TEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO.

Transcripción

1 TEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO. CONTENIDOS: - Campo magnético. - Efecto de los campos magnéticos sobre cargas en movimiento. - El campo magnético como campo no conservativo. - Campo creado por distintos elementos de corriente. - Ley de Ampère. CRITERIOS DE EVALUACIÓN 8. Conocer el movimiento de una partícula cargada en el seno de un campo magnético. CMCT, CAA. 9. Comprender y comprobar que las corrientes eléctricas generan campos magnéticos. CEC, CMCT, CAA, CSC. 10. Reconocer la fuerza de Lorentz como la fuerza que se ejerce sobre una partícula cargada que se mueve en una región del espacio donde actúan un campo eléctrico y un campo magnético. CMCT, CAA. 11. Interpretar el campo magnético como campo no conservativo y la imposibilidad de asociar una energía potencial. CMCT, CAA, CCL. 1. Describir el campo magnético originado por una corriente rectilínea, por una espira de corriente o por un solenoide en un punto determinado. CSC, CMCT, CAA, CCL. 13. Identificar y justificar la fuerza de interacción entre dos conductores rectilíneos y paralelos. CCL, CMCT, CSC. 14. Conocer que el amperio es una unidad fundamental del Sistema Internacional. CMCT, CAA. 15. Valorar la ley de Ampère como método de cálculo de campos magnéticos. CSC, CAA. ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE 8.1. Describe el movimiento que realiza una carga cuando penetra en una región donde existe un campo magnético y analiza casos prácticos concretos como los espectrómetros de masas y los aceleradores de partículas Relaciona las cargas en movimiento con la creación de campos magnéticos y describe las líneas del campo magnético que crea una corriente eléctrica rectilínea Calcula el radio de la órbita que describe una partícula cargada cuando penetra con una velocidad determinada en un campo magnético conocido aplicando la fuerza de Lorentz Utiliza aplicaciones virtuales interactivas para comprender el funcionamiento de un ciclotrón y calcula la frecuencia propia de la carga cuando se mueve en su interior Establece la relación que debe existir entre el campo magnético y el campo eléctrico para que una partícula cargada se mueva con movimiento rectilíneo uniforme aplicando la ley fundamental de la dinámica y la ley de Lorentz Analiza el campo eléctrico y el campo magnético desde el punto de vista energético teniendo en cuenta los conceptos de fuerza central y campo conservativo Establece, en un punto dado del espacio, el campo magnético resultante debido a dos o más conductores rectilíneos por los que circulan corrientes eléctricas. 1.. Caracteriza el campo magnético creado por una espira y por un conjunto de espiras Analiza y calcula la fuerza que se establece entre dos conductores paralelos, según el sentido de la corriente que los recorra, realizando el diagrama correspondiente Justifica la definición de amperio a partir de la fuerza que se establece entre dos conductores rectilíneos y paralelos Determina el campo que crea una corriente rectilínea de carga aplicando la ley de Ampère y lo expresa en unidades del Sistema Internacional. 1

