Teoría de vigas. Métodos de resolución. Bibliografía: Gere, 5ª Ed. (2002): 4.1 a 4.5, 5.1 a 5.7 y 5.12, 9.1 a 9.5

Transcripción

1 Teoía de vigas Intoducción Ejemplos Relación ente cagas solicitaciones Defomaciones po flexión cuvatua Esfuezos nomales en flexión Relación momento-cuvatua Dimensionado de vigas Deflexiones en vigas étodos de esolución Bibliogafía: Gee, 5ª Ed. (2002): 4.1 a 4.5, 5.1 a , 9.1 a 9.5 Bee, 3ª Ed. (2004): 4.1 a 4.5, 4.12, 5.1 a 5.4, 9.1 a 9.3, 9.7 Otiz Beocal, 3ª Ed. (2007): 4.1 a 4.5, 5.1 a 5.2, 5.4 a 5.5

2 Intoducción: Vigas Las vigas son baas sometidas pincipalmente a cagas (fuezas o momentos) con la diección de sus vectoes otogonales al eje de la viga. En la viga se tansmitián momentos cotantes. Relación ente cagas, solicitaciones (cotantes momentos), defomaciones, gios desplazamientos (descensos) en vigas.

3 Flexión en estuctuas tipo Vigas 1) Simplemente apoada (S..) 2) En ménsula 3) Bi-empotada Póticos 7) Pótico simplemente apoado 8) Póticos múltiples 4) Continua 9) co de 3 aticulaciones 5) S.. con voladizo 6) Vigas Gebe

4 Caga distibuida Caga distibuida (q): Caga po unidad de longitud de baa. Ejemplos: el peso popio de los mateiales en baas hoizontales, o el peso de un mateial que se apoa en éstas, la pesión de líquidos o el viento. Unidad: [N/m] (usualmente: [kn/m]) La fueza en un difeencial de lago de baa dx estaá dada po: df = q * dx. Po lo tanto, en un tamo de baa de lago L, la esultante de la caga distibuida se obtiene integando los df, su posición igualando los momentos de ésta, con los de la caga distibuida. Gáficamente: La esultante está dada po el áea bajo el diagama de caga q(x), su línea de acción, pasa po el cento de gavedad de dicha áea.

5 Solicitaciones: Cotante omento cciones intenas (solicitaciones): Fuezas que se tansmiten intenamente po un elemento. Se pueden visualiza cotando aislando imaginaiamente una pate de un elemento. Si tabajamos en el plano, las acciones intenas tansmitidas se pueden educi a un toso (una fueza un momento) aplicado en el eje de la sección. En base a este toso, se pueden defini cada una de las solicitaciones: N-Fueza axial (o diecta, o fueza nomal): componente de la fueza del toso en la di. del eje. V-Fueza cotante (o simplemente cotante): componente de la fueza en di. pependicula al eje. -omento flecto (o simplemente momento): momento del toso. +d N V V+dV N+dN dx

6 Tensiones intenas Si de un cuepo en equilibio, aislamos ( cotamos ) una pate, ésta también tiene que esta en equilibio. Paa ello, cómo a vimos, apaecen fuezas que llamamos solicitaciones (, V, N). Po lo tanto, paa cada poción de la sección que nos tomemos (ΔΩ), habá en geneal una fueza (ΔF) aplicada. En ealidad, en el plano que cotamos (definido po la nomal (n) a dicho plano) no ha sólo fuezas en el baicento de la sección, sino que cada tozo de áea de la sección pueden esta bajo un esfuezo. La definición de tensión se obtiene extendiendo el concepto anteio paa una egión infinitesimal de áea. Po lo tanto: La tensión (f) actuando en un punto P en un plano n dado se define como el límite: lím 0 F f P

7 Estableceemos la elación matemática ente q, V. Teoema Fundamental de Vigas: Caso de caga distibuida q: Relación ente q, V Suma de F veticales =0 V-(V+dV)-q*dx=0 q dv dx 2 d 2 dx q= - dv/dx q Suma de =0 +d --d+q*dx*dx/2 +(V+dV)*dx=0 V V+dV -d+q*dx*dx/2 +(V+dV)*dx=0 Despeciando los téminos dif. de 2do oden dx -d+v*dx=0 V= d/dx

