x + 2, 2a 3 b,, 5m 2 + n 1 son expresiones algebraicas

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1 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I UNIDAD.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES 1.- LENGUAJE ALGEBRAICO. POLINOMIOS. ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS Expresiones algebraicas Una expresión algebraica está formada por números y letras relacionados por operaciones aritméticas. Por ejemplo, x x1 x +, a b,, 5m + n 1 son expresiones algebraicas y El valor numérico de una expresión algebraica es el valor que se obtiene cuando se sustituyen las variables (letras) por números dados y después se hacen las operaciones. Por ejemplo, el valor numérico de m n + mn + m n 1 para m =, n = es = = 104 Monomios Un monomio es una expresión algebraica que consta de una parte numérica llamada coeficiente seguida de una parte con letras y exponentes naturales llamada parte literal. El grado de un monomio es el exponente si sólo hay una letra o la suma de los exponentes, si hay varias letras. Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. Por ejemplo, x, 5x son semejantes, pero x, x no lo son. Operaciones con monomios Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. Ejemplo: ab 5ab + 4ab = ab. Si no son semejantes no se pueden sumar ni restar. Para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las partes literales. Ejemplo: a bc.( ab ). ( b c) = 6a b 6 c Para calcular la potencia de un monomio se elevan al exponente el coeficiente y la parte literal. Por ejemplo, (x 5 ) = 9 x 10 Polinomios Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma/resta de monomios no semejantes. Cada monomio se llama término del polinomio. Si en un polinomio hay algún término formado por un sólo número, este término se llama término independiente. El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos. Por ejemplo, 5x 4 + x 7 es un polinomio de grado 4. Operaciones con polinomios Para sumar o restar polinomios se reducen los términos semejantes realizando las sumas/restas de los mismos. Ejemplo: (7x x 6) (x + 10x 4) + (x 4x + 1) = = 7x x 6 x 10x x 4x + 1 = 5x 9x 7x 1 Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva, A(B + C) = AB + AC multiplicando cada término de un polinomio por todos los términos del otro. Ejemplo: (5x 4x + 6).(x 7) = 5x (x 7) 4x(x 7) + 6(x 7) = = 15x 5x 1x + 8x + 18x 4 = 15x 47x + 46x 4 - Página 1 -

2 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I UNIDAD.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Para calcular una potencia de base un polinomio, se multiplica el polinomio tantas veces como indique el exponente. Ejemplo: (x x + 5) = (x x + 5)(x x + 5) = x 4 x + 11x 10x + 5 Para calcular el cuadrado de una suma podemos usar la fórmula: (AB) A AB B Ejemplo: (y z + xyz) = (y z) +.y z.xyz + (xyz) = 9y z + 1xy z + 4x y z. Para calcular el cuadrado de una diferencia podemos usar la fórmula: Ejemplo: (x 7) = (x).x = 4x 8x + 49 Para calcular una suma por una diferencia podemos usar la fórmula: Ejemplo: (4x + 9)(4x 9) = (4x) 9 = 16x 81 (AB) A AB B (AB)(AB) A B Para realizar operaciones combinadas con polinomios se sigue el siguiente orden: 1º) Se hacen las potencias º) Se hacen las multiplicaciones º) Se reducen los términos semejantes Ejemplo: 11x (x + 1)(x + ) (x 5)(x 1) + (x 1) = = 11x (x + 1)(9x + 1x + 4) (x x 5x + 5) + (x 1) (x 1) = = 11x (9x + 1x + 4x + 9x + 1x + 4) (x 7x + 5) + (4x 4x + 1)(x 1) = = 11x 9x 1x 16x 4 x + 7x 5 + 8x 4x 8x + 4x + x 1 = x 4x x 10 Ecuaciones Una ecuación es una igualdad en la que aparecen números, letras y operaciones entre ellos. A las letras les llamamos incógnitas. Resolver una ecuación es averiguar lo que tiene que valer la incógnita para que se cumpla la igualdad. Por ejemplo, la solución o raíz de la ecuación x + = 9 es x = 7, pues para x = 7 se cumple la igualdad. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Para resolver ecuaciones podemos usar unas reglas, llamadas reglas de equivalencia. Con ellas pasamos de una ecuación a otra equivalente pero más simple. Se usan principalmente dos reglas: 1) Transposición de términos: Se pasan los términos de un miembro a otro cambiándoles de signo. ) Despeje de la incógnita: Lo que multiplica a la incógnita pasa dividiendo al otro miembro de la ecuación y lo que divide pasa multiplicando. Ecuaciones de primer grado o lineales Son ecuaciones donde la incógnita está elevada a 1 y se pueden escribir de la forma ax = b. Por ejemplo, la ecuación ( x + 1) + 5(x + ) = 7 (x + ) es de 1er grado. Para resolver ecuaciones de primer grado efectuamos las operaciones, si las hubiera, y aplicamos las reglas de equivalencia. Si al resolver la ecuación se llega a una identidad, por ejemplo 0 = 0, entonces hay infinitas soluciones. Si se llegara a una contradicción, por ejemplo 0 =, entonces la ecuación es incompatible, es decir no tiene solución. Ejemplo: ( x + 1) + 5(x + ) = 7 (x + ) 6x + + 5x + 15 = 7 x x + 18 = x = 4. Es una ecuación incompatible - Página -