2 1.- INTRODUCCIÓN El fenómeno del magnetismo es conocido desde hace más de 000 años debido a la propiedad que presentaban algunos materiales como la magnetita de atraer pequeños trozos de hierro. A tales cuerpos se les da el nombre de imanes naturales y la propiedad que tienen recibe el nombre de magnetismo. Se tratará en este tema dicha propiedad caracterizándola físicamente definiendo el concepto de campo magnético. Se estudiarán las formas en las que podemos generarlos así como los efectos que producen sobre las cargas en movimiento..- CAMPO MAGNÉTICO Podemos decir que en una región del espacio existe un campo magnético si se pone de manifiesto una fuerza magnética. Esta fuerza magnética es, por ejemplo la que experimentan pequeños trozos de hierro en las proximidades de los imanes naturales. Además de los imanes naturales, existen otras sustancias, como el hierro, el cobalto y el níquel, que pueden adquirir el magnetismo, es decir, crear campos magnéticos de una manera artificial. A estos cuerpos se les da el nombre de imanes artificiales. Los imanes, tanto naturales como artificiales, tienen las siguientes propiedades: - Todo imán presenta la máxima atracción en los extremos que reciben el nombre de polos magnéticos. Entre los polos existe una zona neutra en donde el imán no ejerce ninguna atracción. - Un imán tiene dos polos a los que se conoce con los nombre de Norte y Sur, porque un imán se orienta según los polos geográficos de la Tierra, que es un imán natural. - Los polos, aunque distintos, no se pueden separar. Un imán, por pequeño que sea, siempre presenta los dos polos. - Los polos del mismo nombre se repelen y polos de distinto nombre se atraen. El cobalto y el níquel son sustancias magnéticas importantes. Los imanes permanentes se fabrican con aleaciones de estos metales. La mayor parte de los imanes comerciales se fabrican de ALNICO que es una aleación de aluminio, níquel y cobalto. Revisaremos, por lo tanto, cual es la naturaleza de estas sustancias para presentar dicha propiedad del magnetismo. Se dio un paso importante en el estudio y conocimiento del magnetismo cuando Hans Cristian Oersted descubrió en 180 que las corrientes eléctricas producen campos magnéticos.

3 Doce años más tarde M. Faraday observó el efecto contrario: Si se aproxima un imán a un conductor en movimiento, en éste se origina una corriente eléctrica. Ambas experiencias tienen el mismo fundamento: las cargas en movimiento producen fuerzas magnéticas. El magnetismo, pues, es una consecuencia de la electricidad. Fue Ampere, quien basándose en las experiencias de Oersted y de Faraday, desarrollara los fundamentos del electromagnetismo. El campo magnético los caracterizaremos por el vector B que recibe el nombre de inducción magnética o intensidad de campo magnético. Estudiaremos en primer lugar cuáles son los efectos de este campo magnético sobre las cargas en movimiento para desarrollar posteriormente las formas de generar dicho campo. 3.- EFECTOS DEL CAMPO MAGNÉTICO SOBRE CARGAS EN MOVIMIENTO. Si colocamos una carga q con velocidad v en una región donde existe un campo magnético, la carga q experimento una fuerza que viene expresada por la siguiente fórmula matemática que se conoce como ley de Lorentz: F = q (v x B) Así, la fuerza magnética que ejerce un campo sobre una carga móvil depende de los siguientes factores: - Del valor de la carga q y de la velocidad v con que ésta carga se mueve. - De la inducción B del campo magnético. - Del ángulo que forme la dirección del movimiento con la dirección del campo. La fuerza es máxima cuando la partícula se mueve perpendicularmente al campo. Es decir, cuando los vectores v y B son perpendiculares. Y es nula cuando la partícula se mueve paralelamente al campo. 3

4 Además se puede observa que: - La fuerza magnética es perpendicular tanto a v como a B. Por consiguiente, es perpendicular al plano definido por v y B. - La fuerza magnética sobre una carga positiva tiene sentido opuesto al de la fuerza que actúa sobre una carga negativa que se mueve en el mismo sentido en el mismo campo. La principal consecuencia que se deriva de este hecho es que, al ser F perpendicular a la velocidad con que se mueve la carga, no modifica el modulo de la misma, sino solo su dirección. Por tanto, la trayectoria de la carga, cuando penetra en el interior del campo magnético, se verá curvada, dependiendo su curvatura del valor del campo y de la velocidad de la partícula. B hacia fuera B hacia dentro Al ser la fuerza perpendicular a la velocidad, se trata de una fuerza centrípeta, y por lo tanto si m es la masa de la partícula de carga q que se mueve con velocidad v en un campo magnético B, recordando la expresión de la fuerza centrípeta podemos escribir: v m = q v B R m v El radio de curvatura será: R = q B y el sentido de giro dependerá del signo, positivo o negativo de la carga. La frecuencia angular del movimiento es: w = v / r = q B / m 4

