TESIS DE MAESTRIA EN FISICA ELASTOGRAFIA ULTRASONORA DE MEDIOS VISCOELASTICOS CON ONDAS DE CIZALLA BAJA FRECUENCIA

Transcripción

1 Programa de Dearrollo de la Ciencia Báica TESIS DE MAESTRIA EN FISICA ELASTOGRAFIA ULTRASONORA DE MEDIOS VISCOELASTICOS CON ONDAS DE CIZALLA BAJA FRECUENCIA Lic. NICOLAS BENECH TRIBUNAL: Dr. HUGO FORT Dr. HORACIO FAILACHE Dr. ALBERTO BIESTRO Ing. RAFAEL CANETTI Dr. CARLOS NEGREIRA ORIENTADOR 3 DE FEBRERO DE 4

2 i Agradecimieno Agradecemo eecialmene a lo inveigadore del Dearameno de Biofíica del Iniuo de Inveigacione Biológica Clemene Eable IIBCE or u invalorable aoyo, ineré en el ema y aore de idea en la elaboración de fanoma ara la imulación de ejido biológico.

3 ii RESUMEN Ee rabajo roone la caraceriacion eláica de medio vicoeláico blando aquello en lo que el módulo eláico de comreión e mucho mayor al módulo de cialla, uiliando onda de cialla de baja frecuencia combinado con un méodo de inveigación or ulraonido. Enre lo rinciale exonene de ee io de medio e encuenran lo ejido biológico. La roiedade vicoeláica de lo ólido blando no on fácilmene derivable de la roagación de onda de ulraonido. El comoramieno del ulraonido en ee io de maeriale e imilar al regirado en lo fluido. La eoría de la roagación de onda en medio eláico muera, a ravé de la funcione de Green, que a baja frecuencia la mayor are de energía e roaga bajo la forma de una onda de cialla. El eudio exerimenal de la caraceríica de ea vibración ermie obener valore cuaniaivo de lo arámero vicoeláico de ineré. La idea de ee rabajo de ei e exloar lo reulado de la inerferomería eckle ulraonora. Cuando un medio en reoo e iluminado con ulo ulraonoro, el eckle acúico e iemre el mimo orque queda deerminado or la oición relaiva de lo difuore. Ee no e el cao cuando una onda de baja frecuencia e roaga en el medio. En una rimera aroximación, ara equeño delaamieno, el movimieno del eckle eá linealmene relacionado con el movimieno del medio. Para deecar el movimieno del eckle, e uilia una écnica de correlación enre eñale de eckle conecuiva. Ea modalidad de inección ermie deecar delaamieno con una reición baane inferior a la longiud de onda ulraonora. Un análii rimario de lo errore en la reciión del méodo indica que la reolución en la eimación de lo delaamieno e del enorno de µm. Lo reulado, on alenadore e indican que e oible obener valore cuaniaivo en maeriale vicoeláico y comararlo con lo modelo reológico exiene, lo que ermiiría un análii críico de eo modelo. Enre oro reulado logramo conruir una imagen de elaicidad local relaiva del maerial bajo eudio. Ea écnica de caraceriación eláica urge or u oibilidade de er alicada en el diagnóico médico de aología ale como umore, o deerminar la elaicidad de arede vaculare. Sin embargo enconramo ambién oenciale alicacione en la induria agroalimenaria, or ejemlo en la deerminación de la ernea de la carne.

4 iii INDICE Inroducción...v Caíulo I Eado acual de la elaografia... Inroducción... Moivación...3 Anecedene...5 Decrición de la ei...9 Caíulo II Marco eórico...3 Inroduccion...3 Ecuación de onda...4 Función de Green...6 Delaamieno obre el eje... Diagrama de direcividad...7 Vicoelaicidad...3 Concluión...36 Caíulo III Inerferomería eckle ulraonora...39 Inroducción...39 Seckle y firma acúica...4 Seguimieno del eckle...43 Maerial: gel de agar-gelaina...45 Monaje exerimenal...47 Algorimo de correlación...5 Velocidad de la onda de cialla...58 Vicoidad...63 El ión...65 Diagrama de direcividad...67 Preición y límie del méodo...7 Concluión...78 Caíulo IV Alguno reulado y alicacione...8 Inroducción...8 B-Scan...8 Maa eláico...85 Alicación en ejido biológico...9 Conideracione rácica...94 Concluión...98 Concluión... Aendice A Problema de Lamb, olución obre el eje...3

5 iv Aéndice B Exreione aroximada de la funcione de Green Sobre el eje de la fuene... Aéndice C Problema de Lamb, olución fuera del eje...5

6 INTRODUCCION v INTRODUCCION Predecir y enender el comoramieno de lo maeriale cuando eán ujeo a fuera mecánica e la bae ara mucha rácica en la ciencia de lo maeriale. En lo inicio de ea inveigacione, la rácica común era alicar enione al iema haa que ee fallara. Luego e eudiaban lo mecanimo de la ruura ara enender el comoramieno del maerial revio a la mima. A medida que avanaron la inveigacione, fue oible eudiar maeriale má comlejo mediane écnica no deruciva, or ejemlo difracción or rayo-x, écnica óica, reonancia magnéica o el comoramieno acúico enre ora. En aricular el uo del ulraonido e ha exendido a lo largo de lo año como écnica no deruciva en el enayo de maeriale. La incororación del ulraonido en medicina ignificó una gran herramiena de diagnóico con venaja umamene imorane reeco a ora écnica Enre ella e deacan u carácer no invaivo y que lo bioefeco de la radiación ulraonora on relaivamene menore, comarado or ejemlo con la radiacione ioniane. A arir de enonce, lo ejido biológico han adquirido imorancia como maerial de eudio de la fíica. La área de ineré e cenran en el eudio del caering, eaciado medio de difuore, aborción de onda ulraonora y úlimamene han omado relevancia la roiedade mecánica de lo ejido como ólido. La roagación de onda en lo ejido denominado blando, a frecuencia ulraonora íica uada en diagnóico enre MH y MH, e muy imilar a la regirada en fluido. E decir el modo de roagación referene e el de una onda longiudinal o de comreión. Ea caraceríica, debida al alo orcenaje de agua en la comoición de lo ejido, no ermie relevar má que una are del comoramieno mecánico de lo ejido, a aber, u comreibilidad. Sin embargo, en mucho ámbio, incluyendo a la medicina, e de ineré eudiar ademá u comoramieno como ólido. En efeco, alguna aología eán aociada a modificacione en la roiedade eláica del ejido, en aricular al módulo eláico de core o de cialla. También en la agroinduria alimenaria el relevamieno de eo arámero e de ineré. Por ejemlo, la ernea de la carne vacuna e un facor relevane en el mercado de exoración.