3 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I UNIDAD.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Ecuaciones de º grado Son aquellas en las que la incógnita está elevada al cuadrado. Se pueden escribir de la forma ax + bx + c = 0, con a 0. Para resolver ecuaciones de º grado podemos usar la fórmula b x b 4ac a La expresión D = b b D 4ac se llama discriminante de la ecuación. La fórmula es x a Si D > 0 la ecuación tiene soluciones, porque la raíz cuadrada nos da un nº positivo Si D = 0 la ecuación tiene 1 solución (doble), porque la raíz cuadrada nos da cero Si D < 0 la ecuación no tiene solución, porque no existe la raíz cuadrada de un número negativo 1 x Ejemplo: x b D x = 0 D b 4ac 4..( ) 50x a. 4 8 x 4 Cuando la ecuación de º grado es incompleta conviene resolverla sin usar la fórmula. - Si falta el término de x se despeja x y se halla la raíz cuadrada: 64 ax + c = 0 x = c a x = c a. Ejemplo: 64 5x = 0 x = 5 x = Por este mismo procedimiento se pueden resolver ecuaciones del tipo [p(x)] = k 5 8 Por ejemplo, (56x) 856x 8 x Si falta el término independiente se saca factor común x: ax x 0 + bx = 0 x(ax + b) = 0 x 0 b axb 0 x a Ejemplo: x x 0 + x = 0 x(x + 1) = 0 x 0 1 x1 0 x Hay veces en que tenemos que realizar operaciones o reducir a común denominador para llegar a una ecuación de primer o º grado. 1) (x + ) + (x + 1)(x 1) = x(x 5) + 11 (x 4x4) x 1x 15x11x 1x1x 1x 15x110 x 0 x 7x 0x(x7) 0 x 7 ) x 5 (x 1 ) 1 1 x x 5x 5 1 x 1 x 10x 10 1 x 1 1 x10x 101x 16x 1 x ACTIVIDADES 1 Realiza las siguientes operaciones combinadas: a) (x ) + 5x(x + )(x ) (x + ) + (x 1)(x + x ) (x ). (S: x + 48x 106x + 6) b) 1 x(x x) + (x 1)(x + 1) (x + 1) 5. (S: x 5 x 4 14x 8x 5x ) - Página -

4 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I UNIDAD.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Resuelve las siguientes ecuaciones: a) (6x 1) (x+ ) 1+ 5x 4x = x (S: x= 55/177) 18 4 b) 400x + 000x = 0 (S: x = 5/) c) (x 5) = 4 (S: x = 7/, x = /) d) (x 1)(x + 4) = 81 (S: x = 5, x = 17/) e) (x + 1) (x 1) = 7 f) (x )(x 1) (x + 5) + 51 = (x + )(x ) (S: x = 0, x = 5/9) 5 (S:x ) 6.- DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS. ECUACIONES DE POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR A DOS División de un polinomio entre un monomio x 8x x 1x 8x x Observa: 6x 4x 1 x x x x Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio División de polinomios Para dividir un polinomio p(x) entre otro polinomio q(x) seguimos un método similar a la división entre números naturales. p(x) q(x) r(x) c(x) p(x) = dividendo q(x) = divisor c(x) = cociente r(x) = resto. Siempre se cumple la regla de la división: p = qc + r, con grado(r) < grado(q), que nos sirve para comprobar si la división está bien. Ejemplo: ( x + x 4 + x 1) : (x x + ) 1º) Colocamos en orden decreciente de grados los polinomios dividendo y divisor, completando con 4 ceros los términos que falten en el dividendo: x x 0x x1 x x º) Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y colocamos el 4 x 4 monomio obtenido en el cociente: x x x 0x x1 x x x x º) Multiplicamos el monomio anterior por el divisor, el resultado lo colocamos debajo del dividendo, cada término debajo de su semejante, y se lo restamos al dividendo: 4 x x 0x x1 x x 4 x x 4x x x 0x 5x1 4º) Repetimos los pasos º) y º) hasta que el grado del resto sea menor que el grado del divisor: 4 x x 0x x1 x x 4 x x 4x x1 x 0x 5x1 x x x 5x1 El cociente es c = x 1 y el resto es r = x + 5x +1 - Página 4 -

5 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I UNIDAD.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Regla de Ruffini Es un método para dividir un polinomio entre un binomio del tipo (x + a) ó (x a), siendo a un número cualquiera. Para explicar los pasos a seguir en la regla de Ruffini vamos a tomar como ejemplo la división ( x + x x + 15) : (x + ) 1º) Colocamos en orden decreciente de grados el dividendo, completando con ceros los términos que falten y hacemos una tabla colocando: - Los coeficientes del dividendo en la primera fila - En la parte inferior izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente: º) Multiplicamos. = 6 y lo colocamos debajo del siguiente término y sumamos º) Repetimos el proceso anterior hasta el final El último número obtenido, 6, es el resto de la división. Es decir, r = 6 El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los números de la última fila de la tabla. Por tanto, el cociente es c = x 7x + 1x + 7 Teorema del resto El resto de la división p(x) : (x a) es igual a p(a), siendo p(a) el valor numérico del polinomio p(x) para x = a. Es decir, r = p(a). Demostración: Al dividir p(x) entre (x a) se obtendrá un cociente c(x) y un resto r. Aplicando la regla de la división: p(x) = (x a). c(x) + r. Sustituyendo x por a se obtiene p(a) = (a a).c(a) + r = r El resto de dividir p(x) = 5x + x 1 entre (x ) es p() = = 45 El valor numérico del polinomio p(x) = x 5x + 7 para x = 1, p( 1), es igual al resto de la división (x 5x + 7) : (x + 1) (comprueba que vale 1) Factorización de polinomios Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de otros polinomios del menor grado posible. Hay polinomios que no se pueden factorizar, por ejemplo los de grado 1 y los que no tienen raíces reales. Estos polinomios se llaman irreducibles. Factorización usando la técnica de sacar factor común El proceso contrario a la propiedad distributiva se llama sacar factor común. La regla general para sacar factor común es: A.B + A.C = A.(B + C) Cuando falta el término independiente de un polinomio siempre vamos a poder sacar factor común la menor potencia de x del polinomio. x 4 + x = x (x + ) x x = x (x 1) x 5x = x(x 5) - Página 5 -

