que esté en la proporción 3/ Dibuja 6 segmentos de forma que se cumpla la proporción siguiente (no vale repetir medidas): AB EF MO = = = 3 CD GH PQ

2 EL TEOREMA DE THALES: 2-T 9--2ºESO Antes de explicar este teorema, hay que saber que si una de las 2 rectas secantes/convergentes que nos encontramos en un dibujo está dividida en segmentos iguales, y le hacemos pasar paralelas por los extremos de esos segmentos y que corten a la otra recta secante/convergente, los segmentos que nos salen en esta otra son también iguales (ya sean del mismo tamaño que los anteriores o de diferente tamaño). Se entiende mejor con el dibujo/experiencia que propongo en clase. EXPERIENCIA ARTÍSTICA SOBRE EL CUADERNO Siguiendo con este dibujo, llegaremos a darnos cuenta que con los segmentos que nos salen en las rectas secantes podemos obtener proporciones, siempre y cuando guardemos un orden. Ese orden para sacar proporciones se puede entender de dos maneras diferentes: a) Orden del libro en cada razón coge un segmento de una de las rectas y el correspondiente de la otra recta. b) Orden del profesor en cada razón coge dos segmentos de la misma recta, para luego, en la otra razón, coger sus correspondientes de la otra recta. Ni que decir tiene que os recomiendo el orden del profesor Pues en esto consiste el Teorema de Thales, en coger razones que formen proporciones en dos rectas secantes que estén cortadas por paralelas. Teóricamente lo diríamos así: cuando dos rectas secantes/convergentes estén cortadas por una serie de paralelas, los segmentos que nos salen en las rectas sec./con. son proporcionales, es decir, se pueden sacar proporciones, siempre y cuando guardemos un orden (el del libro o el del profesor). Miremos este ejemplo B A C D AB CD = A B C D A B C D Orden del profesor o AC BD = A C B D Si nos fijamos en el ejemplo 1 de la página 177 del libro, nos daremos cuenta de que el orden que aplica en la proporción, como no puede ser de otra manera, es el orden del libro. De mi manera, el orden del profesor, la proporción quedaría así = (os lo dejo en blanco para que lo rellenéis). 4.- De la página 177 del libro, los n os 5 y 7. En el nº 7, le debéis añadir un par de apartados más, que son: b) c)? A F OR = 10 8 cm 6 4 AF = 4 2 cm V FV = 3 36 cm O? P? R 3 6? 4 8 APLICACIONES DEL TEOREMA DE THALES: El teorema de Thales, además de servir para encontrar distancias de segmentos nos sirve para poder dividir ciertas distancias (segmentos) en las partes proporcionales que nosotros queramos. Podemos hacer las siguientes proezas: a) Dividir un segmento en una serie de partes iguales para hacerlo, se empieza dibujando el segmento que queremos dividir. A continuación, desde el extremo de la izquierda dibujamos una semirrecta con la inclinación y la longitud que queramos. Con el compás, tomando una medida arbitraria, trazamos desde el mismo extremo una cantidad de arcos igual a la cantidad de veces que tengo que dividir el segmento. Después, unimos el último arco con el extremo de la derecha del segmento y, por último, trazamos parale-

3 las al segmento que nos ha salido que empiecen en los demás arcos dibujados, y que lleguen hasta el segmento inicial. 