7 INTRODUCCION vi Acualmene la manera de inveigar obre eo arámero e exrayendo una muera de ejido, darle una forma aricular or ejemlo de un cilindro fino y omeerla a deformacione conrolada, de manera de oder relevar la curva efuero v deformación. En lo úlimo iemo, e ha roueo la roagación de onda de baja frecuencia como vehículo ara obener lo arámero relevane. Ea écnica, conocida como onoelaografía, iene la venaja de er no deruciva y ermie or lo ano er alicada en vivo. Ee rabajo de ei e una conribución a la onoelaografía. E el rimer rabajo de ee io que e realia en nuero laboraorio obre el ema. E un ema de inveigación abiero que e eá dearrollando en diferene aíe. Si bien lo reulado acuale en la maeria on romeedore, quedan odavía alguno aeco abiero obre lo que habrá que eguir inveigando en el fuuro. Alguno de ello on, lo efeco de la difracción analiado a ravé de la funcione de Green, la condicione de borde inerna y exerna de la muera, un modelo reológico aroiado ara lo ejido blando y la reciión con que ea nueva modalidad logra obener valore cuaniaivo de la elaicidad. Todo eo ema on objeo de análii en el dearrollo de ea monografía. La ei eá erucurada de la iguiene manera: En el caíulo I e reaan lo anecedene má imorane en la maeria, e inroducen la dificulade enconrada en u alicación, e decribe la moivación del eudio de ea ei y la oible alicacione, y e deacan lo aore realiado durane ea inveigación. El caíulo II eá dedicado al marco eórico en el que e baan mucha de la exeriencia realiada en ee rabajo. En él e reenan lo reulado de la funcione de Green ara un ólido eláico, emi-infinio e ióroo. El raamieno maemáico e realia en lo aéndice A, B y C. También e inroduce en ee caíulo un modelo lineal que iene en cuena la vicoidad de lo ejido, el modelo de Voig. En el caíulo III, e decribe el rinciio báico de la exeriencia lo maeriale uiliado y el monaje exerimenal. Lo reulado obenido e comaran con lo decrio en el caíulo II. En ee caíulo e incluye ambién un análii de lo límie y la reciión del méodo. En el caíulo IV, e mueran alguna alicacione que hemo dearrollado en el laboraorio donde e deacan alguno íem que odavía quedan or inveigar ara mejorar lo reulado.

8 CAPITULO I CAPITULO I ESTADO ACTUAL DE LA ELASTOGRAFIA I. Inroducción El rinciio en que e baa la uiliación del ulraonido como herramiena de inveigación, conie en enviar ulo denro del medio y regirar lo eco generado or inhomogeneidade denro del mimo. Éa ueden er defeco en la erucura de lo maeriale, borde debido a un cambio de medio, ec. A arir del análii y raamieno de ea eñale ecográfica e oible eudiar alguna de la caraceríica mecánica del maerial donde e roagan la onda. En medicina, la habilidad de una ecografía convencional ara formar imágene y oder diferenciar enre lo diferene io de ejido deende rincialmene de la imedancia acúica de la erucura reflecora, que a u ve deende de u comreibilidad k o del módulo eláico de volumen K k. En la figura e muera un cuadro omado de la lieraura [], de lo valore de K ara ejido blando, hueo y líquido. Allí e oberva que el rango de variación del módulo de volumen e relaivamene chico ara el ejido blando. Ee ecao conrae enre ejido blando e debe a que u módulo eláico de comreión e mucho mayor al módulo eláico de cialla [], y or lo ano la comreibilidad del ejido eá dominada or el rimero de ello. Como el agua rereena un gran orcenaje en lo ejido, u módulo de comreión e imilar al del agua. En ea circunancia la ecuación de onda ara lo ejido e formula normalmene en érmino de roiedade de fluido. La imedancia acúica e define como la raón enre la reión acúica en el medio y la velocidad de la arícula aociada en deerminada oición e inane de iemo: Z reión acúica P velocidad arícula u La unidade de Z on Pa m -. Para una onda lana en un fluido la reión acúica y la velocidad de la arícula cumlen una relación imle y la ecuación e exrea: Z ρc donde ρ e la denidad de equilibrio del medio y c e la velocidad de la onda acúica. Si bien ea no e una exreión general ara la imedancia, al roduco ρ c e le conoce como imedancia caraceríica del medio. E de deacar que cuando e rabaja

9 CAPITULO I con onda de comreión a frecuencia ulraonora ea aroximación e en general alcanable. Por ejemlo a una frecuencia íica de 5 Mh la longiud de onda en ejido blando velocidad del ulraonido 54 m/ e de,3 mm aroximadamene y or lo ano ara diancia del orden del cm e cumle la condición de camo lejano y la aroximación de una onda lana. líquido FIGURA : Dao omado de la lieraura obre lo órdene de valore del módulo eláico de volumen ara ejido blando, hueo y líquido. ejido blando hueo 3 4 K en MPa La amliud de la onda reflejada en una inerfae deende de la imedancia de cada uno lo medio. La velocidad del ulraonido en lo diferene io de ejido biológico varía enre 35 m/ ara ejido óeo y 45 m/ ara el ejido adioo Ver abla. Para lo ejido denominado blando, la velocidad e muy imilar enre i, debido al ecao rango de variación del módulo de volumen, iendo en romedio de 54 m/ muy imilar a la regirada en agua: 5 m/. Por lo ano, la diferencia de la imedancia caraceríica e debe báicamene a la diferencia en la denidad enre ello. En ee enido odríamo decir que la ecografía e un maa de denidade de lo ejido. E de eerar enonce que exian iuacione en la que el uo del ulraonido no revele la exiencia de un cambio de medio o que ea difícil diinguir con claridad una inerfae enre do regione cuando éa on de denidad imilar.

10 CAPITULO I 3 MATERIAL VELOCIDAD m/ Aire 33 Sangre 575 Hueo 35 Graa 45 Riñón 56 Hígado 55 Múculo 58 Tejido blando rom 54 TABLA : Velocidad del ulraonido en alguno ejido biológico. Nóee el alo valor en hueo. El aire e incluye en la abla or raone comaraiva. I. Moivación Un arámero clínico imorane en medicina e la firmea de lo ejido biológico. E bien conocido que un cambio en la elaicidad de ejido blando, eá relacionado con alguna aología. Por ejemlo, lo umore en el eno o en la róaa, uelen reenare como regione má dura que el ejido circundane. También la cirroi e raduce en una durea anormal del hígado. Sin embargo no exie una relación imle enre la velocidad de la onda acúica en ejido y lo arámero mecánico que deerminan u firmea, ya que no hay una relación direca enre la denidad y la elaicidad. Aí alguno eudio han revelado que alrededor de un % de lo exámene de cáncer de róaa or ulraonido brindan falo negaivo [3]. La écnica de diagnóico de ruina en eo cao e la alación. De hecho, en nuero aí, e recomienda a la mujere hacere un auo examen a ravé de la alación, ara el diagnóico emrano del cáncer de mama. La roagación del ulraonido one de manifieo en u dinámica la comreibilidad del medio, un arámero eláico que no e erceible or nuero enido. En efeco e difícil diinguir al aco la laa del aluminio, ero el ulraonido en eo medio e roaga a velocidade bien diferene 365 m/ y 64 m/ reecivamene. Por el conrario, el ejido mucular y el agua on erfecamene diinguible al aco, ero la velocidad del ulraonido e rácicamene idénica en ambo medio 54 m/ y 5 m/ reecivamene. En realidad, la alación 3λ + µ ermie evaluar el módulo de Young: E µ del maerial [4]. En ea exreión λ + µ λ y µ on lo arámero eláico de Lamé que rereenan la elaicidad de comreión y la elaicidad de cialla reecivamene. En el cao exremo en que