6 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I UNIDAD.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Factorización usando el teorema del factor El teorema del factor dice que si x = a es una raíz de un polinomio p(x), es decir, p(a) = 0, entonces p(x) = (x a).c(x). Demostración: Por el teorema del resto el resto de la división p(x) : (x a) es r = p(a) = 0 y como p(x) = (x a).c(x) + r entonces p(x) = (x a).c(x). Se dice que (x a) es un factor de p(x). De esta forma el polinomio p(x) queda expresado como producto de dos polinomios. Se puede demostrar que las raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente. p(x) = x x +, hallando una raíz entera entre los divisores del término independiente, que son 1, 1,,, resulta que x = 1 es una raíz, pues p(1) = = 0 1 Dividiendo entre x 1 obtenemos 1 1, c(x) = x. Luego, p(x) = (x 1)(x ) 1 0 p(x) = x + 5x, hallando una raíz entera entre los divisores del término independiente, que son 1, 1,,, resulta que x =, es una raíz, pues p( ) = ( ) + 5.( ) = = 0 5 Dividiendo entre x + obtenemos 6 1 0, c(x) = x 1. Luego, p(x) = (x + )(x 1) Factorización usando las igualdades notables Consiste en expresar el polinomio, si es posible, de la forma (A + B) ó (A B) ó (A + B)(A B) x + 8x + 16 = x +.x = (x + 4). x 14x + 49 = x.x = (x 7). x 6 = x 6 = (x + 6)(x 6) Factorización de polinomios por varios métodos Cuando queramos factorizar un polinomio p(x) y no sepamos qué método utilizar procederemos de la siguiente forma: 1) En el caso de que falte el término independiente sacamos factor común y al polinomio obtenido le aplicamos el paso siguiente. Si no se puede pasamos directamente al paso siguiente ) Si se puede expresar como una igualdad notable, lo expresamos y ya lo tenemos factorizado. Si no, usamos el teorema del factor y, en el caso de que tenga una raíz entera x = a, nos queda expresado como (x a).c(x). ) Repetimos el paso º con el cociente c(x) hasta llegar a un polinomio irreducible. 1) 4 sacando factor común x usando las igualdades notables x 8x 16x x (x 8x16) x (x 4) - Página 6 -

7 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I UNIDAD.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES sacando factor común x ) ) x 4x 5x x(x 4x5). Usando el teorema del factor probamos y encontramos que x 1 esunaraízy dividimos entre (x1): Obtenemos entonces que la factorización es x(x 1)(x 5) usando las igualdades notables x x 100x100.Usamos el teorema del factor: x 1 esunaraíz, dividimos entre (x1): Obtenemos:(x 1)(x 100) (x 1)(x 10)(x 10) sacando factor común x 4) x 6x 9x 14x x(x 6x 9x14). Usando el teorema del factor: x 1 es unaraíz,dividimosentre(x 1): Obtenemos:x(x 1)(x 5x14). Aplicamosotra vez el teoremadel factor:x esunaraíz,dividimosentre(x ): Obtenemos como resultado final: x(x 1)(x )(x 7) Factorización de polinomios usando todas sus raíces Si x 1, x,, x n son las n raíces de un polinomio de grado n (es decir, las soluciones de la ecuación p(x) = 0) entonces p(x) = a(x x 1 )(x x ) (x x n ), siendo a el coeficiente principal de p(x). Ejemplo: Supongamos que queremos factorizar el polinomio p(x) = 6x x usando sus raíces. Calculamos sus raíces: p(x) = 0 6x x = 0 x = /, x = 1/ Por tanto, p(x) 6x x.x x x x (x)(x1) Ecuaciones factorizadas Son ecuaciones que vienen expresadas como un producto de factores igual a cero, es decir son de la forma p(x). q(x).. = 0. Para resolver este tipo de ecuaciones se iguala a cero cada factor y luego se resuelven las ecuaciones que resulten. x 0 x 0 5 (x 5) 0 x 5 0 x Ejemplo: x(x 5) (x + 1)(x + 9) = 0 x 1 0 x 1 x 9 0 x 9 (no tiene solución) Ecuaciones de grado superior a Son aquellas de la forma p(x) = 0, siendo p(x) un polinomio de grado mayor que. Para resolverlas se descompone el polinomio hasta obtener al menos factores de grado menor o igual que dos, quedando entonces una ecuación factorizada. Ejemplo: x 4 + x 9x 9x = 0 x(x + 1)(x 9) = 0 Compruébalo! Resolviendo la ecuación factorizada obtenemos: x0 x 1 0 x 1 x 90x - Página 7 -