3-T 9--2ºESO b) Dividir un segmento en partes proporcionales a otros dados para hacerlo, se dibuja el segmento que tenemos que dividir. Después, se vuelve a hacer una semirrecta como la que se ha hecho en el apartado anterior, para, a partir del extremo de la izquierda, pintar en ella los demás segmentos de forma seguida. A continuación, el extremo derecho del último segmento dibujado se une con el extremo derecho del segmento que hay que dividir. Finalmente, se trazan paralelas a este segmento que nos ha salido que empiecen en los extremos libres que haya en la semirrecta y que lleguen hasta el segmento inicial. c) Dibujar un segmento cuarto proporcional para hacerlo, como ya sabemos colocar los 3 segmentos que nos dan en una proporción, dibujarlo será fácil. Tendría dos variantes, ya que si entendemos la proporción según el libro (espero que no) habrá que colocar los segmentos de una manera, pero si entendemos la proporción según el profesor colocaríamos los dos segmentos de la primera razón en una misma recta, y el 3º que conocemos en la otra recta. Luego, uniríamos el extremo derecho de este 3 er segmento con el extremo central de la otra recta. Por último, le haremos una paralela a este segmento que nos ha salido empezándolo el en extremo derecho de la 1ª recta y que llegue hasta la 2ª recta. El segmento que nos sale en la 2ª recta será el cuarto proporcional De la página 178 del libro, los n os 8, 9 y Calcula el valor de los segmentos x, y, z de esta figura: 7.- Divide un segmento de 12 cm en partes proporcionales x y z a 2, 3, 4 y 10 cm. Luego, divide un segmento de 9 cm en partes proporcionales a 1, 4 y 10 cm. 8.- Construye 2 veces el segmento 4º proporcional a 4, 5 y 6 cm siguiendo primero el orden de Juan, y el orden del libro después. TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE THALES: Si nos fijamos bien en la figura que viene a continuación, en la siguiente que aparece le hemos borrado las prolongaciones. Lo vemos. (Figura 1) B C (Figura 2) M O X Y qué hemos obtenido? Qué es lo que veis? No veis dos triángulos, uno grande y otro más pequeño en su interior? Pues lo que tenemos en esa 2ª figura son 2 triángulos en posición de Thales. Y Cuándo 2 triángulos están en posición de Thales? Pues como se ve, cuando están compartiendo un ángulo ( Xˆ ) y los lados que están enfrente de dicho ángulo, opuestos al ángulo, (CO // BM ) son paralelos. Y, Qué les pasa a 2 triángulos cuando están en posición de Thales? Pues que los 3 ángulos son iguales, es decir, miden lo mismo ( ˆX = ˆX,, ˆB =Ĉ,, ˆM = Ô ), y que los MX BM BX lados homólogos o correspondientes son proporcionales ( = = ). OX CO CX Como se aprecia en esas 3 razones que he sacado, la primera corresponde a las dos bases, la segunda a los dos lados de la izquierda, y la tercera a los dos lados de la derecha.

4 Cuando vayamos a hacer ejercicios de este tipo 4-T 9--2ºESO y nos pidan que calculemos ciertas medidas que faltan, lo primero y más importante es saber sacar y poner esas 3 razones juntas. A partir de ahí, todo resulta más fácil. R 1 T 9.- Ejercicio nº 13 de la página 179 del libro Calcula las medidas de los lados que faltan en esta figura: Z 5 5 X 11.- De la siguiente figura, di todos los pares de triángulos que estén en posición de Thales: TRIÁNGULOS SEMEJANTES: Hemos dicho que cuando 2 triángulos están en posición de Thales es porque están compartiendo un ángulo y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos. Y, por otro lado, que cuando están así, los ángulos de los dos triángulos son iguales y los lados proporcionales. Pues ahora, si somos capaces de recortar el triángulo menor para desprenderlo del mayor y ponerlo a un lado lo que nos encontraremos sería un par de triángulos semejantes. Y se dice semejantes porque son parecidos, se parecen. Como a 2 triángulos cuando están en posición de Thales les pasan 2 cosas, si a esos 2 triángulos los separamos para obtener 2 triángulos separados y semejantes también les pasarán esas mismas 2 cosas, esto es, que sus ángulos medirán lo mismo y que los lados homólogos o correspondientes son proporcionales. Tal y como ya sabemos, para comprobar si los lados homólogos son proporcionales o no tendremos que formar 3 razones, una por cada