11 CAPITULO I 4 λ >> µ como ucede en alguno medio biológico, la exreión ara el módulo de Young e uede aroximar or: E 3µ E común la denominación de ólido blando a lo maeriale que cumlen ea aroximación. Por lo ano la enación de firmea en ólido blando eá conrolada or el módulo eláico de cialla. Ee arámero e rácicamene nulo en el agua ero no en el ejido mucular, allí radica la diferencia al aco. El uo de la alación en medicina eá reringido a aquella ona del cuero que e encuenran róxima a una uerficie acceible y a amaño de la anomalía que uedan er deecada a ravé del aco. Se derende enonce, la neceidad de algún iema que brinde una medida cuaniaiva de la elaicidad de lo ejido biológico, un iema de alación remoa. Si bien exien aarao reológico caace de medir la elaicidad, odo requieren la exracción de una muera de ejido, lo que la vuelve écnica deruciva. El rango de variación del módulo de cialla e baane amlio en lo ejido. En la figura e mueran alguno valore omado de la referencia []. De manera que algún iema de conrucción de imágene baado en ee módulo ermiiría diinguir con mayor claridad alguna aología que la ecografía convencional. hígado múculo relajado ejido adioo ejido conecivo múculo conraído nódulo alable carílago hueo FIGURA : Dao omado de la lieraura obre lo órdene de valore del módulo eláico de cialla ara alguno ejido Módulo de cialla en KPa La roagación del ulraonido en lo ejido one de manifieo u comoramieno a ala frecuencia. La alación e en ciero enido una evaluación del maerial a baja frecuencia. A finale de la década de lo 8 urgieron lo rimero rabajo endiene a cuanificar la elaicidad de ejido biológico or méodo no derucivo. La idea báica e alicar una deformación de baja frecuencia al maerial obre una uerficie libre y eudiar lo delaamieno inerno or écnica

12 CAPITULO I 5 ulraonora o de oro io. En alguno cao dicha deformación e eáica, e decir, e comrime el maerial y e raa de cuanificar la deformación ufrida or ée. Ora alernaiva conie en hacer roagar una vibración de baja frecuencia - H denro del medio y a arir de la caraceríica de ea vibración eimar u roiedade eláica. La rimer oción e conoce con el nombre de elaografía eáica o imlemene elaografía, mienra que la egunda recibe el nombre de onoelaografía o onoelaicidad. Eo rabajo e iguen dearrollando al día de hoy en vario laboraorio de inveigación en divero aíe. Si bien la moivación inicial de la écnica elaográfica fueron u alicacione médica, éa e mueran ambién úile en la induria agro-alimenaria. En efeco, una caraceríica imorane de la carne vacuna e u ernea. La écnica mecánica uiliada hoy en día ara u deerminación Inron, Warner-Blaer, no ermien u uo en lana indurial ya que requieren muera corada eecialmene. La écnica rouea odría en un fuuro dearrollare de manera que ermia evaluar la ernea en lana. I.3 Anecedene La elaografía eáica dearrollada rincialmene or J. Ohir, e la rimer écnica ulraonora que ha ermiido obener imágene de la elaicidad de lo medio biológico [5]. Cuando un ejido e omee a una comreión cuai-eáica, la deformacione inerna quedan definida or la condicione de fronera y or la roiedade inríneca del ejido. Para cuanificar la roiedade eláica locale de un volumen del inerior del medio, e neceario conocer u ecuación coniuiva. Si e uone que el maerial e eláico y homogéneo, el efuero y la deformación eán relacionado or la ley de Hooke: τ E ε E e el módulo de Young, τ e el efuero re normal en la dirección y ε e la deformación rain en la mima dirección. Se uede enonce evaluar el módulo de Young a ravé del cociene enre el efuero y la deformación. Ea area requiere el conocimieno de ea do canidade a la ve. En el cao de un comreor circular alicado normalmene obre la uerficie lana de un medio emi-infinio, exie una exreión analíica ara el efuero en función de la rofundidad y del radio del ión obenida or Saada [6], cuya exreión a rimer orden e:

13 CAPITULO I 6 τ τ 3 3/ a + donde e la rofundidad medida dede la uerficie libre, τ e el efuero normal al eje, τ e el efuero alicado obre la uerficie y a e el radio del comreor. Ea exreión ara el efuero e fueremene deendiene de la condicione de borde, condicione que on difícile de lograr en muera de ejido biológico donde exie la reencia de oro órgano, hueo, ec. Ea comlejidad en la condicione de fronera coniuye un obáculo en el cálculo del efuero. Para eviar ee roblema, mucho auore han elegido uiliar un comreor de gran uerficie, comarado con la dimenione de la muera. Si el radio a del comreor cumle a >>, la exreión 3 e uede aroximar or un efuero conane τ, indeendiene de la rofundidad. El maa de deformacione uede er eimado or ulraonido. Lo ejido biológico conienen en u inerior elemeno difuore del orden o menore que la longiud de onda ulraonora, diribuido en forma má o meno aleaoria. Alguno ejemlo on: Fibra muculare, φ 6 mm Conjuno de célula, Agregado de graa, Filameno de acina, φ µ m φ µ m φ. 5 µ m donde φ rereena la ección efica del difuor. Al er alcanado or la onda ulraonora, eo difuore generan una onda rerodifundida que uede er caada or el receor. La eñal recibida e conoce como eckle acúico, debido al fenómeno análogo enconrado en óica. Cuando el maerial e deforma, el eckle acúico e modifica en relación a la deformación. A arir de ea información e oible reconruir el movimieno de lo difuore baándoe en alguna écnica de correlación enre la eñale ecográfica re y o comreión. La écnica e conoce como eckle racking o eguimieno de eckle. Ea idea e dearrollará má adelane en la monografía.