8 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I UNIDAD.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Ecuaciones bicuadradas Son ecuaciones del tipo ax 4 + bx + c = 0. Para resolverlas se hace el cambio: t x 4 t x. Sustituyendo nos queda la ecuación de º grado at + bt + c = 0. Resolvemos la ecuación de º grado y obtenemos t. Después calculamos x usando que t = x. Ejemplo: 9x 4 + 5x 4 = 0 t x t t x + 5t 4 = 0 t 9 x 9 x t 1 x 1 x 1 ( ) Por este mismo procedimiento se pueden resolver otro tipo de ecuaciones similares t x t 18 x 18 x Ejemplo: x 17x 18 0 t 17t t x t 1 x 1 x 1 Cálculo de una ecuación polinómica conocidas sus soluciones Si las soluciones de una ecuación polinómica de grado n son x1, x,, xn, entonces la ecuación se puede escribir de la forma a(x x1)(x x)... (x xn) = 0, siendo a cualquier número distinto de 0. Ejemplo: Una ecuación polinómica cuyas soluciones sean x = 0, x = 5, x = 1, x = es (x 0)(x + 5)(x 1)(x ) = 0 x(x + 5)(x 1)(x ) = 0 (x + 5x)(x 4x + ) = 0 Desarrollando: x 4 4x + x + 5x 0x + 15x = 0 x 4 + x 17x + 15x = 0 Obtención de una ecuación de º grado conocida la suma y producto de sus raíces Sean x 1, x las raíces de una ecuación de º grado. Entonces, sabemos que una ecuación que tiene esas raíces es (x x 1 )(x x ) = 0 x x x x 1 x + x 1 x = 0 x (x 1 +x )x + x 1 x = 0 Luego, si S = x 1 + x, P = x 1 x, la ecuación es x Sx + P = 0 Ejemplo: Una ecuación de º grado cuya suma de raíces es - y su producto es 7 sería x + x 7 = 0 1 Realiza las siguientes divisiones de polinomios: ACTIVIDADES a) (6x 17x + 7x) : (x 5) (S: c = x x + 1, r = 5) b) (x 5x x 5 + ) : ( x + 1 x ) (S: c = x 9x + 8x 9, r = 1x + 96) Halla a para que el resto de la división (x 4 x + x + ax + 17) : (x + x 6) sea 5. (S: a = 1) Realiza por la regla de Ruffini: a) ( x + x x + 15 ) : (x + ) (S: c = x 7x + 1x + 7, r = 6) b) ( x + 1 x 4) : (x ) (S: c = x 6x /, r = 7) 4 Usando el teorema del resto, sin hacer la división, calcula el resto de dividir (x ) : (x + 1) (S: r = 501) 5 Usando la regla de Ruffini y el teorema de resto calcula el valor numérico del polinomio p(x) = x 8x 8 para x = 84. (S: p(84) = ) - Página 8 -

9 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I UNIDAD.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES 6 Factoriza los siguientes polinomios: a) x 5 x 4 5x + 7x x + 1 (S: (x + )(x 1) (x ) ) b) x 6 + x 5 + x 4 + 9x 54x (S: x (x )(x + )(x + 9)) c) 6x + x 4x + 1 (S: (x + 1)(x 1)(x 1)) d) 4x 4x + x (S: x(x 1) ) 7 Resuelve la ecuación x(x 7) (x + 9) (x 5) (x + 5) = 0 (S: x = 0, x = 7, x = ± 5) 8 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x x 8x + 1 = 0 (S: x =, x = ) b) x 4 4x + x + 4x = 0 (S: x =, x = ±1) 9 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas: a) x 4 9x = 0 (S: x = ±, x = ±5) b) 9x 4 + x = 1 (S: x = ±/) 10 Resuelve la ecuación (x + 1) 4 8x 8(x + ) + 8 = 0 (S: x = ±1) 11 Escribe la ecuación polinómica de grado cuyo coeficiente de x es y que tenga las soluciones x = 5, x =, x = 1 (S: x 6x 6x + 0 = 0) 1 Queremos construir una caja a partir de un cartón rectangular de dimensiones 4 cm x 18 cm, recortando en cada esquina un cuadrado de lado x. Cuánto debe valer x para que el volumen de la caja sea 640 cm? (S: x = 4).- FRACCIONES ALGEBRAICAS. ECUACIONES RACIONALES Concepto de fracción algebraica Una fracción algebraica es una expresión del tipo p(x), siendo p(x) y q(x) polinomios. q(x) Las propiedades y reglas que se usan para las fracciones algebraicas son las mismas que para fracciones numéricas estudiadas en el tema de los números reales. Fracciones algebraicas equivalentes Dos fracciones algebraicas p(x) y r(x) q(x) s(x) son equivalentes, y lo representamos por: p(x) q(x) cumple que p(x) s(x) = q(x) r(x). r(x) si se s(x) Para simplificar una fracción algebraica, se factorizan numerador y denominador y después se simplifican los factores que se repitan en numerador y denominador. 1) ) x 4 x 4x 4 x x x x(x 1)(x + ) x ( x1)(x + ) x x - Página 9 -