5 y el periodo de la órbita: π π m T = = w q B De la ley de Lorentz podemos deducir la unidad del campo magnético en el SI es el tesla (T) que según la formula: F N N B = = = Tesla (1Tesla=10 4 Gauss) q v c m / s A m - El campo magnético terrestre, en la superficie de la Tierra, vale aproximadamente T. - El campo magnético, al igual que los campos eléctrico y gravitatorio, se puede representar gráficamente por líneas de fuerza o líneas de campo que, en este caso, reciben el nombre de líneas de inducción magnética. La dirección del campo es tangente en cada punto a las líneas de inducción. En estas líneas se observa que: - las líneas de inducción salen del polo norte y entran por el polo sur. - las líneas del campo magnético son cerradas: por dentro del imán van de sur a norte. Como consecuencia de esto, los polos de un imán no se pueden separar. Las líneas del campo eléctrico comienzan y terminan en una carga eléctrica. Si los polos magnéticos se pudieran separar y aislar, las líneas del campo magnético empezarían y terminarían en cada polo aislado. La ley de Lorentz puede generalizarse al caso de una corriente eléctrica que circula por el interior de un hilo conductor, sobre el que se ejerce una fuerza neta que es igual a la suma de las fuerzas que actúan sobre cada unidad de carga en movimiento. Para un segmento de hilo conductor de sección A y longitud L por el que circula una corriente de intensidad I situado en el interior de un campo magnético uniforme de intensidad B. La fuerza que actúa sobre cada carga individual viene dada por la ecuación: F = q (v x B) Aplicando en esta ecuación los conceptos de intensidad de corriente y de velocidad: I = dq / dt v = dl / dt 5

6 La fuerza que actúa sobre esta carga que atraviesa el conductor estará de acuerdo con la ecuación conocida ahora como ley de Laplace: F = Q v B senα = I t v B senα = I l B senα en forma vectorial: F = I( l B) Definida ya la fuerza magnética podemos ver si ésta es o no conservativa. 4.- CARÁCTER NO CONSERVATIVO DEL CAMPO MAGNETICO. Una fuerza será conservativa, si el trabajo W que la fuerza realiza al desplazar una carga de un punto a otro puede expresarse como la diferencia entre los valores de una función escalar que depende únicamente de la posición denominada energía potencial Ep(r), evaluada en los puntos inicial y final. W = B A F dr = E p E p = ΔE A partir de esta ecuación puede afirmarse que el trabajo efectuado por la fuerza conservativa es siempre independiente de la trayectoria, es decir, sólo depende de las posiciones inicial y final. En particular, si la trayectoria es cerrada, entonces Ep(A) = Ep(B) y el trabajo realizado es W = 0. A B p 6

7 Pero la fuerza del campo magnético no puede ser conservativa ya que dicha fuerza es siempre perpendicular a la velocidad de la partícula, y por consiguiente no realiza trabajo alguno sobre ella. Tampoco varía la energía cinética, ya que la fuerza magnética solo modifica la dirección de la velocidad pero no su modulo. En conclusión, dentro de un campo de este tipo no puede definirse el concepto de potencial magnético. Respecto a la creación de los campos magnéticos, sabemos que los responsables son las cargas eléctricas en movimiento. Será también esta la causa del magnetismo en los imanes naturales. Nos centraremos primeramente en el campo magnético creado por una carga en movimiento y algunos ejemplos para explicar posteriormente el magnetismo natural. 5.- GENERACIÓN DE CAMPOS MAGNÉTICOS. Los trabajos de Ampere y Laplace permitieron definir el campo magnético que crea una carga Q que se mueve con cierta velocidad v, en un punto situado a una distancia r de ella mediante la expresión: ( ut ur ) Q v B = K m r u r u t En esta expresión, u t y u r son dos vectores unitarios en la dirección de la velocidad y en la dirección de la posición del punto en el que calculamos el campo, respectivamente, y K m una constante que depende de las unidades que se elijan para definir el campo. En el SI, se elige para K m el valor UI. Frecuentemente se escribe: µ K m = 4π donde µ es una nueva constante, denominada permeabilidad magnética del medio. Podemos definir la permeabilidad magnética de una sustancia como la capacidad o habilidad que tiene de transmitir las líneas de fuerza magnética. 7 Para el vacío: µ 0 = 4π 10 U I La constante µ o es análoga a la constante ε o en electrostática. Las propiedades magnéticas del aire son prácticamente iguales a las del vacío, por lo que se puede usar µ o cuando estemos en presencia del aire. Para medir la permeabilidad de una sustancia se toma como referencia el aire. La permeabilidad relativa compara la capacidad que posee una sustancia para transmitir una fuerza magnética con la capacidad que posee el aire para transmitir esa misma fuerza. La permeabilidad relativa no tiene unidades y µ viene dada por: K m = µ o 7