14 CAPITULO I 7 La información conjuna del maa de efuero juno con el de la deformación local del medio uede er uiliada ara formar una imagen de la roiedade eláica locale denominada elaograma. Ea exeriencia llevada a cabo in viro y in vivo, moraron la caacidad de formar imágene de erucura eláica que no figuraban en una ecografía convencional [7]. En elaografía e deeable que la deformacione rovocada al ejido ean la mayore oible ya que eo brinda una ala relación eñal/ruido en la imágene elaográfica. Sin embargo, grande delaamieno de lo difuore reulan en una decorrelación imorane de la eñale ecográfica recibida, faleando enonce la eimación de lo delaamieno [8]. Eo rereena un comromio enre la relación eñal/ruido y la correca eimación de lo delaamieno. El gruo de Ohir e al, ha rabajado inenamene en ee aeco [9], [], []. Si bien lo méodo roueo mejoran la relación eñal/ruido en la imágene obenida, ambién aumenan el iemo de cálculo y u alicabilidad in vivo e meno efeciva. Lo elaograma obenido or elaografía conienen en general arefaco debido rincialmene a que la condicione de borde en general no on imle. Oro aeco que e fuene de errore e el cálculo de la deformación. En efeco, la écnica de deección de movimieno or eguimieno del eckle acúico, ermien calcular el delaamieno inerior del medio luego de la comreión. Como la deformación e obiene derivando lo delaamieno, el ruido de ala frecuencia en la adquiición de lo delaamieno equeña flucuacione en u eimación, e ve amlificado. Lo elaograma conruido de ea manera on alamene ruidoo. Una decrición deallada de lo arefaco enconrado en elaografía e encuenra en []. La onoelaografía, dearrollada or Krouko[3], Parker [4], Greenleaf [5], Fink [6], enre oro, eudia la vibracione inerna de baja frecuencia de lo ólido blando generada or una exciación inuoidal. Se morará má adelane que ara vibracione de baja frecuencia en ólido blando la mayor are de la energía e roaga como una onda de cialla. Como la velocidad de la onda de cialla eá relacionada en forma imle con el módulo eláico correondiene, e uede obener una eimación del módulo de Young midiendo direcamene la vibracione inerna. La forma de regirar la vibracione varía egún lo auore. Una forma e medirlo a arir de la diorione frecuenciale de la eñale ecográfica or efeco Doler.

15 CAPITULO I 8 Lo movimieno rovocado or la vibración e raducen en la modificación del conenido eecral de la eñal ecográfica. Si una onda de baja frecuencia e roaga or el medio, lo difuore inerno iguen el movimieno del roio medio y vibran con la mima frecuencia. Cuando la onda ulraonora alcana a lo difuore en movimieno, la onda reflejada eá ujea a una modulación debida al efeco Doler reulando en un corrimieno de la frecuencia. Inicialmene la onoelaografía baada en efeco Doler, uiliaba inrumeno de onda coninua CW, regirando direcamene la velocidad de lo delaamieno, [4]. Con el objeivo de omar en cuena lo efeco vicoeláico, Yamakohi e al [7], uiliaron una écnica de Doler ulado PW ara deecar lo movimieno inerno. Ea écnica ermie comuar la amliud y la fae de la vibración. E oible enonce obener la velocidad de roagación de la vibración de baja frecuencia en el ejido y u aenuación. A arir de ea información y la hióei de un modelo vicoeláico lineal conocido como modelo de Voig, e obienen el módulo eláico y el módulo vicoo del ejido. Ea écnica fue alicada or lo auore in vivo morando que e oible obener información cuaniaiva de la elaicidad de lo órgano, exciando modo roio de vibración a ravé de fuera exerna [8]. La figura 3 muera el monaje uiliado or lo auore. onda Doler vibrador mecánico de baja frecuencia difuore FIGURA 3: Equema de la configuración exerimenal uiliada en la onoelaografia Doler.

16 CAPITULO I 9 Oro auore como Greenleaf [5], uilian la reonancia magnéica nuclear MRI ara calcular lo delaamieno. Ee rocedimieno iene venaja comaraiva reeco a la ya mencionada. La reciión en la deección de lo delaamieno e inferior a lo nm comarado con la écnica ulraonora cuya reciión e del orden de µ m, udiéndoe enonce conruir un maa eláico a ecala que ermien claramene diinguir la fronera enre medio con roiedade eláica diina. Ea écnica recienemene han ido alicada in vivo [9], morándoe caace de formar imágene en ecala de grie de umore de eno y de maeria blanca en el cerebro. Una devenaja de la écnica de elaografía or reonancia magnéica e que reula oneroa y requiere una gran infraerucura ara u funcionamieno debido a lo alo camo magnéico uiliado. Toda la alernaiva haa ahora mencionada en onoelaografía, uilian una exciación monocromáica ara generar vibracione inerna. La reflexione en la fronera del medio hacen que e generen onda eacionaria denro del mimo. Su caraceríica on muy enible a la condicione de fronera, y i éa no on imle, uede reular comlicado relacionar la roiedade de la vibración de baja frecuencia con la elaicidad del medio, udiéndoe incluo obener reulado erróneo [4]. Para eviar eo efeco no deeado, Fink y u gruo rouieron uiliar una exciación imulional a ravé de un ión ara generar lo movimieno inerno [4], []. Ea nueva modalidad conocida como onoelaografía imulional ranien onoelaograhy, ugiere eudiar la vibracione ane de que éa alcancen lo borde y la reflexione conaminen la onda viajera, de manera que lo reulado ean indeendiene de la forma geomérica de la fronera. Lo reulado in viro llevado a cabo en fanoma de imulación e moraron caace de obener un maa eláico de un medio inhomogéneo comueo de do regione con diferene elaicidad. I.4 Decrición de la ei Ee rabajo de ei igue la línea de la onoelaografía imulional. Uiliamo una exciación imulional ara generar vibracione inerna en la muera. El eudio exerimenal e cenra en la roiedade de la onda de cialla aí generada. En el iguiene caíulo e dearrolla la eoría de roagación de onda eláica en un ólido eláico. Se reenan la funcione de Green y e marcan vario aeco relevane de u aricularidade ara un ólido blando, que on bien diferene a la de ólido convencionale meale, granio, ec.. Por ea raón lo reulado exiene

17 CAPITULO I en la lieraura y aceado en la uiliación del ulraonido ara el enayo no derucivo de maeriale ya no on válido. En aricular el diagrama de direcividad obenido or Miller y Purey [], no e ajua a la exeriencia. El monaje exerimenal fue eecialmene dieñado enre oro fine ara oder relevar exerimenalmene el diagrama de direcividad de la fuene de delaamieno. En ee rabajo e raa de incluir ademá el comoramieno vicoo de lo ejido. Ee uno no e de ruina en oda la écnica elaográfica. Creemo que e imorane u análii ara la valide final de la oible alicacione del méodo. Su incororación e hace en bae al modelo vicoeláico lineal de Voig que e inroduce ambién en el caíulo II donde e mencionan ademá la exeriencia realiada or oro auore confirmando la valide del modelo en rimera inancia. En el caíulo III e decribe el rinciio báico en que e baan la exeriencia realiada, la reconrucción de lo delaamieno inerno de la muera a ravé del eguimieno del eckle acúico. En ee caíulo e muera ambién cómo obener valore cuaniaivo de lo arámero vicoeláico de la muera, y e hace un eudio deallado de la influencia de lo arámero exerimenale obre la reciión de lo reulado finale arrojado or el méodo. Analiaremo lo facore que inervienen en dicha reciión y la configuración exerimenal que oimia eo arámero. En aricular eudiamo la influencia del amaño del ión uiliado obre la aenuación de la onda de cialla. En ee enido moramo como aore que la valide de la exreione obenida ara una fuene unual e regiran a arir de ciera diancia al ión que raamo de eablecer aquí en forma aroximada. Una caraceríica imorane que deben ener lo méodo elaográfico e oder relevar la elaicidad del medio a nivel local, de manera de oder diinguir enre regione diferene. En el caíulo IV e muera que el méodo roueo aquí e revela caa de hacerlo, creando una imagen de leniud que e la invera de la velocidad de la onda de cialla, direcamene relacionada a la roiedade eláica del maerial. La imágene obenida de ea manera on uceible de reenar arefaco debido a la reciión del méodo.