lado del triángulo, y veríamos si al final nos sale el mismo nº o fracción (K) al simplificarlas. De ser así significaría que los lados homólogos serían proporcionales. Un ejemplo muy sencillito está en los instrumentos que empleamos de vez en cuando en clase para trazar perpendiculares. Estoy hablando de distintas escuadras o de diferentes cartabones en lo que se refiere al tamaño. Seguro que todos tendréis en este momento una escuadra a mano, y seguro que las hay de varios tamaños en clase. Pues una escuadra de un tamaño con respecto a otra escuadra de otro tamaño sería un claro ejemplo de 2 triángulos semejantes. Los ángulos de cualquier escuadra miden 90º, 45º y 45º, por lo que los ángulos los tendrán todos iguales, y así cumplimos la 1ª de las propiedades. Si nos pusiésemos a medir los lados veríamos que serían proporcionales, y así cumpliríamos la 2ª propiedad. Aquí vienen 2 ejemplos: a) b) En resumen, cuando tengamos 2 triángulos en posición de Thales los podremos separar para obtener 2 triángulos semejantes. Y si tenemos 2 triángulos semejantes los podremos colocar de forma que obtengamos 2 triángulos en posición de Thales Dibuja dos triángulos en posición de Thales de forma que su razón de semejanza sea 3/ Construye un triángulo rectángulo de catetos 5 y 10 cm. Dibuja luego otro cuyos catetos midan la mitad de los anteriores de manera que los dos triángulos estén en posición de Thales Estos 2 triángulos están en posición de Thales. Por qué? Cuál es la razón de semejanza?

5 CRITERIOS DE SEMEJANZA EN TRIÁNGULOS: 5-T 9--2ºESO Hemos dicho que para que 2 triángulos sean semejantes deben cumplir las propiedades de tener los ángulos iguales y los lados homólogos o correspondientes proporcionales. Pues en los triángulos, y sólo en los triángulos, si demostramos tan solo una de esas 2 propiedades podemos asegurar que los 2 triángulos son semejantes. Para demostrarlo, existen una serie de pruebas o condiciones, los llamados criterios de semejanza, que hacen que con tan solo demostrar eso ya nos vale para asegurar que 2 triángulos son semejantes. Estos criterios son: a) 2 triángulos con 2 ángulos iguales, son semejantes Y es así porque como en todos los triángulos la suma de sus 3 ángulos sale 180º, el tercer ángulo que nos queda también medirá lo mismo obligatoriamente, y por tanto tendrán los 3 ángulos iguales (1ª condición de los triángulos semejantes). Eso nos lleva a decir que la 2ª condición, aunque no la demostremos, también se cumplirá y por lo tanto, aseguramos que los 2 triángulos son semejantes. Un ejemplo podría ser éste: 1 er triángulo, 2 ángulos de él miden 35º y 68º 2º triángulo, 2 ángulos de él miden 68º y 77º Serán semejantes? Si calculamos el ángulo que nos falta en el 1 er triángulo (180º - 35º - 68º = 77º), vemos que mide lo mismo que el 2º del 2º triángulo. Por lo tanto, cumple el 1 er criterio que es tener 2 ángulos iguales (68º y 77º) y los 2 triángulos son semejantes. b) 2 triángulos con los lados homólogos proporcionales, son semejantes En este caso tendríamos que hacer las 3 razones con los 3 lados correspondientes y comprobar si al final sale lo mismo ( K = constante de proporcionalidad, o r = razón de semejanza). Si sale lo mismo, se cumpliría la 2ª de las condiciones, y sin demostrar la 1ª de ellas (ángulos iguales) aseguraríamos que los 2 triángulos serían semejantes. Va el ejemplo: 1 er triángulo, sus lados miden 4, 6 y 7 cm 2º triángulo, sus lados miden 4 8, 7 2 y 8 4 cm. Serán semejantes? Hagamos las 3 razones y lleguemos al final Lados pequeños - = = Lados medianos - = = Lados mayores - = = Tal y como se puede apreciar, en las tres razones llegamos al mismo resultado ( 6 5 ). Eso quiere decir entonces que los