10 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I UNIDAD.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Operaciones con fracciones algebraicas Se usan las mismas reglas que para las fracciones numéricas. Para la suma y la resta, si las fracciones no tienen el mismo denominador se reducen a común denominador: Se factorizan los denominadores y se halla el mínimo común múltiplo, que será el común denominador. El mcm es el producto de todos los factores irreducibles elevados al mayor exponente que aparezcan en la factorización. Después, dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente. Ejemplo: x 1 5x 1x x 1 5x 1x mcm(x, x1, (x) (x) (x 1) x x1 x 4x 4 x x 1 (x) x(x)(x 1) (1 5x)(x ) (1 x)(x 1) 4x x 5x (x) (x 1) (x) (x 1) Para el producto, división y potencia, factorizamos y simplificamos antes de hacer las operaciones: x1 x1 x1 x1 ( x 1) (x 1) 1 1 1).. = = x x x1 (x 1) (x 1)( x 1) (x 1) (x 1)( x 1) (x 1) x ) ) x1 x x : x6 x 6 1 x x : x 1 x x x x1 ( x1)( x) : = ( x 1) ( x 6)( x 6) x6 x6 ( x6)( x6) ( x 6) ( x1) ( x ) x 1 x (x) (x1)(x 1) : (x1)(x ) (x1) (x1) (x1) x (x1) (x1) 1 x 4) x (x) 9x x1 ( x1) x x1 Forma mixta de una fracción impropia Cuando en una fracción algebraica p(x) el grado del numerador es mayor o igual que el del q(x) denominador (fracción impropia), podemos expresar la fracción en forma mixta de la siguiente forma: p(x) r(x) c(x), siendo c(x) el cociente de la división y r(x) el resto. q(x) q(x) Por ejemplo, expresemos en forma mixta la fracción 4x x 5 x x Operaciones combinadas con fracciones algebraicas Para realizar operaciones combinadas con fracciones algebraicas, se hacen primero las potencias, multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha) y después las sumas y restas. Si hubiese paréntesis, se realizan en primer lugar las operaciones situadas dentro de ellos en el orden indicado anteriormente. - Página 10 -

11 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I UNIDAD.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES x 1 x 1 x x 1) : x1 x 1 x x x + 1 x 1 x x + 1 x 1 x : : x 1 (x + 1)(x 1) x(x + 1)(x 1) (x + 1)(x 1) (x + 1)(x 1) x(x + 1)(x 1) x x x x (x + 1)(x 1) (x + 1)(x 1) x(x + 1)(x 1) (x + 1)(x 1) x(x + 1)(x 1) x (x + 1)(x 1) x 1 ( x 1) 4x 4x : : x x x x 9x. x 9 ) 1 x 1 1 x 1 x(x ) 1.(x + )(x ) ( x 1).x x(x ).. x x(x + )(x ) x 9 x (x + )(x ) x 9 x 9 x x x(x ) x 9 x(x ) (x 9) x (x ).. x 9 x 9 x (x + )(x ) x (x + )(x ) x (x + )(x )( x 9) 1 1 x(x + ) x x ) Ecuaciones racionales Son ecuaciones que llevan la incógnita x en el denominador. En este tipo de ecuaciones es necesario comprobar que los valores obtenidos de la incógnita cumplen la ecuación inicial, pues puede aparecer alguna solución extraña que anule algún denominador. 1) 9 9 9x 9 x 1 x 1 9x 9 x (x 1) x x 9x 9 0 (x 1)(x 9) 0 x1,x x x x x4 x4 (x4)(x5) x ) (x4)(x5) x 0 x 5x x 5 x(x5) (x5)(x5) x(x5)(x5) x x 5 (solución no válida, porque anula el deno minador) x 0 = 0 x 4 (solución válida) 1 Expresa en forma mixta: a) 5x x5 x ACTIVIDADES S:5x17 x b) 4x 75 x1 7 S: x 1 Simplifica: a) x 1 6x 6x1 x S: x b) x x 9x +18 x 7x +16x1 x S: x c) 7x 14x 1x x S: x d) x 5x x 10x 5x x S: x 5 - Página 11 -

12 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I UNIDAD.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES x1 x1 4x x4 Realiza y simplifica: a) S : 5 4 4x x x x (x ) x(x ) x (x 1)(x ) b) x x. x 8 x + 1 : x + 4x x x x S: x c) 1 x 1 : x 1 x 1 x 1 x1 (S: 1) 4 Resuelve las siguientes ecuaciones racionales: x1 4x1 x a) (S: x =, x = 5) b) 9 5 x 1x 1 (S: x = 1) x1 x x x x x 6 6 c) x1 x1 4 (S: x = ±, x = ±) d) x x x a xa x a 1 S:x 4.- ECUACIONES CON RADICALES. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Ecuaciones con radicales Son ecuaciones que llevan la incógnita x dentro de alguna raíz. Para resolver este tipo de ecuaciones se siguen los siguientes pasos: 1. Se deja en uno de los miembros un solo radical, trasladando al otro miembro los demás términos.. Se elevan al cuadrado, al cubo, etc (depende del índice de la raíz involucrada) los dos miembros de la ecuación obtenida y se igualan entre sí.. Si la ecuación obtenida no contiene radicales se resuelve normalmente. Si por el contrario, contiene uno o más radicales se repiten los pasos 1 y hasta obtener una ecuación sin radicales. Luego se resuelve esta última ecuación. 4. Se sustituyen en la ecuación original los valores obtenidos en el paso anterior y se determinan las raíces extrañas. 1) ) 5x 5x 5x 95x 18x 4x (Válidas ambas) x 5 x 1 x 1 5 x x x 4 = 0 x x 1 = 0 Comprobación de las soluciones: x = 4 x = ) (x1) 5 x x x + 1 = 5 x x 4 x = 1 1 = 1. Luego, x = 4 es una solución válida 5 ( ) 1 4 = 1 7 = 1. Luego, x = NO es una solución válida - Página 1 -

