Solución Examen Institucional Cálculo Diferencial Jornada 3

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1 Feca Solución Examen Institucional Cálculo Diferencial 018- Jornada 3 1. (Valor 4%) Este punto comprende los numerales 1.1. a 1.4. El volumen de combustible C(t) (en galones) que desde un carrotanque ingresa a un tanque de abastecimiento, en un tiempo t (en minutos), viene representado en el siguiente gráfico. C(t) t Ayudándose de la información suministrada en el gráfico responda los numerales 1.1. y (Valor 6%) Supóngase que el tanque de abastecimiento comienza a llenarse a las 5:00 a.m. y que tiene una capacidad para 650 galones. Teniendo en cuenta esto indique, de las afirmaciones que se presentan a continuación, cuál es falsa. A. El tanque de abastecimiento terminará de llenarse a las 4 p.m. B. La cantidad de agua que entra al tanque por ora es de 50 galones. C. El tanque contenía, antes de comenzar a llenarse, 100 galones. D. A la p.m. abía en el tanque 00 galones de agua. 1.. (Valor 6%) La expresión matemática que determina una línea recta de pendiente m y que pasa por un punto P(x 1, y 1 ), tiene la forma y y 1 = m(x x 1 ); o también mediante la función f(x) = mx + b, donde el punto (0, b) es el intercepto con el eje y. De acuerdo con lo anterior, el modelo matemático que relaciona el volumen de agua C(t) en función del tiempo t, viene representado por: A. C(t) = 50t + 100t B. C(t) = 50t C. C(t) = 50t D. C(t) = 100t + 50 Resuelva los numerales 1.3. y 1.4., de acuerdo con la información suministrada en la siguiente función expresada por tramos: (x ) ; si x < f(x) = { 3; si x = (x ) 3 ; si x > 1.3. (Valor 6%) En cada uno de los literales que se presentan a continuación la afirmación es correcta, pero sólo en uno la razón es falsa, indique cuál: A. f() existe, porque ace parte del dominio de la función. B. El gráfico de la función es discontinuo en x =, porque lim f(x) no existe x C. lim f(x) existe, porque lim f(x) f(x) = 0 x x x + D. El gráfico de la función es continuo en x = 3, porque lim f(x) f(x) = f(3) x 3 x (Valor 6%) La función no es derivable en x =. Una de las razones para esta no derivabilidad es: A. lim x f(x) = 0 B. lim x f(x) f() C. no pertenece al dominio de la función. D. El gráfico de la función es discontinuo en x =

2 Feca (Valor 8%) Considérese la función f(x) = x 1 3 x 5x, a. (Valor 10%) Encontrar el dominio de f(x) Sea f(x) = x 1 3 x 5x Tómense: g(x) = x 1 3 y (x) = 1 x 5x Se tiene que: Dom f = Dom (g)(x) = (Dom g) (Dom). El dominio de g(x) = x 1 3 son los valores de x para los cuales x 1 0. Es decir: Dom g(x) = { x x [1, )} (x) = 1 = 1. x El dominio de (x) queda, entonces: 5x x(x 5) De esta manera, se tiene: Dom (x) = { x x R {0,5}} Dom f(x) = Dom (g)(x) = (Dom g) (Dom). = { x x [1, )} {x x R {0,5}} = { x x [1, ) {5}} = { x x [1, 5) (5, )} Encontrar Dom g(x) : 4% Encontrar Dom (x): 4% Encontrar Dom f(x): % b. (Valor 9%) Calcular lim f(x): Forma indeterminada 0 0 lim (x) f(x) x 1 3 x 5x ( x 1 3)( x 1 + 3) (x 5x)( x 1 + 3) ( x 1) 9 (x 5x)( x 1 + 3) x 1 9 x(x 5)( x 1 + 3)

3 Feca x 10 x(x 5)( x 1 + 3) (x 5) x(x 5)( x 1+3) x( x 1+3) = (5)( 9+3) = (5)(6) = % Racionalizar y factorizar correctamente: 5% Simplificar correctamente: % Evaluar el límite: % c. (Valor 9%) Calcular lim f(x): Forma indeterminada x 1 3 lim f(x) x 5x x x 4 1 x 4 3 x x x 5x x x 3 1 x 4 3 x 1 5 = 0 1 = 0 x Resolver el límite: 9% x + 3 1; si x 3. (Valor %) Para la función f(x) = { (x 4) + 5; si < x 4 x 5; si x > 4 a. (Valor 18%) Graficar la función, aciendo uso de las técnicas de graficación 8 y x b. (Valor 4%) Encontrar el dominio y el rango de la función Dom f(x) = { x x (, ] (,4] (4, )} = {x x (, )} [- ran f(x) = { y y ( 1, )}

4 Feca Graficar correctamente la función f(x) = x en el intervalo dado: 3% Graficar correctamente la función f(x) = (x 4) + 5 en el intervalo dado: 3% Graficar correctamente la función f(x) = x 5 en el intervalo dado: 3% Graficar correctamente la función por tramos: 9% Dominio de la función: % Rango de la función: % 4. (Valor 6%) Resuelva los numerales a. y b. a. (Valor 13%) La posición de un carrito de cuerda que se mueve sobre una pista recta viene determinada por el modelo matemático s(t) = 9 donde s(t) está dada en centímetros y t en t+3 segundos. Utilice la fórmula para la velocidad instantánea v(t) s(t + ) s(t) y determine la velocidad del carrito a los 3 segundos de aberse iniciado el movimiento Si s(t) = 9 9, entonces s(t + ) =. De esta manera: t+3 t++3 v(t) s(t + ) s(t) 9 t t + 3 9t+7t 7 (t++3)(t+3) (t++3)(t+3) (t++3)(t+3) (t++3)(t+3) = = (t+3)(t+3) (t+3) Se tiene entonces que: v(t) = Para t = 3, se tiene: v(3) = (t+3) = = 1 (3+3) 36 4 cm s Encontrar s(t + ) y reemplazar en v(t) Encontrar v(t): 7% Encontrar v(3): % s(t+) s(t) : 4%

5 Feca b. (Valor 13%) Para una función y = A(x)B(x), su derivada viene determinada por la expresión y = A(x)B (x) + B(x)A (x) De acuerdo con lo anterior, encuentre la derivada de la función: (p) = (p sen 4 p) sec (3p p + 1) A(p) = p sen 4 p, luego, A (p) = 1 4sen 3 p cosp B(p) = sec (3p p + 1), por tanto, B (p) = (6p )sec(3p p + 1) tan(3p p + 1) De esta manera: (p) = A(p)B (p) + B(p)A (p) = (p sen 4 p)(6p )sec(3p p + 1) tan(3p p + 1) + sec (3p p + 1)(1 4sen 3 p cosp) Derivar A(p) = p sen 4 p: 6% Derivar B(p) = sec (3p p + 1): 5% Reemplazar en la fórmula de derivada: %