8 µ Q v De ese modo: B = ( uˆ ˆ ) t ur 4 π r Al igual que el campo eléctrico, el campo magnético es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, pero, a diferencia del campo eléctrico, su dirección no es radial, sino perpendicular, a la vez, a la dirección de movimiento de la carga que lo crea, u t y a la dirección radial u r. Puesto que las cargas en movimiento no son mas que corrientes eléctrica, para un elemento de corriente dl, por el que circula una intensidad I, la expresión del campo magnético se transforma en: ( Ley de Biot y Savart) µ dl d B = I ( uˆ t uˆ ) π ya que: dq I dl = dl = dq V dt 4 r r En caso de un circuito completo, integrando la expresión anterior para todos los elementos de corriente, el campo creado por el circuito seria: µ uˆ uˆ t r B = I dl 4π r Con las expresiones anteriores podemos calcular el valor del campo magnético que crea una corriente de cualquier forma. - Para el caso de la inducción magnética en el eje de una espira circular de corriente nos queda: 0 I R B x = µ 3 / ( x + R ) que en el centro de la espira valdrá: µ I B x = 0 R 8

9 - Para el caso de un conductor rectilíneo indefinido por el que circula una corriente de intensidad I, el campo magnético a una distancia r del conductor valdrá: µ I B = π r Las líneas de fuerza del campo magnético que crea la corriente rectilínea son circunferencias concéntricas, con centro en la línea de corriente. - Para el caso de una bobina o solenoide de longitud L y N espiras tenemos que el campo B en el interior de la bobina será: I N B = µ L 6.- LEY DE AMPERE El físico y matemático André-Marie Ampère ( ) enunció uno de los principales teoremas del electromagnetismo que suele considerarse como el homólogo magnético del teorema de Gauss. Si recordamos, el campo eléctrico es conservativo lo que implica que su circulación a lo largo de una línea cerrada es nula: Como hemos visto anteriormente, las líneas de campo magnético generado por una corriente rectilínea son circulares y en general, al contrario que las líneas de campo eléctrico o gravitatorio, no tienen comienzo ni final. Sin embargo, los campos magnéticos no son conservativos y por tanto, la circulación a lo largo de una línea cerrada no es nula y viene dada por la ley de Ampère. 9

10 La ley de Ampère determina que la circulación del campo magnético a lo largo de una línea cerrada es equivalente a la suma algebraica de las intensidades de la corrientes que atraviesan la superficie delimitada por la línea cerrada, multiplicada por la permitividad del medio. En concreto para el vacío: Como puedes observar, la expresión incluye la suma de todas las intensidades que atraviesan la línea cerrada. Sin embargo, las intensidades pueden tener distintos sentidos y por ende unas se considerarán positivas y otras negativas. Para determinar el signo de las intensidades, en primer lugar es necesario determinar el vector de superficie formado por la línea cerrada. Para ello, haremos uso de la regla de la mano derecha tal y como se muestra en la siguiente figura. Si el sentido de las intensidades coincide con el sentido del vector superficie, la intensidad se considerará positiva, por ende, si se orienta en sentido contrario la intensidad se considerará negativa. 10