18 CAPITULO I REFERENCIAS [] A. Sarvayan, O. Rodenko, S. Swanon, J. Flowker, Y. Emilianov, Shear wave elaiciy imaging: a new ulraonic echnology of medical diagnoic Ulra. Med. Biol [] Y. Fung, Biomechanic: mechanical roerie of living iue, Sringer-Verlag, New York Inc [3] S. Melchior, M. Brawer Role of ranrecal ulraound and roae bioy J. Clinical Ulraound [4] S. Caheline, Inerferomerie-eckle ulraonore: Alicaion a la meure d elaicie, Thee de docorac de l univerie Pari VII, 998. [5] J. Ohir, S. Alam, B. Garra, F. Kallel Elaograhy: ulraonic eimaion and imaging of he elaic roerie of iue Ulraonic Imaging, [6] S. Saada Elaiciy, heory and alicaion New York, Pergamon Pre 974. [7] I. Céede, J. Ohir, Elaiciy imaging uing ulraound wih alicaion o mucle and brea in vivo, Ulra. Imaging [8] W. Walker, G. Thaney, A fundamenal limi on he accuracy of eckle ignal alignmen, IEEE Tran UFFC [9] I. Céede, J. Ohir, Reducion in image noie in elaograhy, Ulraonic Imaging [] H. Ponnekani, J. Ohir, Y. Huang, I. Céede, Fundamenal mechanical limiaion on he viualiaion of elaiciy conra in elaograhy, Ulraound Med. Biol. Vol [] S. Alam, J. Ohir, Reducion of ignal decorrelaion from mechanical comreion of iue by emoral reching: alicaion o elaograhy, Ulraound Med. Biol. 3 Vol 997. [] J. Ohir, S.Alam, B. Garra, F. Kallel, E. Konofagou, T. Kruko, T Varghee, Elaograhy: ulraonic eimaion and imaging of he elaic roerie of iue, Proc. Inn. Mech. Engr. 3 ar H 999. [3] T. Krouko, D. Doughery, S. Levinon, A uled doler ulraonic yem for making noninvaive meauremen of he mechanical roerie of of iue, J. Rehabil. Re. and Dev [4] K. Parker, R. Lerner Sonoelaiciy: medical elaiciy image derived from ulraound ignal in mechanically vibraed arge Acouical Imaging,

19 CAPITULO I [5] R. Muhuillari, D. Loma, P. Romann, A. Manduca, J. Greenleaf Magneic reonance elaograhy by direc viualiaion of a roagaing acouic rain wave Science, [6] L. Sandrin, M. Taner, S. Caheline, M. Fink, Shear elaiciy robe for of iue wih D ranien elaograhy, IEEE Tran. UFFC, 49, [7] Y. Yamakohi, J. Sao Ulraonic imaging of inernal vibraion of of iue under forced vibraion IEEE Tran. UFFC 37, 99 [8] S. Levinon, M. Shinaguawa, T. Sao, Sonoelaic deerminaion of human keleal mucle elaiciy, J. Biomech. 8, 995. [9] A. Manduca, T. Olihan, M. Drener, J. Mahowald, S. Krue, E. Amromin, J. Felmlee, J. Greenleaf, Magneic reonance elaograhy: noninvaive maing of iue elaiciy Medical Image Analyi 5. [] S. Caheline, F. Wu, M.Fink, A oluion o diffracion bia in onoelaiciy: he acouic imule echnique, J. Acou. Soc. Am 5, 999. [] G. Miller, H. Purey, The field and radiaion imedance of mechanical radiaor on he urface of a emi-infinie ioroic olid, Philoohical Tranacion of he Royal Sociey of London, A3, 954.

20 CAPITULO II 3 CAPITULO II MARCO TEORICO II. Inroducción La decrición de una ecuación coniuiva mecánica ara lo ejido biológico no e maeria encilla. Su comoramieno deende de mucho facore. Mienra viven, eán acivo meabólicamene y exhiben roiedade mecánica que varían ráidamene deué de muero []. Ademá ea roiedade mecánica ueden er deendiene de la deformación, del rimo de deformación y de la edad del ejido. La ecuacione ara u decrición que e encuenran en la lieraura en mucho cao on emírica y ueden no adaare bien a una muera aricular. Para imlificar la caraceriación de lo ejido, e omeen a efuero de una duración lo uficienemene breve que ermia ignorar en rimera inancia u nauralea vicoa y el ejido e uede aumir como eláico. Eo ignifica que el eado del ejido ólo deende del efuero acual, no hay efeco de la hioria revia del ejido. Con ea idealiación de un ejido, la area de decribir u caraceríica mecánica e reduce a enconrar el enor de coeficiene eláico. Como eo reula aún en un roceo exremadamene comlejo, e deben hacer hióei adicionale. Lo ejido reenan una organiación jerárquica de u erucura. La célula animale íicamene de enre 6 y µ m de diámero unida a ravé de una mari inercelular forman un ejido. El ejido e la bae de un órgano, que uede ear coniuido or un olo ejido o or vario de ello. De manera que deendiendo de la ecala en la que eemo inereado, u decrición erá má o meno comleja. Si la ecala e aroiada, odemo coniderar que la equeña erucura de lo ejido eán diribuida aleaoria y uniformemene. En ea circunancia, uede coniderare al ejido como un maerial homogéneo. En alguno cao uede coniderare ademá que la erucura del ejido no definen ninguna dirección referene de manera que e ueda coniderar ióroo. Ee e el cao or ejemlo en el hígado. En oro cao, íicamene en el ejido mucular, la erucura celulare definen claramene direccione referene de orienación. La hióei de ioroía deja de valer aunque e uede conervar la de homogeneidad. En eo cao e conidera al ejido como un maerial con ioroía ranveral, e decir, en el lano