13 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I UNIDAD.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Ecuaciones exponenciales Son ecuaciones en las que la incógnita está en el exponente. Se resuelven transformando la ecuación en otra de los tipos vistos anteriormente. Esto se consigue unas veces usando la equivalencia a M = a N M = N y otras haciendo el cambio de variable a x = z. 1) ) 1 1x 1x 1x x 5 5 Solución: 1 1 x ( 1x) 106x 106x 1 x 6 ) 4) 5) x 1 = 5 x log 1 log5log log 5 (x 1)log log5 xlog log log5 x log Ecuaciones logarítmicas Son ecuaciones en las que la incógnita está en el argumento de un logaritmo. Se resuelven transformando la ecuación en otra de los tipos vistos anteriormente. Esto se consigue unas veces usando la definición de logaritmo, log a M = N a N = M, la equivalencia log a M = log a M M = N y otras haciendo el cambio de variable log a x = t. - Página 1 -

14 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I UNIDAD.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES 1) 5 1 log 8 = x 1 5 x x1 10x5 x ) ) ACTIVIDADES 1 Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales: a) 178x x (S: x = ± 1) b) x5 x 7x (S: x = 4) c) x4 (S: x = 4) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: a) 1 x x (S: x = 5/, x = 1/) b) x x 7 (S: x = 1, x =, no válidas) c) 9 x + x 1 + x 1 = 111 (S: x = ) d) x 4 5. x + 1 = 0 (S: x =, x = 1) e) 5 7x = - Página 14 - log75 S: x 7 log5 Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) log(x ) log(x 1) = 1 (S: x = 7/) x b) log log(x 1) logx (S: x = ) c) logx x + log 4 = S:x 1 x 5.- SISTEMAS DE ECUACIONES Concepto de ecuación lineal Una ecuación lineal con dos incógnitas es la que se puede expresar de la forma ax + by = c, por ejemplo, x y = 4 es una ecuación lineal con dos incógnitas. Análogamente, una ecuación lineal con tres incógnitas sería de la forma ax + by + cz = d, por ejemplo, x + y 7z = 1 es una ecuación lineal con tres incógnitas. No serían ecuaciones lineales, por ejemplo, x + x = 5 (pues x está al cuadrado) ó xy + z = 1 (pues x e y están multiplicando) Resolver una ecuación es averiguar el valor de las todas las incógnitas para que se cumpla la igualdad. En general, las ecuaciones lineales con dos o más incógnitas tienen infinitas soluciones. Hay algunas ecuaciones lineales que no tienen solución. Por ejemplo, 0x + 0y = 5. Estas ecuaciones se llaman incompatibles

15 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I UNIDAD.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Observa la ecuación x y = 1. Si la representas gráficamente verás que la gráfica es una recta en el plano. Los puntos de la recta son precisamente las soluciones de la ecuación. En general, una ecuación lineal con dos incógnitas se representa por una recta en el plano. Cada punto de la recta se corresponde con una solución de la ecuación. En º de Bachillerato verás que una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano del espacio. Concepto de sistema de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales. Por ejemplo, x y z x5y 4 x y 9 y x 4z 0 son sistemas de ecuaciones lineales. x y z 1 Resolver un sistema es averiguar el valor de las incógnitas para que se cumplan todas las ecuaciones a la vez. Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales Sólo existen tres tipos de sistemas de ecuaciones lineales en cuanto al número de soluciones: deter min ados ( S. C. D.) ( tienen solución única) sistemas compatibles in det er min ados ( S. C. I ) ( tienen inf initas soluciones) sistemas incompatibles ( S. I.) ( no tienen solución) axby c Si tenemos un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas a x b y c a b Si Es un S.C.D. Las ecuaciones representan rectas secantes. a b Lasolucióneselpuntodecorte Se puede demostrar que a b c Si Es un S.C.I. Las ecuaciones representan rectas coincidentes. a b c a b c Si Es un S.I. Las ecuaciones representan rectasparalelas. a b c 10x + 5y = 5 1) Como xy = 6 ) x + y = x y = 1 ) 6x + y = 5 x y = 1 S.C.I.(tiene inf initas soluciones); las ecuaciones corresponden a rectas coincidentes 1 Como S.C.D.(tiene solución única); las ecuaciones corresponden a rectas secantes 1 1 Resolucióngráfica:Sedibujanlasrectas y seobservaquesecortanenelpunto( 4,).Lasoluciónes x4,y 6 5 Como S.I.(no tiene solución); las ecuaciones corresponden a rectas paralelas 1 1 Métodos de resolución de sistemas Los métodos más usados para resolver sistemas son el método de sustitución, igualación y el de reducción. Método de sustitución: Consiste en despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra u otras ecuaciones. De esta forma se llega a otro sistema con una incógnita menos. Si es necesario se vuelve a repetir el proceso hasta llegar a una ecuación con una incógnita. x y 1 Ejemplo: + = x = 1 y. Sustituimos: ( 1 y) y = 18. Resolviendo obtenemos y = 4. x y= 18 Hallamos x: x = 1 y = 1 ( 4) x = - Página 15 -