lados homólogos son proporcionales, y que K = r = 6 5, por lo que los 2 triángulos serán semejantes al cumplir la 2ª de las condiciones, esto es, el 2º criterio. c) 2 triángulos con un ángulo igual y los dos lados que forman dicho ángulo proporcionales, son semejantes En este caso, debemos tener 2 triángulos con un ángulo igual de cada triángulo y la medida de los lados que forman sendos ángulos. Si hacemos las 2 razones con los 2 lados homólogos que nos dan y observamos que sale lo mismo al final, aseguraremos que los 2 triángulos son semejantes. El ejemplo sería 1 er triángulo, un ángulo de 46º y los 2 lados que forman este ángulo de 6 y 7 2 cm 2º triángulo, un ángulo de 46º y los 2 lados que forman este ángulo de 15 y 18 cm Observamos que los 2 ángulos son iguales y, por lo tanto, cumple lo primero del 3 er criterio. Con respecto a los lados, las razones nos salen Lados menores - = Lados mayores - = = Como salen lo mismo, los lados que forman el ángulo que comparten son proporcionales, y por ello, los 2 triángulos son semejantes al cumplir el 3 er criterio De la página 180 del libro, los n os 14, 15 y triángulos equiláteros son semejantes? triángulos rectángulos son semejantes? 18.- Dibuja 2 triángulos isósceles que tengan un ángulo igual y comprueba si son semejantes. 2 triángulos isósceles son semejantes? 19.- De la página 181 del libro, los n os 17, 18 y 19.

6 POLÍGONOS SEMEJANTES: 6-T 9--2ºESO Sabemos que 2 triángulos son semejantes cuando tienen los ángulos iguales y los lados homólogos proporcionales. Aunque ya hemos visto que no hace falta demostrar las 2 condiciones, ya que al cumplir una de ellas, la otra la cumple de corrido. Pues 2 polígonos (figuras planas) serán semejantes cuando tengan el mismo nº de lados, se parezcan a la vista y cuando los ángulos sean iguales y los lados homólogos sean proporcionales. En el caso de los polígonos, a diferencia de los triángulos, se deben de cumplir y demostrar las dos condiciones, pues puede que haya polígonos con los ángulos iguales pero con los lados homólogos no proporcionales, o viceversa (lados proporcionales pero con los ángulos desiguales). Un ejemplo serían dos romboides, uno con los ángulos de 32º y 148º y los lados de 4 y 6 cm, y otro romboide con los ángulos de 35º y 145º y los lados de 8 y 12 cm (el doble de grandes). Como se aprecia, los lados homólogos serían proporcionales (K = r = 2) pero los ángulos no son iguales. Por lo tanto, los 2 romboides no serían semejantes al no cumplir las 2 condiciones a la vez De la página 182 del libro, los n os 20, 21 y Construye 2 cuadrados de lados 6 cm y 4 cm. Serán semejantes? En caso de serlos, halla la razón de semejanza Construye un hexágono regular de 6 cm de lado. Cuánto medirá el lado de otro hexágono semejante, si la razón de semejanza es de K = 5 1? RAZÓN ENTRE LOS PERÍMETROS DE 2 POLÍGONOS SEMEJANTES: Lo vamos a explicar con un ejemplo gráfico. Vamos a partir de 2 rectángulos. El 1º de ellos tiene los lados de 5 y 8 cm, y el 2º los tiene de 3 5 y 5 6 cm. Serán semejantes? Pues la 1ª condición la cumplen (ángulos iguales) porque todos los rectángulos tienen los 4 ángulos rectos. La 2ª condición (lados homólogos proporcionales) tendremos que hacer: Lados menores = = Lados mayores = = Esto significa que los lados homólogos son proporcionales. Al cumplir las 2 condiciones a la vez, diremos 10 que los 2 rectángulos son semejantes, y que la razón de semejanza (r) o la constante de propor. (k) es K = r = 7 Hasta aquí todo es igual que en el apartado anterior. Pero, Qué pasa si hacemos la razón entre los perímetros de estos rectángulos semejantes? Hagámoslo Perímetro del rectángulo mayor = 5 cm cm 2 = 26 cm Perímetro del rectángulo