21 CAPITULO II 4 erendicular a la orienación referene. La conane eláica a deerminar en ee cao on 5. Como nuero iema de medición e baa en la roagación de onda de baja frecuencia en el medio, comenaremo ee caíulo con un eudio de la roagación de onda en un ólido eláico e ioróico. Se analia en forma cuidadoa la olución a una exciación imulional y unual en la uerficie libre de un ólido emi-infinio funcione de Green. Eo reulado erán objeo de comaración luego con reulado exerimenale a ravé de la écnica de inerferomería eckle, decria má adelane en el caíulo III. Una caraceríica imorane de lo ejido biológico e u comoramieno vicoeláico. Ea caraceríica e conocida en el camo de alicacione médica del ulraonido. Lo efeco vicoo on en are reonable or el aumeno de emeraura regirada en ejido al roagare una onda ulraonora []. Un modelo aroiado cuando la deformacione del medio on equeña, e el de un medio vicoeláico lineal [3]. En la egunda are de ee caíulo e decribe el modelo vicoeláico de Voig y e muera cómo obener lo arámero relevane a arir de dao que e ueden obener exerimenalmene. II. Ecuación de onda No inerea en ea ección deducir la ecuación de onda en un ólido eláico e ioróico. Un ólido eláico e aquel que cumle una relación lineal enre la fuera que acúa obre el maerial y la conecuene deformación ufrida or ée. Su ecuación coniuiva eá dada or la ley de Hooke: T C e ij ijkl kl donde T ij e el enor de efuero, e kl e el enor de deformacione yc ijkl e el enor eláico o de Crioffel que eablece la roorcionalidad enre el efuero y la deformación. El número de coeficiene indeendiene de ee enor, e uede ver reducido or conideracione de imería del maerial. Si el maerial e ioróico, el enor eláico debe reflejar ea imería y la canidad de érmino indeendiene e reducen a an olo do, conocido como coeficiene de Lamé. La exreión ara Cijkl en ee cao viene dada or: Cijkl ij kl δ + δ δ λδ δ + µ δ ik jl il jk

22 CAPITULO II 5 donde λ y µ on lo coeficiene de Lamé y δ ij e la habiual dela de Kroenecker, vale i i j y en oro cao. Para deducir la ecuación de onda, haremo uo de la ecuación fundamenal de la dinámica: ρ u i f i En ea exreión ρ e la denidad del medio y f i la comonene i de la fuera or unidad de volumen. El érmino f i e uede exrear en función del enor de efuero 3 como: f i Tij 4 x j donde eá imlícia la uma obre el índice j. Al ecribir la exreión 4 eamo aumiendo que no hay fuera de volumen reene. Suiuyendo la ecuacione, y 4 en 3 obenemo la ecuación de onda ara un ólido eláico e ioróico: ui u ρ λ + µ xi x Cuya exreión vecorial e: k k + µ x j u x i j u λ + µ u + µ ρ u 5 Un reulado úil ara eudiar la roagación de onda en eo cao e el eorema de Lamé [4]: Si la condicione iniciale ara u y u& e ecriben en érmino de lo oenciale de Hemhol vía: u & r, A + B ; u r, C + D con B D. Enonce exien lo oenciale φ r, y Ψ r, ara u r, que cumlen: i u φ + Ψ ii Ψ Lo oenciale de Hemhol ara un camo vecorial Z r on camo X r, Y r al que Z X + Y, con Y. Para conruir X r e Y r dado Z r, e uficiene con reolver la ecuación vecorial de Poion: W Z, ya que enonce la idenidad W W W no dice que odemo elegir lo oenciale X W e Y W.

23 CAPITULO II 6 iii φ c φ con c λ + µ ρ Ψ c µ iv Ψ con c ρ De lo uno iii y iv del eorema de Lamé, e deduce que u φ cumle con la ecuación de onda con velocidad λ + µ ρ c, y que u Ψ ambién cumle con la ecuación de onda con velocidad c µ ρ. Dado que λ > e verifica que c < c. Por ea raón, a lo delaamieno aociado a lo oenciale φ y Ψ e lo denomina onda P onda rimaria y onda S onda ecundaria reecivamene. Vemo enonce que la olución a la ecuación de onda e comone en general de la uma de do érmino, uno irroacional onda P y oro de divergencia nula o olenoidal onda S. El rimero e roaga modificando localmene el volumen del medio, mienra que el egundo e roaga deformando al medio in modificar u volumen. Eudiaremo ahora la olución a la ecuación 5 cuando el origen de lo movimieno e rovocado or una exciación unual de duración infiniamene breve, e decir un imulo del io Dirac. Ea olución e conoce como función de Green. II.3 Función de Green La funcione de Green ermien evaluar el camo de delaamieno en función del iemo y el eacio generado or una fuera unual e imulional. Ea función ermie luego conocer la reuea del medio cuando la exciación de enrada e una función arbiraria del iemo, a ravé del roduco de convolución enre ella. Ea afirmación e válida i el medio e coniderado lineal e invariane en el iemo como en nuero cao. Nuero ineré e cenra en la olución de la ecuación 5 cuando la exciación e alicada obre la uerficie libre de un emi-eacio ólido, eláico e ioróico. Ee roblema fue eudiado or Horace Lamb en 94 [5] or u ineré en imología. A arir de enonce e conoce como roblema de Lamb. La geomería del roblema e la que e muera en la figura. La fuera unual de amliud unidad e alica obre el origen de coordenada, mienra que el emi-eacio eláico ocua la región >.

24 CAPITULO II 7 Exciación unual y ϕ r x P FIGURA : Decrición de la coordenada uiliada ara decribir el roblema de Lamb. Se mueran la ubicación de un uno P en érmino de la coordenada careiana x, y, y de la coordenada cilíndrica r, ϕ,. Dada la imería cilíndrica del roblema, e conveniene exrear lo reulado en coordenada cilíndrica. En el aéndice A e muera la olución a ee roblema, ara uno obre el eje de la fuene eje en la figura, en el aéndice B e obiene una olución aroximada, válida ara ólido blando y finalmene en el aéndice C, e mueran lo reulado ara uno fuera del eje. Para reolver el roblema, e alica la ranformada de Lalace en el iemo y la doble ranformada de Fourier en el eacio con el objeivo de manejar la ecuacione de onda y la condicione de borde en érmino algebraico. Luego e invieren la ranformacione ara obener la deendencia eacial y emoral de la olución, iendo la má laborioa la inverión de la ranformada de Lalace que e hace a ravé de la écnica de Cagnirad-de Hoo [4]. Se deduce de ea olución que como reulado de la exciación e generan en el medio cuaro onda como e muera en la figura. Allí e mueran lo cuaro frene de onda. Lo do frene eférico correonden a una onda de comreión onda P y una onda de cialla onda S marcado en la figura como y reecivamene. Ademá de la onda de comreión y de cialla e roduce una onda uerficial onda de Rayleigh cuya amliud decae exonencialmene denro del medio. La velocidad de roagación de la onda de Rayleigh c R, deende del módulo de Poion del maerial y queda bien aroximada or la fórmula de Vikorov [7] : En realidad la canidad de onda generada deende del módulo de Poion ν del maerial, definido λ como: ν. Si ν <. 63 aarecen ambién oro io de onda uerficiale conocida como λ + µ leaky urface wave [8]. Sin embargo como lo ólido blando cumlen ν /, no omaremo eo érmino en cuena.