8 Caso caga puntual: izq F Relación ente q, V de Convención de signos paa el Cotante: Una fueza cotante positiva actúa en sentido hoaio conta el mateial. Una negativa lo hace en sentido antihoaio. V izq V de F dx ///////// ////////// B Suma de F veticales =0 V izq -V de -F=0 V de =V izq - F Suma de =0 izq - de +dx*v de + F*dx/2= 0 izq = de

9 Relación ente q, V Caso omento puntual: izq ext de ext B V izq V de ///////// ////////// dx Suma de =0 izq - de + ext +dx*v de =0 de = izq + ext Suma de V =0 V de =V izq

10 DEFLEXIONES Y DESPLZIENTOS

11 Defomaciones poducidas po flexión Hipótesis: -La viga está contenida en un plano x, su sección es simética especto a dicho plano. -demás, las fuezas sobe la viga actúan con sus vectoes en el plano x, los momentos en diección pependicula a dicho plano. Si consideamos una viga oiginalmente ecta, luego de aplicada la caga, el eje se defomaá en una cuva, que llamaemos defomada (o elástica) de la viga. => ceptaemos que bajo las hipótesis dadas, la viga se defomaá en el plano x. Convención de signos: Paa x hacia la deecha e hacia aiba, κ es positivo con la concavidad hacia aiba. O : Cento de cuvatua. m 1 O =ρ: Radio de cuvatua. κ=1/ ρ : Cuvatua v(x) pep. al eje (X)

12 Relación ε en flexión pua En una viga sometida a flexión pua analizaemos la elación ente el momento aplicado, las tensiones que este poduce, la cuvatua de la viga. Posteiomente veemos que esta elación se puede utiliza en los casos de flexión simple flexión compuesta. El pime paso es detemina la elación ente el adio de cuvatua (ρ) las defomaciones unitaias (ε) en una sección de viga. Hipótesis de Navie-Benoulli: Las secciones tansvesales nomales al eje de la viga indefomada pemanecen planas nomales al eje después de poducise las defomaciones poducidas po flexión pua. El oigen de coodenadas (O) es genéico. Es deci, en pincipio no sabemos la posición del eje neuto. Paa obtene esta elación, sólo intevinieon popiedades de la geometía de la viga, la hipótesis de Navie. Segmento e f L1 ( )* d ( )* dx / L1 L L dx / * dx dx dx

13 Relación σ ρ en flexión pua 1) Conocida la distibución de defomaciones en una viga (ε=-/r), paa conoce como seán los esfuezos, es necesaio utiliza la elación tensión-defomación del mateial: Le de Hooke: E. E. E. z O=G x Diecta esultante de las σ en la sección: N E N * d d E. d Flexión pua: N=0 m O d omento estático (o de pime oden) de la sección, con especto a O.

14 Relación σ ρ en flexión pua 2) Conociendo la distibución de tensiones, podemos calcula las solicitaciones que éstas poducen, e igualalas con las existentes en la viga. Como suponemos la viga en flexión pua, ésta esta sometida a un omento () la fueza nomal es nula (N=0) E. z O=G x. d E. I x. E... d E.( / ).. d E / 1/ 2 d. E EI Inecia de la sección I d omento de inecia (o omento de segundo oden) de la sección. 2. I

15 Esfuezos máximos po flexión pua nalizando la fomula de la flexión, se obseva que las tensiones máximas de tacción compesión ocuen en los puntos más alejados de la fiba neuta (baicento). En base a estas distancias podemos defini: W S I S i W I i. I Llamamos s e i a la distancia desde el eje neuto a los puntos de la sección, supeio e infeio espectivamente, más alejados del eje neuto. Dado que los e I son siempe positivos, los W también lo seán. Po lo que, en foma simplificada (obviando el signo), podemos deci: W i W s : ódulos esistentes de la sección. Esta cantidad eúne las popiedades de la sección que intevienen en el cálculo de las tensiones máximas. Po ello suele tabulase paa facilita la taea de diseño. Nomalmente, apaece sólo un W tabulado, utilizando el max = max( s, i ): W demás, en caso que = s = i se tendá un solo W = W i = W s max W I max Estudiando posteiomente po inspección el signo de la tensión.

16 Secciones nomalizadas I 2 d