11 La ley de Ampère nos proporciona una serie de ventajas a la hora de estudiar los campos magnéticos generados por corrientes eléctricas. En concreto: Nos permite calcular el campo magnético generado por corrientes eléctricas cuando se producen ciertas condiciones y se elige una línea cerrada adecuada. Dado que el campo magnético a lo largo de una línea cerrada no es nulo, los campos magnéticos no son conservativos y por tanto, no existe un potencial escalar magnético. Campo magnético creado en el interior de un solenoide Un solenoide o bobina cilíndrica recta es un hilo conductor enrollado sobre una figura cilíndrica formando un bucle constituido por un determinado número de espiras que se encuentran muy próximas entre sí. Cuando una corriente eléctrica circula por uno de estos solenoides se crea un campo magnético que se calcula por medio de la suma de todos los campos magnéticos generados por cada una de las espiras. En los solenoides podemos distinguir dos zonas muy claras: El interior, donde el campo magnético es muy intenso y constante en módulo, dirección y sentido. El exterior, donde las líneas de campo magnético son similares a las producidas por un imán recto. El valor del campo magnético creado en el interior de un solenoide por el que circula una corriente eléctrica se obtiene por medio de la siguiente expresión: donde: μ es la permeabilidad magnética del material que se encuentra en el interior del solenoide. I es la intensidad de la corriente eléctrica que circula por el solenoide. En el S.I. se mide en Amperios (A). N es el número de espiras que constituyen el solenoide. L es la longitud total del solenoide. Su unidad en el S.I. es el metro (m). 11

12 Comprobación Vamos a calcular el campo magnético en el interior de un solenoide formado por N espiras y que posee una longitud L. Para ello aplicaremos la ley de Ampere a una línea cerrada constituida por un rectángulo de base l, como el que puedes observar en la figura y que dividiremos en cuatro tramos: a-b, b-c, c-d, d-a. Si observamos bien la figura, en los tramos b-c y d-a, se cumple que los vectores B y dl son perpendiculares, por tanto B dl=b dl cos 90º = 0. Por otro lado, dado que deseamos conocer el campo en el interior del solenoide, en el tramo c-d que se encuentra el fuera del solenoide, consideraremos que el campo magnético es 0. Por tanto: Si aplicamos la ley de Ampere y llamamos n al número de espiras contenidas en el interior de la línea cerrada de base l, obtenemos que n = N/L l: : Si igualamos ambas expresiones: 1

13 7.- FUERZAS ENTRE CORRIENTES PARALELAS Hemos visto que una corriente eléctrica es capaz de generar un campo magnético y, por otra parte, un campo magnético actúa sobre una corriente eléctrica por tratarse esta de cargas en movimiento. Considerando conjuntamente ambos hechos se llega a la conclusión de que dos corrientes eléctricas interactúan mutuamente. Considerando dos corrientes paralelas I 1 e I en el mismo sentido y separadas por una distancia r, La corriente I 1 crea a su alrededor, a una distancia r, a la que se encuentra I, un campo µ 0 I1 B 1, que viene dado por: B1 = π r La corriente I esta, por tanto, en el interior del campo B 1, por lo que aparece sobre ella una fuerza, debida al campo B 1, cuyo valor es: F 1 = I L B1 L y su modulo valdrá: F1 = µ 0I1I πr siendo su dirección y sentido los indicados en la figura. Del mismo modo, la corriente I crea a su alrededor, a una distancia r, un campo, cuyo I modulo viene dado por: B = µ 0 π r y al estar I 1 en el interior del campo B, aparecerá sobre ella una fuerza: F L cuyo modulo será: F1 = µ 0I1I π r siendo su dirección y sentido los que se indican. 1 = I1 L B Este fenómeno permite definir experimentalmente el amperio (A), utilizando entonces como magnitud fundamental la intensidad, en lugar de la carga. Se define el amperio como la intensidad de corriente que circula por sendos conductores rectilíneos paralelos, separados una distancia de 1 m (r = 1), cuando la fuerza mutua que actúa entre ellos es igual a 10-7 N, por metro de conductor. 13