25 CAPITULO II 8 c c R c c c c Por úlimo e roduce una onda llamada de cabea head wave, marcada en la figura como. Ea onda no e roaga en odo el medio, ino que u reencia e regira a arir del ángulo θ c con el eje, definido a arir de in θ c c c. Su velocidad no e la mima en oda la regione del medio, ino que deende del ángulo θ. El frene de onda en 3 dimenione iene la forma de un cono runcado or lo que ambién e llama onda cónica. Ee io de onda e bien conocida en imología ya que en ciera condicione donde exien cambio de medio, uede er la rimer comonene en arribar en el regiro de un imograma [4] y de allí roviene u nombre. En el aéndice C, e muera que ea onda iene origen en una modificación en la rayecoria de inegración al inverir la ranformada de Lalace, debido a un core inroducido en el eje imaginario enre la ingularidade que dan origen a la onda S y a la onda P. Eo ermie inerrear a ea onda con origen en la comonene P obre la uerficie que e roaga al inerior del medio como una onda S. R x θ c c inθ c c FIGURA : Frene de onda generado a arir de una exciación unual obre el lano x-. Se mueran la onda de comreión, la de cialla, la de Rayleigh R y la de cabea c. Se muera ademá el ángulo a arir del cual e regira ea úlima. Conideremo do uno obre la uerficie O r, y O r, con r > r, como e muera en la figura 3. cada uno de eo uno e alcanado or la onda P en

26 CAPITULO II 9 un iemo r / c, con i, y acúan como emiore ecundario de onda P y S. i i Para un inane de iemo oerior + τ + τ, el frene de la onda S roveniene de O i e un emicírculo de radio O B i i c τ. Conideremo el riángulo recángulo OBA con OB / OA c / c. Se uede morar que lo riángulo O B A y O B A on emejane al OBA. Por lo ano la reca BA e angene a lo emicírculo con cenro O i, y en conecuencia deermina el frene de onda. El ángulo θ in c / c e denomina ángulo críico. c i O c O c O c τ A c r c τ B c B θ c B FIGURA 3: Frene de onda de la onda de cabea, deerminado a arir del rinciio de Hyugen El reulado final ara el camo de delaamieno en función del iemo y el eacio queda exreado en érmino de inegrale finia que no e ueden evaluar analíicamene en el cao general. La decrición del comoramieno de cada érmino ólo uede llevare a cabo a ravé de una inegración numérica. Sin embargo, en el eje de imería eje en la figura, e oible obener una exreión analíica ara lo delaamieno, que llamamo G en el aéndice A. En el eudio exerimenal de ea ei, eudiaremo rincialmene lo delaamieno ocurrido obre el eje de la fuene de exciación. Por ea raón e imorane ener una decrición con má dealle ara ee cao.

27 CAPITULO II II.4 Delaamieno obre el eje G El camo de delaamieno obre el eje,, e el reulado de la conribución de una onda de comreión onda P, y de una onda de cialla onda S, lo que e uede rereenar como ver aéndice A: + G, G, G, 7 Ea exreión da cuena que la onda de cialla iene una comonene longiudinal no nula obre el eje. Se deduce enonce que la onda S no e raa de una onda ranveral ura donde lo delaamieno de maeria on erendiculare a u enido de roagación. En el aéndice B e deduce una exreión aroximada del reulado exaco de la función de Green cuya exreión e: c G, πµγ donde: c γ ; c δ + H 4H + H H δ i i H i < i 8 En la figura 4, e muera la deendencia de G con el iemo, calculada a arir del reulado exaco, ara el cao c 5 m/ y c 5 m/, valore imilare a lo enconrado en ólido blando como veremo má adelane en el caíulo III. Ea figura fue conruida ara una diancia 3 mm de la fuene. En ella e diingue un imulo del io δ de Dirac en. m correondiene al iemo de arribo de la onda de comreión. Luego de ee iemo, e roduce una rama que crece haa 6. m, el iemo de arribo de la onda de cialla. Ea rama, que correonde al úlimo érmino de la ecuación 8, e un érmino de acolamieno enre la onda de comreión y la onda de cialla que llamaremo P+S. Su inerreación fíica e la iguiene : La onda de comreión e la rimera en arribar a un uno dado del inerior del medio. La roagación de ea onda eá relacionada con deformacione irroacionale del medio. Como el medio no e oalmene incomreible, ea deformacione irroacionale dan lugar a deformacione olenoidale locale y acúan como fuene ecundaria de onda de cialla. Ea fuene ecundaria e crean a lo

28 CAPITULO II largo del camino de la onda de comreión. El coninuo de fuene ecundaria exlica la exenión del érmino de acolamieno. Luego del arribo de la onda de cialla, la curva decrece ráidamene acercándoe a cero. Debido a la gran diferencia enre lo iemo y en la figura no e oible obervar claramene el arribo de la onda de comreión, or eo e muera en la figura inferior una verión amliada en orno a. FIGURA 4: Rereenación gráfica de la función de Green obre el eje de la fuene en función del iemo. La figura inferior e una amliación en orno al iemo de arribo de la onda de comreión. La amliud de la onda de cialla e mayor que la de la onda de comreión. Para comaración e muera en la figura 5 el mimo reulado ara el cao del acero donde c 584 m/ y c 37 m/. La diferencia enre la figura e clara. En el cao del ólido blando, la función oma u valor máximo en el iemo de arribo de la onda de cialla, mienra que en el cao del acero, el valor máximo e correonde con el iemo de arribo de la onda de comreión. Se derende enonce que el eo relaivo de cada comonene varía en función de la relación cao vale γ 3 y en el egundo γ. 84 γ c c que en el rimer. En ee úlimo cao, la diferencia de iemo enre la onda de comreión y la de cialla e mucho menor, or lo que la rama de acolamieno iene un crecimieno má limiado que en un ólido blando.