16 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I UNIDAD.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Método de igualación: Consiste en despejar la misma incógnita en las todas las ecuaciones y luego igualar las expresiones obtenidas. De esta forma se llega a otro sistema con una incógnita menos. Se vuelve a repetir el proceso hasta llegar a una ecuación con una incógnita. Método de reducción: Consiste en buscar otro sistema equivalente, o sea con las mismas soluciones, en el que los coeficientes de una de las incógnitas sean números opuestos. Esto se consigue multiplicando las ecuaciones por números adecuados y luego sumándolas o restándolas. 5xy8 (5xy8).7 5x14y56 Ejemplo:. Sumando las ecuaciones: x7y 1 (x7y 1). 6x14y 6 41x = 8 x =. Sustituimos x =, por ejemplo en la ª ecuación:. + 7y = 1 y = 1 Método de reducción o de Gauss para sistemas de tres incógnitas Este método permite además de resolver el sistema y clasificarlo. Consiste en transformar el sistema en un sistema triangular equivalente, que es un sistema en el que axbycz d cada ecuación tiene al menos una incógnita menos que la ecuación anterior: b y c z d c z d Para llegar a un sistema triangular podemos usar las siguientes reglas: 1) Cambiar de orden las ecuaciones ) Eliminar una ecuación del tipo 0 = 0 (llamada ecuación trivial) ) Eliminar una ecuación que sea igual o múltiplo de otra 4) Multiplicar o dividir una ecuación por un número distinto de cero 5) Sustituir una ecuación por la suma o resta de esa ecuación con otra Los sistemas triangulares, una vez eliminadas las ecuaciones triviales son muy fáciles de clasificar: - Si hay una ecuación incompatible, el sistema no tiene solución. Es un sistema incompatible (S.I.) - Si el nº de ecuaciones es menor que el nº de incógnitas, el sistema tiene infinitas soluciones. Es un sistema compatible indeterminado (S.C.I.) - Si el nº de ecuaciones es igual al nº de incógnitas, el sistema tiene solución única. Es un sistema compatible determinado (S.C.D.) En el caso de que el sistema sea compatible, se resuelve de forma más sencilla empezando a despejar por la ecuación que tiene menos incógnitas. 1) - Página 16 -

17 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I UNIDAD.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES ) ) Sistemas de ecuaciones no lineales Son aquellos en los que hay alguna ecuación que no es lineal. Por ejemplo, el sistema x xy x y 5 es NO lineal porque la primera ecuación no es lineal. No existe un método universal que podamos seguir en todos los casos. Según nuestra experiencia, dependiendo del caso, será mejor un camino u otro: - Si tenemos un término de alguna de las ecuaciones con una única incógnita de grado 1, casi siempre lo mejor es despejar dicha incógnita y sustituir su valor en la otra ecuación. - Si tenemos que las dos ecuaciones son de grado, pero en una de ellas hay una incógnita de grado 1, despejamos la incógnita de grado 1 y sustituimos su valor en la otra ecuación. - Si tenemos dos ecuaciones de grado y tenemos la misma incógnita elevada a dos sola en un término de las dos ecuaciones, podemos aplicar el método de reducción. Por ejemplo, xy1 0y x1 x x(x1) 0x 6x x 0 x xy 0 x 0 y.011 soluc: x 0, y 1 7x x 0x(7x) x0x y. 1 soluc: x, y Página 17 -

18 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I UNIDAD.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Resolución de problemas con sistemas Ejemplo: Un taller de carpintería ha vendido 15 muebles, entre sillas, sillones y butacas, por un total de Se sabe que cobra 50 por cada silla, 150 por cada sillón y 00 por cada butaca, y que el número de butacas es la cuarta parte del número que suman los demás muebles. El planteamiento sería así: x y z 15 x nº de sillas y nº de sillones 50x 150y 00z 1600 z nº de butacas. x y z 4 Resolviendo el sistema obtendríamos el nº de muebles de cada tipo que se han vendido ACTIVIDADES x y1 6 1 Clasifica, interpreta geométricamente y resuelve: a) 5x4(y1) b) x5 y 1 4 8y(x y) y xyz Clasifica y resuelve por el método de Gauss: a) xy z 14 (SCD: x =, y =, z = 1) 5x yz 15 xyz 6 x 5y+z 4 xyz 4 b) xyz 4 (SCI) c) xy+z 9 (SI) d) 5x 5y4z 8 (SCI) x yz 8 4x 7y+z 5 x y z 0 x yz 1 xyz 0 5x yz 0 e) 5x4yz 9(SCD: x = 1, y = 1, z = 0) f) x y z 0 (SCI) g) xy z 0 (SI) 4xy4z 1 x y z 0 8xyz 1 x (x y) 6 Resuelve: a) x y (S: x = 6, y = 6; x = 16/, y = 10/) 5 y x 5y 0 x 15 b) (S: x = 0, y = ; x = 0, y = ) c) (S: x = 4, y = 6; x = 5/, y = 15) 4x y 4 1 x y d) 4x5y 7 xyx 6 (S: x =, y = ; x = 65/, y = 5/55) 4 Un monedero contiene 1 euro en monedas de, 5 y 10 céntimos; en total hay monedas. Sabiendo que el número de monedas de 5 y 10 céntimos juntas excede en unidades al número de monedas de céntimos, obtén el número de monedas de cada tipo que hay en el monedero. 5 En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y nata. El presupuesto destinado para esta compra es de 540 euros y el precio de cada helado es de 4 euros el de vainilla, 5 euros el de chocolate y 6 euros el de nata. Conocidos los gustos de los estudiantes, se sabe que entre helados de chocolate y de nata se han de comprar el 0% más que de vainilla. - Página 18 -