menor = cm 2 = 18 2 cm Si ahora le hacemos la razón a los perímetros de los 2 rectángulos, y en el mismo orden (mayor arriba y menor abajo), veamos lo que pasa PER = = = per Pues la razón entre los perímetros de 2 polígonos semejantes también sale K o r. Esto significa que si alguna vez, en algún problema me piden que averigüe la constante de proporcionalidad (k) o la razón de semejanza (r), tengo ahora mismo 2 modos de obtenerla: K = r = LADO PER =, o al revés (lo pequeño arriba y lo grande abajo) lado per RAZÓN ENTRE LAS ÁREAS DE 2 POLÍGONOS SEMEJANTES: También lo vamos a ver con un ejemplo. Seguiremos con el del apartado anterior, donde teníamos a 2 rectángulos de los que ya hemos comprobado que son semejantes. Calculémosles sus áreas:

7 pasa Área del rectángulo mayor = b a = 8 cm 5 cm = 40 cm 2 7-T 9--2ºESO Área del rectángulo menor = b a = 5 6 cm 3 5 cm = 19 6 cm 2 Si ahora le hacemos la razón a las áreas de los 2 rectángulos, y en el mismo orden, veamos lo que ÁREA = = =, y ya no podemos simplificar más. área Bien. Parece que la razón entre las áreas no sale la constante de proporcionalidad. Y entonces para qué le hemos hecho la razón? Para perder el tiempo? Fijaos bien en lo que sale la razón Sacáis algo? Yo sí. Si elevamos al cuadrado, qué sale? No me digas que. Pues entonces ya 7 49 sabemos algo más. La razón entre las áreas de 2 polígonos semejantes sale la constante de proporcionalidad al cuadrado, es decir, k 2 (o r 2, que es lo mismo). Significa pues, que hay otra forma de sacar la k o r de un ejercicio. Como la razón entre las áreas de 2 polígonos semejantes sale k 2, si quiero averiguar k lo único que tendría que hacer es la raíz cuadrada a lo que salga esa razón, y eso me dará k. Por tanto, K = r = LADO PER = = lado per ÁREA área 23.- Los lados de un triángulo miden 4, 10 y 12 cm. Halla los lados de otro triángulo semejante a éste que tiene un perímetro de 39 cm Halla el lado de un triángulo equilátero sabiendo que el perímetro de un triángulo semejante mide 10 2 cm y que la razón entre sus áreas es 9/ La razón entre los perímetros de 2 hexágonos semejantes es 2/5. Sabiendo que el área del pequeño mide 32 4 cm 2, averigua el área del mayor Demuestra si estos 2 trapecios son o no semejantes. Explícalo. Por qué son trapecios? De qué tipo son? Por qué? 27.- Los lados de un pentágono miden 4, 4, 5, 5 y 6 cm. Es regular? Se sabe que el perímetro de otro pentágono semejante mide 28 8 cm. Cuánto medirá el lado mayor de dicho pentágono? 28.- Un lado de un heptágono mide 8 cm, y el correspondiente de otro semejante 8 8 cm. Cuánto saldrá la razón entre las áreas de ambas figuras? 29.- Los lados de un romboide miden 5 y 7 cm. Los de otro romboide miden 6 5 y 9 1 cm. Son semejantes? Por qué? En caso de serlos, halla k o r Los perímetros de 2 polígonos semejantes miden 45 y 50 cm. Cuánto saldrá la razón entre sus lados homólogos más pequeños? Y la razón entre los lados homólogos más grandes? Y la de sus áreas? LAS ESCALAS: La parte final del tema está dedicado a un ejemplo real y palpable donde se ven semejanzas. No hay nada más semejante que una maqueta de una motocicleta y la moto real a la que representa. O el plano de un piso antes de hacerlo y el tamaño del suelo del piso cuando estemos en él. Y como éstos, muchos ejemplos más. En todos estos casos, la figura grande será la que corresponde a la realidad, y la figura pequeña es la que tenemos en un plano, en la maqueta, en un dibujo,... Por lo tanto, todo queda igual que antes. Las escalas no son más que un claro ejemplo de 2 figuras semejantes donde la escala a la que está hecho el objeto es, nada más y nada menos, que la constante de proporcionalidad (k) o la razón de semejanza (r).