29 CAPITULO II FIGURA 5: Forma emoral de la función de Green ara el acero. La diferencia con la figura 3 on nooria y e debe a la relación γ c / c. II.4. Conideracione energéica Cuando una onda eláica e roaga en un medio, e roduce un ranore de energía. La energía E conenida en un volumen V inerior al medio varía con el iemo; un incremeno de energía d E mecánico T r obre la uerficie límie del volumen: donde ij, debe er igual al rabajo hecho or el efuero de Tij n jduids 9 S n j e la comonene j del vecor n normal a la uerficie de inegración en odo uno. La variación de energía conenida en V or unidad de iemo e or lo ano: de ui Tij n j ds d S que uede ecribire en la forma:

30 CAPITULO II 3 de + Pj n jds d S donde e ha definido el vecor P como: ui Pj Tij La ecuación muera que la variación de energía en el volumenv roviene del flujo del vecor P obre u uerficie límie. P e el vecor de Poyning; u dirección e la del ranore de energía y u magniud e la canidad de energía que araviea la uerficie or unidad de área y unidad de iemo. Para una onda lana en un ólido eláico e ioróico, el flujo de energía vale ρ c u& ara el modo P y ρ c u& ara el modo S. El ranore de energía e roorcional al cuadrado de la velocidad que adquieren la arícula del medio al roagare la onda. La figura 6 muera el comoramieno ea velocidad en función del iemo. Ee reulado e obiene haciendo la derivada emoral de lo delaamieno morado en la figura 4. En ea figura rácicamene deaarece la rama enre y, y e regiran imulo correondiene al arribo de cada onda. El correondiene a la onda de comreión aarece como la derivada de la función de Dirac, un imulo del io δ y el de la onda de cialla como una función de Dirac negaiva. FIGURA 6: velocidad de la arícula del medio en función del iemo. Lo do imulo morado correonden al iemo de arribo de la onda de comreión. m y al de la onda de cialla 6. m reecivamene.

31 CAPITULO II 4 En el aéndice B e obiene una exreión aroximada ara la velocidad de lo delaamieno, válida ara ólido blando, cuando la fuene e una exciación monocromáica. El reulado e el iguiene: G in ω c ω coω πµγ c γ in ω γc + 3 ω coω coω 3 El rimer érmino de ea ecuación e la conribución a la velocidad de la onda de comreión, el egundo la de la onda de cialla y el ercero la del érmino de acolamieno P+S. La inerreación de la ecuación 3 e que la onda P domina ara una vibración de ala frecuencia debido a la reencia de la frecuencia de la vibración en el numerador del rimer érmino. Ee érmino domina ambién en camo lejano ya que la amliud decae con el invero de la diancia a la fuene. El érmino de acolamieno P+S domina a muy baja frecuencia cerca del límie eáico debido a que la frecuencia figura en el denominador. E ambién el érmino má imorane en camo muy 3 cercano debido al decaimieno /. En fin, a frecuencia inermedia, y camo inermedio el érmino dominane e el de la onda de cialla. Eo reulado aroximado e ven confirmado haciendo un análii de Fourier de cada comonene. En la figura 7 e muera el módulo de la ranformada de Fourier de la velocidad ara cada comonene de la onda. La figura e obuvo a ravé de la función de Green in aroximacione. Se oberva que ara ala frecuencia la mayor are de la energía e roaga bajo la forma de una onda de comreión, mienra que ara baja frecuencia la onda de cialla e el érmino dominane El límie de muy baja frecuencia no aarece en la figura. La frecuencia límie f l a arir de la cual la onda de comreión iene mayor amliud que la onda de cialla e encuenra aquí en el enorno de lo 6 KH ara lo mimo valore de c y c uado ara conruir la figura 4. Oro auore [], han regirado reulado del mimo orden coniderando medio vicoeláico con caraceríica imilare a la de lo ejido biológico.

32 CAPITULO II 5 onda S onda P f 6 KH l FIGURA 7: Tranformada de Fourier de la comonene S y P de la velocidad morada en la figura 6. Imora deacar aquí lo que ya habíamo mencionado en la inroducción de la monografía, el hecho de que a ala frecuencia el comoramieno del ejido e imilar al regirado en fluido, e decir la roagación de onda e da báicamene bajo el modo de una onda de comreión. A ear de ello, lo efeco de la onda de cialla no on dereciable en la roagación del ulraonido en ejido. Ea onda e reonable del aumeno de emeraura regirado en el ejido en regione cercana al randucor y u reencia debe er coniderada en aeco relaivo a la eguridad de un aciene en raamieno []. A baja frecuencia el modelo correco e el de un ólido. Como la onda de cialla domina a baja frecuencia, eudiando u roagación en un ólido blando e uede exraer el módulo eláico correondiene. II.4. Simograma Una ve obenida la reuea al imulo en función del iemo y la oición obre el eje, e uede obener la reuea Γ, del medio a una exciación arbiraria E a ravé de la convolución emoral enre ea funcione: Γ, E G +, E τ G, τ dτ 5

33 CAPITULO II 6 El camo de delaamieno Γ,, e uede rereenar bajo la forma de un imograma como e muera en la figura 8. eñal de enrada Onda P Onda S FIGURA 8: En la are uerior de la figura e muera la forma de exciación, una inuoide amoriguada de 5 H. La figura inferior e la reuea del medio a ea enrada en función del iemo y la rofundidad. Ea reuea e muera en forma de imograma. Cada línea rereena la evolución emoral de lo delaamieno a una rofundidad dada. La función de enrada E uada ara conruir la figura e una inuoide amoriguada de frecuencia cenral 5 H, que e muera en la are uerior de la figura. La raone ara uiliar ea función eán dada or la oibilidad de comarar luego eo reulado con lo obenido exerimenalmene. La figura inferior e el imograma. La fuene de delaamieno e encuenra a lo 58 mm. Cada línea de ea

34 CAPITULO II 7 figura rereena la evolución emoral del delaamieno a una rofundidad dada Lo delaamieno no eán a ecala, e mueran amlificado. La reca inroducida en la figura mueran la roagación de la onda P 5 m/ y de la onda S 5 m/. La onda P arece roagare inanáneamene a oda la rofundidade debido al gran valor de u velocidad. En conrae, e uede obervar el reardo en el arribo de la onda S a medida que aumena la diancia a la fuene. II.5 Diagrama de direcividad θ FIGURA 9 R x Haa ahora hemo analiado lo delaamieno obre el eje de imería del roblema. Un reulado inereane urge cuando e eudian lo delaamieno en función del ángulo θ morado en la figura 9 ara una diancia R fija a la fuene. Ee análii conocido como diagrama de direcividad de la fuene fue obenido or Miller y Purey en 954 [3] ara camo lejano. El reulado analíico obenido or Miller y Purey e el iguiene: A A P S γ in θ co θ + 4in inθ γ in θ θ γ in in θ θ in θ γ in θ + 4in θ in θ γ in θ γ 6 donde A P e la amliud de la onda de comreión y A S la de la onda de cialla. Ee diagrama e muera en la figura a ara la onda de comreión y en la figura b ara la onda de cialla. En el rimer cao e uede obervar que la amliud máxima e da ara θ, e decir obre el eje, y que luego decae haa hacere rácicamene nula ara θ π. En el egundo cao, el máximo de amliud e obiene ara un ángulo de 34º, mienra e oberva que la amliud e rácicamene nula en el eje. En la mima figura e mueran la amliude obenida a ravé de una inegración numérica de la funcione de Green calculada en el aéndice C. La concordancia enre lo do