19 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I UNIDAD.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES 6.- INECUACIONES Concepto de inecuación Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas. Por ejemplo, son inecuaciones: x + < 5, x 1. El signo de la desigualdad puede ser cualquiera de los cuatro: <,, > ó Resolver una inecuación con una incógnita es averiguar lo que tiene que valer la incógnita para que se cumpla la desigualdad. Por ejemplo, en la inecuación x + < 5, el valor x = 1 es solución porque 1 + < 5 (es cierto) pero el valor x = 6 no es solución porque 6 + < 5 (no es cierto). Para resolver inecuaciones se usan fundamentalmente dos reglas (basadas en las propiedades de las desigualdades), llamadas reglas de equivalencia: 1ª) Se pueden pasar los términos de un miembro a otro de la inecuación cambiándolos de signo. ª) Si se multiplica o divide la inecuación por un número positivo se mantiene el sentido de la desigualdad pero si el número es negativo cambia el sentido de la desigualdad. Inecuaciones lineales con una incógnita Son aquellas en las que la incógnita está elevada a 1. Se resuelven usando las mismas reglas que en las ecuaciones, salvo que, al despejar x si hubiera que multiplicar o dividir por un número negativo tenemos que cambiar el sentido a la desigualdad. Por ejemplo, si x < 1 x > 1 x > 4. La solución es S: ( 4, ) También se pueden resolver la inecuaciones lineales de la forma ax + b > 0 (donde > pudiera ser cualquiera de los otros signos de desigualdad) gráficamente representando la recta asociada, y = ax + b. Por ejemplo, si queremos resolver x + 6 < 0, representamos la recta y = x + 6 Las soluciones corresponden al intervalo donde la recta está por debajo del eje X, que son los números menores que, es decir, S: (, ) Sistema de inecuaciones lineales con una incógnita Es un conjunto de dos o más inecuaciones lineales. Para resolverlo, se resuelve cada inecuación por separado y después se buscan las soluciones comunes a todas las inecuaciones del sistema. 4(x 1) x 4xx 5x 10 x Por ejemplo, S:[ 1,) (x 1) 5 x15 x x1 Inecuaciones factorizadas Son aquellas de la forma p(x). q(x).. > 0, siendo p(x), q(x), polinomios. El signo de la desigualdad puede ser cualquiera de los cuatro: <,, > ó. Para resolver este tipo de inecuaciones: 1º) Se igualan a cero todos los factores y se resuelven las ecuaciones resultantes º) Se hace una tabla con las soluciones y donde se reflejen los signos de cada factor y se determinan los intervalos para los que se cumple la inecuación. - Página 19 -

20 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I UNIDAD.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Ejemplo: (x )(x + 5) 0 5 1º) x = 0 x = ; x + 5 = 0 x x x x x x º) x S:x ó x, (, ) x5 0 (x)(x5) 0 0 Inecuaciones de º grado Son inecuaciones que se pueden expresar de la forma p(x) > 0, siendo p(x) un polinomio de º grado. El signo de la desigualdad puede ser cualquiera de los cuatro: <,, > ó Para resolver este tipo de inecuaciones: 1º) Se pasan todos los términos a un miembro de la inecuación y se opera hasta llegar a una inecuación de la forma p(x) > 0 º) Se factoriza el polinomio p(x) y se obtiene una inecuación factorizada, que se resuelve. También se pueden resolver la inecuaciones de º grado de la forma ax + bx + c > 0, donde el signo > pudiera ser cualquiera de los otros signos de desigualdad, gráficamente representando la parábola asociada y = ax + bx + c. Por ejemplo, si queremos resolver x 6x + 8 > 0, representamos la parábola y = x 6x + 8 Las soluciones son los números x < junto con los números x > 4. Es decir, S: (, ) U (4, ) Inecuaciones polinómicas de grado superior e inecuaciones racionales con una incógnita Podemos seguir los siguientes pasos: 1º) Se pasan todos los términos a un miembro de la inecuación y se opera hasta llegar a una p(x) inecuación p(x) > 0 ó 0, donde el signo > puede ser cualquiera de los otros tres. q(x) º) Se factorizan los polinomios. De esta forma se obtiene una inecuación factorizada o expresada como cociente de factores º) Se hace una tabla con las soluciones y donde se reflejen los signos de cada factor y se determinan los intervalos para los que se cumple la inecuación. ACTIVIDADES x 1 x (x1) 1 Resuelve las siguientes inecuaciones y sistemas: a) [ S: [0, 4] ] 6 x x b) (S: [5/4, 4/]) c) x(x 1) + x 5x 1 [ S: (, 1/7] U [1, ) ] x(x 1) x d) (x 1)(x + 4) < 6 [ S: (, 1) ] e) 4x 4x x [ S: (, 1/] U [1/, 1] ] f) x 4x5 0 x x [ S: [ 5, 1) U (0, ) ] g) x x x x1 [ S: [0, ) U (, 1) ] h) x 8 4 x [ S: [, ) U (, ] ] x - Página 0 -