14 L F = µ 0 I I π r F µ 0I 7 De donde: = = I 10 L π de modo que cuando F/L = 10-7 N/m, la intensidad resulta ser 1 A. Admitiendo el amperio como unidad fundamental de medida, el coulombio resulta ser la cantidad de carga que atraviesa en un segundo una sección de conductor por la que circula una intensidad de un amperio. 8.- MAGNETISMO NATURAL Estamos ya en condiciones de explicar el magnetismo natural. La razón es por supuesto las cargas móviles: un imán natural tiene gran cantidad de átomos, en cada uno de los cuales existen electrones que giran alrededor del núcleo. Estos electrones producen minúsculos campos magnéticos cuya resultante puede producir un magnetismo exterior estable. Los átomos, por tanto, son diminutos imanes elementales, cada uno con los dos polos. A los imanes atómicos se les denomina dipolos magnéticos. Según esta teoría, todas las sustancias deberían tener propiedades magnéticas, puesto que todas están formadas por átomos. Pero en realidad lo que ocurre es que la mayor parte de los cuerpos tienen sus imanes atómicos orientados al azar. En cambio, en una sustancia imantada o colocada en un campo magnético exterior, todos los dipolos están orientados en el mismo sentido, ofreciendo globalmente un polo norte y un polo sur. Las sustancias, según su comportamiento magnético, se pueden clasificar en tres grandes grupos: - Sustancias ferromagnéticas: En las que existe una tendencia natural de los dipolos magnéticos a orientarse en presencia de un campo magnético externo. En el hierro dulce los dipolos se orientan con facilidad, pero de forma inestable, de tal manera que la orientación desaparece en cuanto cesa el campo magnético exterior. En cambio, en el acero los dipolos magnéticos ofrecen más resistencia a modificar su posición y, por este motivo, una vez orientados permanecen en esta situación largo tiempo. Debido a esta propiedad, el acero se utiliza para fabricar imanes permanentes. Las sustancias ferromagnéticas tienen una permeabilidad relativa k > 1 (es decir, µ > µ o ) y pueden adquirir valores muy grandes. El hierro tiene una permeabilidad relativa de

15 - Sustancias paramagnéticas: Que en presencia de un campo magnético externo, los dipolos se alinean resultando una magnetización muy débil. El aluminio es un ejemplo de sustancia paramagnética. Las sustancias paramagnéticas tienen una permeabilidad relativa poco mayor que la unidad. - Sustancias diamagnéticas: Son repelidas débilmente por un imán. La magnetización resultante de la orientación de los dipolos magnéticos se opone al campo magnético externo que la ha creado. El cobre, la plata y el plomo son metales diamagnéticos. La permeabilidad relativa de las sustancias diamagnéticas es inferior a la unidad k < 1 (es decir, µ < µ ). o 15

16 CAMPO MAGNÉTICO v Ley de Lorentz: F = q (v x B) à Fc = Fm à m = q v B R m v Radio de curvatura: R = q B π π m Periodo: T = = w q B Ley de Laplace: F = I( l B) Campo magnético creado a una distancia r, por una carga Q que se mueve con una velocidad v: Q v B = µ K m ( ut ur ) K r m = 4 π 7 µ permeabilidad magnética relativa: µ 0 = 4π 10 U I à K m = µ o µ Q v B = ( uˆ ˆ ) t ur 4 π r Campo magnético creado a una distancia r, por un elemento de corriente dl de intensidad I: µ dl d B = I ( uˆ ˆ ) t ur 4 π r - Campo magnético creado en el centro de una espira por la que circula una corriente I: µ I B x = 0 R - Campo magnético creado a una distanciar por una conductor rectilíneo indefinido por el que circula una corriente I: µ I B = π r - Campo magnético creado en el centro de un solenoide de longitud L, de N espiras, por el que circula una corriente I: I N B = µ L Fuerza entre corrientes paralelas: F 1 = µ I 0 1 I L π r 16