8 En estos casos, como la escala siempre viene dada 8-T 9--2ºESO 1 por = 1 : nº mayor que 1, siempre se pondrá la medida del plano en la parte superior de la nº mayor que1 razón, y la medida mayor (la real) en la parte inferior para que la razón, una vez se simplifique, salga 1 : nº mayor que 1. Entonces, para averiguar la escala con la que está hecho un objeto o plano podremos sacarlo de ESCALA = k = r = lado del plano = LADO REAL per. plano = PER. REAL área del plano = ÁREA REAL 1 nº mayor que1 Si tuviésemos que hacer algún cambio de unidad de longitud, puesto que la medida del plano está en cm y la de la realidad está en m, os recuerdo que habría que hacerlo con el factor de conversión Un campo rectangular tiene una superficie de m 2, y en el plano lo veo de 8 cm de largo y 3 de ancho. Calcula la escala con la que está hecho De la página 151 del libro, el nº 31 y 32 ab Una habitación tiene 8 m 2 de superficie, y en el plano la encontramos dibujada en 2 cm 2. Calcula la escala con la que está hecho el dibujo En un plano vemos dibujado un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 2 y 5 cm, respectivamente. El de la realidad tiene una superficie de 80 dm 2. Averigua la escala y las medidas reales de los 2 catetos del triángulo Una superficie cuadrada tiene 144 m 2 de área, y la tengo dibujada en el plano con un lado de 3 cm. Averigua la escala con la que está hecho Averigua la escala con el que está hecho el dibujo de esta farola, sabiendo que en la realidad tiene una altura de 4 5 m El campo de fútbol siguiente está hecho a escala. Averíguala con los datos que se dan: DEL TRABAJO: 34, 36 ac, 39, 41 adh, 45 b, 46 ad (no calculéis), 47 d, 49, 50 ad, 54 c (orden alfabético), 55, 56 acf, 59 d, 61, 63, 64, 69, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87 y 89. (Seguro 87) EJERCICOS CAMBIADOS O MODIFICADOS: 41.- Es el que hay, pero cambiamos el apartado h por este otro: h) y 3 6 cm 7 2 cm X 3 cm 6 cm La razón entre las áreas de 2 triángulos es. Cuánto mide el perímetro del triángulo mayor, si el 4 perímetro del menor es 6 cm? 64.- Construye un cuadrado de 4 cm de lado. Indica el punto medio de cada uno de los lados y traza los segmentos que unen de forma consecutiva estos puntos medios. Qué figura obtienes? Es semejante a la figura original? En caso de que lo sean, indica la razón de semejanza entre las dos figuras.

9 69.- Sobre un plano dibujado a escala 1 : 5 medimos un ángulo de 60º. 9-T 9--2ºESO Cuál es la medida real de este ángulo? Explícate La distancia entre 2 ciudades, en línea recta, es de 744 km. Al medir esta distancia en un mapa obtenemos el valor 372 mm. Cuál es la escala del mapa? 73.- La superficie de un comedor mide 24 m 2. Si tiene forma rectangular y mide en el plano 6 cm por 6 25 cm, calcula la escala del plano Son semejantes 2 rombos, sabiendo que los lados de uno de ellos miden 6 cm y los del otro rombo miden 4 cm? 87.- Observa la siguiente figura: Si sabemos que el área del triángulo ABC es 16 cm 2 y la del trapecio BB C C es 20 cm 2, cuánto mide el lado B C? Fdo. Juan Chanfreut Rodríguez Profesor de matemáticas de 2º de ESO